Cuerpos finitos y aplicaciones

Cuerpos finitos y aplicaciones
David Arroyo Guardeõ
n
31 de enero de 2006

´
Indice

´
Indice 1

1. Grupo 3
1.1. Grupo abeliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Subgrupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Grupo c´ıclico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4. Clase adjunta. Normalidad. Cocientes . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5. Homomorfismos e isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. Anillo 9
2.1. Isomorf´ . . . . . . . . . .
ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2. Anillos de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1. Factorizaciń . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.2. Lema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3. Extensiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.1. Polinomio m´ ınimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4. Cuerpos de descomposicińo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5. Elemento primitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3. Cuerpo finito 16
3.1. Caracteres de un grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2. Extensiones Normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3. Teorema fundamental de la teor´ de Galois
ıa . . . . . . . . . . . . 18
3.4. Cuerpos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.5. Determinaciń de polinomios primitivos . .
o . . . . . . . . . . . . 21
3.5.1. Ra´ıces conjugadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.5.2. Los polinomios xq − x u xq−1 − 1 . . . . . . . . . . . . . . 22
3.5.3. Herramientas de Teor´ de N´meros
ıa u . . . . . . . . . . . . 24
3.5.4. Polinomios ciclot´micos . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . 26

4. Construcciń del cuerpo de Galois de 16 elementos
o 27

1

5. Aplicaci´n de los cuerpos de Galois a los cifradores en ﬂujo
o 32

Referencias 33

2

1. Grupo
Definiciń 1.1. Un grupo es un conjunto de elementos G sobre el que se define
o
un operaciń binaria que cumple las siguientes propiedades
o
a. Propiedad asociativa
Para todo a,b,c G, a (b c) = (a b) c
b. Elemento identidad
Existe e G / para todo a G se cumple a e = a = e a
c. Elemento inverso
Para todo a G existe a de modo que a a = e = a a

1.1. Grupo abeliano
Definiciń 1.2. G es un grupo abeliano si, adem´s de las tres propiedades
o a
arriba mencionadas, cumple la propiedad conmutativa, i.e.

Para todo a, b G se cumple a b = b a
Teorema 1.3. Sea G un grupo abeliano con una operaciń binaria
o
a. G contiene un unico elemento identidad
´
b. Cada elemento de G tiene un unico inverso
´
Ejemplo 1.4. El conjunto de los n´meros enteros Z y la operaciń de suma
u o
definen un grupo abeliano. El elemento identidad es 0, mientras que −a es el
inverso de a Z.
Ejemplo 1.5. El conjunto de los n´meros enteros negativos bajo la operaciń
u o
de suma no define un grupo abeliano, ya que los n´meros positivos, esto es,
u
los inversos de los n´meros negativos, no estń contenidos en el conjunto de
u a
definiciń.
o
Ejemplo 1.6. El conjunto de los n´meros enteros bajo la operaciń de multi-
u o
plicaciń no define un grupo abeliano, ya que los unicos elementos con inverso
o ´
son ±1. Por tanto, el conjunto {+1,-1} y la operaciń de multiplicaciń definen
o o
un grupo abeliano.
A la hora de especificar un grupo, segń lo visto hasta ahora, ser´ preciso
u a
indicar la operaciń sobre la cual se construye. No obstante, dicha operaciń,
o o
en muchas ocasiones, viene dada por el contexto. De este modo, al hablar de
los grupos abelianos Z y Zn se sobreentiende que la operaciń implicada es la
o
suma, mientras que al hablar del grupo abeliano Z∗ estamos refirińdonos a la
n e
operaciń de multiplicaciń.
o o
Si un grupo abeliano G es definido aditivamente, entonces el elemento iden-
tidad se designa como 0G (o simplemente 0 si G est´ claro por el contexto),
a
mientras que el elemento inverso de a G vendr´ dado por −a. Para a, b G
a

3

a−b denota a+(−b). Si n es un entero positivo, entonces n·a define a+a+. . .+a.
Por ultimo, 0 · a es igual a 0G y si n es un n´mero entero negativo, n · a es igual
´ u
a (−n)(−a).
Si un grupo abeliano G es definido multiplicativamente, entonces el elemento
identidad viene dado 1G (simplemente 1 si G est´ claro por el contexto) y el
a
inverso de a G es a−1 o 1/a. Para a, b G, a/b designa la operaciń a · b−1 . Si n
o
es un entero positivo, entonces an determina la operaciń a · a · · · · a. Por ultimo,
o ´
a0 denota 1G y si n es un entero negativo, entonces an determina (a−1 )−n .
Un grupo abeliano G puede ser finito o infinito. Si el grupo es finito se define
su orden como el n´mero de elementos contenidos en el conjunto que lo define.
u
En caso contrario, se dice que el grupo de orden infinito. El orden de un grupo
G se designa como ord(G)=| G |.
Ejemplo 1.7. El orden del grupo abeliano aditivo Zn es n
Ejemplo 1.8. El orden del grupo multiplicativo Z∗ es φ(n), donde φ es la
n
funciń phi de Euler
o
Ejemplo 1.9. El grupo aditivo Z tiene orden infinito

1.2. Subgrupo
Definiciń 1.10. Sea G un grupo abeliano y H un subconjunto no vac´ de G
o ıo
de modo que
1. a b H para todo a,b Hy
2. a H para todo a H
Entonces se dice que H es un subgrupo de G
Teorema 1.11. Si G es un grupo abeliano y H es un subgrupo de G, entonces
H contiene el elemento identidad de G. Adem´s, la operaciń binaria de G
a o
aplicada sobre H hace que ´ste sea tambiń un grupo abeliano con elemento
e e
identidad igual al de G.
Demostraciń. En primer lugar, para ver que H contiene el elemento iden-
o
tidad basta seleccionar cualquier a H y usando las dos propiedades de la
definiciń 1.10 se comprueba que e = a a
o H. Por otro lado, la propiedad
1 de la definiciń 1.10 implica que H es un conjunto cerrado bajo la operaciń
o o
binaria de G, esto es, la operaciń binaria de G induce de forma bien definida
o
una operaciń binaria sobre H. Esta operaciń cumple con las propiedades aso-
o o
ciativa y conmutativa. Este hecho, unido a la existencia del elemento identidad,
demuestran que H es un grupo abeliano.
Proposiciń 1.12. Sea G un grupo y A ⊆ G. Se tiene lo siguiente
o
1. A es un subgrupo de G
2. A es el menor subgrupo que contiene a A, i.e, si existe un subgrupo H
que contiene a A, entonces tambiń contiene a A
e

4

Definiciń 1.13. Al subgrupo A se le llaman subgrupo generado por A. Se
o
dir´ que A es un sistema de generadores de A . Si G= A , entonces A es un
a
sistema de generadores de G.

1.3. Grupo c´
ıclico
Definiciń 1.14. Dado un grupo G cuya operaciń es notada multiplicati-
o o
vamente (resp. aditivamente) se define la potencia (resp. el m´ltiplo) de un
u
elemento a G para cada entero n ≥

a = 1 si n = 0
 n
am · a si n = m + 1

 −n
a = (a−1 )n
(resp.


n · a = 0 si n = 0
(m · a) + a si n = m + 1

(−n) · a = n · (−a)


)
N´tese que en la definiciń anterior (an )m = anm , an · am = an+m
o o
Proposiciń 1.15. Sea G un grupo, a
o G y A = {a}. Entonces
not
a = {a} = {an : n Z}

y se le denomina subgrupo c´
ıclico de G generado por a.
Definiciń 1.16. Sea G un grupo. Se dice que G es un grupo c´
o ıclico si existe
a G tal que G = a .
Proposiciń 1.17. Si G es un grupo c´
o ıclico, entonces G es abeliano

Definiciń 1.18. Sea G un grupo y a
o G. Se dice que
1. a es de orden infinito si las distintas potencias de a (resp. m´ltiplos) son
u
distintas entre s´
ı
2. a tiene orden finito si existen n, m / 0 ≤ n < m de modo que an = am

Proposiciń 1.19. Sea G un grupo (con notaciń multiplicativa) y a
o o G.
Consideremos el subgrupo a
1. Si a es de orden infinito, entonces
a) an = 1 ⇔ n = 0
b) La aplicaciń ϕ = Z → a dada por ϕ(n) = an es biyectiva
o

5

c) a es un grupo infinito
b. Si a es de orden finito
a) Existe n > 0 tal que an = 1
b) Sea m el menor entero positivo para el cual am = 1. Entonces los ai ,
0 ≤ i < m son distintos entre s´ y a = {a0 , a1 , . . . , am−1 }
ı
Definiciń 1.20. Sea G un grupo y a G de orden finito. El orden de a, notado
o
o(a) = ord(a), es el menor entero estrictamente positivo m para el cual am = 1.
Proposiciń 1.21. Sea G un grupo y a G. Se tienen las siguientes propiedades
o

1. ord(a) = 1 ⇔ a = 1
2. Si a tiene orden finito, ord(a) = ord(a−1 )
3. Si a tiene orden infinito, a−1 tiene orden infinito
4. Si ord(a) = n y am = 1, entonces n|m

