3 entrega proyecto

Universidad Distrital Francisco José de caldas
Facultad de Ingeniería
Ingeniería Eléctrica-Sistemas de Análisis Dinámicos
1

Resumen— El presente trabajo muestra los lineamientos
básicos del anteproyecto de sistema térmico con control on-
off y enfriador con calefactor, también se muestra los
conceptos y nociones básicas a seguir en la elaboración del
proyecto tanto en la organización de tiempo como las
formas en que se aplicara los conceptos de control y
modelado matemático general para nuestra aplicación.
También se dará a conocer la metodología y las actividades
a desarrollar durante el semestre en curso. Finalmente se
dará a conocer las limitaciones y las ventajas que poseen
estos sistemas frente a un sistema térmico común.
Abstract— The present work shows the basic outline of the
preliminary thermal system on-off control with heater and
cooler, the basic concepts and to follow in the drafting of
both the organization and the ways notions time is also
shown in that apply the concepts of control and general
mathematical modeling for our application. He also will
present the methodology and the activities carried out
during the semester. Finally he will release the limitations
and advantages possessed by these systems to a common
thermal system.
I. INTRODUCCIÓN
ontrolar la temperatura interna de una habitación mediante
un sistema de control on-off, que costa de tres sensores,un
calefactor y un enfriador. En la actualidad Se emplean diversos
sistemas eléctricos, electrónicos, mecánicos, térmicos entre
otros, que permiten ejercer un control sobre determinado
parámetro (control de giro de un motor cc, temperatura de una
habitación etc.). Al llevar el sistema a una representación
matemática (representación abstracta), permite que se logre de
alguna manera predecir el comportamiento del sistema real
mediante variaciones en los parámetros de entrada de dicho
sistema.
Se determinaran la(s) variable(s) de entrada (no controladas)y
los diferentes dispositivos con que se relacionaran, que
permitan obtener la temperatura deseada en la habitación
(variable controlada); Se llevara el sistema lo más aproximado
posible a un modelo matemático que mediante simulaciones
permita de una u otra forma predecir la temperatura de la
habitación ante determinados factores de entrada en los
dispositivos que conforman el sistema. Se creara un modelo a
escala de la planta (habitación) que permita comparar los datos
obtenidos en el modelo matemático y simulación(es).
II. OBJETIVOS
A. Objetivo General:
Modelar e implementar un sistema de control on-off que
permita obtener la temperatura deseada para una habitación,
utilizando tres sensores, un calefactor y un enfriador.
B. Objetivos Específicos:
1. Montar una planta que nos permita cumplir con las
especificaciones físicas del proyecto, garantizando un
correcto uso de los componentes a utilizar.
2. Desarrollar el modelado matemático en base a cada uno de
los elementos utilizados en el montaje del sistema térmico.
3. Confrontar el comportamiento de la respuesta en
temperatura con respecto al tiempo, en la planta montada
frente al modelo matemático propuesto.
4. Diseñar e implementar un sistema de control apropiado a las
necesidades del proyecto.
5. Garantizar la veracidad del modelo matemático.
III. MARCO TEÓRICO
Los sistemas térmicos son aquellos que involucran la
transferencia de calor de una sustancia a otra. Estos sistemas se
analizan en términos de resistencia y capacitancia, aunque la
capacitancia térmica y la resistencia térmica tal vez no se
representen con precisión como elementos de parámetros
concentrados, dado que, por lo general, están distribuidas en
todas las sustancias.Para lograr análisis precisos,deben usarse
modelos de parámetros distribuidos.
Sin embargo, para simplificar el análisis, aquí supondremos que
un sistema térmico se representa mediante un modelo de
parámetros concentrados, que las sustancias que se caracterizan
mediante una resistencia al flujo de calor tienen una
capacitancia térmica insignificante y que las sustancias que se
Modelado matemático y control on-off de un
sistema de temperatura
Manuel Fernando Fajardo, Jaime Augusto Sánchez Pava, Derwin Leonardo Obando;
(20121007124) ;(20122007002) ;(20122007020)
C

2
caracterizan por una capacitancia térmica tienen una resistencia
insignificante al flujo de calor.
