Derivada Implícita Máximos y Mínimos Teorema del valor medio

2. CÁLCULO DIFERENCIAL E
INTEGRAL
UNIDAD 1: FUNCIONES, LÍMITES Y DERIVADAS
Marcelo Fernando Valdiviezo Condolo
Primero ‘B’
Carrera de Telecomunicaciones

3. DERIVADAS

4. DERIVACIÓN IMPLÍCITA
3 3
7y y x+ =
En la ecuación no podemos despejar y en términos de x.
y x 
3
2; 7 8; 1x y y y= + = =
La ecuación define a y como una función implícita de x
Sin embargo
No tenemos una función de la forma ( )y f x=
y es alguna función desconocida de x. ( )y x
( ) ( )
3 3
7y x y x x+ =  

5. DERIVACIÓN IMPLÍCITA
No tenemos una fórmula para y(x), pero podemos encontrar una relación para x, y(x) y y’(x) mediante la
derivación respecto de x de ambos lados de la ecuación.
( ) ( )
3 3
7y x y x x+ =  
( ) ( )3 3
7
d d d
y y x
dx dx dx
+ =
2 2
3 7 3
dy dy
y x
dx dx
+ =
( )2 2
3 7 3
dy
y x
dx
+ =
2
2
3
3 7
dy x
dx y
=
+
Derivación
Implícita

6. EJEMPLO 1
Encuentre , si
dy
dx
2 3
4 3 1x y y x− = −
Método 1: Podemos despejar explícitamente la y de la ecuación.
( )2 3
4 3 1y x x− = −
3
2
1
4 3
x
y
x
−
=
−
Entonces derivando y respecto a x.
( )( ) ( )( )
( ) ( )
2 2 3 4 2
2 22 2
4 3 3 1 8 4 9 8
4 3 4 3
x x x xdy x x x
dx x x
− − − − +
= =
− −

7. EJEMPLO 1
Encuentre , si
dy
dx
2 3
4 3 1x y y x− = −
Método 2: Derivación implícita.
Aplicamos la regla para el producto en el primer término.
( ) ( )2 3
4 3 1
d d
x y y x
dx dx
− = −
2 2
4 8 3 3
dy dy
x y x x
dx dx
 +  − =
( )2 2
4 3 3 8
dy
x x xy
dx
− = −
2
2
3 8
4 3
dy x xy
dx x
−
=
−

8. EJEMPLO 1
Encuentre , si
dy
dx
2 3
4 3 1x y y x− = −
Método 1:
2
2
3 8
4 3
dy x xy
dx x
−
=
−
( )
4 2
22
4 9 8
4 3
dy x x x
dx x
− +
=
−
Método 2:
3
2
2
2
1
3 8
4 3
4 3
x
x x
xdy
dx x
 −
−  − =
−
3
2
1
4 3
x
y
x
−
=
−
( )
4 2 4
22
12 9 8 8
4 3
dy x x x x
dx x
− − +
=
−
( )
4 2
22
4 9 8
4 3
dy x x x
dx x
− +
=
−
Si una ecuación en x y y determina una función y si esta función es derivable, entonces el
método de la derivación implícita obtendrá una expresión correcta para
( )y f x=
dy dx

9. EJEMPLO 2
Encuentre , si
dy
dx
2 3
5 9x y x+ = +
( ) ( )2 3
5 9
d d
x y x
dx dx
+ = +
2
2 15 1
dy
x y
dx
+ =
2
1 2
15
dy x
dx y
−
=

10. EJEMPLO 3
Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (0, 1)( )3 2
cos 2y xy xy− + =
( ) ( )( )2 2
3 ' 2 ' Sin ' 0y y x yy y xy xy y− − − + =
( )2 2
' 3 2 Sin Siny y xy x xy y y xy− − = +
2
2
Sin
'
3 2 Sin
y y xy
y
y xy x xy
+
=
− −
En el punto (0, 1)
1
'
3
y = ( )
1
1 0
3
1
1
3
y x
y x
− = −
= +
Recta tangente

11. RAZONES DE CAMBIO RELACIONADAS
EJEMPLO 1: Se suelta un pequeño globo en un punto a 150 pies alejado de un observador, quien se encuentra
en el nivel del piso. Si el globo se eleva en línea recta hacia arriba a una velocidad de 8 pies por segundo, ¿qué
tan rápido está aumentando la distancia del observador al globo cuando éste se encuentra a 50 pies de altura?
La distancia desde el observador al punto de lanzamiento permanece sin cambio
conforme t aumenta.
:Número de segundos a partir de que se suelta el globo.t
:Altura del globo.h
:Distancia del globo al observador.s
Dependen de t

