Algunas distribuciones discretas

1. Distribuciones discretas
MSc Edgar Madrid Cuello
Departamento de Matemática, UNISUCRE
Estadística I
2017
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2. Distribución Discreta Uniforme
Denición (distribución discreta uniforme)
Se dice que una variable aleatoria X tiene distribución discreta uniforme de
parámetro N, donde N es un entero positivo, si su función másica de
probabilidad está dada por:
f(x) =



1
N
si x = 1, 2, . . . , N
0 e.c.o.c
La función de densidad tiene la forma que presenta la gura 1.
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3. Distribución Discreta Uniforme
Denición (distribución discreta uniforme)
Se dice que una variable aleatoria X tiene distribución discreta uniforme de
parámetro N, donde N es un entero positivo, si su función másica de
probabilidad está dada por:
f(x) =



1
N
si x = 1, 2, . . . , N
0 e.c.o.c
La función de densidad tiene la forma que presenta la gura 1.
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4. Figure: 1 Función de densidad de una distribución uniforme discreta
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5. Teorema (propiedades de la distribución discreta)
Si X es una variable aleatoria con distribución discreta uniforme de
parámetro N entonces:
1 µX = E X =
N + 1
2
2 σ2
X = V ar X =
N2 − 1
12
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6. Teorema (propiedades de la distribución discreta)
Si X es una variable aleatoria con distribución discreta uniforme de
parámetro N entonces:
1 µX = E X =
N + 1
2
2 σ2
X = V ar X =
N2 − 1
12
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7. La distribución binomial
Denición (Modelo de pruebas independientes)
Se realiza una serie de n pruebas independientes. Cada prueba puede
resultar un éxito o un fracaso.La probabilidad de éxito es igual a la misma
cantidad, p, en cada prueba, independientemente del resultado de las otras
pruebas.
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8. La distribución binomial
Denición (Modelo de pruebas independientes)
Se realiza una serie de n pruebas independientes. Cada prueba puede
resultar un éxito o un fracaso.La probabilidad de éxito es igual a la misma
cantidad, p, en cada prueba, independientemente del resultado de las otras
pruebas.
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9. La distribución binomial
Denición (Modelo de pruebas independientes)
Se realiza una serie de n pruebas independientes. Cada prueba puede
resultar un éxito o un fracaso.La probabilidad de éxito es igual a la misma
cantidad, p, en cada prueba, independientemente del resultado de las otras
pruebas.
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10. La distribución binomial
Denición (Modelo de pruebas independientes)
Se realiza una serie de n pruebas independientes. Cada prueba puede
resultar un éxito o un fracaso.La probabilidad de éxito es igual a la misma
cantidad, p, en cada prueba, independientemente del resultado de las otras
pruebas.
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11. La distribución binomial especica las probabilidades de diversos números
de éxitos y fracasos cuando la operación aleatoria básica consiste en n
pruebas independientes.
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12. Una variable aleatoria binomial es una variable que satisface las siguientes
cuatro condicines,
1 Resultados Binarios: solo hay dos posibles resultados para cada prueba
(éxito o fracaso).
2 Pruebas Independientes: los resultados de las pruebas son
independientes entre sí.
3 n es jo: el número de pruebas n, se ja al principio.
4 Mismo valor de p: la probabilidad de éxito en una sola prueba es la
misma en todas las pruebas.
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13. Una variable aleatoria binomial es una variable que satisface las siguientes
cuatro condicines,
1 Resultados Binarios: solo hay dos posibles resultados para cada prueba
(éxito o fracaso).
2 Pruebas Independientes: los resultados de las pruebas son
independientes entre sí.
3 n es jo: el número de pruebas n, se ja al principio.
4 Mismo valor de p: la probabilidad de éxito en una sola prueba es la
misma en todas las pruebas.
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14. Una variable aleatoria binomial es una variable que satisface las siguientes
cuatro condicines,
1 Resultados Binarios: solo hay dos posibles resultados para cada prueba
(éxito o fracaso).
2 Pruebas Independientes: los resultados de las pruebas son
independientes entre sí.
3 n es jo: el número de pruebas n, se ja al principio.
4 Mismo valor de p: la probabilidad de éxito en una sola prueba es la
