Mate2

Secundaria 2 Matemáticas
2
Luis Briseño, Guadalupe Carrasco, Pilar Martínez,
Óscar Palmas, Francisco Struck, Julieta Verdugo

Matemáticas
2

DISTRIBUCIÓN GRATUITA
PROHIBIDA SU VENTA

Matematicas 2 santillana integra1 1 5/16/08 6:47:28 PM

Nombre del alumno (a)

Geografía 2
Escuela Grupo

Querido alumno (a) de secundaria:

Este libro se entrega gratuitamente para tu formación, y es
parte del esfuerzo que estamos haciendo el Gobierno Federal
y los Gobiernos de los Estados para convertir la educación en
la llave de las oportunidades y el éxito para ti y tu familia.
Este libro es tuyo. Aprovéchalo y cuídalo.

DISTRIBUCIÓN GRATUITA, PROHIBIDA SU VENTA

FCyE I 2do Santillana Ateneo cov2 2 5/16/08 10:06:16 PM

Matemáticas
Luis Briseño, Guadalupe Carrasco,
María del Pilar Martínez, Óscar Alfredo Palmas,
Francisco Struck, Julieta del Carmen Verdugo

2
Matemáticas 2
El libro es una obra
colectiva, creada y diseñada en el Departamento de
Investigaciones Educativas de Editorial Santillana,
con la dirección de Clemente Merodio López.

Mat2 Int B1-2 new EA.indd 1 5/16/08 11:54:52 AM

El libro Matemáticas 2. Santillana Integral fue elaborado en Editorial Santillana por el siguiente equipo:
Edición: Guillermo Trujano
Coordinación editorial: Roxana Martín-Lunas Rodríguez
Revisión técnica: Víctor Hugo Ibarra Mercado
Corrección de estilo: Eduardo Mendoza Tello
Diseño de portada: José Francisco Ibarra Meza
Ilustraciones de personajes de portada: Teresa Martínez
Diseño de interiores: Carlos Vela Turcott
Coordinación de Diseño: José Francisco Ibarra Meza
Ilustraciones: Héctor Ovando Jarquín, Carlos Vela Turcott
Fotografía: Corel Stock Photo y Archivo Santillana
Diagramación: Héctor Ovando Jarquín

Luis Briseño Aguirre
Guadalupe Carrasco Licea
María del Pilar Martínez Téllez
Óscar Alfredo Palmas Velasco
Francisco Struck Chávez
Julieta del Carmen Verdugo Díaz

Editora en Jefe de Secundaria: Roxana Martín-Lunas Rodríguez
Gerencia de Investigación y Desarrollo: Armando Sánchez Martínez
Gerencia de Procesos Editoriales: Laura Milena Valencia Escobar
Gerencia de Diseño: Mauricio Gómez Morin Fuentes
Coordinación de Diseño: José Francisco Ibarra Meza
Digitalización de imágenes: María Eugenia Guevara Sánchez, Gerardo Hernández Ortiz y José Perales Neria
Fotomecánica electrónica: Gabriel Miranda Barrón, Benito Sayago Luna y Manuel Zea Atenco

La presentación y disposición en conjunto y de cada página de Matemáticas 2. Santillana Integral son propiedad del editor. Queda estrictamente
prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita
del editor.

© 2006 Luis Briseño, Guadalupe Carrasco,María del Pilar Martínez, Óscar Alfredo Palmas, Francisco Struck, Julieta del Carmen Verdugo
D. R. © 2006 por EDITORIAL SANTILLANA, S. A. DE C. V.
Av. Universidad 767
03100, México, D. F.

ISBN: 978-970-29-2220-9
Primera edición actualizada: junio, 2008
Primera reimpresión: febrero, 2009

Miembro de la Cámara Nacional de la
Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 802

Impreso en México

Mat2 Int B1-2 new EA.indd 2 5/19/08 7:46:35 PM

>PRESENTACIÓN
PRESENTACIÓN
Ó

Paul Halmos, reconocido matemático del siglo pasado, escribió:

“... la mejor forma de aprender es hacer”.

En completo acuerdo con esta idea, decidimos elaborar este libro. Matemáticas 2 propone a los estudian-
tes de segundo grado de secundaria actividades que los pueden conducir, paso a paso, al descubrimiento
de los conocimientos en esta materia, pero sobre todo, a darse cuenta de que las Matemáticas son mucho
más que aprender fórmulas y resolver operaciones, mucho más que números y signos.

No hemos querido dar recetas; aspiramos a que los educandos se enfren-
ten con situaciones que los hagan pensar, buscar caminos, aventurar
conjeturas, proponer soluciones, confrontar sus propuestas con las de
sus compañeros y compañeras, argumentar ideas, distinguir los razo-
namientos correctos de los erróneos y convencerse, por sí mismos, de
los resultados.

Este libro, por tanto, posee una estructura que parte de problemas y va dan-
do sugerencias, en forma de preguntas, para llegar a la solución. Sólo hasta
el final de la actividad se presenta una formalización de los conceptos que
los estudiantes deben haber descubierto.

Por otro lado, así como un árbol tiene varias ramas, pero varias ramas
no forman un árbol, tampoco la Matemática es un conglomerado de
conocimientos aislados. Por eso no hemos hecho la división tradicio-
nal en Aritmética, Geometría, Álgebra, Estadística, Probabilidad, etcétera,
sino que la hemos tratado como una unidad.

