Examen del Olimpiada de Matemáticas aplicado en el año 2007

1. XXI Olimpiada Mexicana de Matemáticas
Sociedad Matemática Mexicana
Primera Etapa de la Olimpiada Estatal de Matemáticas
Indicaciones
 Para cada problema indica claramente la respuesta que consideres es la correcta.
 Queda prohibido usar calculadoras y apuntes.
 Realiza todas las operaciones y diagramas que necesites en otras hojas.
 Tienes 120 minutos, como máximo, para resolver el examen.
1. Seis amigas planean viajar y deciden hacerlo en parejas. 2 de ellas viajarán en tren, 2 en
carro y 2 en avión. Cristina y Daniela viajarán juntas. Gabriela viajará en avión. Marcela no
acompañará a Natalia ni viajará en avión. Tania no viajará en tren. ¿Cuál de las siguientes
afirmaciones es correcta?
a) Daniela viajará en carro y Marcela en avión. c) Tania viajará en tren y Daniela en avión.
b) Natalia viajará en tren y Gabriela en carro. d) Cristina viajará en tren y Tania en carro.
e) Gabriela viajará en tren y Cristina en carro.
2. Un triángulo equilátero y un hexágono regular tienen el mismo perímetro. La razón entre el
área del triángulo y el área de hexágono es:
1 1 2 3
a) b) c) d) 1 e)
3 2 3 2
3. Los dos primeros términos de una sucesión son 1 y 3. Si a partir del tercer término cada
uno de ellos es igual al promedio de TODOS los términos anteriores, ¿qué número ocupa
el lugar 2007?
5 3 1
a) b) 2 c) d) 1 e)
2 2 2
Examen Escolar 2007, Puebla.

2. XXI Olimpiada Mexicana de Matemáticas
4. Si a, b y c son números naturales (enteros positivos), ¿cuál de las siguientes expresiones
NO es una representación del número 24, para valores adecuados de a, b y c?
3 2 3 c c 2 3 b c a
a) ab b) a b c) a b d) ab c e) a b c
5. Del conjunto { 1, 2, 3, ... , 2007 } se eligen dos números diferentes. ¿Cuántos resultados
distintos se obtienen al sumar tales números?
a) 2007 b) 2508 c) 3009 d) 3510 e) 4011
6. Se van multiplicando los números naturales 2, 4, 6, 8, ... hasta obtener un número que
sea divisible por 1995. El mayor número que se utiliza está:
a) Entre 11 y 21 b) Entre 21 y 31 c) Entre 31 y 41 d) Entre 41 y 51 e) Entre 51 y 61
7. ¿Cuál es el número de cuadrados que se pueden construir, si sus vértices son cuatro de los
puntos de la figura dada a continuación?
a) 20 b) 18 c) 16 d) 14 e) 12
8. Sean a, b y c números reales diferentes de cero, tales que a + b + c = 0. Obtén el valor
 1 1 1 
de la expresión (a b c )  + + 
2 2 2
 3 3 3 3 
a b a 3c3 b c 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
9. Las permutaciones de la palabra PUEBLA son escritas en orden alfabético, como si fueran
palabras de seis letras de un diccionario. La palabra que aparece en el lugar 420 es:
a) LEBUPA b) LEUPBA c) LUBEPA d) LUPABE e) LAPEBU
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3. XXI Olimpiada Mexicana de Matemáticas
10. En el triángulo ABC, se tiene que AB = BC. Si ∠ABD = 30° y BD = BE, obtén la
medida de ∠CDE.
a) 5° b) 10° c) 15° d) 20° e) 25°
11. En el exterior del triángulo ABC, se construyen los triángulos equiláteros ACD y ABE.
BD
Si F y G son los puntos medios de AE y AC respectivamente, la razón es:
FG
3 5
a) 1 b) c) 2 d) e) 3
2 2
12. Con las medidas de los ángulos interiores de un polígono convexo se forma una progresión
aritmética con diferencia común 4. ¿Cuál es el número de lados del polígono, si la medida
del mayor de estos ángulos es 172°?
(Se llama progresión aritmética a una serie de números de la forma: a, a + d, a + 2d, ...
donde d es la diferencia común)
a) 16 b) 15 c) 14 d) 13 e) 12
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4. XXI Olimpiada Mexicana de Matemáticas
Sociedad Matemática Mexicana
Primera Etapa de la Olimpiada Estatal de Matemáticas
Hoja de respuestas
Nombre y Grupo: __________________________________________________________________
Recomendaciones
Escribe tu nombre completo y tu grupo en el espacio correspondiente. Para cada problema,
indica la respuesta que consideres es la correcta, rellenando (marcando) completamente sólo
una de las cinco opciones. Aunque sea un examen de opción múltiple, es importante que trates
de desarrollar, en cada ejercicio, una serie de ideas que te conduzcan a la solución de él.
Al terminar, entrega sólo esta hoja y consulta con tu profesor las respuestas. Dos semanas
después de la aplicación del examen, pide a tu profesor la solución escrita de los problemas.
Será fundamental, para tu participación en las siguientes etapas, que revises este material con
todo detalle. A partir del examen regional, será el estilo de respuesta que deberás escribir.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
a a a a a a a a a a a a
b b b b b b b b b b b b
c c c c c c c c c c c c
d d d d d d d d d d d d
e e e e e e e e e e e e
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5. XXI Olimpiada Mexicana de Matemáticas
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Primera Etapa de la Olimpiada Estatal de Matemáticas
Respuestas
Instrucciones
Antes de iniciar, es importante leer a los participantes las indicaciones del examen así como las
recomendaciones que aparecen en la hoja de respuestas. Asegúrese que tengan papel suficiente
para realizar sus procedimientos.
Al final, los participantes sólo entregarán la hoja de respuestas. A continuación, dé a conocer
las respuestas correctas del examen y coménteles que posteriormente tendrán a su disposición
las soluciones escritas de cada uno de los problemas. Insista en la importancia de trabajar con
este material.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
a a a a a a a a a a a a
b b b b b b b b b b b b
c c c c c c c c c c c c
d d d d d d d d d d d d
e e e e e e e e e e e e
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