1.4. Clase adjunta. Normalidad. Cocientes
Definiciń 1.22. Sea G un grupo abeliano y H un subgrupo de G. Para a, b
o
G si a − b H se dice que a ≡ b(mod H). Dicho de otro modo, a ≡ b(mod H) si
y s´lo a = b + h para algń valor de h H
o u
Teorema 1.23. Sea G un grupo abeliano y H un subgrupo de G. Para todo
a, b ∈ G se tiene
1. a ≡ a(mod H)
2. a ≡ b(mod H) implica que b ≡ a(mod H)
3. a ≡ b(mod H) y b ≡ c(mod H) implica que a ≡ c(mod H)
Dado que la relaciń binaria · ≡ ·(mod H) es una relaciń de equivalencia,
o o
divide G en clases de equivalencias. Es fćilmente verificable que para algń a ∈
a u
G la clase de equivalencia que contiene a a es precisamente el conjunto a + H :=
a + h : h ∈ H. A este conjunto se le denomina clase adjunta de H en G
conteniendo a a. Un elemento de dicho clase adjunta es un representante
del clase adjunta.
En el caso de que la operaciń binaria definida sobre G sea la multiplicaciń,
o o
se tiene que a ≡ b(mod H) significa que a/b ∈ H y el clase adjunta de H en G
conteniendo a es aH := {ah : h ∈ H}
Definiciń 1.24. (Notaciń multiplicativa) Sea H un subgrupo del grupo G y
o o
a ∈ G. El conjunto

aH = {x ∈ G | x = ah para algń h ∈ H}
u

6

es denominado clase adjunta por la izquierda de H en G determinada por a. De
forma similar, la clase adjunta de H en G dada por a queda consignada por el
conjunto
Ha = {x ∈ G | x = ha para algń h ∈ H}
u
Proposiciń 1.25. Sea H un subgrupo de G. Las condiciones siguientes son
o
equivalentes:
1. Las clases adjuntas por la izquierda y por la derecha coinciden, i.e., xH =
Hx para todo x ∈ G
2. (xH)(x H) = (xx )H, para cualquiera x, x ∈ G
3. Para todo x ∈ G, se tiene xHx−1 ⊂ H
4. Para todo x ∈ G, se tiene xHx−1 = H
Un subgrupo H de G es normal en G (H G) si satisface las condiciones
anteriores.
Observaciń 1.26. Todos los subgrupos de un grupo abeliano son normales en
o
´l
e
Teorema 1.27. Cualquiera dos clases adjuntas de un subgrupo H en un grupo
abeliano G tienen igual cardinalidad, es decir, hay una aplicaciń biyectiva de
o
un clase adjunta al otro.
Teorema 1.28. (Teorema de Lagrange) Si G es un grupo finito abeliano y
H es un subgrupo de G, entonces el orden de H es un divisor del orden de G.
Demostraciń. Dado que G es finito, el n´mero de clases de equivalencia
o u
distintas sobre H ser´ finito. Sean ´stas a1 ·H, a2 ·H . . . ar ·H. G es uniń disjunta
a e o
de estas clases, con lo que se cumple | G |=| a1 · H | + | a2 · H | + . . . | ar · H |.
Sea H={h1 , h2 , . . . , hn }. Fijado un entero i, 1 ≤ i ≤ r, de ai · hj = ai · hl se
deduce que hj = hl . Por tanto los elementos de la clase ai ·H son todos distintos,
con lo que se cumple | ai · H |=| H |, lo que lleva a que | G |= r· | H |.
Teorema 1.29. Sea G un grupo abeliano y H un subgrupo. Para a, a , b, b ∈
G si a ≡ a (modH) y b ≡ b (modH), entonces a + b ≡ a + b (modH).
A la vista del teorema 1.29 se puede definir una operaciń binaria sobre el
o
la colecciń de clase adjuntas de H en G de la siguiente forma
o
Para a, b ∈ G se tiene (a+H)+(b+H) := (a+b)+H. Esta nueva operaciń o
define un grupo abeliano siendo H el elemento identidad y el inverso de un clase
adjunta a + H es (−a) + H. En el caso que la operaciń binaria original sobre
o
G fuera la multiplicaciń, la nueva operaciń ser´ (a · H) · (b · H) := (ab)H. El
o o ıa
grupo resultante se denomina grupo cociente de G m´dulo H y se designa
o
como G/H. El orden del grupo G/H se refiere a veces como [G:H] y recibe el
nombre de ´ ındice de H en G.
Teorema 1.30. Sea G un grupo abeliano finito y H un subgrupo. Entonces
[G : H] = [G]/[H]. Si H es otro subgrupo de G con H ⊆ H , entonces

[G:H]=[G:H’][H’:G]

7

1.5. Homomorfismos e isomorfismos
Definiciń 1.31. Sean dos grupos abelianos G y G’. Un homomorfismo de G en
o
G es una aplicaciń f : G → G tal que f (x y) = f (x) f (y) para cualesquiera
o
x, y ∈ G.
Observaciń 1.32.
o
1. Hay que notar que en la igualdad anterior la operaciń x y se efectá en
o u
G, mientras que la otra, i.e., f (x) f (y) en G
2. Si e y e son los elementos neutros de G y G respectivamente, y f : G →
G es un homomorfismo, se tiene que f (e) = e y f (x−1 ) = f (x)−1 , para
cada x ∈ G
Un monomorfismo (epimorfismo, isomorfismo) es un homomorfismo inyec-
tivo (sobreyectivo, biyectivo). Un endomorfismo (automorfismo) de un grupo G
es un homomorfismo (isomorfismo) de G en s´ mismo.
ı
Definiciń 1.33. Sea f : G → G un homomorfismo de grupo. Entonces
o

{x ∈ G | f (x) = e }

es el n´ cleo y se denota como ker(f ).
u
Proposiciń 1.34. Sea f : G → G un homomorfismo de grupos.
o
1. Si H ⊂ G es un subgrupo, f (H) es un subgrupo de G . En particular, la
imagen Im(f ) es un subgrupo de G .
2. Si H ⊂ G es un subgrupo (normal), f −1 (H ) es un subgrupo (normal)
de G. En particular, el nćleo ker(f ) = f −1 (e ) es un subgrupo de G
u
3. f es un monomorfismo si y s´lo si ker(f ) = e
o
Lema 1.35. (Propiedad universal de la proyecciń canńica G → G/H)
o o
Sea f : G → G un homomorfismo, y H G tal que H ⊂ ker(f ). Existe un
unico homomorfismo f : G/H → G tal que f = f ◦π, donde π es la proyecciń
´ o
canńica.
o
Proposiciń 1.36. Si N es un subgrupo normal de G, la aplicaciń f (x) = X·N
o o
es un homomorfismo de G en el grupo cociente G/N . A la aplicaciń f se le llama
o
homomorfismo natural.
Proposiciń 1.37. La imagen y la imagen inversa de un subgrupo normal bajo
o
un homomorfismo es un subgrupo normal
Proposiciń 1.38. Si f es un homomorfismo del grupo G en G’, estableciendo
o
N = f (N ) y definiendo el mapa g como g(xN ) = f (x)N , se tiene que g es
un homomorfismo del grupo cociente G/N sobre el grupo cociente G /N . En
efecto, si N es la imagen inversa de N , g es un isomorfismo.

8

Teorema 1.39. Sea f : G → G un homomorfismo de grupos. Se induce de
¯ ¯
modo natural un isomorfismo f : G/ker(f ) → img(f ) que factoriza f en i◦ f ◦π,
siendo π el epimorfismo de G sobre G/ker(f ) e i la inclusiń de img(f ) en G’.
o
Teorema 1.40. Sea f : G → G un epimorfismo de grupos . Sea H un subgrupo
normal de G y pongamos H = f −1 (H ). Entonces f induce un isomorfismo de
G/H en G’/H’.
Corolario 1.41. Si H1 y H2 son subgrupos normales de G tales que H1 ⊂ H2 ,
se tiene:
1. H2 /H1 es un subgrupo normal de G/H1
2. (G/H1 )/(H2 /H1 ) es isomorfo a G/H2
Teorema 1.42. Sea G un grupo y N y H subgrupos de G, con N normal en G.
Entonces:
1. (N ∩ H) H yN (N H)
2. La inclusiń de H en N H induce un isomorfismo de H/(N ∩ H) en
o
(N H)/N .
Corolario 1.43. Si G/N es abeliano, H/H ∩ N tambiń lo es
e

2. Anillo
Definiciń 2.1. Un anillo es una terna (A, +, ·) formada por un conjunto A y
o
dos operaciones binarias +, · de modo que se cumple:
1. El par (A, +) es un grupo abeliano cuyo elemento neutro se suele designar
“cero (0)”
2. La operaciń binaria · es asociativa y tiene elemento neutro normalmente
o
referenciado como “uno (1)”
3. La operaciń binaria · es distributiva a la derecha y a la izquierda respecto
o
de la operaciń +, i.e., para todos x, y, z ∈ A se tiene (x+y)·z = x·z +y ·z,
o
x · (y + z) = x · y + x · z
Si la operaciń · es conmutativa se dice que el anillo es conmutativo
o
Definiciń 2.2. La caracter´
o ıstica de un anillo A es definida como el orden del
grupo aditivo (A,+)
Definiciń 2.3. Sea A un anillo. Una unidad es un elemento que posee un
o
sim´trico multiplicativo (a la izquierda y a la derecha). A ese elemento se le
e
llama inverso. El conjunto de las unidades de A es un grupo para el producto
y se notar´ A∗ .
a
Un cuerpo es un anillo conmutativo tal que todo elemento distinto de cero
es una unidad, i.e., A∗ = A − {0}

