El documento describe el uso de la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales. Explica que la transformada de Laplace puede convertir ecuaciones diferenciales complejas en problemas algebraicos simples. Luego presenta el teorema de la transformada de la derivada y lo aplica para resolver dos ejercicios de ecuaciones diferenciales, obteniendo soluciones explícitas. Concluye que la transformada de Laplace es una herramienta útil para resolver ecuaciones diferenciales de manera más sencilla.

1. UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS
CARRERA DE QUÍMICA REDISEÑO
Transformada de la Derivada
Integrantes:
Alejandro Chávez
2022-2023
Grupo: 2 Profe: Carlos Mayorga
OBJETIVOS:
-Indagar la definición de la transformada de la derivada con Laplace para el desarrollo de ejercicios y su
teorema.
-Utilizar el concepto del teorema de Laplace para la aplicación de este en las derivadas dando soluciones
explicitas.

2. Laplace
• Es una herramienta matemática que fue formulada para solucionar gran variedad
de problemas de inicial-valor. Su estrategia es transformar las ecuaciones
diferenciales difíciles en problemas simples del álgebra donde las soluciones se
puedan obtener fácilmente.

3. Transformada de la derivada.
Teorema de la transformada de la derivada:
su finalidad es cancelar la derivada del orden que sea con
tan solo multiplicar la variable s elevada al orden de la
derivada por la función y le resta sus condiciones iniciales.
Transformadas de las tres primeras derivadas:

4. Demostración
o Sea f(t) una función de orden exponencial, continua para todos t≥0.
o f(t) es de orden exponencial si existe S€R tal que:
o Sea f´(t) es continua a trozos para t>0, entonces:

5. EJERCICIO 1
Resolver la ecuación diferencial con la transformada de la deriva de Laplace
y’’+9y=0 con y(0)=-2 ; y’(0)=3
𝐿 𝑦′′ + 𝐿 9𝑦 = 𝐿 0
𝐿 𝑦′′ = 𝑠2𝐿 𝑦 − 𝑠𝑦 0 − 𝑦′(0)
𝑠2𝐿 𝑦 − 𝑠𝑦 0 − 𝑦′ 0 + 9𝐿 𝑦 = 0 𝑠2𝐿 𝑦 − 𝑠 −2 − 3 + 9𝐿 𝑦 = 0
𝑠2𝐿 𝑦 + 9𝐿 𝑦 = 3 − 2s
(𝑠2+9)𝐿 𝑦 = 3 − 2s
𝐿 𝑦 =
3 − 2𝑠
𝑠2 + 9
𝑦 = 𝐿−1
3 − 2𝑠
𝑠2 + 9
𝑦 = 𝐿−1
3
𝑠2 + 9
−2𝐿−1
𝑠
𝑠2 + 9
𝐿−1
𝑘
𝑠2 + 𝑘2 = 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡)
𝐿−1
𝑠
𝑠2 + 𝑘2 = cos(𝑘𝑡)
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛3𝑡 − 2𝑐𝑜𝑠3𝑡

6. EJERCICIO 2
Calcular 𝐿 𝑐𝑜𝑠𝑡
Sabemos que 𝑐𝑜𝑠𝑡 =
𝑑
𝑑𝑡
𝑠𝑒𝑛𝑡 .
Entonces 𝑦′
= 𝑐𝑜𝑠𝑡 ;𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑡
𝐿 𝑦′ = 𝑠𝐿 𝑦 − 𝑦(0)
𝐿 𝑐𝑜𝑠𝑡 = 𝑠𝐿 𝑠𝑒𝑛𝑡 − 𝑠𝑒𝑛(0)
𝐿 𝑐𝑜𝑠𝑡 = 𝑠𝐿 𝑠𝑒𝑛𝑡
𝐿−1
𝑘
𝑠2 + 𝑘2
= 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡)
𝐿 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑡 =
𝑘
𝑠2 + 𝑘2
𝐿 𝑐𝑜𝑠𝑡 = 𝑠
1
𝑠2 + 1
𝐿 𝑐𝑜𝑠𝑡 =
𝑠
𝑠2 + 1
CONCLUSIONES
- Se indago la definición de la
transformada de la derivada de Laplace
resultando ser un teorema que nos puede
ayudar a dar soluciones a ecuaciones
diferenciales de una manera mas sencilla.
- Se utilizó el concepto de la transformada
de la derivada de Laplace para la
resolución de dos ejercicios de ecuaciones
diferenciales en los cuales se pudo
observar su gran versatilidad para la
resolución de problemas.

7. • Loaiza, S. (05 de Agosto de 2013). Transfromada de la place. Obtenido de
https://es.slideshare.net/saulolaf/transformada-de-una-derivada
• Matlab. (s.f.). Tranformada de la place . Obtenido de
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/simbolico/laplace/laplace.html
• Nodo. (19 de Enero de 2022). La transfromada de la place. Obtenido de
https://blogs.ugto.mx/rea/clase-digital-5-la-transformada-de-
laplace/#:~:text=Teorema%20de%20la%20transformada%20de,le%20resta%20sus%20condici
ones%20iniciales
• Pozo, M. (s.f.). La Transfromada de la place. Obtenido de
http://canek.uam.mx/Ecuaciones/Teoria/6.Laplace/ImpTDerivada.pdf
Bibliografía