1. Transformada de Laplace
Ing. Juan Sacerdoti
Facultad de Ingenier´
ıa
Departamento de Matem´tica
a
Universidad de Buenos Aires
2005
V 1.001
1
Agradecemos al Sr. Alejandro Quadrini por la transcripci´n de este documento.
o

2. ´
Indice
1. Introducci´n
o 1
1.1. ¿Qu´ es una transformada? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e 1
1.2. La aplicaci´n de la Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 2
2. Transformada de Fourier. Sus limitaciones 2
3. Funci´n de Heaviside
o 3
4. Definici´n de T.L.
o 4
4.1. Definici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 4
4.2. Notaci´n de la T.L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 5
4.3. Relaci´n entre T.L. y T.F. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 5
5. Condiciones de existencia 5
5.1. Teoremas de CV para funciones acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5.2. Convergencia absoluta. Abscisa de CV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5.3. Convergencia simple. Abscisa de CV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.4. Convergencia para funciones de orden exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.4.1. Funciones de orden exponencial (FOE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.4.2. Definici´n de funci´n CPOE . . . . . . . . .
o o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6. Propiedades b´sicas de la T.L.
a 18
6.1. Linealidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6.2. Transformada de la derivada de f ½ . Derivaci´n en t . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 19
7. Aplicaci´n de la T.L. a la resoluci´n de sistemas y ecuaciones diferenciales li-
o o
neales 19
8. Transformadas elementales 23
8.1. Constante-Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8.2. Funci´n potencial . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8.3. Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8.4. Cos, Sen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8.5. Cosh, Senh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8.6. Tabla de transformadas elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9. Propiedades de la T.L. Segunda parte 25
9.1. Integraci´n en t . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
9.2. Derivaci´n en s . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
9.3. Integraci´n en s . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
9.4. Desplazamiento en t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
9.5. Desplazamiento en s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
9.6. Cambio de t k t. Cambio de escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
9.7. Convoluci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
9.8. Transformada de funciones peri´dicas . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
9.9. Propiedades de la Transformada de Laplace. Tabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
10.Propiedades de la T.L. Tercera parte 35
10.1. Primer teorema del orden de la T.L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
10.2. Segundo teorema del orden de la T.L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
10.3. Teorema del valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
10.4. Teorema del valor final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
10.5. Propiedades del producto de convoluci´n .o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
I

3. 11.F´rmula de reciprocidad de la T.L
o 38
11.1. Teorema de reciprocidad de la T.L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
11.2. Inversi´n. Cuando las singularidades de F ÔsÕ son puntos singulares aislados
o . . . . 41
11.3. F´rmula de inversi´n cuando F ÔsÕ tiene puntos de ramificaci´n . . . . . . .
o o o . . . . 45
11.4. Teorema de Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
11.5. Ejercicios de antitransformaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . 47
12.Transformada de Laplace de Funciones Especiales 53
12.1. Funci´n at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
12.2. Funci´n logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
12.3. Funciones de Bessel J0 ÔtÕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
12.4. Funciones de Bessel Jn ÔtÕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
12.5. Relaciones entre sen y Jn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
12.6. Funciones de Bessel hiperb´licas . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
12.7. Funciones cos y sen integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
12.8. Polinomios de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
13.Resoluci´n de ecuaciones diferenciales y sistemas
o de ecuaciones diferenciales 60
13.1. ED lineales de coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
13.2. Sistemas de ED lineales con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
13.3. Ecuaciones Integro-Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
14.Aplicaciones 66
14.1. Resoluci´n del modelo EDL con coeficientes constantes . . .
o . . . . . . . . . . . . . 67
14.1.1. Ecuaci´n general en s . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . 67
14.2. Repuesta para entrada nula (movimiento libre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
14.2.1. Condiciones de estabilidad en caso de entrada nula . . . . . . . . . . . . . . 70
14.2.2. Sistemas de entrada nula no amortiguados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
14.2.3. Tabla para caso de entrada nula (movimiento libre) . . . . . . . . . . . . . 72
14.3. Respuesta para entrada forzada. iÔtÕ A (constante) . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
14.4. Respuesta para el caso general de entrada forzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
14.4.1. Respuesta a s1 , s2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
14.4.2. Respuesta a los polos de I ÔsÕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
II

4. 1. Introducci´n
o
1.1. ¿Qu´ es una transformada?
e
Dados dos espacios E y E ½ con sendas leyes de composici´n interna T y T ½ , de manera que confor-
o
men dos estructuras ÔE T Õ y ÔE ½ T ½ Õ, se llama transformada a una aplicaci´n biyectiva f : E
o E½
que establezca un isomorfismo entre las estructuras ÔE T Õ y ÔE ½ T ½Õ
Es decir:
a½
T½
a
T f
c c½
b b½
E E½
Figura 1: Isomorfismo f entre las estructuras E T y E ½ T ½ . Ô Õ Ô Õ
T : E ¢E E T ½ : E½ ¢ E½ E½
Ôa, bÕ c Ôa½ , b½ Õ c½
f: E E½ f È biyectiva
a a½
b b½
aT b a½ T ½ b ½
Por medio de la transformada se establece, entonces, un comportamiento isomorfo entre las
estructuras ÔE T Õ y ÔE ½ T ½ Õ; que permite obtener, usando la transformada f como puente, el resul-
tado de la composici´n interna T conociendo el de T ½ , o viceversa.
o
Por ejemplo, el resultado de T en E es puede obtener:
f: a a½
1o
b½
Transformando
b
2o Componiendo T ½ : Ôa½ , b½ Õ c½ a½ T ½ b ½
3o Antitransformando f ¡1 : c½ c aT b
Por supuesto que el uso de la transformada, ques se basa en la analog´ de las estructuras
ıa
isomorfas, se puede justificar solamente si el camino indirecto de: transformaci´n, composici´n y
o o
antitransformaci´n es m´s sencillo que el camino directo de la composici´n T .
o a o
Un ejemplo simple de la idea de transformada es el c´lculo logar´
a ıtmico para el producto de dos
n´ mero reales positivos.
u
1