9

Definiciń 2.4. Sea A un anillo. Un subanillo de A es un subconjunto B ⊂ A
o
que es un subgrupo de (A, +) y es estable para la operaciń · de modo que 1 ∈ B
o
Si A es un cuerpo, entonces B es un subcuerpo de A si es un subanillo y
adem´s x−1 ∈ B para todo x ∈ B − 0.
a
En adelante se asume que se hace referencia a un anillo conmutativo cuando
se habla de un anillo.
Definiciń 2.5. Sea A un anillo. Un elemento x ∈ A se llamar´ un divisor de
o a
cero si y s´lo si es distinto de cero y existe y ∈ A, y = 0, tal que xy = 0. Un
o
anillo sin divisores de cero se llama un dominio de integridad. Un elemento
x ∈ A se llamar´ nilpotente si es distinto de cero y existe un entero n > 0 tal
a
que xn = 0. En un dominio de integridad se da la propiedad cancelativa por el
producto de elementos no nulos:

a = 0, ab = ac ⇒ ab = c

Definiciń 2.6. Sea A un anillo. Un ideal de A es un subconjunto I de A que
o
verifica:
1. I es un subgrupo del grupo aditivo de A
2. Para todo a ∈ I, x ∈ A se tiene que xa ∈ I
Lema 2.7. Sea {Ik } una familia de ideales. Entonces k Ik es un ideal.
Definiciń 2.8. Si A es un anillo y S ⊂ A no vac´ el ideal generado por S es
o ıo,
el menor ideal en A que contiene a S, o bien la intersecciń de todos los ideales
o
que contienen a S. La nomenclatura empleada es (S) o S
Definiciń 2.9. Sean I1 , I2 ideales. Se define I1 + I2 = I1
o I2 .
Observaciń 2.10. Es fćil ver que
o a

S = {x1 a1 + · · · + xn an | x1 , . . . , xn ∈ A, a1 , . . . , an ∈ S}

Si S = {a}, el ideal se llama principal. Todo ideal Z es principal.
Lema 2.11. I1 + I2 = {a1 + a2 : ai ∈ Ii }

Definiciń 2.12. Sean A, B anillos y f : A → B una aplicaciń. Se dir´ que f
o o a
es un homomorfismo de anillos si verifica:
1. Para todos x, y ∈ A se cumple f (x + y) = f (x) + f (y)
2. Para todos x, y ∈ se cumple f (xy) = f (x)f (y)

3. f(1)=1

10

2.1. Isomorf´
ıa
Proposiciń 2.13. Sea f : A → B un homomorfismo de anillos. Se tienen las
o
siguientes propiedades:
1. ker(f ) := {a ∈ A | f (a) = 0} es un ideal de A y f es inyectivo si y s´lo si
o
ker(f ) = {0}.
2. Si u ∈ A es una unidad, entonces f (u) es una unidad en B. En particular
cualquier homomorfismo (de anillos) entre cuerpos es inyectivo.
3. im(f ) = {b ∈ B | ∃a ∈ A, f (a) = b} es un subanillo de B
Proposiciń 2.14. Sea f : A → B un morfismo de anillos. Entonces A/ker(f )
o
es isomorfo a im(f ).
Proposiciń 2.15. Sea A un anillo, I ⊂ A un ideal y B ⊂ A un subanillo.
o
Entonces B + I = {b + a : b ∈ B, a ∈ I es un subanillo de A, I es un ideal de
B + I, B I es un ideal de B y existe un isomorfismo de anillos

(B + I)/I ∼ B/(B
= I)

Proposiciń 2.16. Sea A un anillo y sean I, J ideales de A con I ⊂ J. Entonces
o
J/I es un ideal de A/I y
A/J ∼ (A/I)/(J/I)
=

2.2. Anillos de polinomios
Definiciń 2.17. Sea A un anillo. El anillo de polinomios en la indeterminada
o
X con coeficientes en Z, A[X], es el conjunto de expresiones formales

f (X) = an X n + an−1 X n−1 + · · · + a1 X + a0

con cada ai ∈ A. El elemento ai se denomina el coeficiente de X i en f (X). Dos
polinomios se consideran iguales si para cada i los coeficientes de X i son iguales.
El polinomio cero tiene todos los coeficientes nulos y se nota como 0.
Definiciń 2.18. El grado de f(X) es el mayor n tal que an es no nulo. Si
o
n
grado(f (X)) = n, entonces f (X) = k=0 ak X k . El coeficiente an se denomina
coeficiente l´
ıder de f(X). Si es igual a 1 decimos que f(X) es un polinomio
mńico. Por convenio se tiene que grado(0)=−∞.
o
Se definen dos operaciones en A[X]. Sean f (X) = an X n + an−1 X n−1 + · · · +
a1 X + a0 , g(X) = bm X M + · · · + b1 X 1 + b0
Suma. f (X) + g(X) es el polinomio con coeficiente en X i igual a ai + bi
Producto. f (X)g(X) es el polinomio con coeficiente en X i igual a ai b0 +
ai−1 bi + . . . + a0 bi
Proposiciń 2.19. Con las operaciones arriba definidas A[X] es un anillo.
o

11

Lema 2.20. Sea A un anillo y f (X), g(X) ∈ A[X]. Entonces
1. grado(f (X) + g(X)) ≤ m´x{grado(f (X)), grado(g(X))}
a
2. grado(f (X)g(X)) ≤ grado(f (X)) + grado(g(X))
3. La igualdad se tiene que dar en el caso anterior si los coeficientes l´
ıderes
de f(X) y g(X) no son divisores de cero. En particular, cuando A es un
dominio de integridad.
Corolario 2.21. Si A es un dominio de integridad, entonces
A[X] es un dominio de integridad
Las unidades de A[X] son las unidades de A
Proposiciń 2.22. Algoritmo de divisiń. Sea A un anillo, f (X), g(X) ∈ A[X]
o o
con g(X) mńico. Entonces existen unos unicos q(X), r(X) ∈ A[X] con grado
o ´
(r(X)) < grado(g(X)) tales que

f (X) = g(X)q(X) + r(X)

Observaciń 2.23.
o 1. Decimos que g(X) divide a f(X) si en lo anterior se
obtiene r(X)=0
2. Si g(X) no es mńico, se puede conseguir una pseudo-divisiń de la forma
o o
c · f (X) = g(X)q(X) + r(X) con c ∈ A
Corolario 2.24. Sea A un anillo y a ∈ A. Entonces para cualquier f (X) ∈
A[X] existe q(X) ∈ A[X] tal que

f (X) = (X − a)q(X) + f (a)

Corolario 2.25. Sea A un anillo y a ∈ A. Entonces f (a) = 0 si y s´lo si X − a
o
divide a f (X).
Corolario 2.26. Sea A un dominio de integridad y f (X) = 0 ∈ A[X] un
polinomio de grado n. Entonces existen a lo m´s n ra´
a ıces de f (X) en A.
Corolario 2.27. Sea A un dominio de integridad y f (X), g(X) ∈ A[X] de
grado menor o igual que n. Si f(a)=g(a) para n+1 valores distintos de a ∈ A,
entonces f(X)=g(X)
Definiciń 2.28. Sea f (X) ∈ A[X] un polinomio no nulo y a ∈ A una ra´ de
o ız
f(X). Entonces X − a divide a f (X) en A[X]. Al m´ximo entero s > 0 tal que
a
(X − a)s | f (X) se le llama multiplicidad de a como ra´ de f(X). Se dir´ que a
ız a
es una ra´ simple de f(X) si s=1. En caso contrario se dir´ que es m´ltiple.
ız a u

12

2.2.1. Factorizaciń
o
Teorema 2.29. Sea k un cuerpo. Todo ideal de k[X] est´ generado por un unico
a ´
elemento.
Definiciń 2.30. Sea A un anillo. Si x, y ∈ A, se dice que x divide a y, y se
o
nota x|y si existe a ∈ A tal que y = ax
Definiciń 2.31. Sean x, y ∈ A. Un m´ximo comń divisor de x, y es un
o a u
elemento w ∈ A tal que
1. w|x y w|y
2. Si v|x y v|y entonces v|w
Se escribe w = mcd(x, y)
Definiciń 2.32. Sea A un dominio de integridad. Un elemento no nulo x ∈ A
o
se dice irreducible si x = uv, u, v ∈ A implica que u o v es una unidad en A.
Dos elementos x, y ∈ A se dicen asociados si existe una unidad u ∈ A tal que
x = uy.
Proposiciń 2.33. Sean f (X), g(X) ∈ k[X]. Entonces existe el m´ximo comń
o a u
divisor d(X) de f(X) y g(X), y podemos encontrar a(X), b(X) ∈ k[X] tales que
d(X) = a(X)f (X) + b(X)g(X)
Proposiciń 2.34. Sea f(X) irreducible en k[X] y consideremos el ideal I =
o
f (X) . Entonces k[X]/I es un cuerpo.
Lema 2.35. Sea f (X) ∈ k[X] irreducible tal que f (X)|a(X)b(X). Entonces
f (X)|a(X) o f (X)|b(X).
Proposiciń 2.36. Sea f (X) ∈ k[X]. Entonces f(X) se puede escribir co-
o
mo f (X) = uq1 (X) · · · qm (X) donde u es una unidad y cada qi (X) es irre-
ducible. Adem´s, esta factorizaciń es unica en el sentido de que si f (X) =
a o ´
vp1 (X) · · · pn (X) con v unidad y cada pi (X) irreducible, entonces m = n y ex-
iste una permutaciń σ de {1, . . . , n} tal que pi (X) = wi qσ(i) (X) con wi unidad.
o

