Pruebas de hipotesis - Introducción

séptima sección
Pruebas de hipótesis
MSc Edgar Madrid Cuello.
Dpto de Matemáticas, UNISUCRE
Estadística II
Abril 2018
MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemáticas, UNISUCRE Estadística IIPruebas de hipótesis

séptima sección
Denición
Un test estadístico es un procedimiento para, a partir de una
muestra aleatoria y signicativa, extraer conclusiones que permitan
rechazar o no rechazar una hipótesis previamente emitida sobre el
valor de un parámetro desconocido de una población.
El propósito del análisis estadístico es reducir el nivel de
incertidumbre en el proceso de toma de decisiones.
Los gerentes pueden tomar mejores decisiones sólo
si tienen suciente información a su disposición. La
prueba de hipótesis es una herramienta analítica muy
efectiva para obtener esta valiosa información, bajo
una gran variedad de circunstancias.

séptima sección
Denición (HIPÓTESIS )
Armación relativa a un parámetro de la población sujeta a
vericación.
Existen muchos ejemplos comunes en los negocios:
Ejemplo
Un empacador de arroz debe determinar si el peso promedio de sus
bolsas es de 450gr (µ = 450gr)
Ejemplo
Un embotellador de bebidas suaves debe determinar si el peso
promedio del contenido de sus botellas es 16 onzas (µ = 16 onzas).

séptima sección
Denición (Hipótesis nula y alternativa)
La estructura de la prueba de hipótesis se formulará usando el
término hipótesis nula, el cual se reere a cualquier hipótesis que
deseamos probar y se denota con H0. El rechazo de H0 conduce a
la aceptación de una hipótesis alternativa, que se denota con HA.
La hipótesis alternativa HA, por lo general, representa la pregunta
que debe responderse, la teoría que debe probarse y, por ello, su
especicación es muy importante.

séptima sección
Ejemplo
Un fabricante de cierta marca de cereal de arroz arma que el
contenido promedio de grasa saturada no excede de 1.5 gramos.
Establezca las hipótesis nula y alternativa a utilizar para probar esta
armación y determinar dónde se localiza la región crítica.
H0 : µ = 1.5
vs
HA : µ 1.5

séptima sección
Ejemplo
Un agente de bienes raíces arma que 60% de todas las viviendas
privadas que se construyen actualmente son casas con tres
dormitorios. Para probar esta armación, se inspecciona una
muestra grande de viviendas nuevas. La proporción de tales casas
con tres dormitorios se registra y se utiliza como estadístico de
prueba. Establezca las hipótesis nula y alternativa a utilizarse en
esta prueba y determine la posición de la región crítica.
H0 : p = 0.6
vs
HA : p = 0.6

séptima sección
Valores críticos de Z y zonas de rechazo

séptima sección
Estos valores de Z de ±1.96 son valores críticos que determinan las
zonas de rechazo. Para hallarlos, divida por 2 el 95%. En la tabla
Z, el área de 0.95/2 = 0.4750 indica un valor Z de 1.96. El 5%
restante está distribuido entre las dos colas, con 2.5% en cada zona
de rechazo. Este 5% es el nivel de signicancia, o el valor alfa de la
prueba.
Denición (Regla de decisión)
No se rechaza la hipótesis nula, con un nivel de conanza del
95%, si los valores Z están entre ±1.96. Se rechaza si el valor Z es
menor que -1.96 o mayor que 1.96.

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Denición (Error tipo I )
Rechazar una hipótesis verdadera. La probabilidad de cometer un
error tipo I es igual al nivel de signicancia, o valor α en el que se
prueba la hipótesis.
Situación real
H0 ver-
dadera
HA ver-
dadera
NUESTRA
DECISIÓN
Falta de evidencia
signicativa a favor
de HA
Correcto Error tipo II
Evidencia signica-
tiva a favor de de
HA
Error tipo I Correcto

séptima sección
Ejemplo
Suponga que un alergólogo desea probar la hipótesis de que al
menos 30% del público es alérgico a algunos productos de queso.
Explique cómo el alergólogo podría cometer
un error tipo I
un error tipo II
Concluir que menos del 30% de el publico son alérgicos
a algunos productos de queso cuando, es cierto que,
30% o más son alérgicos.
Concluir que al menos 30% de el publico son alérgicos
a algunos productos de queso cuando, es cierto que,
menos 30% son alérgicos.

séptima sección
Prueba de dos colas para µ
Hay cuatro pasos involucrados en una prueba:
Paso 1 Plantear las hipótesis.
Paso 2 Con base en los resultados de la muestra, calcular el valor del
estadístico de prueba Z o t.
Paso 3 Determinar la regla de decisión con base en los valores críticos
de Z o t.
Paso 4 Interpretación y conclusiones.