5. a L aü
L
ab La Lb
b Lb
E R E½ R
T ¤R T½ R
Figura 2: Isomorfismo, mediante L, entre las estructuras R Ô ¤Õ y ÔR Õ.
L : R R½ L È biyectiva
a La
b Lb
a¤b La Lb
1.2. La aplicaci´n de la Transformada de Laplace
o
La transformada de Laplace (T.L.) es una aplicaci´n entre espacios de funciones.
o
Su aplicaci´n principal es que reduce las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes cons-
o
tantes, en ecuaciones algebraicas lineales.
TL Y
y
ÔÕ
EDL y EAL Y Ô Õ
E E½
Ecuaciones diferenciales TL Ecuaciones algebraicas
lineales con coeficientes lineales
constantes
Figura 3: Transformada de Laplace entre el conjunto de EDL y el de EAL.
Con lo cual se obtiene un m´todo poderoso, por r´pido y eficaz, para resolver ecuaciones
e a
diferenciales lineales de coeficientes constantes.
Adem´s, con la T.L. se resuelven con facilidad ecuaciones diferenciales de coeficientes no cons-
a
tantes en derivadas parciales y ecuaciones integrales.
Por todo esto, la T.L. es de gran aplicaci´n en los modelos de la t´cnica.
o e
2. Transformada de Fourier. Sus limitaciones
La transformada de Laplace tiene su origen en las limitaciones de la transformada de Fourier
(T.F.), de la cual es un caso particular.
Ambas transformaciones tienen en esencia las mismas propiedades, pero la T.F. tiene un conjun-
to muy limitado de funciones sobre las cuales puede ser aplicada directamente, pues sus condiciones
de existencia son muy restrictivas.
El teorema de la Integral de Fourier, que genera la T.F, es:
2

6. Teorema 2.1 (Integral de Fourier).
¸
H1 Õ f È CPßR »
»
»
»
»
 T1 Õ f ¦ ÔtÕ f Ôτ Õ e¡iωτ dτ dω

» 1
ˆ ˆ
f ½ È CPßt¡
»
»

eiωt
»
H2 Õ
» 2π ¡ ¡

»

»
f ½ È CPßt

»

»

º °

ˆ


f Ôτ Õ e¡iωτ dτ
³
»
»
³F ω
³
² Ô Õ
È » T Õ ¡ˆ
ˆ 
CV»

f dt »

»
»
 2
³ ¦
H3 Õ
V¡ » ³
ÔÕ 1
F Ôω Õ eiωt dω

» ³f t

» ±

»

» ¡
È 2π
ˆ 
f dt CV»
»
¹
V
Donde se pueden observar las expresiones de la transformada de Fourier y su antitransformada.
La hip´tesis H3 es la que trae las restricciones es la aplicaci´n de la T.F, pues la exigencia de
o o
la convergencia absoluta de f en un V y en un V¡ es muy restrictiva, tanto que funciones
fundamentales para el an´lisis como:
a
t, senÔtÕ, et
no las satisfacen.
Esto lleva la definici´n de la T.L.
o
3. Funci´n de Heaviside
o
La funci´n de Heaviside, necesaria para la T.L, se define como:
o
H : R ¡Ø0Ù R
1 t 0
t
0 t 0
y es llamada tambi´n funci´n escal´n o salto unitario.
e o o
f Ôt Õ
Õ
Ô0
t
Figura 4: Funci´n de Heaviside.
o
Observaci´n 1: La funci´n de Heaviside no se ha definido en t
o o 0, pues ello no tiene importancia.
1
Se puede, sin embargo, definir como algunos autores H : 0 2 . Tambi´n es de uso com´ n la
e u
funci´n escal´n desplazada HÔt ¡ aÕ.
o o
3