El calor fluye de una sustancia a otra de tres formas diferentes:
por conducción, por convección y por radiación. Aquí sólo
consideraremos la conducción y la convección. (La
transferencia de calor por radiación sólo se aprecia si la
temperatura del emisor es muy alta en comparación con la del
receptor. La mayor parte de los procesos térmicos en los
sistemas de control de procesos no involucran transferencia de
calor por radiación.) [1]
A. Sistema De control on-off.
Los controladores “Todo/Nada” son los más básicos sistemas
de control. Estos envían una señal de activación (“On”,
“Encendido”) cuando la entrada de señales menor que un nivel
de referencia definido previamente y desactiva la señalde salida
(“No”, “Apagado” o “0”) cuando la señal de entrada es mayor
que la señal de referencia.
Los controladores Todo/Nada son utilizados en termostatos de
aire acondicionado. Estos activan el aire frio (“On”) cuando la
temperatura es mayor que la de referencia y lo desactivan
(“Off”) cuando la temperatura ya es menor (o igual) que la de
referencia.
Si tenemos una señal de salida del controlador u(t) y una señal
de error e(t), en el control de dos posiciones, la señal u(t)
permanece en un valor ya sea máximo o mínimo, dependiendo
de si la señal de error es positiva o negativa.
𝑢( 𝑡) = 𝑈1, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒(𝑡) > 0
𝑢(𝑡) = 𝑈2 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒(𝑡) < 0
En donde 𝑈1 y 𝑈2 son constantes. Por lo general, el valor
mínimo de 𝑈2 es cero o menos 𝑈1. [2]
Fig. 1. Diagrama de bloques de un controlador Encendido-Apagado.
Fig. 2. Diagrama de señal de controlador ON-OFF mediante una señal de
entrada sinusoidal.
Características del sistema de control ON-OFF:
1. Modo de control depende del signo del error.
2. Variación cíclica continúa de la variable controlada.
3. El controlador no tiene la capacidad para producirun valor
exacto en la variable controlada para un valor de
referencia.
4. Tiene un simple mecanismo de construcción,por eso este
tipo de controladores es de amplio uso,y mayormente son
utilizados en sistemas de regulación de temperatura. [3]
B. Sistema de control retroalimentado
Estos sistemas también denominados sistemas de control de
lazo cerrado, en estos sistemas se mantienen una relación
predeterminada entre la salida y la entrada de referencia,
comparándolas y usando la diferencia entre estas para poder
establecer su medio de control. En estos sistemas, se alimenta
al controlador, la señal de error de actuación, el cual es la
diferencia que hay entre la señal de entrada y la señal de
realimentación, esto se hace con el fin de reducir el error
presentado en su modelo y así poder llevar la salida del sistema
a un valor deseado. En la siguiente figura se podrá apreciar el
diagrama de bloques que se presenta comúnmente en un sistema
de lazo cerrado.
Fig. 3. Diagrama de bloques para un sistema de lazo cerrado.
Además en un sistema de lazo cerrado se puede destacar 2
características esenciales con respecto a las desventajas de los
sistemas de lazo abierto:
1. Las perturbaciones,los ruidos y los cambios en la calibración
originan errores, y la salida puede ser diferente de lo que se
desea, lo cual origina errores y provoca que el sistema no
represente idóneamente las condiciones que describen lo
sucedido en un evento.
2. Para mantener la calidad requerida en la salida, es necesaria
la re calibración del sistema de vez en cuando.
C. Perturbaciones
Una perturbación es una señal que tiende afectar negativamente
el valor de la salida de un sistema. Si la perturbación se genera
dentro del sistema se denomina interna, mientras que una

3
perturbación externa se genera fuera del sistema y es una
entrada.