En resumen, queremos convencer a los estudiantes de que la Matemática, lejos
de ser una materia aburrida e inútil, es indispensable en la formación del ser
humano, no sólo por su utilidad práctica sino porque nos enseña a razonar en
forma ordenada y sistemática, nos permite abordar, plantear y resolver proble-
mas, además de desarrollar nuestra capacidad de análisis. También despierta
la creatividad y ayuda en el desarrollo de las cualidades de los seres humanos,
como entes pensantes, creadores y transformadores.

Presentación 3


> ESTRUCTURA DE TU LIBRO
S UC U U O
Los contenidos de esta obra están organizados en cinco bloques, distribución que responde a las cinco evaluaciones bi-
mestrales de tu año escolar, por lo que la información al interior de cada bloque está dosificada.

Éstas son las páginas modelo que encontrarás a lo largo de tu libro:
Para iniciar, conocerás el Contenido y enseguida las páginas de:
6. Susana quiere ir a Zihuatanejo. El pasaje del autobús en viaje redondo cuesta $600. Por ocho días de estancia, el
hotel cobra $4 480. ¿Cuánto gastará en total si decide quedarse sólo cinco días y la tarifa del hotel es proporcional

Enlace
a los días de estadía?

7. En el plano cartesiano se encuentran los puntos A, B y C, observa su ubicación y llena la siguiente tabla con los datos
que se piden. Ubica otros tres puntos D, E y F sobre la recta que contiene a los puntos A, B y C y da sus coordenadas.

A ntes de iniciar el primer bloque, verás una serie de actividades para B
C

que conﬁrmes las habilidades que desarrollaste en la primaria y que A

serán muy útiles para enlazar y trabajar Matemáticas en la secundaria. Punto x y
A
B
C
D
E
F

Bloques

Con una imagen grande y atractiva y Lo que aprenderás en este bloque,
expone en forma resumida las nuevas destrezas y habilidades que desarro-
llarás de acuerdo con cada uno de los tres ejes temáticos (ideas centrales
para organizar el pensamiento matemático) que son: Sentido numérico y
La navegación a grandes distancias desarrollada en los si-
glos XIV y XV no hubiera sido posible sin instrumentos que
V V
Temas del bloque:

• Resolveremos problemas que implican efectuar su-
mas, restas, multiplicaciones o divisiones de núme-
pensamiento algebraico, Forma, espacio y medida y Manejo de la informa-
permitieran orientarse en mar abierto. El reloj, la brújula ros con signo.
y el astrolabio fueron fundamentales para el retorno de
los barcos que navegaron en aquella época.

Aunque los astrolabios fueron evolucionando hasta con-
•

•
Identificaremos la suma de los ángulos internos de
cualquier triángulo o cuadrilátero.
Resolveremos problemas de conteo mediante cálcu-
los numéricos.
ción. En cada bloque se busca relacionar transversalmente los temas del
vertirse en instrumentos un tanto complicados, básica- • Resolveremos problemas de valor faltante conside-
mente sirven para determinar el ángulo de elevación de
las estrellas con respecto del horizonte. •
rando más de dos conjuntos de cantidades.
Interpretaremos y construiremos polígonos de fre-
cuencia.
programa a través de estos ejes, rescatando a la Matemática como una uni-
dad y no como una materia fragmentada.
... necesitas recordar:

Para comenzar 1.
2.
3.
Operaciones de suma, resta y multiplicación de números con signo.
Qué son las expresiones algebraicas.
Algunos usos de las expresiones algebraicas.

En cada lección encontrarás lo que necesitas recordar, así como los temas que inclui-
rá esa lección y sabrás también de cuántas partes consta, pues utilizamos un elemento
geométrico para indicártelo. Por ejemplo el icono representa tres de cinco partes.
Cada lección puede tener de tres a siete partes. Cada parte consta de una a tres pági-
nas; se indica el número de lección por bloque y el texto con el que empezarás a estudiar
inicia con este símbolo .
• Solución de problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones
algebraicas.
• Reconocimiento y obtención de expresiones algebraicas equivalentes a par-
r
tir del empleo de modelos geométricos.

Lecciones

En cada lección aprenderás Matemáticas a través de ideas claras y concisas, Las siguientes fotografías muestran varias posiciones de una rueda de la fortu-
na. Ordena los ángulos señalados en la figura, de menor a mayor.

con preguntas e ilustraciones. Cada lección cuenta con espacios para escribir
respuestas o comentarios y sugerencias para trabajar en tu cuaderno. Cuando
El grado es una unidad de medida de los ángulos. Si al formar un ángulo

se considera pertinente se incluyen, en color azul, los conceptos e ideas cla- con dos semirrectas pensamos que una de ellas está fija y la otra se mue-
ve, el ángulo correspondiente a una vuelta completa de la semirrecta móvil
mide 360 grados, lo que se escribe con un pequeño círculo: 360°.

ves. Cuando un término dentro del texto aparece en cursivas, su significado 360°

se encuentra en el glosario, el cual se localiza en la página 326. Por otro lado, la mitad de una vuelta corresponde a un ángulo de 180°, lla-
mado ángulo llano. La cuarta parte de una vuelta corresponde a un ángu-
lo de 90°, llamado ángulo recto.

Aplicación En algunas lecciones encontrarás una apli- Ángulo llano
Ángulo recto

cación que se ha resaltado por su utilidad o importan-
El instrumento más utilizado para medir ángulos es el transportador.

cia, además de las diversas aplicaciones que vienen en el
desarrollo de las lecciones.