7. f Ôt Õ
Õ
Ô a
t
Figura 5: Funci´n de Heaviside desplazada.
o
4. Definici´n de T.L.
o
4.1. Definici´n
o
La transformada de Laplace es:
TL : E E½
f ÔtÕ F ÔsÕ HÔtÕ f ÔtÕ e¡xt e¡iyt dt
ˆ
¡
ˆ
HÔtÕ f ÔtÕ e¡s t dt : s x iy
¡
La transformada de Laplace es entonces una aplicaci´n del espacio E de funciones reales, sobre
o
el espacio E ½ de funciones complejas; donde f ÔtÕ se llama funci´n original y F ÔsÕ se llama funci´n
o o
transformada. A e¡s t se la denomina n´cleo de la transformaci´n.
u o
Observaci´n 1: La T.L. tambi´n se extiende como aplicaci´n de espacios complejos sobre espacios
o e o
complejos.
Observaci´n 2: En la mayor´ de los libros se define:
o ıa
ˆ
F ÔsÕ f ÔtÕ e¡s t dt
0
Efectivamente, si se toma la definici´n original se llega a este resultado:
o
ˆ ˆ
F ÔsÕ HÔtÕ f ÔtÕ e ¡s t dt f ÔtÕ e¡s t dt
¡ 0
´
Sin embargo, en el caso de funciones con desplazamiento, de tomarse la 2o expresi´n
o 0
f ÔtÕ e¡s t dt,
se obtienen resultados incorrectos.
CORRECTO
HÔt ¡ aÕ f Ôt ¡ aÕ HÔt ¡ aÕ f Ôt ¡ aÕ e¡s t dt f Ôt ¡ aÕ e¡s t dt
ˆ ˆ
¡ a
INCORRECTO (para a 0)
HÔt ¡ aÕ f Ôt ¡ aÕ HÔt ¡ aÕ f Ôt ¡ aÕ e¡s t dt f Ôt ¡ aÕ e¡s t dt
ˆ ˆ
a 0
0 a
f Ôt ¡ aÕ e¡s t dt
ˆ
a 0
0
4

8. 4.2. Notaci´n de la T.L.
o
Los s´
ımbolos que se emplean para representar a la T.L. son:
f ÔtÕ F ÔsÕ
donde siempre la funci´n se representa en t con min´ scula y en s con la misma letra may´ scula.
o u u
Otra notaci´n usual es tambi´n:
o e
L Øf ÔtÕÙ F ÔsÕ
que es menos pr´ctica que la anterior.
a
4.3. Relaci´n entre T.L. y T.F.
o
La T.L. de una funci´n f ÔtÕ
o
ˆ
f ÔtÕ F ÔsÕ HÔtÕ f ÔtÕ e¡xt e¡iyt dt : s x iy
¡
no es m´s que la T.F. de otra funci´n g ÔtÕ HÔtÕ f ÔtÕ e¡xt
a o
ˆ
g ÔtÕ HÔtÕ f ÔtÕ e¡xt GÔy Õ g ÔtÕ e¡iyt dt
TF
¡
es decir:
f ÔtÕ F ÔsÕ GÔy Õ HÔtÕ f ÔtÕ e¡xt
TF
Se puede observar claramente que la T.L. es una T.F. en la cual el problema de CV planteado
por la H3 del teorema 2.1:
H3 Õ g dx È CV
ˆ
V¡
g dx È CV
ˆ
V
se enfrenta en V¡ y en V de la siguiente manera:
1o En V¡ se multiplica f ÔtÕ por HÔtÕ, que en este vecinal es nula y por lo tanto asegura la
convergencia absoluta de g ÔtÕ.
HÔtÕ f ÔtÕ e¡xt e¡iyt dt g dx È CV
ˆ ˆ ˆ
0 dx 0
V¡ V¡ V¡
2o En V se multiplica f ÔtÕ por e¡xt , que no asegura la convergencia absoluta, pero que la
ayuda notablemente.
La existencia de la T.L. se reduce entonces al estudio de la CV en un V .
5. Condiciones de existencia
5.1. Teoremas de CV para funciones acotadas
Hay varios teoremas que estudian la existencia de la T.L:
Teorema 5.1.
¸
H1 Õ f È CP »
º T1 Õ F È CV
H2 Õ x È V f Ôt Õ
T2 Õ F È CA
M
»
H3 Õ x
¹
0
5

9. Demostraci´n.
o
§ˆ §
§ ¡st dt§ § ¡st §
f ÔtÕ e f ÔtÕ e¡xt dt
M
ˆ ˆ
x 0
§ § §e § dt M
§ § x
0
Ð Ò Ð0 Ò 0
y p
1 2
F È CV
1
M
x
F È CV F È CA
2
M
x
F È CA 0 x
El an´lisis de los valores de s para los cuales se
a
asegura como condici´n suficiente la CV y CA de
o
la T.L es, entonces, x 0.
Con una variante de la H3 del teorema anterior, haciendo x x0 0 tambi´n se asegura la
e
CU.
Teorema 5.2.
¸ °
H1 Õ f È CP »
º ³ T1
² Õ F È CV
H2 Õ x È V f Ôt Õ M T2 Õ F È CA
» ³
H3 Õ x x0 T3 Õ F È CU
¹ ±
0
Demostraci´n. An´logamente al T1 anterior
o a
§ˆ § ˆ
§ ¡st dt§ § §
f ÔtÕ e f ÔtÕ §e¡st § dt e¡xt dt
M
ˆ
x 0
§ § M
§ § x
0
Ð Ò Ð0 Ò 0
1 2
M
donde la cota x0 es independiente del x y por lo tanto asegura la CU.
y
M
È CV
s
1 F
x
2
M
F È CA F È CV
F È CA
x
1
M
F È CU F È CU
x0 0 x0 x
Es decir, si analizamos el campo de los valores de
s donde se aseguran las tesis, es el representado
en la figura.
5.2. Convergencia absoluta. Abscisa de CV
Un tercer teorema, relativo a la CA de la T.L. es:
Teorema 5.3. La CA en un valor s0 x0 iy0 es condici´n suficiente de CV, CA y CU para:
o
s : s x iy : x x0 .
°
H1 Õ F È CAßs0
· ³ T1
² Õ F È CVßs
T2 Õ F È CAßs
H2 Õ x ³
T3 Õ F È CUßs
x0 ±
6