D. Comparador o detector de error
Este dispositivo se encarga de comparar el valor de referencia
con el valor obtenido de la realimentación. El resultado de dicha
comparación constituye el error de funcionamiento o
desviación de la salida con relación al valor previsto. Para
realizar tal comparación se utilizan diversos procedimientos
tecnológicos según sea eltipo de señales a comparar (eléctricos,
neumáticos, posición, etc.,)
E. Transductoro Detector
Consiste en un dispositivo capaz de medir en cada instante el
valor de la magnitud de salida y provee una señal proporcional
a dicho valor. Normalmente todo transductor consta de dos
partes diferenciadas: El captador o sensor, cuya finalidad es
captardirectamente la magnitud medida (presión, nivel, caudal,
temperatura, velocidad, posición, iluminación, etc.).
El transmisor, que transforma la magnitud vista por el captador
en una señal, generalmente eléctrica o neumática, que se
enviará al detector de error. Por ejemplo, en un transductorde
proximidad capacitivo, el captadordetectará la presencia de un
objeto en sus proximidades por la modificación del propio
campo eléctrico generado. Esta variación del campo generará
una corriente eléctrica en el elemento transmisor y que
constituirá la señal de realimentación que llegará al
comparador.
F. Señal de Referencia o Consigna
Es una señal externa de control y, con ella, imponemos el valor
deseado en la señal salida. Un ejemplo de generador de
referencia es el selector de temperatura en el control de
temperatura de una habitación. La señal de referencia es una
posición que está directamente relacionada con la variable de
salida que es la temperatura.
G. Función de Transferencia:
Ya sabiendo si se empleara lazo abierto, cerrado o ambos se
debe conocer la dinámica del sistema y eso se hace por medio
de ecuaciones para relacionar el comportamiento de una
variable con respecto a otra y una forma de realizarlo es
relacionar la variable de entrada con la variable de salida
denotada como:
𝐺( 𝑠) =
𝑌(𝑠)
𝑈(𝑠)
Donde G(s) es la función de transferencia que permite
relacionar la función de salida Y(s), con la función de entrada
U(s) [4].
H. Modelo Matemático Usado en análisis térmicos.
Los sistemas térmicos rigen su comportamiento basado en la
ley de conservación de la energía: la energía calorífica
introducida ha de ser igual a la energía almacenada más las
pérdidas por transmisión. Dos elementos se emplearán para
describir los procesos de transmisión del calor y de
acumulación de la energía calorífica: la resistencia térmica y la
inercia o capacitancia térmica. [5]
Resistencia Térmica:
En la transmisión del calor hay tres maneras de producirse:
conducción, convección y radiación. En el modelado los
sistemas térmicos, las transferencias de calor sólo en su mayor
parte se darán por conducción y muy rara vez por convención.
Estos procesos de transferencia de calor pueden ser expresados
a través de la resistencia térmica, ésta se define como:
𝑅 𝑇𝐻 =
𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎
𝐶𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟
=
𝑑𝑇
𝑑𝑞
La resistencia térmica es igualada a la división entre la
diferencia de la temperatura y el cambio de flujo de calor. “La
dirección del flujo será en la dirección del foco caliente al frío:”
𝑞 =
∆𝑇
𝑅 𝑇𝐻
Capacitancia Térmica:
La inercia térmica nos da la capacidad que tiene una sustancia
en almacenar energía térmica. Por ejemplo, al calentar un
tanque con agua, la temperatura del agua indicará el nivel de
energía almacenada en ese momento y la inercia térmica
señalará la cantidad de energía que hay que ceder desde el
exterior al tanque, para que se produzca un incremento en la
temperatura del tanque. “La capacitancia se define como la
relación entre el calor entregado a una sustancia y la variación
de temperatura producida:
𝐶 𝑇𝐻 =
𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑚𝑎𝑐𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜
𝐶𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎
La potencia calorífica estará definida por la inercia térmica y
por la variación de la temperatura con el tiempo.
𝑞 = 𝐶 𝑇𝐻 𝑇
La capacitancia térmica estará relacionado con la masa de la
sustancia que almacena la energía térmica, m, y con su calor
específico, c:” [6]
𝐶 𝑇𝐻 = 𝑚𝑐
G. Sensores:
Los sensores son una parte fundamental en el sistema ya que a
través de estos se medirán las variables, estas variables son muy

4
importantes pues nos permiten identificar el estado actual del
mesurando, para que luego nuestro controlador las interprete y
tome las medidas necesarias ante las necesidades requeridas.