4 Matemáticas 1


Para terminar
6 ¿Por qué son iguales los ángulos opuestos de cualquier paralelogramo?
7. Si se sabe que la recta BD es bisectriz del ángulo ABC del siguiente cua-
drilátero, descubre cuánto mide el ángulo ACB usando la información
proporcionada en la figura.

Aquí encontrarás una o dos páginas de actividades, con las que puedes poner a prueba tus A

130°
D

70°

habilidades y competencias matemáticas.
B C

8. ¿Qué construcciones auxiliares necesitamos para saber el ángulo de inter-r
sección de las siguientes rectas si no podemos extender el dibujo para te-
ner el punto de intersección?

Torito La sección Para Terminar, finaliza con un problema que representa
un reto y requiere ingenio para resolverlo, El Torito.

Para terminar el bloque encontrarás tres nuevas secciones:

MatemáTICas

En la sección MatemáTICas pretendemos mostrar cómo la tecnología puede facilitar, de
manera notable, la tarea de hacer Matemáticas. También queremos demostrar que las
computadoras no piensan por nosotros, y que para sacarle jugo a esa herramienta tan va-
liosa debemos tener los conceptos claros, pues sólo así podremos darle instrucciones pre-
cisas para que realice el trabajo mecánico.

El volumen de una pirámi escalonada es la suma de los volúmenes de los escalones, así que basta calcular el volumen
pirámide

Punto de encuentro
de un solo escalón, suponiendo q su base inferior es un cuadrado de lado B, su base superior (o tapa) es otro cuadra-
ndo que
do de lado b y la altura del escalón mid h.
n mide

Aquí se abordan problemas cuya solución requiere haber estudiado los temas del bloque
o de bloques anteriores.
LA BASURA ESPACIAL

El lanzamiento de satélites artificiales y naves tripuladas al espacio, a pesar de
sus ventajas, también ha generado nuevos problemas por resolver. Uno de ellos
es la creciente cantidad de basura espacial; por ejemplo, satélites en desuso,
b cohetes ya utilizados y materiales de desecho de los operativos espaciales.

h

B

Imagen de
Diseña una estrategia para calcular el volumen de este escaló Puedes descomponer la figura en piezas cuyo volumen
sepas calcular. ¿Cuál es el volumen del escalón completo?
to?
alón.

Otra estrategia que puedes seguir es la de pensar el escalón como una “pirámide truncada”, es decir, una pirámide com-
e
Una nueva actitud internet
pleta a la que se le quita una parte de arriba.
¿Cómo podrías calcular el volumen del escal utilizando esta idea?
scalón
planeta tierra

En esta sección mostramos que las Matemáticas se apli-
can a problemas de la vida cotidiana; esto es, que se utili-
zan para mejorar las condiciones de vida de la sociedad.
Es necesario contar con un buen registro de la cantidad y tipo de basura espa-
cial, así como de sus trayectorias, pues la basura podría chocar con satélites en
operación o incluso con naves tripuladas. Por ejemplo, la explosión de un co-
hete en 1996 duplicó el riesgo de que una partícula de basura espacial de ta-
maño regular alcance al Telescopio Hubble, ya suficientemente golpeado en
más de 700 ocasiones por pequeños fragmentos metálicos. Aunque en algu-
nos casos se ha enviado al espacio equipo con mayor protección contra estos
choques, esto eleva muchísimo los costos de las operaciones.

Al final de tu libro se encuentran cuatro anexos:

Glosario. Cuando un término del contenido aparece en cursivas, se incluye su significado.
Bibliografía, con una sección dirigida al docente y otra al estudiante. La sección para el docente contiene las referen-
cias utilizadas para la elaboración de este libro.
Búsqueda de información en Internet. Son una serie de páginas electrónicas en las que encontrarás materiales rele-
vantes para tu curso.
Programa de la asignatura. Contiene, organizados en tablas, los conocimientos y habilidades del programa de estu-
dio y el número de lección y páginas en que se encuentra el tema dentro de la obra. Esta sección facilita la ubicación
de los contenidos con respecto al programa.

Estructura del libro 5


> CONTENIDOS

EJE BLOQUE 1 14
Sentido numérico y pensamiento
algebraico LECCIÓN 1 LOS ÁNGULOS 17
• Significado y uso de las Resolución de problemas que impliquen reconocer, estimar
operaciones y medir ángulos, utilizando el grado como unidad de medida.
Problemas multiplicativos Determinación mediante construcciones de las posiciones
Problemas aditivos relativas de dos rectas en el plano y elaboración de
definiciones de rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas.
Operaciones combinadas
Establecimiento de relaciones entre los ángulos que se
forman al cortarse dos rectas en el plano y reconocimiento
Forma, espacio y medida de ángulos opuestos por el vértice y adyacentes.
LECCIÓN 2 EL TESORO PERDIDO 27
• Medida Establecimiento de las relaciones entre los ángulos que
Estimar, medir y calcular se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una
• Formas geométricas transversal.
Rectas y ángulos Justificación de las relaciones existentes entre las medidas
de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos.
LECCIÓN 3 MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS CON SIGNO 37
Manejo de la información
Problemas que impliquen la multiplicación y división de
números enteros. Problemas que impliquen multiplicación y
• Análisis de la información división de fracciones y números decimales con signo.
Relaciones de proporcionalidad LECCIÓN 4 CADA QUIEN CON SU CADA CUAL 49
• Representación de la información
Solución de problemas que impliquen adición y sustracción
Diagramas y tablas de expresiones algebraicas.
Gráficas Reconocimiento y obtención de expresiones algebraicas
equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos.
LECCIÓN 5 PROPORCIONALIDAD AL DERECHO Y AL REVÉS 65
Determinación del factor inverso dada una relación
de proporcionalidad y del factor de proporcionalidad
fraccionario.
Elaboración y utilización de procedimientos para resolver
problemas de proporcionalidad múltiple.
LECCIÓN 6 ¿CUÁNTOS CUENTAS? 79
Anticipación de resultados en problemas de conteo, con
base en la identificación de regularidades. Verificación de los
resultados mediante arreglos rectangulares, diagramas
de árbol u otros recursos.
LECCIÓN 7 USO DE POLÍGONOS DE FRECUENCIAS 89
Interpretación y comunicación de la información mediante
polígonos de frecuencias.
MatemáTICas 98
Punto de encuentro 100
Una nueva actitud 102