10. Demostraci´n.
o
§ˆ §
§ §
f ÔtÕ e¡st dt§ f ÔtÕ e¡xt dt f ÔtÕ e¡x0 t dt
M
ˆ ˆ
x 0
§
§ § x
0 0 0
Ð Ò Ð Ò Ð Ò
1 2 3
y s
3 È CV por H1
F È CV
1 3 F È CUßs F È CVßs s0
F È CA
2 3 F È CAßs F È CU
0 x0 x
El campo de los valores de s donde se aseguran
las tesis, se representa en la figura.
Analizando el TCR del teorema 5.3 se tiene un resultado importante para el estudio del campo
de CA de la T.L.
Corolario 5.3.1 (TCR).
·
T2 Õ Ê CAßs0 H1 Õ Ê CAßs0
F
H2 Õ x
F
x0
Cambiando la notaci´n:
o
s s1
x x1
s0 s
x0 x
resulta la siguiente expresi´n del TCR:
o
Corolario 5.3.2 (TCR (forma alternativa)). La no convergencia absoluta en un valor s1 x1 i y1
es condici´n suficiente de no convergencia absoluta para: s : s x iy : x x1 .
o
·
T2 Õ Ê CAßs1 H1 Õ Ê CAßs
F
H2 Õ x1
F
x
y s
s1
F Ê CA
0 x1 x
Figura 6: Regi´n de no convergencia absoluta, seg´n el corolario 5.3.2.
o u
Combinando los resultados del T3 y del TCRßT3 , tenemos que existe un semiplano a la derecha
de x0 (x x0 ) donde existe la CA, y un semiplano a la izquierda de x1 (x x1 ) donde no existe
la CA.
7

11. y s
s1 s0
F Ê CA F È CA
x1 x0
x
Figura 7: Regiones de CA, no CA y franja intermedia.
Pero eligiendo un punto xint intermedio entre x1 y x0 , es decir:
xint È Ôx1 , x0 Õ
por el principio del tercero excluido, se cumple que:
1o . F È CAßxint
o
2o . F Ê CAßxint
con lo cual, en el 1o caso, por T3 :
·
F È CAßxint F È CAßs
x xint
se extiende la CA
s : x xint
s
F Ê CA F È CA F È CA
x1 xint x0
x
Figura 8: Region de CA para x xint .
Si se cumpliera el 2o caso, por TCR T3
·
F Ê CAßxint F È CAßs
x xint
se extiende la no CA
s : x xint
entonces, de una forma u otra, se reduce la franja intermedia donde est´ indefinida la CA.
a
8

12. s
F Ê CA F Ê CA F È CA
x1 xint x0
x
Figura 9: Region de no CA para x xint .
Reproduciendo este procedimiento n veces y llamando:
Con sub´
ındice par los sucesivos xint : F È CAßxint .
Con sub´
ındice impar los sucesivos xint : F Ê CAßxint .
CA CA
x1 x3 x5 x7 x4 x2 x0 x
Figura 10: Sucesi´n xn
o Ø Ùn 0 : x1 xn x0
se pueden formar dos sucesiones tal que:
x1 x0
x3 x2
x5 x4
.
. .
.
. .
x2n 1 x2n
α1 α0
1o La primera sucesi´n Øx0 , x2 , . . . , x2n , . . . Ù es mon´tona no creciente y acotada inferiormente por
o o
x1 entonces, por el teorema de Weierstrass al efecto, tiene l´ ımite para n , que coincide
con su extremo inferior α0 .
2o La segunda sucesi´n Øx1 , x3 , . . . , x2n 1 , . . . Ù es mon´tona no decreciente y acotada superior-
o o
mente por x0 entonces, por el mismo teorema, tiene l´ ımite para n , que coincide con su
extremo superior α1 .
Adem´s α1
a α0
3o Por otra parte, por el procedimiento de elecci´n del xint , se puede asegurar que:
o
ǫ 0 n0 : n n0 x2n ¡ x2n 1 ǫ
de donde resulta que:
α1 α0 α
9

13. que se llama abscisa de convergencia absoluta de la T.L. y que tiene la propiedad que:
x α F È CAßx
x α F Ê CAßx
s
F Ê CA F È CA
α
x
Figura 11: Abscisa de CA, x α.
Sobre la misma abscisa de CA (s α) no pueden hacerse aseveraciones generales en cuanto a
la CA.
Hay T.L. que convergen en x α y otras que no.
Resumiendo, el campo de CA de la T.L. es un semiplano a la derecha de α.
Observaci´n 1: N´tese la analog´ con los c´
o o ıa ırculos de CA de la serie de Taylor, y lo que sucede en
la frontera de los mismos.
Observaci´n 2: Pueden presentarse lo siguientes casos particulares de α:
o
1o α ¡ , entonces F È CA para todo el plano s.
2o α , entonces F Ê CA sobre ning´ n punto de
u s y la funci´n original no es transfor-
o
mable por T.L.
El siguiente teorema muestra la forma de encontrar la abscisa de CV.
Teorema 5.4.
L f ÔtÕ
λ λ α
t t
Demostraci´n. Por hip´tesis
o o
§
ǫ 0 t0 : t t0
§L f t
§ Ô Õ ¡ 맧§ ǫ
§ t §
Resulta entonces:
Ôλ ¡ ǫÕt L f ÔtÕ Ôλ ǫÕt
eÔλ¡ǫÕt f ÔtÕ eÔλ ǫÕt
´
Aplicando estas desigualdades sobre la integral que da la CA de la T.L: 0 f ÔtÕ e¡xt dt, resulta:
f ÔtÕ e¡xt dt eÔλ ǫÕt e¡xt dt
λ
ˆ ˆ
x λ ǫ
0 0 x ¡ Ôλ ǫÕ
Ð Ò
1
donde x λ ǫ es la condici´n de CV de la integral 1 .
o
10