Los sensores son dispositivos que transforman una energía a
otra, por ejemplo censar la temperatura y debido a un proceso
interno entrega en su salida una cantidad física equivalente con
lo censado, ellos hacen la interacción entre el mundo físico y
los sistemas de medición y control. Son utilizados con el
propósito de medir, monitorear, controlar, y en general para
obtener datos.
Se realizan sensores eléctricos para casi cualquier variable, sea
eléctrica o no. Debido a las características de la materia, la
variación de un parámetro como temperatura, humedad,
presión, etc., viene siempre acompañado por la variación de un
parámetro eléctrico resistivo, capacitivo, inductivo, etc.
Además la trasmisión de señales eléctricas es más confiable,
limpia y versátil que la mayoría de señales. Por esto en la
práctica son los sensores preferidos.
Funcionamiento. Para los sensores de señal de salida eléctrica
la obtención de esta se da mediante el uso de un transductor
primario y en algunos casos es necesario el uso de uno o más
transductores secundarios.
La función principal del transductor primario es convertir la
variable física a medir en una variable más sencilla de
manipular, sin que esta sea necesariamente eléctrica. Los
transductores secundarios se encargan de tomar la salida del
transductor primario, acondicionando y amplificando su señal.
Las diferentes etapas de los sensores implementan protecciones
contra voltajes elevados, interferencias (electromagnéticas,
radiofrecuencia), humedad, temperaturas altas. Y generalmente
todas sus especificaciones tanto de funcionamiento como
físicas, se presentan en un documento.
Tipos de Sensores:
Sensores activos: se emplean para medir señales débiles, y
tienen una fuente de energía.
Sensores pasivos: pueden realizar una función básica de
transducción sin la intervención de una fuente de energía, Ej.
Los termopares generan un voltaje de salida proporcional a la
temperatura aplicada.
H. Sensor de Temperatura LM35
Este sensor permite medir la temperatura, no se hace necesaria
la implementación de circuitos externos para su calibración,
este hecho y su salida lineal hace posible que esté integrado sea
instalado fácilmente en un circuito de control.
Para el proyecto se utilizaran tres, por lo tanto se realizara el
censo de los resultados de los tres lm35, y se promediaran a
través de amplificadores operacionales.
Características importantes
 Precisión de 0.5⁰C a 25⁰C
 Baja corriente de alimentación. I=60𝜇𝐴
 Un auto calentamiento de 0.1⁰C, con aire estático
 Bajo costo
Debido a su rango de operación la salida seria entre 0-2.05V,
por lo tanto es apropiado para su interpretación amplificar la
señalobtenida porel sensor,para esto se implementa un circuito
amplificador con el cual también se puede modificar el offset.
Fig. 4. Implementación del sensor LM35 con Arduino [7].
I. Calefactor Eléctrico
Para elevar la temperatura se debe utilizar un calefactor en este
caso uno eléctrico (resistencia eléctrica). Una resistencia
eléctrica transforma la energía eléctrica en energía calorífica, al
hacer circular corriente eléctrica a través de un conductor se
libera calor por la resistencia. El calentamiento puede ser
directo e indirecto cuando las piezas se calientan por radiación,
convención o una combinación de estas dos. La finalidad es
calentar el aire por lo tanto será calentamiento indirecto.
En la industria es mucho más frecuente el calentamiento
indirecto por resistencias eléctricas.Existencias diferentes tipos
de resistencias eléctricas de calentamiento indirecto así como
de diversos materiales y se clasifican de la siguiente manera:
Metálicas:
Los diferentes materiales utilizados para la fabricación de
resistencias se muestran en la Tabla 1, estos materiales se
pueden clasificar en dos grandes grupos:
i. Aleaciones de base Ni-Cr.
Donde tenemos 80% de níquel y un 20% de cromo como la
combinación más común. Esta aleación soporta temperaturas
muy altas (1000%), esta combinación es necesaria para generar
calor, es resistente a impactos y es inoxidable.
ii. Aleaciones Fe-Cr-Al

5
Se utilizan en hornos especiales de alta temperatura, dentro de
sus inconvenientes se encuentra la difícil utilización de
soldaduras, además del continuo crecimiento del grado de
funcionamiento da lugar a una progresiva fragilidad de las
resistencias.