6 Matemáticas 1


EJE BLOQUE 2 104
algebraico LECCIÓN 1 ENTRE PARÉNTESIS 107
• Significado y uso de las Utilización de la jerarquía de las operaciones y los paréntesis
operaciones en problemas y cálculos.
Operaciones combinadas Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el
Problemas multiplicativos uso de expresiones algebraicas.
LECCIÓN 2 PRISMAS Y PIRÁMIDES 117
Forma, espacio y medida Descripción de las características de cubos, prismas y pirámides.
Construcción de desarrollos planos de cubos, prismas y
• Formas geométricas pirámides rectos y diferentes vistas de un cuerpo geométrico.
Cuerpos geométricos Justificación de fórmulas para calcular el volumen de cubos,
• Medida prismas y pirámides rectos.
Justificación de fórmulas
Estimación y cálculo del volumen de cubos, prismas y
Estimar, medir y calcular pirámides rectos. Cálculo de datos desconocidos dados
otros, relacionados con las fórmulas del cálculo de volumen.
Manejo de la información Relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas
y pirámides. Conversiones de medidas de volumen y
• Análisis de la información capacidad y la relación entre ellas.
Relaciones de proporcionalidad LECCIÓN 3 ENTRE MEDIAS, MEDIANAS Y MODAS 129
• Representación de la información Interpretación de las medidas de tendencia central. Cálculo
Medidas de tendencia central y de de la media aritmética, la moda y la mediana de un conjunto
dispersión de datos agrupados. Propiedades de la media aritmética.
LECCIÓN 4 HAY RAZONES Y RAZONES 141
Significado de una razón. Comparación entre dos razones.
MatemáTICas 148

EJE BLOQUE 3 158
algebraico LECCIÓN 1 ASÍ, SUCESIVAMENTE 161
• Significado y uso de las literales Construcción de sucesiones de números con signo a partir
Patrones y fórmulas de una regla dada. Obtención de la regla que genera una
sucesión de números con signo.
Ecuaciones
Relación funcional

Contenido 7


LECCIÓN 2 DE UN LADO Y DE OTRO 167
Forma, espacio y medida
Problemas que impliquen el planteamiento y la solución
• Formas geométricas de ecuaciones de la forma ax + bx + c = dx + ex + f, y con
Justificación de fórmulas paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación,
utilizando coeficientes enteros o fraccionarios positivos o
Figuras planas
negativos
LECCIÓN 3 TODOS EN LÍNEA 175
Manejo de la información
Reconocimiento en situaciones problemáticas asociadas
• Representación de la información a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras
disciplinas, de la presencia de cantidades que varían una en
Gráficas función de la otra. Representación de esta relación mediante
una tabla o una expresión algebraica de la forma y = ax + b.
Construcción, interpretación y uso de gráficas de relaciones
lineales asociadas a diversos fenómenos.
Anticipación del comportamiento de gráficas lineales de la
forma y = mx + b, cuando se modifica el valor de b mientras
el valor de m permanece constante.
Anticipación del comportamiento de gráficas lineales de la
forma y = mx + b, cuando se modifica el valor de m mientras
el valor de b permanece constante.

LECCIÓN 4 JUGUEMOS A LOS ROMPECABEZAS 185
Establecimiento y justificación de la suma de las medidas de
los ángulos interiores de cualquier polígono.
Argumentación de las razones por las cuales una figura
geométrica sirve como modelo para recubrir un plano.
MatemáTICas 194

EJE BLOQUE 4 200
algebraico LECCIÓN 1 ¿QUÉ TAN PROBABLE ES? 203
• Significado y uso de las Cálculo de probabilidades de eventos en distintos
contextos. Identificación de eventos independientes.
operaciones Cálculo de la probabilidad de que ocurran 2 o más eventos
Potenciación y radicación independientes.

Forma, espacio y medida LECCIÓN 2 TRIÁNGULOS CONGRUENTES 217
Determinación de los criterios de congruencia de triángulos
• Formas geométricas a partir de construcciones con información determinada.
Figuras planas LECCIÓN 3 NUMERITOS Y NUMEROTES 229
Rectas y ángulos Elaboración, utilización y justificación de procedimientos
para calcular productos y cocientes de potencias enteras
positivas de la misma base y potencias de potencias.