12. RAZONES DE CAMBIO RELACIONADAS
EJEMPLO 1: Se suelta un pequeño globo en un punto a 150 pies alejado de un observador, quien se encuentra
en el nivel del piso. Si el globo se eleva en línea recta hacia arriba a una velocidad de 8 pies por segundo, ¿qué
tan rápido está aumentando la distancia del observador al globo cuando éste se encuentra a 50 pies de altura?
8
dh
dt
= ?; 50
ds
h
dt
= =
s y h se encuentran relacionadas por el tiempo (funciones implícitas de t), y también mediante la ecuación
pitagórica
( )22 2
150s h= +
2 2
ds dh
s h
dt dt
=
ds dh
s h
dt dt
=
( ) ( )2 2
50 150 50 10s = + =50h =
ds dh
s h
dt dt
= ( )50 10 50 8
ds
dt
=
8
2.53
10
ds
pies por segundo
dt
= 

13. RAZONES DE CAMBIO RELACIONADAS
EJEMPLO 2: En un tanque cónico se vierte agua a una razón de 8 pies cúbicos por minuto. Si la altura del
tanque es de 12 pies y el radio de su abertura circular es de 6 pies, ¿qué tan rápido se está elevando el nivel del
agua cuando este líquido tiene una profundidad de 4 pies?
:Profundidad del agua.h
:Radio de la superficie del agua.r
8 pies cúbicos por minuto.
dV
dt
=
?; 4
dh
h
dt
= =
21
3
V r h=
Triángulos semejantes
6
12
r
h
=
2
h
r =
2
1
3 2
h
V h
 
=  
 

14. RAZONES DE CAMBIO RELACIONADAS
EJEMPLO 2: En un tanque cónico se vierte agua a una razón de 8 pies cúbicos por minuto. Si la altura del
tanque es de 12 pies y el radio de su abertura circular es de 6 pies, ¿qué tan rápido se está elevando el nivel del
agua cuando este líquido tiene una profundidad de 4 pies?
2 3
1
3 2 12
h h
V h


 
= = 
 
2 2
3
12 4
dV h dh h dh
dt dt dt
 
= =
8 pies cúbicos por minuto.
dV
dt
=
?; 4
dh
h
dt
= =
2
0.637 pies por minuto
dh
dt 
= 
( )2
4
8
4
dh
dt

=

15. RAZONES DE CAMBIO
RELACIONADAS

16. DIFERENCIALES

17. MÁXIMOS Y MÍNIMOS

18. MÁXIMOS Y MÍNIMOS
TEOREMA DE EXISTENCIA DE MÁXIMO Y MÍNIMO
En (0, ), no hay máximo ni mínimo.
 
1
En 1,3 , máximo 1, mínimo .
3
= =
( 
1
En 1,3 , no hay máximo, mínimo .
3
=

19. MÁXIMOS Y MÍNIMOS
TEOREMA DE EXISTENCIA DE MÁXIMO Y MÍNIMO
 En 1,3 , no hay máximo, mínimo 0.=

20. MÁXIMOS Y MÍNIMOS
 En , , contiene los puntos fronterizos.a b
 )En , , contiene el punto fronterizo izquierdo.a b
( En , , contiene el punto fronterizo derecho.a b
( )En , , no contiene ningún punto fronterizo.a b
( )' 0f c = ( )'f c =

21. EJEMPLO
Encuentre los puntos críticos de en( ) 3 2
2 3f x x x= − +
1
,2
2
 
−  
Puntos Fronterizos:
1
2
2
y−
( ) 2
' 6 6 0f x x x= − + =Puntos Estacionarios: para x queda 0 1y
Puntos Singulares: No existen
Puntos Críticos:
1
, 0, 1 2
2
y−

22. MÁXIMOS Y MÍNIMOS
TEOREMA DE LOS PUNTOS CRÍTICOS

23. MÁXIMOS Y MÍNIMOS
VALORES EXTREMOS
EJEMPLO: Determine los valores máximo y mínimo de en3
( )f x x=  2,2−
2
'( ) 3f x x=
'( ) 0 0f x x=  =
Puntos Críticos: 2, 0, 2−
( 2) 8f − = −
(2) 8f = Máximo
Mínimo

24. MÁXIMOS Y MÍNIMOS
EJEMPLO: Determine los valores máximo y mínimo de en
3 2
( ) 2 3f x x x= − +
1
,2
2
 
−  
2
'( ) 6 6f x x x= − +
'( ) 0 0 1f x x y x=  = =
1
1
2
f
 
− = 
 
(0) 0f =
Máximo
Mínimo
Puntos Críticos:
1
, 0, 1 2
2
y−
(1) 1f =
(2) 4f = −
Máximo

25. TEOREMA DEL VALOR MEDIO
TEOREMA DE ROLLE
Si f(x) es continua en [a, b] y derivable en (a, b), y si f a = f(b) entonces existe algún punto c ∈ (a, b) tal
que f′
c = 0
Existe un punto al menos de ese intervalo, en el que la tangente a la curva es horizontal.

26. EJEMPLO

27. TEOREMA DEL VALOR MEDIO
TEOREMA DEL VALOR MEDIO

28. EJEMPLO

29. PREGUNTAS