2.2.2. Lema de Gauss
Definiciń 2.37. Sea f (X) ∈ Z[X] un polinomio no nulo. Llamamos contenido
o
de f (X) a un m´ximo comń divisor de los coeficientes de f(X), y se notar´ por
a u a
c(f (X)). Decimos que el polinomio f(X) es primitivo si c(f ) = 1.
El contenido de f(X) est´ un´
a ıvocamente determinado salvo multiplicaciń por
o
una unidad de Z. Si f (X) ∈ Z[X] es un polinomio no nulo entonces podemos
decir f (X) = cf1 (X), donde c es el contenido de f(X) y f1 (X) es primitivo.
Lema 2.38. Sean f(X), g(X) polinomios no nulos de Z[X]. Entonces
c(f (X)g(X)) = c(f (X))c(g(X))
En particular, si f(X) y g(X) son primitivos entonces el producto f(X)g(X) es
primitivo

13

Lema 2.39. Si f (X) ∈ Q es un polinomio no nulo, entonces f (X) = αf1 (X)
con α ∈ Q y f1 (X) un elemento primitivo de Z[X]. Esta factorizaciń es unica
o ´
salvo producto por una unidad de Z
Lema 2.40. Sea f (X) ∈ Z[X]. Son equivalentes:

1. f(X) tiene grado positivo y es irreducible en Z[X].
2. c(f (X)) = 1 y f (X) es irreducible en Q[X].

2.3. Extensiones algebraicas
Si k es un subcuerpo de K, diremos que K es una extensiń de k, K|k. Si
o
K|k es una extensiń y E ⊂ K es un subconjunto, k(E) representa el menor
o
subcuerpo de K que contiene a k y a E. Si E es un conjunto finito / E =
{α1 , . . . , αm }, k(E) vendr´ dado por k(α1 , . . . , αm ). En particular, se tiene que
a
k(α, β) = k(α)(β).
Si K|k es una extensiń entonces K es un k-espacio vectorial, cuya dimensiń
o o
se llama grado de la extensiń y se denota por [K:k]. La extensiń K|k se
o o
dice finita, si el grado lo es.
De forma an´loga para anillos: si A ⊂ A son anillos y E ⊂ A es un subcon-
a
junto, A[E] ser´ el menor subanillo de A que contiene a A y a E. En particular,
a
si E se reduce a una indeterminada E={X} obtenińdose el anillo de polinomios
e
A[X].
Lema 2.41. Sea {ui }i∈I ⊂ L conjunto linealmente independiente sobre K,
vj j⊂J ⊂ K sobre k. Entonces {ui vj }i∈I, j∈J ⊂ L es un conjunto linealmente
independiente sobre k.
Proposiciń 2.42. Si L|K y K|k son extensiones se tiene que
o

[L : K][K : k] = [L : k]

Por tanto las extensiones dadas son ambas finitas si y s´lo si L|k es finita.
o
Corolario 2.43. Si K1 |K2 | . . . |Kn son extensiones, entonces

[K1 : Kn ] = [K1 : K2 ] · · · [Kn−1 : Kn ]

2.3.1. Polinomio m´
ınimo
Definiciń 2.44. Sea K|k una extensiń, se dice que un elemento α ∈ K es
o o
algebraico sobre k si existe un polinomio f (X) ∈ k[X] no nulo tal que f (α) = 0.
A un polinomio mńico de k[X] de grado m´
o ınimo entre los que se anulan en α,
se le llama polinomio m´ ınimo de α sobre k.
Lema 2.45. Sea α algebraico sobre k y f (X) ∈ k[X] su polinomio m´
ınimo.
Entonces

14

1. Si g(X) ∈ k[X] es un polinomio tal que g(α) = 0, entonces f(X) divide a
g(X)
2. f(X) es unico e irreducible
´
Observaciń 2.46. Si f (X) ∈ k[X] es un polinomio mńico e irreducible que se
o o
anula en un elemento α, entonces f(X) es su polinomio m´
ınimo sobre k.
Proposiciń 2.47. Sea una extensiń K|k, α ∈ K algebraico sobre k, f(X) su
o o
polinomio m´ınimo sobre k , de grado n. Se verifica que:
1. k[α] = {a0 + a1 α + · · · + an−1 αn−1 |ai ∈ k}

2. k(α) es isomorfo a k[X]/ f (X)
3. k[α] = k(α)
4. [k(α) : k] = n

2.4. Cuerpos de descomposiciń
o
Definiciń 2.48. Sea K|k una extensiń y f (X) ∈ k[X] no constante. K es un
o o
cuerpo de descomposiciń de f sobre k si existen α1 , . . . , αn ∈ K tales que
o
1. K = k(α1 , . . . , αn )
n
2. f (X) = a i=1 (X − αi ), a ∈ k
Lema 2.49. (Kronecker) Dado un polinomio f (X) ∈ k[X] no constante, existe
una extensiń de K|k (en el sentido de que K contiene a un cuerpo isomorfo a
o
k), que contiene una ra´ de f.
ız
Teorema 2.50. Si f (X) ∈ k[X] entonces existe un cuerpo de descomposiciń
o
para f(X).
Lema 2.51. Sea σ : k → k un isomorfismo, f (X) ∈ k[X] irreducible, g =
σ(f ) ∈ k [X]. Si α es una ra´ de f y β una ra´ de g existe un isomorfismo
ız ız
τ : k(α) → k (β) tal que τ (α) = β y que extiende a σ.
Corolario 2.52. Si α y β son ra´ ıces de un polinomio irreducible f ∈ k[X],
existe un isomorfismo σ entre k(σ) yk(β), que deja invariante los elementos de
k y σ(α) = β.
Lema 2.53. Sea σ : k → k un isomorfismo, f (X) ∈ k[X] no constante,
g = σ(f ) ∈ k [X]. Sean K|k y K |k cuerpos de descomposiciń de f y g respec-
o
tivamente. Existe un isomorfismo τ : K → K , tal que τ|k = σ, que lleva ra´
ıces
de f en ra´
ıces de g

15

2.5. Elemento primitivo
Sea k un cuerpo que contiene a Q.
Lema 2.54. Si f (X) ∈ k[X] es irreducible, entonces no tiene ra´
ıces m´ltiples
u
en ninguna extensiń de k.
o
Teorema 2.55. Si K es una extensiń finita de k entonces existe α ∈ K tal que
o
K = k(α), i.e., la extensiń es simple. Decimos que α es un elemento primitivo
o
de la extensiń.
o

3. Cuerpo finito
3.1. Caracteres de un grupo
Definiciń 3.1. Si K es un cuerpo y C ∈ Aut(K) un subconjunto, representa-
o
mos por F(C) al conjunto de puntos fijos dados por C, es decir

F (C) = {x ∈ K|σ(x) = x, ∀σ ∈ C}

Tambiń se puede emplear la notaciń KC para representar este conjunto.
e o
El objetivo es analizar la relaciń entre [K : F (C)] y #C, esto es, el n´mero
o u
de elementos de C.
Definiciń 3.2. Sea G un grupo y k un cuerpo. Se llama carćter de G sobre
o a
k a un homomorfismo σ de grupos σ : G → k ∗ donde k ∗ = k{0} es el grupo
multiplicativo del cuerpo k.
Definiciń 3.3. Los caracteres {σ1 , . . . , σn } de un grupo G se dicen dependi-
o
entes si existen a1 , . . . , an ∈ k no todos nulos de modo que

a1 σ1 (g) + · · · + an σn (g) = 0

para todo g ∈ G. En otro caso se dicen independientes.
Teorema 3.4. Teorema de la independencia de caracteres. (Dedekind) Si G
es un grupo, k es un cuerpo y {σ1 , . . . , σn } son caracteres distintos de G sobre
k, entonces estos caracteres son independientes.
Corolario 3.5. Sea K un cuerpo y Ψ1 , . . . , Ψn son caracteres independientes
del grupo K ∗ sobre K, es decir, no hay una combinaciń lineal no trivial con
o
coeficientes en K de los automorfismos dados.
Proposiciń 3.6. Si K es un cuerpo y C ∈ Aut(K) es un subconjunto finito,
o
entonces
[K : F (C)] ≥ #C
Definiciń 3.7. Si K|k es una extensiń, Gal(K|k) es el conjunto de automor-
o o
fismos de K que dejan fijos a todos los elementos de k