8 Matemáticas 1


Interpretación del resultado de elevar un número natural
Manejo de la información a una potencia de exponente negativo. Utilización de
la notación científica para realizar cálculos en los que
• Análisis de la información intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.
Noción de probabilidad LECCIÓN 4 RECTAS DEL TRIÁNGULO 243
Las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y
Gráficas bisectrices en un triángulo.
LECCIÓN 5 MÁS O MENOS RÁPIDO 255
Interpretación y elaboración de gráficas formadas por
segmentos de recta que modelan situaciones relacionadas
con movimiento, llenado de recipientes, etc.
LECCIÓN 6 ¿QUÉ ES MEJOR? 263
Interpretación de dos gráficas de líneas que representan
características distintas de un fenómeno o situación.
Utilización de la información brindada por dos gráficas para
tomar decisiones.
MatemáTICas 270

EJE BLOQUE 5 278
algebraico LECCIÓN 1 DOS Y DOS 281
Representación con literales de los valores desconocidos de
• Significado y uso de las literales
un problema y su uso para plantear y resolver un sistema de
Ecuaciones ecuaciones con coeficientes enteros.
Representación gráfica de un sistema de ecuaciones lineales
Forma, espacio y medida con coeficientes enteros e interpretación de la intersección
de sus gráficas como la solución del sistema.
• Transformaciones
LECCIÓN 2 DE AQUÍ PARA ALLÁ 297
Movimientos en el plano
Determinación de las propiedades de la rotación y de la
traslación de figuras. Construcción y reconocimiento de
Manejo de la información diseños que combinen la simetría axial y central, la rotación
y la traslación de figuras.
LECCIÓN 3 UNO O EL OTRO, PERO NO LOS DOS 311
Gráficas
Identificación de eventos mutuamente excluyentes. Cálculo
• Análisis de la información
de probabilidades de eventos en distintos contextos.
Noción de probabilidad Cálculo de la probabilidad de ocurrencia.
MatemáTICas 320
Glosario 326
Bibliografía 328
Búsqueda de información en Internet 330
Programa de la asignatura 331

Contenido 9


> ENLACE
> ¿Qué aprendiste de Matemáticas en el primer grado?

Para iniciar el estudio de las matemáticas de segundo grado de secundaria es conveniente que recuerdes los conoci-
mientos que recibiste anteriormente. Esta sección es un enlace entre las habilidades y conocimientos que adquiriste en
cursos anteriores con las que aprenderás en este segundo grado

1. ¿Qué número sumado a sí mismo da como resultado −10?

2. ¿Qué número hay que sumar a −2.5 para obtener −6.2?
¿Qué número hay que restar a −2.5 para obtener −6.2?

–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2
3. Representa en una recta numérica las siguientes operaciones:
2 7
(−3.5) + (4.5) (− 3 ) − (− 3 ) (−5.5) + (−1.5)

4. David armó esta figura con tres piezas
cuadradas y dos rectangulares.

Las tres piezas cuadradas forman una rectangular.

=

La pieza rectangular tiene 48 cm de perímetro, ¿cuál es el perímetro de la figura que armó David?

5. El domingo Esteban tenía 24 canicas, el lunes compró 10 más, el martes también compró canicas y el miércoles
compró el doble de canicas que el martes, el jueves no compró y hoy viernes Esteban tiene 73 canicas, ¿cuántas ca-
nicas compró el martes?

10 Matemáticas 1


6. Susana quiere ir a Zihuatanejo. El pasaje del autobús en viaje redondo cuesta $600. Por ocho días de estancia, el
hotel cobra $4 480. ¿Cuánto gastará en total si decide quedarse sólo cinco días y la tarifa del hotel es proporcional
a los días de estadía?

7. En el plano cartesiano se encuentran los puntos A, B y C, observa su ubicación y llena la siguiente tabla con los datos
que se piden. Ubica otros tres puntos D, E y F sobre la recta que contiene a los puntos A, B y C y da sus coordenadas.

Punto x y
C A
B B
C
D
A
E
F

8. Traza un rombo a partir de una de sus diagonales.

B

A B

¿Cómo deben ser los lados de un cuadrilátero para que sea un rombo?
¿Se pueden construir varios rombos con la misma diagonal?
En la figura te mostramos tres rombos con el segmento
AB como diagonal; construye uno distinto.

A

Enlace 11


> ENLACE

B
9. Traza un segmento cualquiera AC y cualquier rombo que tenga a
AC como una de sus diagonales. Llama B y D a los otros vértices.
Traza el segmento BD y llama O al punto donde se cruzan las dia-
gonales. C

O
Recorta el rombo y dóblalo por la diagonal BD.
¿Son iguales los triángulos ABD y CBD? A
¿Miden lo mismo los segmentos AO y OC?
¿Son iguales los ángulos ABD y CBD?
¿Es simétrico el rombo respecto a su diagonal BD?
D

Desdobla el rombo y dóblalo por la otra diagonal.
¿Son iguales los triángulos ABC y ADC?
¿Miden lo mismo los segmentos BO y OD?
¿Son iguales los ángulos BAO y DAO?
¿Es simétrico el rombo respecto a su diagonal AC?

Dobla ahora el rombo en cuatro por sus diagonales.
¿Son iguales los cuatro triángulos en los que queda
dividido el rombo por sus diagonales?
¿Cuánto mide el ángulo AOB?

