Este documento presenta el análisis y aplicaciones de la transformada de Laplace. Introduce la definición, propiedades y aplicaciones de la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales. También presenta ejemplos numéricos de la transformada de Laplace utilizando MATLAB.

1. Analysis and applications of The Laplace Transform
Jefferson Steven Padilla Ramos
Departamento de Ingeniería Eléctrica
Universidad Politécnica Salesiana
Quito-Ecuador
jpadilla@ups.edu.ec
Katherine Alexandra Andrade Granja
Departamento de Ingeniería Eléctrica
Universidad Politécnica Salesiana
Quito-Ecuador
kandradeg@ups.edu.ec
Christian Ivan Gomez Gonzalez
Departamento de Ingeniería Eléctrica
Universidad Politécnica Salesiana
Quito-Ecuador
cgomezg1@ups.edu.ec
William Patricio Echeverría Pasquel
Departamento de Ingeniería Eléctrica
Universidad Politécnica Salesiana
Quito-Ecuador
wecheverriap@ups.edu.ec
Abstract— In this article we present the Laplace transform
through its dentition, its properties and its applications.
However, usually nothing is done to try to understand it as a
synonym. This kindof understanding of problems is important
for a professional to be able to solve them efficiently when
presented. That is, it is only possible to give the best solution to
a problem of any kindwhen it is fully understood, including the
theoretical aspect of it. On the other hand, it is necessary to
understand well the theoretical concepts to apply them
correctly to the solution of practical problems, and this last
aspect is strongly benefitedif interpretations of the theoretical
results are made. Normally, no interpretation of the Laplace
transform is mentionedin the books forengineers. AMATLAB
program is also presented that allows verifying this idea
numerically.
Keywords— Laplace, Matlab, applications, transform.
I. INTRODUCCIÓN
n este artículo se plantea un análisis de la transformada
de Laplace a la solución de ecuaciones diferenciales, se
presentará una descripción del método por el cual una
ecuación diferencial “en el dominio del tiempo” se
transforma en una ecuación algebraica en el “dominio de la
frecuencia”, Varios casos serán estudiados y ejemplificados
de modo que se destaque como al aplicar la transformada.
La función 𝑓(𝑥) = 𝑥2
se transforma, según sea el caso, en
una función lineal, en una familia de funciones polinomiales
cúbicas, y en una constante gracias a operaciones
matemáticas conocidas como:
William Fernando Guapucal Villamarin
Departamento de Ingeniería Eléctrica
Universidad Politécnica Salesiana
Quito-Ecuador
wguapucal@est.ups.edu.ec.
Katherie Stefany Cahuatijo Yedra
Departamento de Ingeniería Eléctrica
Universidad Politécnica Salesiana
Quito-Ecuador
kcahuatijo@ups.edu.ec
Víctor Arturo Quevedo Maldonado
Departamento de Ingeniería Eléctrica
Universidad Politécnica Salesiana
Quito-Ecuador
vquevedom1@est.ups.edu.ec
Jose Ruben Columba Condor
Departamento de Ingeniería Eléctrica
Universidad Politécnica Salesiana
Quito-Ecuador
jcolumba@ups.edu.ec
diferenciación, integración indefinida e integración definida:
𝑑
𝑑𝑥
𝑥2
, ∫ 𝑥2
𝑑𝑥 =
1
3
𝑥3
+ 𝑐, ∫ 𝑥2
3
0
𝑑𝑥 = 9
Entre las transformaciones más usuales que operan con
funciones f(x) cumpliendo condiciones adecuadas en I=[a,
b], para obtener otras funciones en I[1] [2]:
 La operación D de derivación: 𝐷[ 𝑓(𝑥)] = 𝑓′(𝑥)
 La operación I de integración: 𝐼[ 𝑓(𝑥)] = ∫ 𝑓( 𝑡) 𝑑𝑡
𝑥
𝑎
 La transformación 𝑀𝑔 definida por:
𝑀𝑔[ 𝑓(𝑥)] = 𝑔( 𝑥). 𝑓(𝑥). Siendo 𝑔( 𝑥) una función
concreta
Propiedades básicas de la transformada de Laplace:
Las siguientes son algunas de las propiedades fundamentales
de la transformada de Laplace:
1) La transformada de Laplace es lineal, es decir:
ℒ{ 𝑓1
( 𝑡) + 𝑓2
( 𝑡)} = ℒ{ 𝑓1
( 𝑡)} + ℒ{ 𝑓2
( 𝑡)} = 𝐹1
( 𝑠) + 𝐹2 (𝑠)
Y
ℒ{ 𝑘𝑓( 𝑡)} = 𝑘ℒ{ 𝑓( 𝑡)} = 𝑘𝐹( 𝑠); 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑘
2) La transformada de Laplace de las derivadas cumple la
propiedad:
ℒ{ 𝑓′(𝑡)} = 𝑠𝐹( 𝑠) − 𝑓(0)
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑓(0) 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑓( 𝑡), 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 0.