J. Ventiladores
Un ventilador es una máquina que pone el aire en movimiento.
Se define como una máquina que trasmite energía para generar
la presión necesaria para mantener en flujo continuo de aire.
Caudal:
Se define como la cantidad de Fluido que pasa por unidad de
tiempo, para nuestro caso el aire.
Presión estática:
Presión del aire debida solo a su grado de compresión. Puede
ser positiva o negativa.En el ventilador es la diferencia entre la
presión estática de salida y la presión total a la entrada.
Presión dinámica:
Presión del aire debida solo a su movimiento. La presión
dinámica puede ser solo positiva. En el ventilador será la
correspondiente al promedio de las velocidades a la salida del
ventilador.
Presión total:
Presión del aire debida a su compresión y movimiento. Es la
suma algebraica de las presiones dinámica y estática en un
punto determinado. Por lo tanto, si el aire está en reposo, la
presión total es igual a la presión estática. En el ventilador será
la diferencia entre las presiones totales determinadas a la salida
y a la entrada del mismo.
Ventiladores Axiales:
Son aquellos en los cuales el flujo de aire sigue la dirección del
eje del mismo. Se suelen llamar helicoidales, pues el flujo a la
salida tiene una trayectoria con esa forma. En líneas generales
son aptos para mover grandes caudales a bajas presiones. Con
velocidades periféricas medianamente altas.
Ventiladores Centrífugos:
Son aquellos en los cuales el flujo de aire cambia su dirección,
en un ángulo de 90°, entre la entrada y salida. Se suelen sub-
clasificar, según la forma de las palas o álabes del rotor, de la
siguiente manera:
Leyes del Ventilador
Si en un ventilador dado se mantiene constante la densidad del
aire, este cumple con:
-
𝑄1
𝑄2
=
𝑛1
𝑛2
-
𝑝𝑒1
𝑝𝑒2
= |
𝑛1
𝑛2
|
2
-
ℎ𝑝1
ℎ𝑝2
= |
𝑛1
𝑛2
|
3
IV. METODOLOGÍA-ACTIVIDADES
En primera instancia, la realización del proyecto se hará en
varias etapas,las cuales se realizaran a lo largo del semestre en
curso.La primera será la realización del anteproyecto en donde
se dará a conocer las nociones básicas del proyecto junto con la
descripción de las características del sistema a modelar para
nuestro proyecto “Modelado matemático y control on-off de un
sistema de temperatura con enfriador y calefactor”, después del
desarrollo de la primera parte del proyecto, seguiremos con el
desarrollo tanto del montaje del proyecto, como el modelado y
simulaciones respectivas hechas mediante MATLAB y
Simulink hasta su presentación final y validación.
TABLA I
CARACTERÍSTICAS PRINCIPALES DE LA ALEACIÓN.
Las actividades del proyecto se llevaran de la siguiente manera:
Actividad 1 “Recopilar información”

6
Recopilación de temas referentes a sistemas de controltérmicos
para empezar a elaborar el anteproyecto y por consiguiente el
proyecto.
Actividad 2 “Elaboración del anteproyecto”
Tener como Referencia un modelo lo más similar posible al
planteado para tomarlo como base y empezar con toda la parte
del anteproyecto.
Actividad 3 “Seleccionar materiales”
Escoger de todas las posibilidades que se dieron a partir del
anteproyecto, cual de todas estas es la mejor, para mejorar
nuestros resultados.
Actividad 4“Elaboración de la Planta”
Elaborar el sistema (habitación) que nos permita de una forma
real observarlos cambios en la variable de salida (temperatura)
cuando los parámetros de entrada son modificados.
Actividad 5 “Definir variables y elaboración del esquema”
Definir las variables de entrada salida y los diferentes
dispositivos que se relacionan con ellas, y así determinar las
ecuaciones de estado que nos permitan tener la noción
matemática del comportamiento del sistema.