16

Observaciń 3.8. A partir de la definiciń se tiene:
o o
1. Gal(K|k) es subgrupo del grupo Aut(K) denominado grupo de Galois de
la extensiń
o
2. F (Gal(K|k)) ⊃ k
3. Si K|k1 |k2 , entonces Gal(K|k1 ) ⊂ Gal(K|k2 ) es un subgrupo
4. Si C ⊂ Aut(K) es un subconjunto, entonces Gal(K|F (C)) ⊃ C

3.2. Extensiones Normales
Hasta ahora se han definido dos construcciones: un grupo Gal(K|k) a partir
de una extensiń K|k y una extensiń K|F (G) a partir de un grupo G. Ahora
o o
bien, segń aparece en el punto 2 de la anterior observaciń, una construcciń
u o o
no es la inversa de la otra. Esto es, la transformaciń ‘extensiń’→ ‘grupo’→
o o
‘extension’. El siguiente teorema prueba que ‘grupo’→ ‘extensiń’→ ‘grupo si
o
da lugar a la identidad.
Teorema 3.9. (Artin). Si K es un cuerpo y G ⊂ Aut(K) es un subgrupo finito,
entonces:
[K : F (G)] = |G|
Corolario 3.10. Sea K|k una extensiń finita. Entonces:
o

|Gal(K|k)| ≤ [K : k]

y la igualdad se tiene si y s´lo si k es el cuerpo fijo de Gal(K|k).
o
Corolario 3.11. Sea G un subgrupo finito de Aut(K). Entonces G = Gal(K|F (G)),
es decir, todo automorfismo de K que quede fijo a F(G) est´ en G.
a
Corolario 3.12. Si G1 y G2 son subgrupos finitos de Aut(K), entonces F (G1 ) =
F (G2 ) implica que G1 = G2 .
Definiciń 3.13. Una extensiń K|k se dice normal o de Galois si es finita
o o
y
F (Gal(K|k)) = k
Definiciń 3.14. Un polinomio irreducible f (X) ∈ k[x] se dice separable si
o
no tiene ra´
ıces m´ltiples en cualquier cuerpo de descomposiciń sobre k. Un
u o
polinomio cualquiera se dice separable si todos sus factores irreducibles en
k[X] lo son.
Proposiciń 3.15. Un polinomio irreducible f (X) ∈ k[X] tiene una ra´ m´lti-
o ız u
ple α si y s´lo si α es ra´ de su derivada f (X). Por tanto, si f(X) es irreducible
o ız
ser´ separable si y s´lo mcd(f,f ) = 1.
a o
Lema 3.16. Sea K|k normal α ∈ K. Entonces el polinomio m´
ınimo de α sobre
k es separable y tiene todas sus ra´
ıces en K.

17

Teorema 3.17. Caracterizaciń de extensiones normales. Una extensiń K|k es
o o
normal si y s´lo si K es el cuerpo de descomposiciń de un polinomio separable
o o
f ∈ k[X]. En este caso se dice que Gal(K|k) es el grupo de Galois de f sobre
k.
Corolario 3.18. Sea K|k extensiń normal y k ⊂ L ⊂ K. Entonces K|L es
o
normal.

3.3. Teorema fundamental de la teor´ de Galois
ıa
Definiciń 3.19. Sea f (X) ∈ k[X] separable y K su cuerpo de descomposiciń
o o
sobre k. Entonces el grupo

Gf = { σ ∈ Aut(K) : σ|k = id }

se llama grupo de la ecuaciń f (X) = 0 o del polinomio f(X).
o
Teorema 3.20 (Teorema Fundamental de la Teor´ de Galois). Sea f (X) ∈
ıa
k[X] un polinomio separable, K su cuerpo de descomposiciń sobre k y G el
o
grupo del polinomio f(X). Sean G el conjunto de subgrupos de G y F el conjunto
de subcuerpos intermedios entre k y K. Sean las aplicaciones

Φ:F →G
L → Gal(K|L)
Ψ : G → (F )
H → F (H)

Se verifica
1. Φ y Ψ est´ bien definidas, son una la inversa de la otra e invierten las
a
inclusiones.
2. Para cada H1 ⊂ H2 ∈ G se tiene
|H2 |
= [F (H1 ) : F (H2 )]
|H1 |

3. Para cada σ ∈ G y para cada H ∈ G, Ψ(σHσ −1 ) = σ(Ψ(H))
4. H G si y s´lo si F (H)|k es normal. En ese caso se tiene que
o

Gal(F (H)|k) ≈ G/H

3.4. Cuerpos finitos
Lema 3.21. Si en un grupo abeliano existen dos elementos A y B de orden a
y b respectivamente, en el grupo hay un elemento C cuyo orden c es el m´
ınimo
comń m´ltiplo de a y b.
u u

18

Lema 3.22. Si hay un elemento C en un grupo abeliano cuyo orden c es m´ximoa
(en el caso de que el grupo sea finito), c entonces c es divisible por el orden a
de un elemento A del grupo. Por tanto, xc = 1 es satisfecho por cada elemento
en el grupo
Teorema 3.23. Si S es un subconjunto finito (S = 0) de un cierto cuerpo K,
de modo que S es un grupo bajo la operaciń de multiplicaciń en K, entonces
o o
S es un grupo c´
ıclico
Demostraciń. Sea n el orden de S y r el orden mayor detectado en S. Por tanto,
o
xr − 1 = 0 es satisfecho para todos los elementos de S segń el Lema 3.22. Dado
u
que un polinomio de grado r en un cuerpo no puede tener m´s de r ra´
a ıces, se
concluye que r ≥ n. Por otro lado, dado que el orden de cada elemento divide
necesariamente a n, se tiene que r ≤ n. En conclusiń, S es un grupo c´
o ıclico
dado por 1, 1 , 2 , . . . , n−1 .
Sea G un grupo abeliano definido por la operaciń +. Se dice que el con-
o
junto de elementos g1 , g2 , . . . , gk generan G si cualquier elemento g ∈ G puede
k
expresarse como g = ni gi . Si ningń conjunto con menos de k elementos lo-
u
i=1
gra generar G, entonces se dice que el conjunto planteado constituye un sistema
m´ınimo de generaciń. Cualquier grupo finito admite una representaciń en base
o o
a un sistema m´ınimo de generaciń. Lo mismo ocurrir´ en el caso particular de
o a
un cuerpo finito.
Teorema 3.24 (Teorema de la descomposiciń). Todo grupo abeliano con un
o
n´mero finito de generadores viene dado por el producto de los subgrupos c´
u ıcli-
cos G1 , G2 , . . . , Gn , donde el orden de Gi divide al orden de Gi+1 para i =
1, 2, . . . , n − 1 y n es el n´mero de elementos de sistema generador m´
u ınimo de
G.
Corolario 3.25. Los elementos no nulos de un cuerpo finito constituyen un
grupo c´
ıclico
Definiciń 3.26. Si un elemento a de un cuerpo K y na el elemento de K
o
obtenido al sumar a n veces. Se tendr´ que n · (n · a) = (nm) · a y (n · a)(m · b) =
a
nm · ab. Si para un elemento a = 0 existe un entero n tal que n · a = 0, entonces
n · b = 0 para todo b ∈ K, ya que n ∈ b = (n · a)(a−1 b) = 0 · a−1 b = 0.
Si existe un n´mero entero p positivo tal que p · a = 0 para todo a ∈ K.
u
Al m´ ınimo n´mero entero p que satisface la anterior propiedad y se denomina
u
caracter´ ıstica del cuerpo K. En el caso de que no exista tal n´mero, se dice
u
que K tiene caracter´ıstica 0.
Proposiciń 3.27. La caracter´
o ıstica de un cuerpo es siempre un n´mero primo.
u
Demostraciń. Si p = r · s entonces p · a = r · s · a = r · (s · a). Sin embargo,
o
s · a = b = 0 si a = 0 y r · b = 0, ya que r y s son menores que p, lo que lleva a
p · a = 0, contradiciendo la definiciń de caracter´
o ıstica.

19

Proposiciń 3.28. Si n · a = 0 para algń a = 0, entonces p divide a n.
o u
Demostraciń. Si n = p · q + r con 0 < r < p y n · a = (qp + r)a = qpa + ra. Si
o
n · a = 0 ⇒ r · a, y teniendo en cuenta la definiciń de caracter´
o ıstica, dado que
r < p, se concluye que r = 0.
Proposiciń 3.29. Si k es un cuerpo finito con q elementos y K una extensiń
o o
de k de modo que [K : k] = n, entonces K tiene q n elementos.
Demostraciń. Si ω1 , ω2 , . . . , ωn es una base de K sobre k, cada elemento de K
o
puede ser representado x1 ω1 + x2 ω2 + . . . + xn ωn , donde xi ∈ k. Dado que cada
xi puede tomar q valores diferentes, hay q n posibles elecciones de x1 , . . . , xn y,
por tanto, q n elementos distintos en E.
Proposiciń 3.30. El orden de cualquier cuerpo finito es una potencia de su
o
caracter´
ıstica
Demostraciń. Si P ≡ [0, 1, 2, . . . , p − 1] es el conjunto de m´ltiplos de un ele-
o u
mento unidad de un cuerpo k de caracter´ ıstica p. Entonces P es un subcuerpo
de K con p elementos distintos. De hecho, P es isomorfo con el cuerpo de los
n´meros enteros m´dulo p. Si K es un cuerpo finito, el grado de K sobre P es
u o
finito, i.e., [K : P ] = n y K contiene pn elementos. Dicho de otro modo, el
orden de cualquier cuerpo finito es una potencia de su caracter´ ıstica.