14. Adem´s resulta:
a
ˆ ¡
f ÔtÕ e¡xt dt eÔλ¡ǫÕt e¡xt dt
ˆ
x λ ǫ
0 s
Ð0 Ò
2
F Ê CA F È CA
donde x λ ǫ es la condici´n de no CV de la
o
integral 2 . λ
λ¡ǫ λ ǫ x
Por lo tanto:
ǫ 0 x λ ǫ F ÔsÕ È CAßx
x λ¡ǫ F ÔsÕ Ê CAßx
resultando entonces por definici´n λ
o α, abscisa
de CA.
5.3. Convergencia simple. Abscisa de CV
Un cuarto teorema de convergencia, parecido al 5.3, pero que se refiere a la convergencia simple
de la T.L. es:
Teorema 5.5. La convergencia simple en un valor s0 x0 iy0 es condici´n suficiente de CV
o
para: s : s x iy : x x0 .
·
H1 Õ È CVßs0 TÕ È CVßs
F
H2 Õ
F
x x0 y s
s0
F È CV
Observaci´n: N´tese que la diferencia con el teo-
o o
rema 5.3 consiste en que en H1 se postula F È
CVßs0 y no F È CAßs0 , y que en H2 se postula 0 x0 x
x x0 y no x x0 .
Demostraci´n.
o
F ÔsÕ f ÔtÕ e¡st dt f ÔtÕ e¡s0 t e¡Ôs¡s0 Õt dt
ˆ ˆ
0 0
Llamando:
ϕ½ ÔtÕ f ÔtÕ e¡s0 t
Resulta:
t
ϕÔtÕ f Ôτ Õ e¡s0 τ dτ
ˆ
0
ϕÔtÕ F Ôs0 Õ
t
que es convergente por H1 , es decir, es finito.
11

15. Reemplazando ϕ½ ÔtÕ en la expresi´n anterior:
o
F ÔsÕ ϕ½ ÔtÕ e¡Ôs¡s0 Õt dt
ˆ
0
Integrando por partes resulta:
F ÔsÕ ϕÔtÕ e¡Ôs¡s0 Õt Ôs ¡ s0 Õ ϕÔtÕ e¡Ôs¡s0 Õt dt
ˆ
0
La parte integrada vale cero, pues:
ϕÔtÕ
F Ôs0 Õ : F Ôs0 Õ

M por H1
t

 e¡Ôs¡s0 Õt e¡Ôx¡x0 Õt 0
t

Entonces:
ϕÔtÕ e¡Ôs¡s0 Õt
0
t
Adem´s:
a
0
ϕÔ0Õ f Ôτ Õ e¡s0 τ dτ
ˆ
0
0
Queda entonces:
F ÔsÕ Ôs ¡ s0 Õ ϕÔtÕ e¡Ôs¡s0 Õt dt
ˆ
0
F Ôs Õ s ¡ s0 ϕÔtÕ e¡Ôx¡x0 Õt dt s ¡ s0 M
1
ˆ
0 x ¡ x0
De donde resulta la tesis.
Si analizamos el TCR de T4 se tiene:
Corolario 5.5.1 (TCR).
·
TÕ F Ê CVßs
H1 Õ Ê CVßs0
H2 Õ x x0
F
Cambiando la notaci´n:
o
s s1
x x1
s0 s
x0 x
resulta la siguiente expresi´n del TCR del teorema 5.5:
o
Corolario 5.5.2 (TCR (forma alternativa)). La no convergencia simple en un valor s1 x1 iy1
es condici´n suficiente de no convergencia simple s : s x iy : x x1 .
o
·
TÕ F Ê CVßs1
H1 Õ Ê CVßs
H2 Õ x1 x
F
12

16. y s
s1
F Ê CV
0 x1 x
Figura 12: Regi´n de no convergencia simple, seg´n el corolario 5.5.2.
o u
Combinando los resultados del teorema 5.5 y del corolario 5.5.2 en forma an´loga a lo realizado
a
para la CA, tenemos que existe un semiplano a la derecha de x0 (x x0 ) donde existe CV; y un
semiplano a la izquierda de x1 (x x1 ) donde no existe CV.
Queda una franja intermedia x1 x x0 donde est´ indefinida la CV.
a
y s
s1 s0
F Ê CV F È CV
x1 x0
x
Figura 13: Regiones de CV, no CV y franja intermedia.
A partir de aqu´ se puede repetir todo el razonamiento realizado en el p´rrafo anterior para
ı, a
definir la abscisa α de CA, estableci´ndose entonces la existencia de una abscisa β de convergencia
e
simple.
s
F Ê CV F È CV
β
x
Figura 14: Abscisa de CV, x β.
Adem´s, sobre la misma abscisa de CV (x β) tampoco pueden hacerse aseveraciones gene-
a
rales en cuanto a la CV; hay T.L. que convergen en la abscisa y otras que no.
Resumiendo, el campo de CV de la T.L. es un semiplano a la derecha de β.
Como la CA implica la CV, resulta:
Teorema 5.6.
·
α È ABS CA
β È ABS CV β α
13