ℒ{ 𝑓′′(𝑡)} = 𝑠2
𝐹( 𝑠) − 𝑠𝑓(0) − 𝑓′(0)
E

2. 𝐸𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙
ℒ{ 𝑓(𝑛)
(𝑡)} = 𝑠 𝑛
𝐹( 𝑠) − 𝑠
( 𝑛−1)
𝑓(0)−. .. −𝑓(𝑛−1)
(0)
3) El “teorema del valor final”, establece que
lim
𝑡→∞
𝑓( 𝑡) = lim
𝑠→∞
𝑠𝑓( 𝑡)
𝐹𝑎𝑐𝑖𝑙𝑖𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑓( 𝑡) 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒
𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟, 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑓( 𝑡).
4) El “teorema del valor inicial”, señala que
lim
𝑡→0
𝑓( 𝑡) = lim
𝑠→∞
𝑠𝑓( 𝑡)
Y permite la determinación del valor de 𝑓( 𝑡) en el tiempo
𝑡 = 0+
, es decir, en el instante inmediatamente después de
𝑡 = 0.
Las propiedades 1) a 4) son las más utilizadas en el análisis
de sistemas.
Para regresar al dominio del tiempo desde el dominio de
Laplace, se utiliza la Transformada inversa de Laplace. Esto
es análogo ha como se utilizan los antilogaritmos, cuando
trabajamos con logaritmos.
Transformadas de algunas funciones básicas:
El cálculo directo de la transformada de una función
mediante su definición no es, en general, sencillo.
No obstante, para algunas funciones elementales como las
constantes, exponenciales, trigonométricas, hiperbólicas y
potenciales, es factible, con sencillos cálculos, obtener sus
transformadas [3] [5].
a) ℒ{1} =
1
𝑠
𝑏) ℒ{ 𝑡 𝑛} =
𝑛!
𝑠 𝑛+1
, 𝑛 = 1,2,3, …
𝑐)
ℒ{ 𝑒 𝑎𝑡} =
1
𝑠 − 𝑎
𝑑) ℒ{ 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑡} =
𝑘
𝑠2 + 𝑘2
𝑒) ℒ{ 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑡} =
𝑠
𝑠2 + 𝑘2
𝑓) ℒ{ 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑘𝑡} =
𝑘
𝑠2 − 𝑘2
𝑔) ℒ{ 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑘𝑡} =
𝑠
𝑠2 − 𝑘2
Ejemplo 1:
Evalúe ℒ{ 𝑒−3𝑡}
∫ 𝑒−𝑠𝑡
𝑒−3𝑡
𝑑𝑡
∞
0
(1)
∫ 𝑒−(𝑠+3)𝑡
𝑑𝑡
∞
0
(2)
=
−𝑒−(𝑠+3)𝑡
𝑠 + 3
]
∞
0
(3)
=
1
𝑠 + 3
(4)
𝑠 > −3 (5)
El resultado derivado del hecho de que
lim
𝑡→∞
𝑒−(𝑠+3)𝑡
= 0 para 𝑠 + 3 > 0 𝑜 𝑠 > −3
II. ANÁLISISY APLICACIONESDE LA TRANSFORMADA DE
LAPLACE
A. Integración de la Transformada de Laplace
Sea 𝑓 𝜖 𝐸 𝑦 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛
𝑔( 𝑡) = ∫ 𝑓( 𝑠) 𝑑𝑠
𝑡
0
Que obviamente esta bien definida y es continua para todo
𝑡 𝜖 [0, +∞). La relación entre las transformadas de Laplace
de ambas funciones viene de dada de la siguiente manera.