Definiciń 3.31. A los cuerpos finitos de q elementos tambiń se les llama
o e
cuerpos primos o cuerpos de Galois. Se representan como GF (q), donde q = pm ,
siendo p la caracter´
ıstica del cuerpo.
Teorema 3.32. En un cuerpo GF (q) de caracter´
ıstica p se cumplen las sigu-
ientes identidades
(x + y)p = xp + y p ∀x, y ∈ GF(q) (1)
r r r
(x + y)p = xp + y p ∀x, y ∈ GF(q) (2)
r r r r
(x1 + x2 + · · · + xk )p = xp + xp + · · · + xp ∀xi ∈ GF(q)
1 2 k (3)
p
Demostraciń. Para dos n´meros a, b se tiene que (a + b)p = ap +
o u ap−1 b + 1
p p−1 2 p m
2 a b + · · · + b . Si a, b ∈ GF (q = p ), todos los coeficientes son nulos, pues
son m´ltiplos de p y el cuerpo tiene caracter´
u ıstica p.
Corolario 3.33. Supongamos que un cierto α ∈ K, K extensiń de un cierto
o
cuerpo k, es una ra´ de f(x). Se cumple que αp tambiń es ra´
ız e ız
r
Demostraciń. Si f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + ar xr + · · · =
o j=0 aj xj +
· · · , con los aj ∈ k se tiene que
r r
f (αp ) = aj (αp )j + · · · = aj (αj )p + · · · = (f (α))p = 0
j=0 j=0

segń recoge el teorema 3.32
u

20

Teorema 3.34. Dos cuerpos finitos con el mismo n´mero de elementos son
u
isomorfos
Demostraciń. Si K y K son dos cuerpos finitos con el mismo orden q. Teniendo
o
en cuenta el resultado anterior, ambos cuerpos tiene la misma caracter´ıstica, ya
que q es una potencia de su caracter´
ıstica. Los m´ltiplos de un elemento unidad
u
en K y K’forma dos cuerpos P y P’que son isomorfos.
Los elementos no nulos de K y K forman un grupo de orden q-1 y, por
tanto, satisfacen la ecuaciń xq−1 − 1 = 0. Los cuerpos K y K son cuerpos de
o
descomposiciń de la ecuaciń xq−1 = 1 sobre P y P respectivamente. Segń el
o o u
teorema 3.9 el isomorfismo entre P y P lleva al isomorfismo entre K y K

3.5. Determinaciń de polinomios primitivos
o
Teniendo en cuenta la proposiciń 2.47, el modo de generar un determinado
o
cuerpo GF (q) = GF (pm ) ser´ buscando un polinomio primitivo de grado m.
a
Cada una de las ra´ del polinomio en cuestiń es un elemento primitivo cuyas
ıces o
potencias sucesivas m´dulo polinomio primitivo darń lugar los componentes
o a
de GF(q). Por tanto, una parte crucial en la construcciń de un cuerpo finito
o
ser´ la determinaciń de un polinomio primitivo.
a o

3.5.1. Ra´
ıces conjugadas
Teorema 3.35. Dado un polinomio f(x) irreducible en un cuerpo k de carac-
ter´
ıstica p = 0 y α una ra´ de f(x) sobre un cuerpo K extensiń de k, de modo
ız o
que ord(α) = n, se cumple
1. El grado de f(x) es h, i.e., gr(f (x)) = h, siendo h el menor n´mero entero
u
h
positivo para el que αp = α
2. n|ph − 1
2 h−1
ıces de f(x), α, αp , αp , . . . αp
3. Todas las ra´ son de orden n sobre K

Demostraciń. Supongamos que existen dos enteros positivos i < k para los
o
cuales las ra´
ıces de f(x) se repiten, es decir,
k i k i k−i i k−i
αp = αp ⇔ αp − αp = 0 ⇔ (αp − α)p = 0 ⇔ αp =α

Las ra´ se repiten a partir de α, por lo que efectivamente h es el menor entero
ıces
h
positivo para el que αp = α. Dado que todas las ra´ ıces son distintas, el grado
h h−1
de f(x) ser´ h. Por otro lado, αp = α ⇒ αp
a = 1, por lo que el orden de α
ha de ser un divisor de ph − 1 ⇒ n|ph − 1.
Por ultimo, el tercer punto se deriva del lema 3.22
´
Corolario 3.36. Dado un polinomio f(x) irreducible en un cuerpo k de carac-
ter´
ıstica p = 0 y α una ra´ de f(x) sobre un cuerpo K extensiń de k, tal que
ız o

21

ord(α) = n, f(x) sobre K queda factorizado como
h
h−1
f (x) = (x − αp ),
k=1

donde h es el menor entero para el que n|ph − 1
Definiciń 3.37. Se llaman ra´
o ıces conjugadas de α de orden n sobre K a
2 h−1
α, αp , αp , . . . , αp ,
h h−1
donde h es el menor entero positivo para el que αp = α ⇔ αp =1
Definiciń 3.38. Se define el orden del polinomio f(x) en K, ordK (f (x)),
o
al orden de cualquiera de sus ra´
ıces en K. Se cumple, por tanto, ordK (f (x)) =
ordK (α).
Corolario 3.39. Sea mα (x) el polinomio m´ınimo asociado a α. Para cualquier
α ∈ GF (q) se cumple ord(mα (x)) = ord(α).
Corolario 3.40. Si f(x) es un polinomio mńico e irreducible sobre Zp de grado
o
m y orden r, se cumple
m = ordZr (p),
o lo que es lo mismo, el orden de p en Zr es m
Demostraciń. Por el teorema 3.35 se sabe que el grado del polinomio, m, es el
o
menor entero positivo para el que r|pm −1, es decir, m = m´
ın{j ∈ Z+ : r|pj −1}.
Dicho de otro modo,
r|pm − 1 ⇔ pm ≡ 1 (mod r),
lo que equivale a decir que el orden de p en Zr es m.

3.5.2. Los polinomios xq − x u xq−1 − 1
Proposiciń 3.41. Sea K un cuerpo, f (x) ∈ K[x] y m, n ∈ Z+ y m, n ≥ 1,
o
entonces
mcd([f (x)]m − 1, [f (x)]n − 1) = [f (x)]mcd(m,n) − 1
De donde se sigue que

([f (x)]m − 1)|([f (x)]n − 1) ⇔ m|n

Proposiciń 3.42. Sea f(x) ∈ Zp [x] mńico e irreducible de grado d. Entonces
o o
m
f (x)|(xp − x) ⇔ d|m

22

Dado f (x) ∈ Zp [x], mńico e irreducible de grado m se diseãr´ un m´todo
o n a e
para calcular su orden. Supongamos que conocemos la factorizaciń de pm − 1,
o
k
r
p m − 1 = pr 1 · pr 2 · · · pr k =
1 2 k pj j .
j=1

Las ra´ de f(x) son elementos de GF (pm ), por tanto, su orden ha de dividir
ıces
al del grupo multiplicativo

n = ord(f (x))|(pm − 1)

En consecuencia, si sj es el menor entero para el que
pm − 1 r −s
n | s = pr 1 · · · p j j j · · · pr k
1 k
pj j
r −sj +1
se tiene que n tiene por factor a pj j . Como se cumplen las siguientes
equivalencias
pm − 1 m sj m sj
n | sj ⇔ f (x) |(x(p −1)/pj − 1) ⇔ (x(p −1)/pj ) ≡ 1 (mod f (x))
pj

Realizando pruebas se buscar´ satisfacer la ultima equivalencia para hallar los
a ´
diversos factores de n.
m
Corolario 3.43. El polinomio xq − x = xp − x ∈ Zp [x] es el producto de todos
los diferentes polinomios irreducibles de Zp [x] de grado d|m.
m m
Corolario 3.44. Los polinomios xq −x = xp −x ∈ Zp [x] y xq−1 −1 = xp −1 −1
de Z[x] quedan factorizados completamente en GF (q) y sus ra´ ıces son todos los
elementos de GF (q) = Fq y de su grupo multiplicativo F∗ . De forma matem´tica,
q a
queda recogido en
q−1
q
x −x = x (x − αj ),
j=1
q−1
q−1
x −1 = (x − αj ),
j=1

siendo α un elemento primitivo de Zp .
En definitiva, las ra´ıces de xq−1 − 1 en GF (q) son los elementos del grupo
∗
multiplicativo Fq , es decir, las ra´
ıces (q-1)-´simas de la unidad en Fq .
e
Demostraciń. El conjunto de los q − 1 elementos no nulos de GF (q) forman un
o
grupo. El orden de cada uno de los elementos de GF (q) divide a q − 1, lo que
implica que cada uno de ellos es una ra´ del polinomio xq−1 − 1. Ahora bien,
ız
este polinomio s´lo tiene q − 1 ra´
o ıces, por lo que los q − 1 elementos no nulos de
GF (q) son todas sus ra´ıces.

