Este documento trata sobre álgebra lineal y ecuaciones diferenciales. Explica la convolución de funciones y la transformada de Laplace, incluyendo su definición, teorema de convolución y propiedades. Luego presenta ejercicios prácticos sobre el uso de la convolución y la transformada inversa de Laplace para resolver problemas aplicativos.

1. ÁLGEBRA LINEAL Y ECUACIONES
DIFERENCIALES
FORMACIÓN POR COMPETENCIAS
Convolución de fuciones
Y Transformada de
Laplace

2. Objetivos
 Definir la convolución de dos funciones.
 Calcular la transformada inversa de Laplace,
aplicando el teorema de convolución.
 Aplicar los métodos estudiados a diferentes
problemas aplicativos del contexto real.

4. Producto convolutivo
Sean 𝒇 y 𝒈 funciones continuas por partes para
𝒕 ≥ 𝟎. La convolución de 𝒇 y 𝒈, que se denota
𝒇 ∗ 𝒈, se define como:
𝒇 ∗ 𝒈 𝒕 = 𝒇 𝝉
𝒕
𝟎
𝒈 𝒕 − 𝝉 𝒅𝝉
Propiedades:
Sean 𝒇; 𝒈; y 𝒉 tres funciones continuas por partes
para 𝒕 ≥ 𝟎, se cumple:
1) 𝒇 ∗ 𝒈 = 𝒈 ∗ 𝒇
2) 𝒇 ∗ 𝒈 + 𝒉 = 𝒇 ∗ 𝒈 + (𝒇 ∗ 𝒉)
3) 𝒇 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 = 𝒇 ∗ (𝒈 ∗ 𝒉)
4) 𝒇 ∗ 𝟎 = 𝟎

5. Teorema de convolución
Sean 𝒇 y 𝒈 funciones continuas por partes para 𝒕 ≥ 𝟎
y de orden exponencial 𝜶; sean 𝑭 𝒔 = 𝓛 𝒇 𝒕 (𝒔) y
𝑮 𝒔 = 𝓛 𝒈 𝒕 (𝒔) entonces:
𝓛 (𝒇 ∗ 𝒈)(𝒕) 𝒔 = 𝑭 𝒔 . 𝑮(𝒔)
O, de manera equivalente:
ℒ−𝟏
𝑭 𝒔 𝑮(𝒔) 𝒕 = (𝒇 ∗ 𝒈)(𝒕)

6. Ejercicios
1) Use el teorema de convolución para determinar:
a) 𝓛−𝟏 𝟏
𝒔 𝟐+𝟏
𝟐
b) 𝓛−𝟏 𝒔+𝟏
(𝒔 𝟐+𝟏) 𝟐
Solución

7. Ejercicios
2) Use el teorema de convolución para evaluar cada
una de las siguientes transformadas de Laplace:
a) 𝓛 𝒆−𝒓𝒕
𝟎
𝒄𝒐𝒔𝒓𝒅𝒓
b) 𝓛 𝒆 𝟐𝒕 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝒕
Solución:

8. Ejercicios
3) Determine 𝓛−𝟏 𝒆−𝟐𝒔
𝒔 𝟐 y bosquejar su gráfica.
4) Halle la solución de: 𝒕𝒚′′ − 𝒚′ = 𝒕 𝟐, 𝒚 𝟎 = 𝟎
5) Halle 𝒇(𝒕) para la siguiente ecuación integral:
𝒇 𝒕 + 𝒇 𝝉 𝒅𝝉
𝒕
𝟎
= 𝟏
Solución

9. Bibliografía
2. Differential Equations For Engineers – Wei Chau
Xie
3. Fundamentals of Differential Equations –
Nagle,Kent; Saff, Edward; Snider, Arthur
1. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de
modelado- Dennis G. Zill
4. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones – Jaime
Escobar A.