En las condiciones anteriores, para todo 𝑧 ∈ 𝐷 ∗ 𝑓 ∩ {𝑧 ∈
𝐶:ℝ 𝑒𝑧 > 0}
ℒ[ 𝑔]( 𝑧) =
ℒ[ 𝑓]( 𝑧)
𝑧
Sean 𝑥 > 0 y consideremos
0 = 𝑥0 < 𝑥1 < ⋯ < 𝑥𝑛 − 1 < 𝑥𝑛 = 𝑥 De manera que 𝑓
no es continua en 𝑥𝑖 para 1 ≤ 𝑖 < 𝑛. Obviamente 𝑔 es
derivable en (𝑥𝑖, 𝑥𝑖 + 1) para 1 ≤ 𝑖 < 𝑛 [1] [3] [6]
B. Convolución de funciones y Teoremas
La convolución de funciones nos permite relacionar la
transformada del producto con el producto de funciones. La
definición de convolución de funciones para la transformada
de Laplace [4] [1].
𝑆𝑒𝑎𝑛 𝑓, 𝑔: ℝ+
→ ℝ. 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
ℒ[ 𝑓 ∗ 𝑔] = ℒ[ 𝑓]. ℒ[ 𝑔], 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒
( 𝑓 ∗ 𝑔)( 𝑡) = ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑔( 𝑡 − 𝑥) 𝑑𝑥
𝑡
0
Es el producto de convolución de f y g.
1. FUNCIÓN ESCALÓN
𝑓( 𝑡) = 𝐴, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 > 0 𝑦 𝑓( 𝑡) = 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 < 0
ℒ[ 𝑓( 𝑡)] = ∫ 𝐴𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡
∞
0
=
−𝐴𝑒−𝑠𝑡
𝑠
]
∞
0
=
𝐴
𝑠
= 𝐹(𝑠)
2. FUNCIÓN RAMPA
𝑓( 𝑡) = 𝐴𝑡, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 > 0 𝑦 𝑓( 𝑡) = 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 < 0
ℒ[ 𝑓( 𝑡)] = ∫ 𝐴𝑡𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡
∞
0
=
𝐴
𝑠
∫ 𝑒−𝑠𝑡
∞
0
=
𝐴
𝑠2
= 𝐹(𝑠)

3. 3. FUNCIÓN EXPONENCIAL
𝑓( 𝑡) = 𝐴𝑒−𝑠𝑡
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 > 0 𝑦 𝑓( 𝑡) = 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 < 0
ℒ[ 𝑓( 𝑡)] = ∫ 𝐴𝑡𝑒−𝑎𝑡
𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡
∞
0
= 𝐴 ∫ 𝑒−( 𝑎+𝑠) 𝑡
∞
0
=
𝐴
𝑠 + 𝑎
= 𝐹(𝑠)
4. FUNCIÓN SENOIDAL
𝑓( 𝑡) = 𝐴𝑠𝑒𝑛 (𝑤𝑡), 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 > 0 𝑦 𝑓( 𝑡) = 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 < 0
ℒ[ 𝑓( 𝑡)] = ∫ 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡) 𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡
∞
0
= 𝐴 ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑒−𝑠𝑡
∞
0
=
𝐴𝑤
𝑠2 + 𝑤2
= 𝐹(𝑠)
5. DERIVACIÓN
ℒ [
𝑑
𝑑𝑡
𝑓(𝑡)] = 𝑠𝐹( 𝑠) − 𝑓(0)
ℒ [
𝑑2
𝑑𝑡2
𝑓(𝑡)] = 𝑠2
𝐹( 𝑠) − 𝑠𝑓(0) − 𝑓′(0)
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑓(0) = 𝑓( 𝑡) 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡 = 0, 𝑦 𝑓′ (0)
=
𝑑
𝑑𝑡
𝑓( 𝑡) 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡 = 0
6. INTEGRACIÓN
ℒ [∫ 𝑓( 𝑡) 𝑑𝑡
𝑡
0
] =
𝑓(𝑠)
𝑠
C. Transformada de Laplace de funcionesperiódicas
En el caso de las funciones periódicas que tengan
transformada de Laplace, el cálculo de la integral se reduce
al de una integral ordinaria [2] [6].