17. s
F È CA
F È CV
β α x
Figura 15: Regiones de CV (x β) y CA (x α).
5.4. Convergencia para funciones de orden exponencial
5.4.1. Funciones de orden exponencial (FOE)
Se dice que una funci´n es de orden exponencial en un V
o cuando:
f È O. EXP. f Ôt Õ M ex 0 t t t0 ÔV Õ, M cte.
Las funciones que pueden acotarse por una exponencial en el V tienen asegurada la CV,
CA y CU de la T.L, que adem´s es holomorfa; proposiciones que se demuestran en el siguiente
a
important´
ısimo teorema.
Teorema 5.7 (CV de funciones de orden exponencial. “Teorem´n”).
o
°
³ T1
³
Õ F È CVßx x0
³
³
³
³ T2
³
³
³
Õ F È CAßx x0
³
³
¸
³T
³ 3
³
³
Õ F È CUßx x1
H1 Õ f È CP »
³
³
³
»
» ³
³
Õ f ÔtÕ e¡s t dt f ÔtÕ e¡s t dt
» ³
ˆ ˆ
º ² T4
H2 Õ f M e x0 t x 0 0 x
»
» ³
³
f ÔtÕ e¡s t dt f ÔtÕ e¡s t dt
» ³
ˆ ˆ
»
¹ ³
³
H3 Õ x0 x1 x ³
³
³ y y
³
³
0 0
³
³
³ T5
³
³
³
Õ F È Hßx x1
³
³
³
³
Õ f ÔtÕ e¡s t dt f ÔtÕ e¡s t dt
³
ˆ ˆ
± T6
s 0 0 s
Demostraci´n.
o
§ˆ §
§ §
F Ôs Õ f ÔtÕ e¡s t dt§ f ÔtÕ e¡xt dt e¡Ôx¡x0 Õt dt
M M
ˆ ˆ
§
x ¡ x0 x1 ¡ x0
§ § M
Ð0 Ò Ð0 Ò 0
1 2
T1 Õ F È CV Ôx x0 Õ
M
x ¡ x0
1
T2 Õ F È CA Ôx x0 Õ
M
x ¡ x0
2
T3 Õ F È CU Ôx x1 Õ
M
x1 ¡ x0
2
14

18. Observaci´n: Resulta entonces que si f
o M ex 0 t β α x0 x1
s
F È CV
F È CA
F È CU
β α x0 x1 x
Figura 16: Regiones y abscisas de convergencia para FOE.
Para estudiar las tesis T4 y T5 se descompone F ÔsÕ es partes real e imaginaria:
F ÔsÕ uÔx y Õ iv Ôx y Õ
ˆ
F ÔsÕ f ÔtÕ e¡Ôx iyÕt dt f ÔtÕ e¡xt Ôcos yt i sen ytÕ dt
ˆ
0 0
´
uÔx y Õ f ÔtÕ e¡xt cos yt dt

0
´
v Ôx y Õ
0 ¡f ÔtÕ e¡xt sen yt dt
La derivabilidad bajo el signo integral se implica con el siguiente teorema:g
¸
H1 Õ ϕÔt, αÕ È CPßt, α »
»
»
»
»
»
H2 Õ È CPßt, α
ϕ »
»
»
»
α »
º
ϕÔt, αÕ dt ϕÔt, αÕ dt
ˆ ˆ
H3 Õ ϕÔt, αÕ dt È CV
ˆ
»
» α α
V »
»
a a
»
»
»
»
»
H4 Õ ϕÔt, αÕ dt È
ˆ
»
CU»
¹
V α
En nuestro caso se aplicar´ este teorema sobre
a
ˆ
uÔx y Õ f ÔtÕ e¡xt cos yt dt
0
tomando x de par´metro.
a
15

19. Se deben verificar las cuatro hip´tesis
o
g Ôt, x, y Õ f È CPßt

(por hip´tesis)
o
H1 Õ f ÔtÕ e¡xt cos yt È CPßt, x, y e¡xt È Cßt, x

cos yt È Cßt, y


f È CPßt

t È Cßt

f ÔtÕ Ô¡tÕ e¡xt cos yt

H2 Õ È CPßt, x, y
g
x e¡xt È Cßt, x
cos yt È Cßt, y



H3 Õ f ÔtÕ e¡xt cos yt dt È CV F ÔsÕ È CV (por tesis 1)
ˆ
0
H4 Õ f ÔtÕ Ô¡tÕ e¡xt cos yt dt È CU
ˆ
0
Este resultado se demuestra porque:
§ˆ §
§ §
§
Ô Õ Ô¡tÕ e¡xt cos yt dt§§ f ÔtÕ t e¡xt dt
ˆ
§ f t
§ V § V
t e¡Ôx¡x0 Õt dt
ˆ
M
V
t e¡Ôx¡x0 Õt dt
ˆ
M
0
M M
Ôx ¡ x0 Õ2 Ôx1 ¡ x0 Õ2
Entonces, x : x x1 , se ha acotado la integral por M
Ôx1 ¡x0 Õ2 , que no depende ni de x ni de y;
por lo tanto hay CU respecto de ambas variables.
Observaci´n: La convergencia uniforme de uÔx y Õ y de v Ôx y Õ tambi´n puede demostrarse por un
o e
segundo m´todo, basado en que t es de orden exponencial, y aplicando la misma tesis T3 de este
e
teorema:
§ §
§ §
δ 0 : et t 0 §§ et §§ ǫ
δt δt
t ǫ eδt
Resulta entonces:
f ÔtÕ t M ex0 t ǫ eδt M1 eÔx0 δÕt
Eligiendo δ:
x0 δ x1
El mismo teorema que se est´ demostrando en su T3 asegura que:
a
f ÔtÕ ¤ t È CP¸
»
º
f ÔtÕ ¤ t M 1 e Ô x 0 δ Õt f ÔtÕ Ô¡tÕ e¡xt eiyt dt È CU
ˆ
¹ »
x0 δ
0
x1 x
cuya parte real es la proposici´n H4 buscada.
o
16