10. Traza un rombo a partir de uno de sus ángulos.
A
Clava tu compás en el vértice A y con cualquier radio traza un arco de circunferencia que corte a las dos líneas que for-
man el ángulo. Llama B y D a los puntos de intersección. Sin cambiar la apertura del compás traza dos circunferencias
con centros en B y D. Las circunferencias se cortan en A y en otro punto; llama C a este punto.
Une a C con B y D.
Traza las diagonales del rombo.
A partir de las actividades anteriores explica:
a) Cómo trazar la mediatriz de un segmento. b) Cómo trazar la bisectriz de un ángulo.

12 Matemáticas 1


11. Determina cuáles de los siguientes experimentos son aleatorios y cuales son deterministas. Explica tu respuesta.
a) Se deja caer una piedra desde una altura de 2 metros dentro del salón y se observa la trayectoria que sigue.
b) Se selecciona cualquier nombre de la lista de estudiantes de tu grupo y se le pregunta cuál es su deporte favorito.
c) Se coloca una bola roja en la caja 1, una bola azul en la caja 2 y una bola blanca en la caja 3. Se le pide a una per-
sona que no sabe cómo se acomodaron las bolas que seleccione la bola de la caja 1 y anote su color.
d) Se colocan las mismas bolas en las mismas cajas del ejercicio anterior y se le pide a una persona que no sabe cómo
se acomodaron las bolas que elija cualquier caja, saque la bola y anote su color.

12. Se lanzan dos dados regulares.
Escribe el espacio muestral de este experimento. ¿Todos los resultados que escribiste tienen la misma facilidad de
ocurrir? ¿Por qué?
Calcula la probabilidad de los siguientes eventos:
A: La suma de los números obtenidos es 6.
B: El producto de los números obtenidos es 12.
C: El resultado del primer dado es 5 (el segundo resultado puede ser cualquiera).
D: El resultado del primer dado es 4 y el del segundo es par.
E: La diferencia entre los dos números obtenidos es 3.

13. Se lanza 1 000 veces un dado cargado. Los resultados obtenidos son los siguientes:

Cara 1 2 3 4 5 6

Frecuencia 85 159 167 161 163 265

Usa la definición frecuencial para aproximar la probabilidad de cada uno de los resultados posibles al lanzar este dado.

Enlace 13


>BLOQUE 1

14


> Lo que aprenderás en este bloque

EJE 1 EJE 2 EJE 3
Sentido numérico y Forma, espacio y medida Manejo de la información
pensamiento algebraico

Resolver problemas que impliquen multipli- Resolver problemas que impliquen recono- Determinar el factor inverso dada una rela-
caciones y divisiones de números con signo. cer, estimar y medir ángulos, utilizando el gra- ción de proporcionalidad y el factor de propor-
Resolver problemas que impliquen adición y do como unidad de medida. cionalidad fraccionario.
sustracción de expresiones algebraicas. Determinar mediante construcciones las Elaborar y utilizar procedimientos para resol-
Reconocer y obtener expresiones algebrai- posiciones relativas de dos rectas en el plano ver problemas de proporcionalidad múltiple.
cas equivalentes a partir del empleo de mode- y elaborar definiciones de rectas paralelas, per- Anticipar resultados en problemas de con-
los geométricos. pendiculares y oblicuas. teo, con base en la identificación de regulari-
Establecer relaciones entre los ángulos que dades.
se forman al cortarse dos rectas en el plano, re- Verificar los resultados mediante arreglos
conocer ángulos opuestos por el vértice y ad- rectangulares, diagramas de árbol u otros re-
yacentes. cursos.
Establecer las relaciones entre los ángulos Interpretar y comunicar información me-
que se forman entre dos rectas paralelas corta- diante polígonos de frecuencia.
das por una transversal.
Justificar las relaciones entre las medidas de
los ángulos interiores de los triángulos y para-
lelogramos.

¿Cómo fueron posibles los viajes de descubrimiento? Temas del bloque:

La navegación a grandes distancias desarrollada en los si- • Resolveremos problemas que implican efectuar su-
glos XIV y XV no hubiera sido posible sin instrumentos que mas, restas, multiplicaciones o divisiones de núme-
permitieran orientarse en mar abierto. El reloj, la brújula ros con signo.
y el astrolabio fueron fundamentales para el retorno de • Identificaremos la suma de los ángulos internos de
los barcos que navegaron en aquella época. cualquier triángulo o cuadrilátero.
• Resolveremos problemas de conteo mediante cálcu-
Aunque los astrolabios fueron evolucionando hasta con- los numéricos.
vertirse en instrumentos un tanto complicados, básica- • Resolveremos problemas de valor faltante conside-
mente sirven para determinar el ángulo de elevación de rando más de dos conjuntos de cantidades.
las estrellas con respecto del horizonte. • Interpretaremos y construiremos polígonos de fre-
cuencia.

15


>PARA COMENZAR

1. Qué es un ángulo.
2. Cómo se usa el transportador para medir los ángulos.
3. Cómo se construyen rectas perpendiculares con regla y compás.
4. Cómo se construyen rectas paralelas con regla y compás.

Constelación de Piscis

Probablemente en la antigua Babilonia,
fueron creadas 4 constelaciones para
marcar los grupos de estrellas. Los
babilonios creían ver en los conjuntos > En esta lección, abordarás los temas de:
estelares diferentes figuras. El concepto
científico actual de constelación difiere • Resolución de problemas que impliquen reconocer, estimar y medir ángu-
del que se tenía anteriormente y del que
aún persiste a nivel popular. Hoy en día
los, utilizando el grado como unidad de medida.
son consideradas por los astrónomos • Determinación mediante construcciones de las posiciones relativas de dos
como áreas fijas en el cielo limitadas por rectas en el plano y elaboración de definiciones de rectas paralelas, perpen-
líneas que son paralelas al ecuador y a los diculares y oblicuas.
meridianos celestes; a diferencia de los
arreglos o configuraciones de estrellas
• Establecimiento de relaciones entre los ángulos que se forman al cortarse
formando las figuras de animales u dos rectas en el plano y reconocimiento de ángulos opuestos por el vértice
objetos como las veían los babilonios. y adyacentes.

