estadistica

1. Distribuciones Muéstrales
El estudio de determinadas características de una población se efectúa a través de
diversas muestras que pueden extraerse de ella.
El muestreo puede hacerse con o sin reposición, y la población de partida puede
ser infinita o finita. Una población finita en la que se efectúa muestreo con reposición
puede considerarse infinita teóricamente. También, a efectos prácticos, una
población muy grande puede considerarse como infinita. En todo nuestro estudio
vamos a limitarnos a una población de partida infinita o a muestreo con reposición.
Consideremos todas las posibles muestras de tamaño n en una población. Para
cada muestra podemos calcular un estadístico (media, desviación típica,
proporción,...) que variará de una a otra. Así obtenemos una distribución del
estadístico que se llama distribución muestral.
Las dos medidas fundamentales de esta distribución son la media y la desviación
típica, también denominada error típico.
Hay que hacer notar que si el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande
las distribuciones muéstrales son normales y en esto se basarán todos los
resultados que alcancemos.
Distribución muestral de media
Si tenemos una muestra aleatoria de una población N(m,s ), se sabe (Teorema del
límite central) que la fdp de la media muestral es también normal con media m y
varianza s2/n. Esto es exacto para poblaciones normales y aproximado (buena
aproximación con n>30) para poblaciones cualesquiera. Es decir es el error
típico, o error estándar de la media.
¿Cómo usamos esto en nuestro problema de estimación?
1º problema: No hay tablas para cualquier normal, sólo para la normal m=0 y s=1
(la llamada z); pero haciendo la transformación (llamada tipificación)
), se sabe (Teorema del límite central) que la fdp de la media maestral es
también normal con media y varianza 2/n. Esto es exacto para poblaciones
normales y aproximado (buena aproximación con n>30) para poblaciones
cualesquiera. Es decir es el error típico, o error estándar de la media.
¿Cómo usamos esto en nuestro problema de estimación?
llamada z); pero haciendo la transformación (llamada tipificación)

2. una normal de media y desviación se transforma en una z.
Llamando z al valor de una
variable normal tipificada que
deja a su derecha un área bajo
probabilidad que la variable sea
mayor que ese valor es
son los valores que ofrece la
tabla de la normal)
podremos construir intervalos
de la forma
para los que la probabilidad es
1 -
Teniendo en cuenta la simetría de la normal y manipulando algebraicamente
que también se puede escribir
o, haciendo énfasis en que es el error estándar de la media,

3. Recuérdese que la probabilidad de que esté en este intervalo es 1 -
intervalo de este tipo se le denomina intervalo de confianza con un nivel de
confianza del 100(1 - nivel de significación
habitual es el 95%, en cuyo caso z /2=1,96. Al valor se le denomina
estimación puntual y se dice que es un estimador de
Ejemplo: Si de una población normal con varianza 4 se extrae una muestra aleatoria
de tamaño 20 en la que se calcula se puede decir que tiene una
probabilidad de 0,95 de estar comprendida en el intervalo
que sería el intervalo de confianza al 95% para
En general esto es poco útil, en los casos en que no se conoce tampoco suele
conocerse 2; en el caso más realista de 2 desconocida los intervalos de confianza
se construyen con la t de Student (otra fdpcontinua para la que hay tablas) en lugar
de la z.
o, haciendo énfasis en que es el error estándar estimado de la media,
Esta manera de construir los intervalos de confianza sólo es válido si la variable es
normal. Cuando n es grande (>30) se puede sustituir t por z sin mucho error.

4. Ejercicio de Aplicación
La vida útil de una llanta es de 32000 kilómetros de promedio con una desviación
estándar de 8900 kilómetros se pide:
a) Cuál es la probabilidad de que 8 llantas duren entre 32000 y 33000
kilómetros
b) Si compro 17 llantas cual es la probabilidad que dure menos de 27000
kilómetros
c) Si compro 24 llantas cual es la probabilidad que dure 30000 y 345000
Datos:
Aplicar Formula:
Remplazar valores:
𝑧 =
33000 − 32000
8400/√8
Resultado:
𝑧 =
1000
2969.86
𝑧 = 0.34
El valor de la z se lo busca en la tabla
32000
8400
x 33000
n 8
𝑧 =
𝑥 −
/√ 𝑛

5. Respuesta
Z=13.31%
Entonces la probabilidad de que las llantas duran entre 32000 y 33000 kilómetros
es del 13.31%
Literal b
Datos:
Aplicar Formula:
32000
8400
x 27000
n 17
𝑧 =
𝑥 −
/√ 𝑛

6. Remplazar valores:
𝑧 =
27000 − 32000
8400/√17
Resultado:
𝑧 =
5000
2037.30
𝑧 = 2.45
El valor de la z se lo busca en la tabla
Respuesta
Z=49.29%-50%
Z= 0.71%

7. Entonces la probabilidad de que las llantas duran menos de 27000 kilómetros es
del 0.71%
Literal c
Datos:
Aplicar Formula:
Remplazar valores:
𝑧 =
30000−32000
8400/√24
𝑧 =
34500−32000
8400/√24
Resultado:
𝑧 =
2000
1714.64
𝑧 =
2500
1714.64
𝑧 = 1.17 𝑧 = 1.48
El valor de la z se lo busca en la tabla
32000
8400
x 30000
n 24
32000
8400
x 34500
n 24
𝑧 =
𝑥 −
/√ 𝑛

8. Respuesta
Z1=37.90% Z2= 43.06%
Z=37.90%+43.06%
Z=80.96%
Entonces la probabilidad de que las llantas duran entre 30000 y 34500 kilómetros
es del 80.96%