20. Se ha demostrado entonces que:
ˆ ˆ ˆ
f ÔtÕ Ô¡tÕ e¡xt cos yt dt
u
x x 0 0 x 0
An´logamente se demuestra que:
a
f ÔtÕ Ô¡tÕ e¡xt sen yt dt
u
ˆ ˆ ˆ
y y 0 0 y 0
f ÔtÕ Ô tÕ e¡xt sen yt dt
v
ˆ ˆ ˆ
x x 0 0 x 0
f ÔtÕ Ô¡tÕ e¡xt cos yt dt
v
ˆ ˆ ˆ
y y 0 0 y 0
con lo cual queda demostrada la cuarta tesis (T4 ).
Si se analizan las cuatro integrales anteriores se observa que:
1o Cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann
2o Son funciones continuas respecto de x y de y por ser integrando continuo.
Lo cual lleva a que la T.L es holomorfa (T5 )
¸
u v
È ß C x, y »
»
º
u iv È Hßx
x y
F x1
¡ u
y
v
x
È Cßx, y»
»
¹
F F
Adem´s como
a s x es inmediata la T6 :
F ½ ÔsÕ f ÔtÕ e¡s t dt f ÔtÕ Ô¡tÕ e¡s t dt
ˆ ˆ ˆ
s 0 0 s 0
Observaci´n: N´tese que se ha demostrado la propiedad:
o o
F ½ ÔsÕ Ô¡tÕ f ÔtÕ
sobre la cual se volver´ m´s adelante.
a a
Resulta entonces que para funciones f ÔtÕ acotadas y de orden exponencial
s : s x iy x x1
se cumplen simult´neamente:
a
F È CV
F È CA
F È CU
F ÈH
siendo v´lida adem´s la derivabilidad bajo el signo integral, respecto de x, y y s.
a a
17

21. s
F È CV
F È CA
F È CU
F ÈH
β α x0 x1 x
Figura 17: Regiones de CV, CA, CU y holomorf´ para FOE.
ıa
5.4.2. Definici´n de funci´n CPOE
o o
Por ser las hip´tesis del teorema 5.7 de una aplicaci´n posterior amplia y frecuente, es conve-
o o
niente definir la siguiente proposici´n:
o
H1 Õ f È CP

f È CPOEßx0 x1 x H Õ f

M ex 0 t
 2
H3 Õ x0 x1 x

que representa a las funciones continuas por partes y de orden exponencial sobre el intervalo
se˜ alado.
n
6. Propiedades b´sicas de la T.L.
a
La transformada de Laplace tiene dos propiedades que son las que permiten resolver sistemas
y ecuaciones diferenciales lineales con gran facilidad. Son la linealidad y la transformada de la
funci´n derivada.
o
6.1. Linealidad
Teorema 6.1. La T.L de una combinaci´n lineal es la combinaci´n lineal de las T.L.
o o
·
f1 ÔtÕ F1 ÔsÕ
λ1 f1 ÔtÕ λ2 f2 ÔtÕ λ1 F1 ÔsÕ λ2 F2 ÔsÕ
f2 ÔtÕ F2 ÔsÕ
Demostraci´n. La demostraci´n de este teorema es inmediata:
o o
ˆ ˆ
λ1 f1 λ2 f2 Ôλ1 f1 λ2 f2 Õ e¡s t dt λ1 f1 e¡s t dt f2 e¡s t dt
ˆ
λ2
0 0 0
λ1 F1 λ2 F2
Observaci´n: De este teorema se extrae inmediatamente que la T.L. es un vector. Mejor a´ n, si E ½
o u
es el conjunto de las T.L, es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los complejos (o de los reales)
con las leyes de composici´n suma de funciones y producto por un complejo.
o
¸
E½ ØF Ù »
»
»
»
ÔC, C , ¤C Õ È Cuerpo complejo »
»
»
»
»
»
»
½ ¢ E½ ½ º
T : E E
ÔE ½ , C, C , ¤C , T, sÕ È EEV (Estructura de Espacio Vectorial)
ÔF1 , F2 Õ F1 ÔsÕ F2 ÔsÕ»
»
»
»
»
»
s: C¢E ½ E ½ »
»
»
»
»
¹
Ôλ, F Õ λ F ÔsÕ
18