16 Bloque 1


>1º
>1º
1> Los ángulos

En la siguiente fotografía aparecen estrellas, une algunas con segmentos de
recta y crea tus propias constelaciones.

Mide los ángulos formados por los segmentos que construiste.

¿Cuál de estos dos ángulos es mayor? ¿Por qué?
Actividad individual

Compara tus argumentos con los de tus demás compañeros.

Lección 1 > Los ángulos 17


Actividad individual Los siguientes dibujos muestran varias posiciones de una rueda de la fortuna.
Ordena los ángulos señalados en la figura, de menor a mayor.
Compara tus respuestas con las de tus demás compañeros.

A B C D

Actividad individual Ordena los siguientes ángulos de menor a mayor.

C

B
A

D

F
E

¿Cuáles de estos ángulos son menores que un ángulo recto? ¿Cuáles son mayores?

El grado es una unidad de medida de los ángulos. Si al formar un ángulo
con dos semirrectas pensamos que una de ellas está fija y la otra se mue-
ve, el ángulo correspondiente a una vuelta completa de la semirrecta mó-
vil mide 360 grados (360º).

360°

18 Bloque 1


Por otro lado, la mitad de una vuelta corresponde a un ángulo de 180°, lla-
mado ángulo llano. La cuarta parte de una vuelta corresponde a un ángu-
lo de 90°, llamado ángulo recto.

Ángulo recto

Ángulo llano

El instrumento más utilizado para medir ángulos es el transportador.

¿Cuánto mide el ángulo que se esta
midiendo con el transportador? Co-
menta con tus compañeros.

Dobla una hoja de papel y forma una figura, por ejemplo, un “avión”. Actividad individual

Ahora desdobla la hoja y mide con el transportador los ángulos que observes.

¿Qué tipo de ángulos obtuviste? ¿Obtuviste ángulos mayores que un ángulo
recto? ¿Menores? ¿Puedes doblar la hoja de manera que obtengas sólo ángu-
los rectos?
Avión de papel.

Las medidas de los ángulos de la figura son: 5º, 27º. 65º, 90º, 118º y 170º. Aso- Actividad individual
cia cada medida con el ángulo correspondiente, sin medir los ángulos directa-
mente.

A

B
C

D
E
F



>2º
Actividad individual Traza en tu cuaderno dos rectas que se corten, una de color rojo y otra de
color negro. Llama A, B, C y D a los cuatro ángulos que se forman.

B A
C D

¿Hay en tu figura ángulos iguales? ¿Cuáles son?
En tu figura ¿cuánto suman las medidas de los ángulos A y B? ¿Por qué?
¿Cuánto suman los ángulos B y C? ¿Qué puedes decir de A y C?
Utiliza un razonamiento análogo para comparar los ángulos B y D.
Discute tus argumentos con el resto del grupo.

A una pareja de ángulos como A y C de la siguiente figura, se les conoce
como ángulos opuestos por el vértice.

A
C

Si dos ángulos A y B comparten el vértice y un lado se dice que son adya-
centes.

A
B B
A

Si dos ángulos A y B suman 180º se dice que son suplementarios.
Si dos ángulos adyacentes forman un ángulo llano, son suplementarios.

A
B

20 Bloque 1


En el siguiente mapa aparece una parte de la ciudad de Guadalajara.

Ra
Presa La
Cir
d ió
Escondid
uja

a
Ma

lo g
nos
gis

os
trad

Pre
os

sa
Pre
lís

Val
So

sa
a
res

seq
S
Pre
P

ant

uill
Pre

sa

aR

o
Pre

Fal
sa

osa
Pre

sa
Mo

cón

nillo
sa
Tív
del

fier
Be

oli
o

In
del
rme
Pre

sa
Pre
jillo
sa
Pila
s

¿Cuánto miden los ángulos en el cruce de las calles Presa La Escondida y Pre-
sa Santa Rosa?
¿Cuánto miden los ángulos en la intersección de Presa Falcón y Presa Solís?
Indica varias parejas de calles perpendiculares.
Indica varias parejas de calles paralelas.
Indica dos parejas de calles que no sean paralelas ni perpendiculares.

Si dos rectas en el plano se cortan formando ángulo recto se dice que son
perpendiculares.
Dos rectas que se cortan pero no son perpendiculares son oblicuas.
Dos rectas que tienen una perpendicular común son paralelas.

Rectas
perpendiculares Rectas
paralelas

Rectas
oblicuas



>3º
Traza en tu cuaderno dos rectas, una roja y una negra, que se corten. Con
el compás, marca en cada una de las rectas segmentos de igual longitud. Eti-
queta los puntos como en la figura.

C

B

A

0 A’ B’ C’

Traza una recta de color verde que pase por los puntos A y A’.
Traza ahora otra recta de color verde que pase por los puntos B y B’.