23

3.5.3. Herramientas de Teor´ de N´ meros
ıa u
Se van a definir una serie de conceptos utiles en el desarrollo posterior.
´
Definiciń 3.45. Dado n ∈ Z+ , se llama indicador o funciń de Euler de n
o o
a la aplicaciń
o
φ
Z+ → Z+
n → φ(n) = |{d ∈ Z+ : mcd(d, n) = 1, 1 ≤ d < n}|

Proposiciń 3.46. (Propiedades de la funciń de Euler).
o o
1. Es una aplicaciń multiplicativa, i.e., si mcd(m, n) = 1 se cumple φ(n ·
o
m) = φ(m) · φ(n)
2. Si p es primo

φ(p) = p − 1,
k 1
φ(p ) = (p − 1)pk−1 = pk (1 − ).
p

3. Si n = pk1 pk2 · · · pkm es la descomposiciń en factores primos de n, se
1 2 m o
tiene
m
1 1
φ(n) = pki (1 − ) = n
i (1 − )
i=1
pi p
p|n
p, primo

4. Para cualquier n ∈ Z+ se cumple

φ(d) = n
d|n

Proposiciń 3.47. Si G es un grupo c´
o ıclico de orden n y d ∈ Z+ es cualquier
divisor de n, existen φ(d) elementos en G de orden d. Por lo tanto, si G es
subgrupo finito de K∗ , hay φ(n) ra´
ıces n-´simas primitivas de la unidad en K
e

Corolario 3.48. Si α es un elemento primitivo de Fq , entonces αj es tambińe
primitivo si y s´lo si mcd(j, q−1) = 1. Entonces, existen exactamente φ(q−1) =
o
φ(pm − 1) elementos primitivos en Fq . En general, si d|(pm − 1) existen φ(d)
elementos en Fq de orden d.
Observaciń 3.49. Sabiendo que el orden de un elemento primitivo sobre Fq ,
o
ıstica p, es de orden pm − 1, y que el n´mero de ra´
de caracter´ u ıces conjugadas
de un polinomio primitivo definido sobre dicho cuerpo es m, el n´ mero de
u
m
polinomios primitivos vendr´ dado por φ(p m−1) .
a

24

Definiciń 3.50 (Funciń de Mo¨bius).
o o e La funciń µ de Mo¨bius es una apli-
o e
caciń
o

1
 si n=1
µ → {−1, 0, 1}, tal que µ(n) = 0 si n no est´ libre de cuadrados
a

(−1)k si n tiene k factores primos distintos


Proposiciń 3.51. Para cualquier n ∈ N, tal que n > 1 se cumple
o

µ(d) = 0
d|n

Teorema 3.52 (F´rmula de inversiń de Mo¨bius). Si f y g son dos aplicaciones
o o e
sobre N, con f (n) = g(d), entonces
d|n

n
g(n) = [f (d)]µ( ).
d
d|n

Teorema 3.53 (F´rmula multiplicativa de inversiń de Mo¨bius). Si f y g son
o o e
dos aplicaciones sobre N, con f (n) = g(d)
d|n

n
g(n) = [f (d)]µ( d ) .
d|n

Proposiciń 3.54. Para cualquier entero positivo m se cumple
o

pm = d
dNp
d|m

m
Demostraciń. A partir del corolario 3.43 se sabe que el polinomio xp −x tiene
o
por factores todos los polinomios mńicos e irreducibles sobre Zp de grado d tal
o
m
que d|m. Se cumple, por tanto, que el n´mero de ra´ de xp − x, es decir, pm
u ıces
d
es igual a la suma del n´mero d de ra´
u ıces por el n´mero de polinomios Np de
u
grado d, extendińdose la suma a todos los n´meros menores que m tales que
e u
no son factores de dicho n´mero.
u
Corolario 3.55. Sea m ∈ N. El n´mero de polinomios mńicos e irreducibles
u o
sobre Zp de grado m es

m 1 m 1
Np = pd µ( )= pm/d µ(d).
m d m
d|m d|m

Demostraciń. Si f (m) = pm y g(d) = dNp , aplicando la f´rmula de inversiń de
o d
o o
Mo¨bius a la proposiciń 3.54 se llega al resultado recogido en este corolario.
e o

25

Corolario 3.56. Sea m ∈ N. El producto de los polinomios de grado m mńicos
o
e irreducibles sobre Zp es
d−1 m/d
m −1
Pp (x) = (xp − 1)µ(m/d) = (xp − 1)µ(d) .
d|m d|m

m m
Demostraciń. Sabemos que xp −x = d|m Pp (x). Si se hace f (m) = xp −x y
o d

d
g(d) = Pp (x), aplicando la f´rmula de inversiń de Mo¨bius se llega al resultado
o o e
consignado por este corolario.

3.5.4. Polinomios ciclot´micos
o
Se supondr´ que k es un cuerpo de caracter´
a ıstica 0 o bien tiene caracter´
ıstica
que no divide a n cuando se hable de las ra´ n-´simas de la unidad en un cierto
ıces e
cuerpo K extensiń de k.
o
Definiciń 3.57. Un polinomio ciclot´mico de orden n, Qn (x) ∈ k[x], es un
o o
polinomio tal que todas sus ra´ ıces ζi sobre un cierto cuerpo K extensiń de k,
o
son las ra´
ıces de orden n de la unidad en K, esto es,

Qn (x) = (x − ζi ).
ord(ζi )

Proposiciń 3.58. El polinomio ciclot´mico de orden n viene dado por
o o

Qn (x) = (xd − 1)µ(n/d) = (xn/d − 1)µ(d)
d|n d|n

Proposiciń 3.59 (Propiedades de los polinomios ciclot´micos). Suponemos
o o
polinomios ciclot´micos sobre un cuerpo k.
o
1. Si p es primo se cumple

Qp (x) = xp−1 + xp−2 + · · · + x + 1

2. Si p es primo y r un entero positivo, se tiene
r−1 r−1 r−1 r−1
Qpr (x) = Qp (xp ) = x(p−1)p + x(p−2)p + · · · + xp +1

3. Si p es primo tal que p |n, entonces

Qn (xp )
Qpn (x) =
Qn (x)

4. Si p es primo tal que p |n y r un entero positivo, entonces
r−1
Qpr n (x) = Qpn (xp )

26

5. Si tenemos la descomposiciń en factores primos de n, n = pr1 · · · prk , se
o 1 k
satisface
r1 −1 rk −1
Qn (x) = Qp1 ···pk (xp1 ···pk )

6. Si n > 1,
Qn (x) = (1 − xn/d )µ(d)
d|n

7. Si n > 1,
1
Qn (x) = xφ(n) Qn ( )
x
, lo que permite expresar

qn,i = qn,φ(x)−i , 0 ≤ i ≤ φ(n),

donde qn,i es el coeficiente i-´simo del polinomio ciclot´mico de orden n.
e o
8. Si n > 1,
φ(n)
Qn (x) = (1 − xn/d )µ(d) (mod x 2 +1 )
d|n

Proposiciń 3.60. Sobre Zp el polinomio ciclot´mico Qq−1 (x) tiene por fac-
o o
m
tores los φ(p m−1) polinomios primitivos diferentes.
Observaciń 3.61. Uno de esos factores bastar´ para construir GF (q).
o a

4. Construcciń del cuerpo de Galois de 16 ele-
o
mentos
El cuerpo finito de 16 elementos se representa como F o GF (16) = GF (24 ).
Dicho cuerpo presenta 15 elementos no nulos. Si α es un elemento primitivo, los
elementos de GF (16) serń 0, 1, α, α2 , α3 , α4 , . . . , α15 y
a

x15 − 1 = (x − 1)(x − α2 ) · · · (x − α15 ) (4)

El orden del grupo multiplicativo es el orden del elemento primitivo, esto es, 15.
Por el teorema 3.24 sabemos que es posible expresar el grupo como producto
de subgrupos c´ıclicos. El orden de cada uno de esos subgrupos es un divisor del
orden del grupo (teorema 1.28). Dado que 15 = 3 · 5, habr´ subgrupos c´
a ıclicos
de orden 3 y 5. Los generadores de esos subgrupos aparecen en la tabla 1. El
resto de elementos de GF(15) tienen orden 15.
La ecuaciń 4 puede ser reescrita usando los polinomios ciclot´micos
o o

x15 − 1 = Q1 (x)Q3 (x)Q5 (x)Q15 (x) (5)

27

orden 3 orden 5
α5 α3
α10 α6
α9
α12

Tabla 1: Generadores de orden 3 y 5 en GF(15)

De igual modo se tiene

x5 − 1 = Q5 (x)Q1 (x)
x3 − 1 = Q3 (x)Q1 (x) (6)
x − 1 = Q1 (x)

