1. MÉTODO DE LAGRANGE
JOSEPH LOUIS LAGRANGE
Bachiller:
Jhoswar Espinoza
C.I.: 21.247.461
Docente:
Amelia Malave
2. JOSEPH LOUIS LAGRANGE
• Bautizado como Giuseppe Lodovico Lagrangia. Matemático,
físico y astrónomo francés. Trabajó para Federico II el Grande
de Prusia, en Berlín, durante veinte años. Demostró el Teorema
del valor medio, desarrolló la Mecánica Lagrangiana y tuvo una
importante contribución en Astronomía.
3. MÉTODO DE LAGRANGE
• En los problemas de optimización, los multiplicadores de Lagrange,
nombrados así en honor a Joseph Louis Lagrange, son un método para
trabajar con funciones de varias variables que nos interesa maximizar o
minimizar, y está sujeta a ciertas restricciones. Este método reduce el
problema restringido en n variables en uno sin restricciones de n + 1
variables cuyas ecuaciones pueden ser resueltas.
• Este método introduce una nueva variable escalar desconocida, el
multiplicador de Lagrange, para cada restricción y forma una combinación
lineal involucrando los multiplicadores como coeficientes. Su demostración
involucra derivadas parciales, o bien usando diferenciales totales, o sus
parientes cercanos, la regla de la cadena. El fin es, usando alguna función
implícita, encontrar las condiciones para que la derivada con respecto a las
variables independientes de una función sea igual a cero.
4. TEOREMA OPTIMIZACION CON
RESTRICCIONES
Transforma el problema original a uno equivalente sin restricciones
mediante los multiplicadores de Lagrange.
Minimizar 𝐹 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛
Sujeto a 𝒉 𝒌 𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐, … , 𝒙 𝒏 =0 k=1,2,…,K
Se transforma en:
𝑳 𝒙, 𝒗 = 𝒇 𝒙 −
𝒊=𝟏
𝑲
𝒗𝒊 𝒉𝒊 𝒙
Solución: encontrar el mínimo de L(x,v) en función de v y ajustar v para
satisfacer las restricciones. => Se obtiene un sistema de ecuaciones
cuya solución es el óptimo de la función original.
5. TEOREMA OPTIMIZACION CON
RESTRICCIONES
• Sistema con N+K ecuaciones y N+K incógnitas (x y v):
• 𝜕𝐿
𝜕𝑥 𝑖
= 0 𝑖 = 1, … , 𝑁
• ℎ 𝑘(𝑥) = 0 k= 1, … , 𝑁
• Para saber si es máximo o mínimo se calcula la matriz Hessiana de L
con respecto a x:
• – Si H L(x;v) es definida positiva => mínimo
• – Si H L(x;v) es definida negativa => máximo
6. EJERCICIO PRACTICO ENCONTRANDO EL
PUNTO CRITICO
Metodo de multiplicadores de LaGrange para determinar los
puntos criticos de la funcion sujeta a la restriccion: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 25 −
𝑥2 − 𝑦2 con la restricción 𝑥2+𝑦2 − 4𝑦 = 0
• 𝑓 𝑥, 𝑦 = 25 − 𝑥2 − 𝑦2 y 𝑥2+𝑦2 − 4𝑦 = 0
• 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝜆)=25 − 𝑥2 − 𝑦2 + 𝜆 𝑥2+𝑦2 − 4𝑦 𝐹𝑥 𝑥, 𝑦, 𝜆 = 2𝑥 + 2𝜆𝑥
• 𝐹𝑦 𝑥, 𝑦, 𝜆 = −2𝑦 + 𝜆 2𝑦 − 4 𝐹𝜆 𝑥, 𝑦, 𝜆 = 𝑥2+𝑦2 − 4𝑦
7. EJERCICIO PRACTICO
Ajustando 𝐹𝑥 𝑥, 𝑦, 𝜆 = 0, obtenemos 𝜆=1 o X=0. Ajustando
𝐹𝑦 𝑥, 𝑦, 𝜆 = 0 vemos que 𝜆=1 es imposible. Ajustando 𝐹𝜆 𝑥, 𝑦, 𝜆 =
0 y con X=0 obtenemos y= 0 y y= 4.
Por lo tanto, el punto critico es (0,0) y (0,4)