Actividad 6 “Modelo Matemático”
Relacionar todas las ecuaciones de estado del sistema, crear un
esquema de bloques con los dispositivos interactuantes y
posteriormente realizar el modelo matemático.
Actividad 7 “Simulaciones”
Realizar simulaciones del modelo matemático planteado,
comprobando que nos permita predecir el comportamiento del
sistema.
Actividad 8 “Validación”
Comparar los datos obtenidos en las simulaciones con los dados
por la planta y así reducir el error del modelo matemático.
Actividad 9 “Mejoras en el modelo”
Realizar las mejoras que veamos aplicables al proyecto,
planteando los pasos a seguir, a partir de los resultados
obtenidos hasta el momento.
Actividad 10 “Realización del proyecto de entrega Final”
Recopilar toda la información obtenida,a través de las prácticas
y actividades realizadas.
Actividad 11 “Video”
Mostrar el avance que se ha llevado a través del semestre, con
cada nuevo modelo matemático implementado, con el fin de
mostrar el proceso que se llevó,y de la mejora en los resultados.
V. ALCANCES Y LIMITACIONES
Para la elaboración de nuestro proyecto debemos tener en
cuenta factores como los alcances y limitaciones que acarrean
la elaboración y puesta a marcha de este proyecto. En los
alcances que podemos observar de este proyecto podemos ver
que el sistema de control de temperatura on-off con calefactor
y enfriador, se puede aplicar a espacios e instalaciones de mayor
cobertura, la implementación de los sistemas on-off hace que el
control del proyecto sea más sencillo y en el ámbito económico
sea asequible para estos espacios.
Además esto conlleva a que el mantenimiento de este sistema
no sea complicado; también cabe observar que el sistema
detectara los rangos de temperatura recomendables al que debe
estar el espacio cerrado y determinara si este debe enfriarse o
calentarse.
TABLA 2
CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES POR SEMANAS.
semanas
Act. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 x x
2 x
3 x
4 x x
5 x
6 x x x
7 x x x
8 x x x
9 x x x
10 x x
11 x x x x x x x x x x x
En las limitaciones del proyecto se puede verque para espacios
pequeños el sistema tendría costos que no son proporcionales
comparados a un espacio mayor, debido a la adquisición de las
máquinas de enfriamiento y calefacción, también a la cantidad
de personas que estén en ese espacio, equipos de trabajos entre
otras lo que conlleva a que estos sistemas no funcionen de la
mejor manera posible.
Finalmente, frente a un sistema térmico común, se puede
apreciar que al tener un sistema on-off se reduce las
perturbaciones y los errores que se pueden hacer a la hora de

7
modelar el sistema y así de esta manera se pueda garantizar una
mejor lectura de la temperatura que hay en cada espacio
habitable o de trabajo.
VI. MODELADO MATEMATICO
El Sistema térmico, por su similitud con el sistema eléctrico se
puede modelar en términos como antes se mencionó con una
resistencia térmica y una capacitancia térmica, a continuación
se presenta en la figura 5, la forma de representación mediante
un circuito.
Fig. 5. Implementación del sistema térmico mediante la resistencia y
capacitancia térmicas.
Desarrollando con las reglas de solución para el anterior
circuito y utilizando el método de Laplace para encontrar la
solución del voltaje en el capacitor, que para nuestro sistema
térmico será, la temperatura en función del tiempo en la
habitación representada con un nivel de voltaje.
𝑉𝑠
𝑠
= 𝑅 ∗ 𝐼( 𝑠) +
𝐼( 𝑠)
𝑐𝑠
+
𝑣𝑜
𝑠
𝑉𝑠 − 𝑣𝑜
𝑠
= 𝐼( 𝑠) ∗ [ 𝑅 +
1
𝑐𝑠
]
𝐼( 𝑠) = [
𝑉𝑠 − 𝑣𝑜
𝑠
] ∗ [
𝑐𝑠
𝑐𝑠𝑅 + 1
]
De donde;
𝐼( 𝑠) =
[ 𝑉𝑠 − 𝑣𝑜] ∗ 𝑐
[𝑐𝑠𝑅 + 1]
La temperatura en la habitación estará dada por la temperatura
de excitación de la fuente más la temperatura inicial del sistema.