𝑆𝑒𝑎 𝑓: ℝ → ℝ 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠
𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑦 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝑇, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
ℒ[ 𝑓( 𝑥)] =
1
1 − 𝑒−𝑇𝑠
∫ 𝑒−𝑠𝑥
𝑇
0
𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑠 > 0
III. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
Para la formulación del problema comenzaremos analizando
el comportamiento y la estabilidad de un sistema antes de
que sea construido o implementado. Muchas técnicas se
centran en la utilización de variables transformadas que
facilitan el tratamiento matemático del problema [3] .
En el análisis de sistemas dinámicos continuos predomina la
utilización de la transformada de Laplace.
Aplicar la transformada de Laplace es análogo a utilizar
logaritmos para simplificar ciertos tipos de manipulaciones
matemáticas y soluciones. Al tomar los logaritmos, los
números se transforman en potencias de 10 (o de la base),
digamos: logaritmos naturales. Como resultado de tales
transformaciones, las multiplicaciones y divisiones se
transforman en sumas y restas, respectivamente [1] [6].
De manera semejante, la aplicación de la transformada de
Laplace al análisis de sistemas que se pueden describir por
ecuaciones diferenciales ordinarias, lineales, evita la
complejidad que rodea a la solución de éstas en el dominio
del tiempo [6] [4].
La transformada de Laplace se utiliza para convertir
relaciones en el dominio del tiempo, en un conjunto de
ecuaciones expresadas en función del operador ‘s’ de
Laplace. En consecuencia,la solución del problema original
se halla por simples manipulaciones algebraicas en el
dominio ‘s’ de Laplace en lugar del dominio del tiempo.
IV. CONCLUCIONES Y FUTUROS TRABAJOS
El documento planteado está considerando el correcto
conocimiento del análisis y aplicaciones de la transformada
Laplace, la cual es una propiedad muy útil para resolver
ecuaciones lineales con coeficientes constantes, a la vez
permite el cálculo de la transformada de algunas funciones.
A partir de las definiciones matemáticas de la transformada
de Laplace, según la cual, una función no periódica esta
formada por la suma de muchas funciones sinusoidales de
diferente frecuencia y “amortiguadas” con la misma taza
exponencial. Para ilustrar esta interpretación se ha propuesto
un método de cálculo numérico del par de transformadas de
Laplace y se ha usado para el caso de tres funciones
diferentes: integración de la transformada de Laplace,
funciones periódicas y Convolución de funciones y
Teoremas Finalmente, se analizan los resultados obtenidos y
se encuentra que concuerdan con las ideas presentadas en
este trabajo [3] [5].
V. ANÁLISIS DE RESULTADOS
A continuación se presenta un programa de MATLAB en el
que se usan las ideas expuestas en este trabajo para calcular
la transformada de Laplace y la transformada inversa de
Laplace de una función del tiempo especıfica [7] [6].
Algoritmo para resolver la transformada de Laplace
en MATLAB
>> laplace (f (t)) % comando laplace
Paso 1: clear all; % Elimina variables utilizadas en
otras rutinas
Paso 2: f(t) = cos(wt)+sen(wt) % función a calcular
Paso 3: >> syms w t
>> Laplace (cos (w*t)+sin (w*t))
% funcion tranascrita en matlab
Paso 4:
ans =
s/(s^2+w^2)+w/(s^2+w^2) % Solución
Este programa ha sido usado para obtener las graficas de la
última sección.