22. 6.2. Transformada de la derivada de f ½ . Derivaci´n en t
o
Dentro de las hip´tesis del teorema de CV para funciones CPOE (teorema 5.7) es v´lido:
o a
Teorema 6.2.
·
HÕ È CPOE f ½ Ôt Õ s F ÔsÕ ¡ f Ô0 Õ
f
H1 Õ f ÔtÕ F ÔsÕ
Demostraci´n.
o
§
f ½ ÔtÕ f ½ ÔtÕ e¡s t dt f Ôt Õ e ¡ s t § 0
s f ÔtÕ e¡s t dt
ˆ ˆ
0 0
0 ¡ f Ô0 Õ s F ÔsÕ
pues:
f ÔtÕ e¡s t 0 f ÔtÕ M ex 0 t : x x0
t
f ÔtÕ e¡s t f Ô0 Õ
t 0
A su vez, si hallamos la transformada de f ¾ ÔtÕ como transformada de la derivada de f ½ ÔtÕ,
aplicando el teorema 6.2:
·
HÕ f È CPOE f ¾ ÔtÕ s GÔsÕ ¡ g Ô0 Õ
H1 Õ f ½ ÔtÕ GÔsÕ f ¾ ÔtÕ s2 F ÔsÕ ¡ s f Ô0 Õ ¡ f ½ Ô0 Õ
y esto se puede extender por inducci´n completa a f ÔnÕ ÔtÕ, por lo cual:
o
Corolario 6.2.1.
·
HÕ È CPOE
f f ÔnÕ ÔtÕ sn F ÔsÕ ¡ sn¡1 f Ô0 Õ ¡ sn¡2 f ½ Ô0 Õ ¡ . . .
H1 Õ f ÔtÕ F ÔsÕ ¤ ¤ ¤ ¡ s f Ôn¡2ÕÔ0 Õ ¡ f Ôn¡1ÕÔ0 Õ
Obs´rvese que si las condiciones iniciales son nulas:
e
f Ô0 Õ f ½ Ô0 Õ f ¾ Ô0 Õ ¤¤¤ f Ôn¡1Õ Ô0 Õ 0
Entonces:
f ÔtÕ F Ôs Õ
f ½ ÔtÕ s F ÔsÕ
f ¾ ÔtÕ s2 F ÔsÕ
.
. .
.
. .
f ÔnÕ ÔtÕ s n F Ôs Õ
es decir, derivar n veces en el campo original t significa multiplicar por s, n veces (sn ) en el campo
transformado s.
7. Aplicaci´n de la T.L. a la resoluci´n de sistemas y ecua-
o o
ciones diferenciales lineales
Los modelos usuales en la ingenier´ y en la ciencia en general son lineales.
ıa
Ello es porque existen dos razones que se influyen mutuamente
19

23. 1o Los modelos f´
ısicos se construyen con funciones o sistemas de funciones cualesquiera,
cuya primera aproximaci´n es la lineal.
o
2o La matem´tica m´s desarrollada es la lineal.
a a
La T.L. es una herramienta especialmente util en la resoluci´n y an´lisis de ecuaciones dife-
´ o a
renciales lineales con coeficientes constantes (pero no exclusivamente) que aparecen en una gran
cantidad de problemas de ingenier´ ıa.
En el cuadro siguiente se han recopilado modelos regidos por la E.D.D.T.1 lineal con coeficientes
constantes, que conforman un conjunto de sistemas an´logos entre s´
a ı.
Se observa que se han cubierto las ramas m´s variadas de la ingenier´ desde la electricidad,
a ıa,
magnetismo, mec´nica, ac´ stica hasta la qu´
a u ımica, entre otros.
1 E.D.D.T: Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Totales.
20

24. Nombre Esquema Ecuaci´n
o VAR COEF Descripci´n
o
s e a b c
s salida
Modelo eÔtÕ s Ôt Õ a s¾ b s ½ c s eÔtÕ e entrada
Sistema SISTEMA
General a coeficiente de s¾
b coeficiente de s½
c coeficiente de s
i/q corriente/carga
t
L i½ R i u Ôt Õ
1
ˆ
L R
Electricidad i dt u tensi´n
o
C 0
Circuito
i
Serie
L q¾ R q½ uÔtÕ
u C 1
q L inductancia
C
R resistencia
1ßC 1/capacidad
u tensi´n
o
t
C u½ u iÔtÕ
1 1
ˆ
Electricidad C i1 u dt i corriente
R L 0
Circuito
Paralelo
R i2 i
L i3
L inductancia
u 1ßR 1/resistencia
1ßC 1/capacidad
Magnetismo φ
x desplazamiento
Mec´nica
a c x½
m x½ c x½ k x f Ôt Õ f fuerza excitante
x
Vibraciones
Longitudinal
f
m masa
c cte. amortiguamiento
m x¾
kx
k cte. el´stica
a
ϕ desplazamiento angular
Mec´nica
a ϕ
I ϕ¾ c ϕ½ µ ϕ MÔtÕ M par excitante
Vibraciones
c ϕ½
Torsi´n
o
µϕ M
I momento de inercia
I ϕ¾ c cte. amortiguamiento
µ cte. el´stica torsional
a
x desplazamiento
Mec´nica
a I x¾ c x½ µ x f Ôt Õ f fuerza excitante
Vibraciones
Torsi´n
o l
f I momento de inercia
x
c cte. amortiguamiento
µ cte. el´stica torsional
a
V volumen de desplazamiento
M V ¾ Ra V ½ P ÔtÕ
1
MV¾
Ac´ stica
u V P presi´n exterior
o
P1 Ca
Resonador
V P
Helmholtz P3 1
V
Ca
M coef. de inercia ac´ stica
u
P2 Ra V ½ Ra resistencia ac´ stica
u
1ßCa 1/capacidad ac´ stica
u
Cuadro 1: Modelos de la f´
ısica regidos por E.D.D.T. lineales con coeficientes constantes.
21