Para nuestro modelo se obtendrá del voltaje en el capacitor.
𝑉𝑐(𝑠) =
[ 𝑉𝑠 − 𝑣𝑜] ∗ 𝑐
[ 𝑐𝑠𝑅 + 1]
∗
1
𝑐𝑠
+
𝑣𝑜
𝑠
𝑉𝑐(𝑠) =
[ 𝑉𝑠 − 𝑣𝑜]
[𝑐𝑠𝑅 + 1]
∗
1
𝑠
+
𝑣𝑜
𝑠
Aplicando fracciones parciales se puede representar el sistema
como:
𝑉𝑐(𝑠) =
𝐴
𝑠
+
𝐵
[𝑐𝑠𝑅 + 1]
+
𝑣𝑜
𝑠
Donde;
𝐴 = 𝑉𝑠 − 𝑣𝑜 & 𝐵 = ( 𝑣𝑜 − 𝑉𝑠) ∗ 𝑐𝑅
La ecuación se reduce a:
𝑉𝑐(𝑠) =
𝑉𝑠
𝑠
−
𝑣𝑜
𝑠
+
[ 𝑣𝑜 − 𝑉𝑠] ∗ 𝑐𝑅
𝑐𝑅 ∗ [ 𝑠 +
1
𝑐𝑅
]
+
𝑣𝑜
𝑠
Cancelando términos semejantes y aplicando el teorema de
desplazamiento en la frecuencia en Laplace se obtiene que:
𝑣𝑐(𝑡) = 𝑣𝑠 ∗ 𝑢( 𝑡) + [ 𝑣𝑜 − 𝑣𝑠] ∗ 𝑒−
1
𝑐𝑅
∗𝑡
∗ 𝑢(𝑡)
En términos generales se puede representar como:
𝑣( 𝑡) = {
𝑉𝑜 𝑡 < 0
𝑉𝑆 + ( 𝑉𝑜 − 𝑉𝑆) ∗ 𝑒−
𝑡
𝜏 𝑡 > 0
Fig. 6. Función que representa el voltaje en función del tiempo, en un
sistema modelado por un capacitor
Se puede representarla temperatura como el voltaje, el flujo de
calor como la corriente eléctrica y la capacitancia eléctrica
como la capacitancia térmica.
La ecuación de la figura 6, nos permite observar dos instantes
importante, uno cuando el tiempo es igual a cero logramos ver
que el voltaje que se tendrá en el sistema será Vo que representa
una temperatura inicial o temperatura ambiente; el otro caso es
cuando el tiempo tiende a infinito, logramos ver que el voltaje
que representara la temperatura del sistema es Vs es decir el
sistema recibió la misma cantidad de energía entregada por la
fuente de excitación. Y en cualquier otro instante se
representara por medio de la ecuación de la figura 6.
En la siguiente grafica (figura 7) se observa el comportamiento
del sistema en función del tiempo:

8
Fig. 7. Grafica exponencial con voltaje inicial y fuente de excitación..
Se percibe que el sistema toma una forma exponencial ya que
el capacitor no permite cambios bruscos en voltaje,es decirpara
nuestro sistema que la habitación no permitirá un cambio
brusco en temperatura.
Cuando el sistema alcanza la temperatura de la fuente de
excitación es decir cuando se obtiene el equilibrio térmico, se
sustrae la fuente de excitación y se observa que el
comportamiento es decreciente (figura 8), es decir q la
temperatura empezará a disiparse en forma de calor por medio
de la resistencia térmica, y debido a la diferencia de temperatura
entre el sistema y el medio exterior, haciendo que el sistema
reduzca su temperatura y alcance después de cierto tiempo la
temperatura ambiente.
Fig. 8. Grafica exponencial decreciente que representa la caída de
tensión del capacitor “temperatura” en función del tiempo.
Se determina la función de transferencia para los dos casos
considerados, el primero de ellos para modelar el sistema
cuando este eleva su temperatura a causa de la fuente de
excitación, el segundo cuandola fuente de excitación es retirada
del sistema y en este decrece la temperatura logrando después
de cierto tiempo volver a la temperatura ambiente.
