Este documento presenta la transformada de Laplace y su uso para resolver ecuaciones diferenciales. Explica que la transformada de Laplace puede convertir ecuaciones diferenciales complejas en problemas algebraicos simples. Luego, demuestra el teorema de la transformada de la derivada y cómo puede cancelar derivadas multiplicando por la variable s elevada al orden de la derivada. Finalmente, resuelve dos ejercicios usando la transformada de la derivada de Laplace para encontrar soluciones explícitas.

1. UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS
CARRERA DE QUÍMICA REDISEÑO
Transformada de la Derivada
Integrantes:
Rosa Chacón
Alisson Morales
Ismael Arévalo
2022-2023
Grupo: 2 Profe: Carlos Mayorga
OBJETIVOS:
-Indagar la definición de la transformada de la derivada con Laplace para el desarrollo de ejercicios y su
teorema.
-Utilizar el concepto del teorema de Laplace para la aplicación de este en las derivadas dando soluciones
explicitas.

2. Laplace
• Es una herramienta matemática que fue formulada para solucionar
gran variedad de problemas de inicial-valor. Su estrategia es
transformar las ecuaciones diferenciales difíciles en problemas
simples del álgebra donde las soluciones se puedan obtener
fácilmente.

3. Transformada de la derivada.
Teorema de la transformada de la derivada:
su finalidad es cancelar la derivada del orden que
sea con tan solo multiplicar la variable s elevada al
orden de la derivada por la función y le resta sus
condiciones iniciales.
Transformadas de las tres primeras derivadas:

4. Demostració
n
o Sea f(t) una función de orden exponencial, continua para todos t≥0.
o f(t) es de orden exponencial si existe S€R tal que:
o Sea f´(t) es continua a trozos para t>0, entonces:

5. EJERCICIO
1
Resolver la ecuación diferencial con la transformada de la deriva de Laplace
y’’+9y=0 con y(0)=-2 ; y’(0)=3
𝐿 𝑦′′ + 𝐿 9𝑦 = 𝐿 0
𝐿 𝑦′′ = 𝑠2
𝐿 𝑦 − 𝑠𝑦 0 − 𝑦′(0)
𝑠2𝐿 𝑦 − 𝑠𝑦 0 − 𝑦′ 0 + 9𝐿 𝑦 = 0 𝑠2𝐿 𝑦 − 𝑠 −2 − 3 + 9𝐿 𝑦 = 0
𝑠2
𝐿 𝑦 + 9𝐿 𝑦 = 3 − 2s
(𝑠2
+9)𝐿 𝑦 = 3 − 2s
𝐿 𝑦 =
3 − 2𝑠
𝑠2 + 9
𝑦 = 𝐿−1
3 − 2𝑠
𝑠2 + 9
𝑦 = 𝐿−1
3
𝑠2 + 9
−2𝐿−1
𝑠
𝑠2 + 9
𝐿−1
𝑘
𝑠2 + 𝑘2
= 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡)
𝐿−1
𝑠
𝑠2 + 𝑘2 = cos(𝑘𝑡)
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛3𝑡 − 2𝑐𝑜𝑠3𝑡

6. EJERCICIO
2
Calcular 𝐿 𝑐𝑜𝑠𝑡
Sabemos que 𝑐𝑜𝑠𝑡 =
𝑑
𝑑𝑡
𝑠𝑒𝑛𝑡 .
Entonces 𝑦′ = 𝑐𝑜𝑠𝑡 ; 𝑦 =
𝑠𝑒𝑛𝑡
𝐿 𝑦′ = 𝑠𝐿 𝑦 − 𝑦(0)
𝐿 𝑐𝑜𝑠𝑡 = 𝑠𝐿 𝑠𝑒𝑛𝑡 − 𝑠𝑒𝑛(0)
𝐿 𝑐𝑜𝑠𝑡 = 𝑠𝐿 𝑠𝑒𝑛𝑡
𝐿−1
𝑘
𝑠2 + 𝑘2
= 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡)
𝐿 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑡 =
𝑘
𝑠2 + 𝑘2
𝐿 𝑐𝑜𝑠𝑡 = 𝑠
1
𝑠2 + 1
𝐿 𝑐𝑜𝑠𝑡 =
𝑠
𝑠2 + 1
CONCLUSIONES
- Se indago la definición de la
transformada de la derivada de Laplace
resultando ser un teorema que nos puede
ayudar a dar soluciones a ecuaciones
diferenciales de una manera mas sencilla.
- Se utilizó el concepto de la transformada
de la derivada de Laplace para la
resolución de dos ejercicios de ecuaciones
diferenciales en los cuales se pudo
observar su gran versatilidad para la
resolución de problemas.

7. • Loaiza, S. (05 de Agosto de 2013). Transfromada de la place. Obtenido de
https://es.slideshare.net/saulolaf/transformada-de-una-derivada
• Matlab. (s.f.). Tranformada de la place . Obtenido de
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/simbolico/laplace/laplace.html
• Nodo. (19 de Enero de 2022). La transfromada de la place. Obtenido de
https://blogs.ugto.mx/rea/clase-digital-5-la-transformada-de-
laplace/#:~:text=Teorema%20de%20la%20transformada%20de,le%20resta%20sus
%20condiciones%20iniciales
• Pozo, M. (s.f.). La Transfromada de la place. Obtenido de
http://canek.uam.mx/Ecuaciones/Teoria/6.Laplace/ImpTDerivada.pdf
Bibliografía