misma en todas las pruebas.
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15. Una variable aleatoria binomial es una variable que satisface las siguientes
cuatro condicines,
1 Resultados Binarios: solo hay dos posibles resultados para cada prueba
(éxito o fracaso).
2 Pruebas Independientes: los resultados de las pruebas son
independientes entre sí.
3 n es jo: el número de pruebas n, se ja al principio.
4 Mismo valor de p: la probabilidad de éxito en una sola prueba es la
misma en todas las pruebas.
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16. Una variable aleatoria binomial es una variable que satisface las siguientes
cuatro condicines,
1 Resultados Binarios: solo hay dos posibles resultados para cada prueba
(éxito o fracaso).
2 Pruebas Independientes: los resultados de las pruebas son
independientes entre sí.
3 n es jo: el número de pruebas n, se ja al principio.
4 Mismo valor de p: la probabilidad de éxito en una sola prueba es la
misma en todas las pruebas.
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17. Denición (La fórmula de la distribución binomial)
Dada una variable aleatoria binomial X, la probabilidad de que en n pruebas
ocurran j éxitos (y n − j fracasos) viene dada por la siguiente fórmula:
P j exitos = P X = j =
n
j
pj
(1 − p)n−j
Teorema (propiedades de la distribución binomial)
Sea X una variable aleatoria con distribución binomial de parámetros n y
p. Entonces:
E (X )= np
V ar (X )= npq ; donde q := 1 − p
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18. Denición (La fórmula de la distribución binomial)
Dada una variable aleatoria binomial X, la probabilidad de que en n pruebas
ocurran j éxitos (y n − j fracasos) viene dada por la siguiente fórmula:
P j exitos = P X = j =
n
j
pj
(1 − p)n−j
Teorema (propiedades de la distribución binomial)
Sea X una variable aleatoria con distribución binomial de parámetros n y
p. Entonces:
E (X )= np
V ar (X )= npq ; donde q := 1 − p
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19. Denición (La fórmula de la distribución binomial)
Dada una variable aleatoria binomial X, la probabilidad de que en n pruebas
ocurran j éxitos (y n − j fracasos) viene dada por la siguiente fórmula:
P j exitos = P X = j =
n
j
pj
(1 − p)n−j
Teorema (propiedades de la distribución binomial)
Sea X una variable aleatoria con distribución binomial de parámetros n y
p. Entonces:
E (X )= np
V ar (X )= npq ; donde q := 1 − p
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20. Denición (La fórmula de la distribución binomial)
Dada una variable aleatoria binomial X, la probabilidad de que en n pruebas
ocurran j éxitos (y n − j fracasos) viene dada por la siguiente fórmula:
P j exitos = P X = j =
n
j
pj
(1 − p)n−j
Teorema (propiedades de la distribución binomial)
Sea X una variable aleatoria con distribución binomial de parámetros n y
p. Entonces:
E (X )= np
V ar (X )= npq ; donde q := 1 − p
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21. Denición (La fórmula de la distribución binomial)
Dada una variable aleatoria binomial X, la probabilidad de que en n pruebas
ocurran j éxitos (y n − j fracasos) viene dada por la siguiente fórmula:
P j exitos = P X = j =
n
j
pj
(1 − p)n−j
Teorema (propiedades de la distribución binomial)
Sea X una variable aleatoria con distribución binomial de parámetros n y
p. Entonces:
E (X )= np
V ar (X )= npq ; donde q := 1 − p
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22. Ejemplo
Utilizar la fórmula de la distribución binomial para n = 5
Éxitos j Fracasos 1 − j Probabilidad
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23. Ejemplo (Vuelos)
US Airways tiene cinco vuelos diarios de Pittsburgh al Aeropuerto Regional
de Bradford,Pennsylvania. Suponga que la probabilidad de que cualquier
vuelo llegue tarde sea de 0.20. ¾Cuál es la probabilidad de que ninguno de
los vuelos llegue tarde hoy? ¾Cuál es la probabilidad de que exactamente
uno de los vuelos llegue tarde hoy?
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24. 0 1 2 3 4 5
0.00.10.20.30.4
Distribución de probabilidad del número de vuelos retrasados
Número de vuelos retrasado
probabilidad
q
q
q
q
q q
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25. Construyendo la gráca de la distribución de probabilidad:
plot(mutantes,Probabilidad, xlab=Número de
mutantes,type=h,main=Distribución binomial, p=.37, n=5)
points(mutantes,Probabilidad, pch=16)
abline(h=0, col=gray)
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26. 0 1 2 3 4 5
0.000.050.100.150.200.250.300.35
Distribución binomial, p=.37, n=5
Número de mutantes
Probabilidad