La función que representa la carga del capacitor es decir el
almacenamiento de energía en este caso en forma de calor en el
sistema es:
𝑇( 𝑡) = [(25− 63)𝑒−𝑡 664.9⁄
+ 63] ∗ 𝑢(𝑡)
Expresando la anterior ecuación en dominio de (s) se tiene que:
𝑇( 𝑠) =
63
𝑆
−
38
𝑆 +
10
6649
Para la ecuación que nos permitirá relacionar la salida con la
entrada (Función de transferencia) se toma:
𝐻( 𝑠) =
𝑇(𝑠)
𝑉𝑖(𝑠)
Donde Vi(s) será igual a
𝑉𝑖( 𝑠) =
120
𝑠
Ya que tomamos la alimentación directa de la red.
Obtenemos que la función de transferencia para el sistema
almacenando calor será:
𝐻( 𝑠) =
21
40
−
(
19
60
) ∗ 𝑆
𝑆 +
10
6649
𝐻( 𝑠) =
5
24
∗ (𝑆 + 0.0038)
𝑆 +
10
6649
La ecuación que nos permite obtener en cualquier tiempo la
temperatura de enfriamiento será:
𝑇( 𝑡) = [(63− 21) 𝑒−𝑡 388.2⁄
+ 21]∗ 𝑢(𝑡)
En el dominio de la frecuencia de la anterior ecuación se tiene
que:
𝑇( 𝑠) =
21
𝑠
+
42
𝑠 +
5
1941
Con la misma entrada de
𝑉𝑖( 𝑠) =
120
𝑠
Obtenemos la ecuación de transferencia para el sistema en el
momento de enfriamiento:
𝐻( 𝑠) =
7
40
∗
5823 ∗ 𝑠 + 5
1941 ∗ 𝑠 + 5
Las siguientes graficas (figura 9 y 10) representan la
temperatura de los sistemas en los dos casos calentamiento e
enfriamiento, de allí se evidencia el comportamiento
exponencial de cada una de ellas, se tomaron 4000 muestras

9
para la gráfica de la figura 9 y 10, 12000 muestras de datos en
temperatura para la gráfica de la figura 11 y 12.
Lo correspondientes errores existentes entre las gráficas de los
valores obtenidos con las ecuaciones mencionadas
anteriormente (teóricos) y con los datos de prueba por la planta
se mostraran en detalle en los anexos del presente documento.
VI. CONCLUSIONES
La Relación de energía térmica almacenada en un recinto, se
asemeja a la energía eléctrica almacenada en un capacitor, por
ello se puede modelar u sistema térmico, como un circuito RC
ya que sus características así lo permite.
Las funciones obtenidas tanto en cálculos como en la muestra
de datos son de tipo exponencial, esto se debe a que el capacitor
no permite cambios bruscos de voltaje, en nuestro caso de
temperatura.
Se tomó las dos situaciones a las que elsistema estará sometido.
Etapa de enfriamiento y la etapa de calentamiento o de “carga”.
VII. REFERENCIAS
[1] C. Kuo Benjamín. Sistemas Automáticos de control. 3ra
edición.
[2] http://csd.newcastle.edu.au/SpanishPages/clase_slides_do
wnload/on_off.pdf
[3] http://www.udb.edu.sv/udb/archivo/guia/electronica-
ingenieria/sistemas-de-control-automatico/2013/i/guia-
5.pdf
[4] http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesalfonso_rome
ro_barcojo/departamentos/tecnologia/unidades_didacticas
/ud_controlroboticav1/control_automatico.pdf
[5] http://exordio.qfb.umich.mx/archivos%20pdf%20de%20tr
abajo%20umsnh/libros/2634854-MODELOS-
MATEMATICOS-DE-SISTEMAS-FISICOS.pdf
[6] Ogata, Katsuhiko. Dinámica de sistemas; Ed Prentice Hall
[7] http://www.instructables.com/id/arduino-temperature-
sensor-lm35/
[8] http://tesis.ipn.mx/jspui/bitstream/123456789/2669/1/AL
MA.pdf

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