Factorizando el polinomio ciclot´mico llegaremos a los polinomios primitivos.
o
En este caso el n´mero de polinomios primitivos es φ(15) = 2·4 = 2 y son
u 4 4

x4 + x + 1 (7)
x4 + x3 + 1 (8)

Se construir´ GF (16) empleando 7. Sea α una ra´ del polinomio primitivo.
a ız
Se cumple por tanto
f (α) = α4 + α + 1 = 0
lo que a su vez implica
α4 = α + 1
ıstica del cuerpo es 2, i.e., ∀α ∈ GF (24 ) se cumple α + α =
ya que la caracter´

28

2 · α = 0. Los 16 elementos de GF (16) serń
a

α−∞ →0
α0 →1
α1 →α
α2 → α2
α3 → α3
α4 →α+1
α5 = α4 α → α2 + α
α6 = α4 α2 → α3 + α2
α7 = α3 α4 → α4 + α3 → α3 + α + 1
α8 = α4 α4 → α5 + α4 → α2 + α + α + 1 → α2 + 1
α9 = α5 α4 → (α2 + α)(α + 1) = α3 + α2 + α2 + α → α3 + α
α10 = α5 α5 → (α2 + α)2 → α4 + α2 + 2α3 → α2 + α + 1
α11 = α6 α5 → (α3 + α2 )(α2 + α) = α5 + 2α4 + α3 → α3 + α2 + α
α12 = α6 α6 → (α3 + α2 )2 = α6 + α4 + 2α5 → α3 + α2 + α + 1
α13 = α7 α6 → (α3 + α + 1)(α3 + α2 ) = α6 + α5 + α4 + 2α3 + α2 → α3 + α2 + 1
α14 = α7 α7 → (α3 + α + 1)(α3 + α + 1) = α6 + 2α4 + 2α3 + α2 + 2α + 1 → α3 + 1

Se comprueba que, en efecto, α15 = 1, ya que α15 = αα14 ≡ α(α3 + 1) =
α4 + α ≡ α + α + 1 ≡ 1.
Si cada uno de los elementos se representa como ai αi , para ai ∈ {0, 1}
i
podemos asignar un c´digo binario a cada uno de ellos, lo que da lugar a la
o
tabla 2
Vamos a comprobar que α es ra´ de f(x). Para ello debe cumplirse que
ız
f (α) = α4 + α + 1 = 0. Dado que α ≡ 0010 y α4 ≡ 0011, y teniendo en cuenta
que GF (16) es una extensiń de GF (2), se cumple
o

0011 + 0010 + 1 = 0001 + 1 = 0

De igual forma, por el corolario 3.33 α2 , α4 y α8 tambiń han de ser ra´
e ıces:

f (α2 ) = α8 + α2 + 1 = 0101 + 0100 + 1 = 0001 + 1 = 0
f (α4 ) = α16 + α4 + 1 = α + α4 + 1 = f (α)
f (α8 ) = α32 + α8 + 1 = α2 + α8 + 1 = f (α2 ) = 0

De las operaciones efectuadas se concluye que los pares α, α4 y α2 , α8 son pares
de ra´
ıces conjugadas.
En lo que se ha expuesto han aparecido las operaciones de suma y de multi-
plicaciń. La suma de dos elementos se lleva a cabo mediante la XOR bit a bit
o
de la representaciń binaria de cada uno de los elementos de GF(16). Tambiń
o e
se puede hacer explotando una representaciń polin´mica de los elementos.
o o

29

Elemento Representaciń binaria
o Representaciń polin´mica
o o Valor decimal
α∞ 0000 0 0
α0 0001 1 1
α1 0010 x 2
α2 0100 x2 4
α3 1000 x3 8
α4 0011 x+1 3
α5 0110 x2 + x 6
α6 1100 x3 + x2 12
α7 1011 3
x +x+1 11
α8 0101 x2 + 1 5
α9 1010 x3 + x 10
α10 0111 2
x +x+1 7
α11 1110 x3 + x2 + x 14
α12 1111 x3 + x2 + x + 1 15
α13 1101 x3 + x2 + 1 13
α14 1001 x3 + 1 9

Tabla 2: C´digo binario de los elementos de GF(16)
o

Ejemplo 4.1 (Suma en GF(16)). La suma de 13 y 11 en GF(16) viene dada
por la suma de α1 3 y α7 :
Mediante representaciń binaria 13 + 11 ≡ 1101 + 1011 = 0110 ≡ 6 ≡ α5
o
Mediante representaciń polin´mica 13 + 11 ≡ x3 + x2 + 1 + x3 + x + 1 =
o o
x2 + x ≡ 6
Dado que estamos trabajando sobre GF(2), la resta es equivalente a la suma.
Por su parte, la multiplicaciń puede efectuarse de dos modos:
o
1. Mediante la representaciń base α. Sean αi y αj para i, j < 15. El producto
o
viene dado αi αj = α(i+j)(mod 15 )

2. Mediante la representaciń polin´mica. Se calcula el producto de los poli-
o o
nomios asociados a cada uno de los elementos en m´dulo f(x).Para ello
o
har´ falta calcular la divisiń de dos polinomios. En el caso de trabajar
a o
sobre la extensiń de GF(2), la divisiń consiste en buscar un potencia de
o o
x tal que al multiplicar al divisor se consiga un polinomio de igual grado
que el dividendo. A continuaciń de determina la suma en m´dulo 2 de
o o
esos dos polinomios. La operaciń se repite hasta que el grado del divi-
o
dendo sea menor al grado del divisor. El polinomio de menor grado que el
divisor es el resto que, en el caso de dividir por f(x), es la representaciń
o
del polinomio en GF(16).
Ejemplo 4.2 (Multiplicaciń en GF(16)). Se va a determinar el resultado de
o
la multiplicaciń de 11 por 14. El elemento asociado a 14 es α11 , mientras
o

30

que a 11 le corresponde α7 . Al multiplicarlos se obtiene α18 ≡ α3 ≡ 8. De
forma polin´mica, se har´ (x3 + x2 + x)(x3 + x + 1)(mod x4 + x + 1 ) =
o ıa
(x6 + x5 + x)(mod (x4 + x + 1)) = (x2 + x)f (x) + x3 (mod f (x) ) ≡ x3

31

5. Aplicaciń de los cuerpos de Galois a los cifradores
o
en flujo
Una aplicaciń directa de los cuerpos finitos en la criptograf´ la hallamos
o ıa
en los cifradores en flujo. Los cifradores en flujo llevan a cabo un cifrado de
la informaciń calculando la suma OR exclusiva de los bits de informaciń con
o o
una secuencia binaria pseudoaleatoria. Hay diversos mecanismos que llevan a
la consecuciń de secuencias binarias con caracter´
o ısticas estad´
ısticas propicias
para su explotaciń en un sistema de cifra en flujo. Uno de estos esquemas se
o
fundamenta en los registros de desplazamiento realimentados linealmente, cuyas
siglas en ingl´s son LFSR. El esquema de los LFSR se presenta en la figura 1.
e
La salida del sistema vendr´ dada por
a
∞
G(x) = ai xi (mod 2) (9)
i=0

El estado inicial del LFSR es
a−1 , a−2 , . . . , a−n .
Dado que {ai } satisface la ecuaciń de recurrencia 9
o
n
ai = ci ai−r (mod 2),
r=1

entonces
∞ n n ∞
G(x) = cr ai−r xi (mod 2) = cr xr ai−r xi−r (mod 2)
i=0 r=1 r=1 i=0
n ∞
= cr xr [a−r x−r + · · · + a−1 x−1 + ai xi ] (mod 2)
r=1 i=0

lo que lleva a
n
G(x) = cr xr [a−r x−r + · · · + a−1 x−1 + G(x)] (mod 2)
r=1

y finalmente
n n
G(x) + cr xr G(x) (mod 2) = cr xr (a−r x−r + · · · + a−1 x−1 ) (mod 2)
r=1 r=1

Expresado de otro modo,
n
cr xr (a−r x−r + · · · + a−1 x−1 )
r=1
G(x) = n (10)
1+ cr xr
r=1

32

n
donde f (x) = 1 + cr xr es el polinomio caracter´
ıstico del LFSR.
r=1
Es decir, la estructura descrita por 1 da lugar a un grupo cociente. Te-
niendo en cuenta que el objetivo es generar una secuencia binaria con buenas
caracter´
ısticas en un sentido estad´ıstico, y de m´xima longitud, f (x) ha de ser
a
tal que el grupo cociente tenga el m´ximo n´mero de elementos. Esto ocurre,
a u
seg´n hemos visto en los apartados anteriores, cuando f (x) es m´nico, m´
u o ınimo
e irreducible, esto es, cuando f (x) es un polinomio primitivo. En este caso, la
secuencia binaria de salida tendr´ un per´
a ıodo de 2n − 1.

XOR

cn
c1 c2 c3

a1
a2
a3
a4 a1-n
a
n

Figura 1: Esquema de funcionamiento de un LFSR

Referencias
[1] W.Wesley Peterson, E.J. Weldon, JR., Error-correcting codes, M.I.T press,
1972
[2] Emil Artin, Galois theory, University of Notre Dame Press, 1971

33

[3] S.W. Golomb, Shift register sequences, Holden-Day, San Francisco, 1967

34

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