séptima sección
Denición
El valor Z utilizado para probar la hipótesis cuando σ es conocido
Z =
¯X−µH
σ√
n
Denición
El valor Z utilizado para probar la hipótesis cuando σ es
desconocido y n grande
Z =
¯X−µH
s√
n

séptima sección
Ejemplo
Un fabricante de equipo deportivo desarrolló un nuevo sedal para
pesca sintético que arma que tiene una resistencia media a la
rotura de 8 kilogramos con una desviación estándar de 0.5
kilogramos. Pruebe la hipótesis de que µ = 8 kilogramos contra la
alternativa de que µ = 8 kilogramos, si se prueba una muestra
aleatoria de 50 sedales y se encuentra que tiene una resistencia
media a la rotura de 7.8 kilogramos. Utilice un nivel de
signicancia de 0.01. Ver Ejemplo 10.4 en [3]

séptima sección
Ejemplo (Planteamiento de hipótesis)
H0 : µ = 8
vs
HA : µ = 8
Ejemplo (Estadístico de prueba Z)
Z = 7.8−8
0.5/
√
50
= −2.83

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Ejemplo (Contraste)

séptima sección
Ejemplo (Interpretación y conclusiones)
Hay evidencia estadística para rechazar H0 y concluir que la
resistencia promedio a la rotura no es igual a 8 sino que, de hecho,
es menor que 8 kilogramos.

séptima sección
Denición (p-valor [2])
El P-valor (o valor P) es el mínimo nivel de signicancia en el cual
la hipótesis nula H0 sería rechazada cuando se utiliza un
procedimiento de prueba especicado con un conjunto dado de
información. Una vez que el P-valor haya sido calculado, la
conclusión en cualquier nivel de signicancia particular resulta de
comparar el P-valor con α. Así, entonces:
1 Si P-valor α, entonces, rechace H0 al nivel α.
2 Si P-valor α, entonces, no rechace H0 al nivel α.

séptima sección
Ejemplo (P-valor)
Para el ejemplo anterior el p-valor es
2 × p(Z −2, 83) = 2 × (0.0023274) = 0.0046548
Como este valor hallado es menor que α = 0.01, se rechaza H0 a
un nivel de signicancia del 0.01.

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Otras deniciones
Denición
Un valor P es el nivel (de signicancia) más bajo donde es
signicativo el valor observado del estadístico de prueba [3].
Denición
Valor p Es el nivel más bajo de signicancia (valor α) al cual se
puede rechazar la hipótesis nula. Es el área en la cola que está más
allá del valor del estadístico para la muestra. [4]

séptima sección
σ desconocido
Denición
Cuando la varianza es desconocida, al igual que en casos anteriores
trabajaremos con la distribución t-Student, en vez de la distribución
normal.
t =
¯X−µH
s√
n
con n − 1 grados de libertad

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Prueba de una cola
Denición
Si la hipótesis alternativa da lugar a una región crítica a un solo
lado del valor del parámetro, diremos que el test es unilateral o de
una sola cola

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Ejemplo
El Instituto Eléctrico Edison publica cifras del número anual de
kilowatts-hora que gastan varios aparatos electrodomésticos. Se
arma que una aspiradora gasta un promedio de 46 kilowatts-hora
al año. Si una muestra aleatoria de 12 hogares que se incluye en un
estudio planeado indica que las aspiradoras gastan un promedio de
42 kilowatts-hora al año con una desviación estándar de 11.9
kilowatts-hora, ¾en un nivel de signicancia de 0.05 (α) esto
sugiere que las aspiradoras gastan, en promedio, menos de 46
kilowatts-hora anualmente? Suponga que la población de
kilowatts-hora es normal [3] .

séptima sección
Ejemplo
Planteamiento de Hipótesis
H0 : µ = 46
vs
HA : µ 46
Observaciones:
Prueba de una sola cola (izquierda)
Varianza desconocida y n pequeño

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Ejemplo
Cálculo de el estadístico t
t = 42−46
11.9√
12
=−1.164
Cuyo p-valor −→pt(-1.16,11)= 0.1353036 0.05=α

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Ejercicio
El departamento de policía de Santa Clara, California, ha
descubierto que los agentes de tránsito deberían hacer un promedio
de 27 comparendos por mes. Si un agente hace más de esa
cantidad, es probable que sea demasiado entusiasta en el ejercicio
de sus funciones. Para evaluar a sus agentes, el jefe anotó el
número de comparendos realizados por los 15 agentes. Los
resultados aparecen en la siguiente tabla.
28 34 30
31 29 33
22 32 38
26 25 31
25 24 31
Con un nivel de signicancia del 5%, ¾parece que los agentes están
desempeñándose satisfactoriamente?

séptima sección
Debido a la inación en las notas, en la cual los profesores han
venido dando notas muy altas, el decano insiste que cada profesor
repruebe al 30% de sus estudiantes. En una muestra reciente de
315 estudiantes, el Profesor Madrid reprobó a 112 estudiantes. ¾El
profesor está cumpliendo con los requisitos que exige el decano?
Sea α = 0.05. Calcule el valor p.

séptima sección
Ejercicio

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Bibliográa
Lind, D. Marchal, W. Wathen, S.Estadística Aplicada a los
negocios y a la economía. Mc Graw Hill, Mexico, D.F., 2012.
Llinás, H. Guía resumida de Estadística Aplicada. Uninorte,
Barranquilla, 2012.
Walpole, R.E. Probabilidad y estadística para ingeniería y
ciencias. Isbn 9789702609360, Pearson Educación, 2007
Webster, A. Estadística Aplicada a los Negocios y la Economía.
Editorial McGraw-Hill, tercera edición, 2000

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