C

B

A

0 A’ B’ C’

¿Hay alguna relación entre las medidas de los ángulos OAA’ y OBB’? Analiza
y compara tus observaciones con las de tus compañeros.
Traza una tercera recta de color verde por los puntos C y C’ y analiza la rela-
ción del ángulo OCC’ con los ángulos anteriores.
Compara los ángulos AA’O y BB’O. ¿Qué puedes decir del ángulo CC’O?
Discute tus conclusiones con tus compañeros del grupo.

Actividad colectiva
En tu cuaderno, traza una recta roja y otra recta negra que se corten. Marca
en cada recta segmentos con la misma longitud y etiqueta los puntos con nú-
meros, como sigue.

22 Bloque 1


>3º

6
5
4
3
2
1

1 2 3 4 5 6

Traza una recta L de color verde que pase por los puntos 1 y 2 .
Traza una recta paralela a L, que pase por el punto 2. Traza una paralela más,
que pase por el punto 3. Compara los ángulos marcados en la siguiente figura.
¿Qué observas? Discute tus observaciones con tus compañeros.

6

5
4
3
2
L
1

1 2 3 4 5 6



>4º
1. En la siguiente figura aparecen varias rectas que se cortan entre sí.

Marca con un mismo color los ángulos que midan lo mismo. ¿Por qué miden
lo mismo?

2. Consigue un mapa de tu localidad, si no tienes dibuja uno, reprodúcelo
en tu cuaderno usando rectas para representar las calles y contesta en él
las siguientes preguntas:
¿Hay parejas de calles perpendiculares? Escribe algunas.
¿Hay parejas de calles paralelas? Escribe algunas.
¿Hay parejas de calles que no sean perpendiculares ni paralelas? Escribe
algunas.
3.
a) Traza en tu cuaderno dos rectas que se corten en un punto O. ¿Cuán-
to mide el ángulo entre estas rectas? Ahora elige un punto P que no
esté sobre las rectas y traza las perpendiculares a las rectas originales
que pasan por P. Tendrás una figura parecida a la siguiente.

P

O

¿Cuánto mide el ángulo que forman en P las perpendiculares que trazas-
te? ¿Hay alguna relación entre el ángulo de las rectas originales y el án-
gulo que forman las dos perpendiculares al cortarse, dado que ya conoces
el ángulo O?

24 Bloque 1


>PARA TERMINAR
b) De nuevo traza en tu cuaderno dos rectas que se corten en un punto O.
Ahora elige un punto Q sobre una de las rectas (distinto de O) y traza las
perpendiculares a las rectas originales que pasan por Q. Contesta las pre-
guntas del inciso anterior.

Q

O

c) Finalmente, traza en tu cuaderno dos rectas que se corten en un punto O O
y las perpendiculares a éstas que pasan por O. Contesta las mismas pre-
guntas de los incisos anteriores.

4. Dibuja en tu cuaderno un rombo cuyo lado mida 5 cm y una de sus dia-
gonales mida 6 cm. ¿Cuánto miden los ángulos interiores de tu rombo?
Compara tu rombo con el de tus compañeros. ¿Cuáles son las diferencias
entre los rombos que dibujaron?

5. Construye un rectángulo con uno de sus lados de 9 cm y una de sus dia-
gonales de 12 cm. ¿A todos tus compañeros les salió el mismo rectángulo?
¿Cuánto mide el ángulo entre la diagonal y un lado? Compara tu resulta-
do con el de tus compañeros.

6. Traza un triángulo ABC con el lado AB de 7.5 cm y el ángulo ABC de
35°. ¿Obtuviste el mismo triángulo que tus compañeros? ¿Cuánto mide el
lado BC en tu triángulo? ¿Cuánto mide el ángulo BCA en tu triángulo?

7. Construye un triángulo cuyos lados midan 6, 8 y 10 cm, respectivamente.
¿Cuánto miden los ángulos de este triángulo? ¿Obtuviste las mismas res-
puestas que tus compañeros?

8. Dibuja en tu cuaderno un paralelogramo cuyos lados midan 6 y 5 cm,
respectivamente. Mide los ángulos de este paralelogramo. ¿Obtuviste las
mismas medidas que tus compañeros?

Torito

El reloj de manecillas
En un reloj de manecillas (horario y minutero), ¿cuántos grados recorre cada manecilla por minuto?
¿A qué horas coinciden las manecillas del reloj?
¿A qué horas apuntan las manecillas en sentidos opuestos?
Si a cierta hora las manecillas forman un ángulo recto, ¿cuánto tiempo pasa hasta que vuelvan a formar un ángulo recto?



>PARA COMENZAR

1. Qué son las rectas paralelas.
2. Cómo medir ángulos.
3. Cuánto suman los ángulos interiores de un triángulo.
4. Cuánto suman los ángulos interiores de un cuadrilátero.

SOL

␣

78
7.
5
km
Alejandría

Siena

A

A pesar de su sencillez, las propiedades de
los ángulos cortados por una transversal
en una pareja de rectas paralelas tienen
aplicaciones sorprendentes. Una de ellas es
el cálculo de la circunferencia de la Tierra
realizado por Eratóstenes (284 -192 a.n.e.). > En esta lección, abordarás los temas de:

• Establecimiento de las relaciones entre los ángulos que se forman entre dos
rectas paralelas cortadas por una transversal.
• Justificación de las relaciones existentes entre las medidas de los ángulos
interiores de los triángulos y paralelogramos.

26 Bloque 1


Mate2

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (10)

Destacado

Destacado (20)

Similar a Mate2

Similar a Mate2 (20)

Mate2