q
q
q
q
q
q
Figure: funcion de probabilidad binomial con n = 5 y p = 0.37
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27. Construyendo la gráca de la función de distribución:
.x - rep(mutantes, rep(2, length(mutantes)))
plot(.x[-1], pbinom(.x, size=5, prob=0.37)[-length(.x)],
xlab=Número de mutantes, ylab=Probabilidad acumulada,
main=Distribución Binomial: n = 25, p = 0.37, type=l)
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28. Construyendo la gráca de la función de distribución:
.x - rep(mutantes, rep(2, length(mutantes)))
plot(.x[-1], pbinom(.x, size=5, prob=0.37)[-length(.x)],
xlab=Número de mutantes, ylab=Probabilidad acumulada,
main=Distribución Binomial: n = 25, p = 0.37, type=l)
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29. distribución binomial con n = 5 y p = 0.37
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30. Ejemplo
Un estudio de la American Society of Investors descubrió que 30% de
inversionistas particulares había utilizado un agente de descuentos. En una
muestra aleatoria de nueve personas, ¾cuál es la probabilidad de que:
exactamente dos personas hayan utilizado un agente de descuentos?
P(X = 2) =
exactamente cuatro personas hayan recurrido a él?
ninguna persona lo haya empleado?
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31. Ejemplo
Un estudio de la American Society of Investors descubrió que 30% de
inversionistas particulares había utilizado un agente de descuentos. En una
muestra aleatoria de nueve personas, ¾cuál es la probabilidad de que:
exactamente dos personas hayan utilizado un agente de descuentos?
P(X = 2) =
exactamente cuatro personas hayan recurrido a él?
ninguna persona lo haya empleado?
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32. Ejemplo
Un estudio de la American Society of Investors descubrió que 30% de
inversionistas particulares había utilizado un agente de descuentos. En una
muestra aleatoria de nueve personas, ¾cuál es la probabilidad de que:
exactamente dos personas hayan utilizado un agente de descuentos?
P(X = 2) =
exactamente cuatro personas hayan recurrido a él?
ninguna persona lo haya empleado?
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33. Ejemplo
Un estudio de la American Society of Investors descubrió que 30% de
inversionistas particulares había utilizado un agente de descuentos. En una
muestra aleatoria de nueve personas, ¾cuál es la probabilidad de que:
exactamente dos personas hayan utilizado un agente de descuentos?
P(X = 2) =
exactamente cuatro personas hayan recurrido a él?
ninguna persona lo haya empleado?
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34. Denición
Para X ∼ Binom(n, p)), la función de distribución acumulativa será
denotada por
FX(x) = P(X ≤ x) = B(x; n, p) =
y
x=0
b(y; n, p) x = 0, 1, 2, . . . , n
Ejemplo
Suponga que 20% de todos los ejemplares de un libro de texto particular no
pasan una prueba de resistencia de encuadernación. Sea X el número entre
15 ejemplares seleccionados al azar que no pasan la prueba. Entonces X
tiene una distribución binomial con n = 15 y p = 0.2.a
a
ejemplo 3.32. Devore, Probabilidad y estadística para ingenieros y ciencias,
7a ed.
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35. La probabilidad de que cuando mucho 8 no pasen la prueba es
La probabilidad de que exactamente 8 fallen es
La probabilidad de que por lo menos 8 fallen es
Finalmente, la probabilidad de que entre 4 y 7, inclusive, fallen es
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36. La probabilidad de que cuando mucho 8 no pasen la prueba es
La probabilidad de que exactamente 8 fallen es
La probabilidad de que por lo menos 8 fallen es
Finalmente, la probabilidad de que entre 4 y 7, inclusive, fallen es
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 18 / 19

37. La probabilidad de que cuando mucho 8 no pasen la prueba es
La probabilidad de que exactamente 8 fallen es
La probabilidad de que por lo menos 8 fallen es
Finalmente, la probabilidad de que entre 4 y 7, inclusive, fallen es
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 18 / 19

38. La probabilidad de que cuando mucho 8 no pasen la prueba es
La probabilidad de que exactamente 8 fallen es
La probabilidad de que por lo menos 8 fallen es
Finalmente, la probabilidad de que entre 4 y 7, inclusive, fallen es
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 18 / 19

39. Denición (Distibución binomial negativa y geométrica)
Se dice que una variable aleatoria X tiene distribución binomial negativa
parámetros k y p, si su función de densidad está dada por:
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