4. Algoritmo de optimización de BS y uso de enlaces
Paso 1: clear all; % Elimina variables utilizadas en
otras rutinas
w = logspace (-1, 3, 1000); % Rango de frecuencias
a = 1; b = (w - 1./w); z = a + i*b; % Número complejo
subplot (2, 2, 1); % Parte real
semilogx (w, real(z), 'b', 'LineWidth', 2); % Curva en
azul de grosor 2
xlabel ('Frecuencia angular (rad/s)', 'FontName',
'Times', 'Fontsize', 14); % Abs
ylabel ('Parte real', 'FontName', 'Times', 'Fontsize',
14); % Ord
axis ([10^(-1) 10^3 (1/3)*min(real(z))
(3/2)*max(real(z))]); % Área de dibujo
grid on; % Malla
subplot (2, 2, 2); % Parte imaginaria
Paso 2: semilogx (w, imag(z), 'b', 'LineWidth', 2); %
Curva en azul de grosor 2
xlabel ('Frecuencia angular (rad/s)', 'FontName',
'Times', 'Fontsize', 14); % Abs
ylabel ('Parte imaginaria', 'FontName', 'Times',
'Fontsize', 14); % Ord
axis ([10^(-1) 10^3 (1/3)*min(imag(z))
(3/2)*max(imag(z))]); % Área de dibujo
grid on; % Malla
subplot (2, 2, 3); % Módulo
Paso 3: semilogx (w, abs(z), 'b', 'LineWidth', 2);
% Curva en azul de grosor 2
xlabel ('Frecuencia angular (rad/s)', 'FontName',
'Times', 'Fontsize', 14); % Abs
ylabel ('Módulo', 'FontName', 'Times', 'Fontsize', 14);
% Ord
axis ([10^(-1) 10^3 (1/3)*min(abs(z))
(3/2)*max(abs(z))]); % Área de dibujo
grid on; % Malla
subplot (2, 2, 4); % Fase
Paso 4:semilogx (w, angle(z), 'b', 'LineWidth', 2); %
Curva en azul de grosor 2
xlabel ('Frecuencia angular (rad/s)', 'FontName',
'Times', 'Fontsize', 14); % Abs
ylabel ('Fase (rad)', 'FontName', 'Times', 'Fontsize',
14); % Ord
axis ([10^(-1) 10^3 -3*pi/4 3*pi/4]); % Área de dibujo
grid on; % Malla
Paso 5:clear all; % Elimina las variables utilizadas en
esta rutina
Figura. 1. Representación de algoritmo en MATLAB[7]
Figura. 1. Graficas en MATLAB[7]
REFERENCIAS
[1] Formulas y tablas de la matematicaaplicada", M. R. Spiegel, J.
Liu y L. Abellanas, Mc Graw Hill, 2000.
[2] Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado", D. G.
Zill, International Thomson Editores, 1997.
[3] Metodos matematicos avanzados para ciencias e ingenieras", M.
Gadella y L.M. Nieto.
[4] R. Bronson, Ecuaciones diferenciales. Serie de Compendios
Schaum, McGraw Hill, diversas ediciones.
[5] Matemáticas avanzadas para ingeniería, vol. 1: Ecuaciones
diferenciales
[6] D.G. Zill, Ecuaciones diferenciales conaplicaciones de modelado.
Octava Ed. Thomson, 2007
[7] Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior
de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO
.
Biografía
VICTOR ARTURO
QUEVEDO MALDONADO
Electrical engineering in college Universidad
Politécnica Salesiana
Ecuador.
e-mail: vquevedom1@est.ups.edu.ec
KATHERINE ALEXANDRA
ANDRADE GRANJA
Electrical engineering in college Universidad
Politécnica Salesiana
Ecuador.
e-mail: kandradeg@ups.edu.ec

5. JEFFERSON STEEVEN PADILLA RAMOS
Electrical engineering in college Universidad
Politécnica Salesiana
Ecuador.
e-mail: jpadilla@ups.edu.ec
WILLIAM FERNANDO
GUAPUCAL VILLAMARIN
Electrical engineering in college Universidad
Politécnica Salesiana
Ecuador.
e-mail: wguapucal@est.ups.edu.ec
JOSE RUBEN COLUMBA CONDOR
Electrical engineering in college Universidad
Politécnica Salesiana
Ecuador.
e-mail: jcolumba@ups.edu.ec
KATHERINE STEFANY CAHUATIJO
YEDRA
Electrical engineering in college Universidad
Politécnica Salesiana Ecuador.
e-mail: kcahuatijo@ups.edu.ec
CHRISTIAN IVAN GOMEZ GONZALEZ
Electrical engineering in college Universidad
Politécnica Salesiana Ecuador.
e-mail: cgomezg1@ups.edu.ec
WILLIAM PATRICIO ECHEVERRIA PASQUEL
Electrical engineering in college Universidad
Politécnica Salesiana Ecuador.
e-mail: wecheverriap@ups.edu.ec