Límites de tolerancia y estimación de diferencias entre medias

LÍMITES DE TOLERANCIA
FCC BUAP
Luis Alfredo Moctezuma
5/14/2016 1Límites de tolerancia

Introducción
• En algunos casos, el interés se centra en saber donde
cae la mayoría de los valores de la población
• Esto es útil para conocer el desempeño a largo plazo, no
en la siguiente observación
5/14/2016 Límites de tolerancia 2

Introducción
Permite realizar afirmaciones acerca de la población de la
cual proviene tu muestra
• Límite bilateral
“Yo tengo _____% confianza de que _____% porciento de la
población de la cual provienen mis datos se encuentra entre _____ y
_____.”
• Límite unilateral
“Tengo _____% confianza de que _____% por ciento de la población
de la cual provienen mis datos se encuentra en o debajo de _____.”

Diferencia entre límites de confianza,
predicción y de tolerancia
• El intervalo de confianza se usa cuando se está
interesado en la media de la población
– Se necesita estimar la media de la población y el intervalo de
confianza produce los límites apropiados

• El intervalo de predicción se aplica cuando es
importante determinar un límite para un solo valor
– Ni la media ni la ubicación de la mayoría de la población son la
cuestión clave, sólo se requiere la ubicación de una sola nueva
observación
– A partir de una muestra de 50 créditos hipotecarios, calcule un
intervalo de predicción del 95% para la cantidad del crédito del
siguiente cliente

• El intervalo de tolerancia está enfocado en dónde cae
la mayoría de las observaciones individuales
– ¿Dónde estará la mayor parte de los valores de la población?

Límites de tolerancia
Al visualizar un muestreo aleatorio de una distribución
normal con media conocida µ y varianza σ2; un límite
que cubre el 95% de la población de observaciones es
µ ± 1.96σ
• Lo anterior denota un intervalo de tolerancia

Límites de tolerancia
• En la práctica µ y σ rara vez se conocen; se debe
aplicar
k se determina de modo que se pueda asegurar con una
confianza de (1 – ƴ )100% que los límites dados contienen
al menos la proporción 1–α de las mediciones
La tabla de factores de tolerancia para distribuciones
normales da valores de k para 1–α= 0.9,0.95,0.99;
ƴ=0.05,0.01

Límites de tolerancia, ejemplo
• Un inspector de alimentos seleccionó aleatoriamente
30 paquetes de carne de res 95% magra.
• La muestra dio como resultado una media de 96.2%
con una desviación estándar muestral de 0.8%

Límites de tolerancia, ejemplo,~
• Calcular un intervalo de tolerancia que proporcione
límites bilaterales del 95% sobre el 90% de la
distribución de paquetes de carne 95% magra
• n=30 Ẍ=96.2 s= 0.8
• De la tabla se obtiene con n=30, 1-α=0.9, ƴ=0.05
k=2.14
• Ẍ ± ks = 96.2 ± (2.14)(0.8)
– Limite inferior 96.2 -(2.14)(0.8) = 94.48
– Limite superior 96.2 +(2.14)(0.8)= 97.91

Límites de tolerancia, ejemplo,~
• Intervalo de tolerancia con límites bilaterales del 95%
sobre el 90% de la distribución de paquetes de carne
95% magra
94.48 97.91

Estimación de la diferencia
entre dos medias,dos
muestras

entre dos medias,dos muestras
• Comparar el rendimiento promedio de dos tipos de
motor A y B

Estimación de la diferencia entre
dos medias,dos muestras
• Si se tienen dos poblaciones con medias μ1 y μ2, y
varianzas σ1
2 y σ2
2, el estadístico que da un estimador
puntual de la diferencia entre μ1 y μ2 es Ẍ1−Ẍ2
• Se seleccionan dos muestras aleatorias independientes,
una de cada población, de tamaños n1 y n2

dos medias,dos muestras,~
• La estimación de la diferencia de dos medias de dos
poblaciones μ1 – μ2, se hace por medio del teorema del
límite central, se puede asegurar, con una probabilidad
de 1 – α, que la variable normal estándar Z, caerá entre
–Zα/2 y Zα/2

• Al sustituir para Z, establecemos de manera equivalente
que:
• Que conduce al siguiente intervalo de confianza del 100(1 – α)%
para μ1 – μ2

dos medias,dos muestras,ejemplo1
• Se llevó a cabo un experimento donde se compararon dos
tipos de motores A y el B. Se midió el rendimiento de
combustible en millas por galón. Para el motor tipo A se
realizaron 50 experimentos y 75 con el motor tipo B. La
gasolina utilizada y las demás condiciones se mantuvieron
constantes
• El rendimiento promedio de gasolina para el motor A fue de
36 millas por galón y el promedio para el motor B fue de 42
millas por galón
• Suponga que las desviaciones estándar de la población son 6
y 8 para los motores A y B, respectivamente

dos medias,dos muestras,ejemplo1
• Calcule un intervalo de confianza del 96% sobre μB–μA,
donde μA y μB corresponden a la media de la población del
rendimiento de millas por galón para los motores A y B,
respectivamente
• La estimación puntual de μB – μA es ẌB-ẌA = 42 - 36= 6
• Con α = 0.04, obtenemos z0.02 = 2.05. El intervalo de
confianza del 96% es
3.43 < μB – μA < 8.57

dos medias,~
• Varianzas desconocidas pero iguales Si σ1
2 = σ2
2 = σ2

dos medias,~
Estimado agrupado de la varianza
Se puede obtener una estimación puntual de la
varianza común desconocida σ2 agrupando las
varianzas muestrales. Si se representa con Sp
2 al
estimador agrupado, obtenemos lo siguiente

dos medias,~
• Si Ẍ1 y Ẍ2 son las medias de muestras aleatorias
independientes con tamaños n1 y n2 respectivamente,
tomadas de poblaciones más o menos normales con
varianzas iguales pero desconocidas, un intervalo de
confianza del 100(1 – α)% para μ1–μ2 es dado por
– Donde Sp es la estimación agrupada de la desviación estándar
de la población y tα/2 es el valor t con v = n1 + n2 – 2 grados de
libertad, que deja una área de α/2 a la derecha

dos medias,~
Consideraciones
– Cuando σ1 = σ2 = σ pero ésta se desconoce, requiere
suponer que las poblaciones son normales
– Si las varianzas de la población son considerablemente
diferentes, aún obtenemos resultados razonables
cuando las poblaciones son normales, siempre y cuando
n1 = n2

dos medias,~
Varianzas desconocidas y distintas
• Al calcular el estimado de un intervalo de μ1–μ2 cuando
no es probable que las varianzas de la población
desconocidas sean iguales
tiene aproximadamente una distribución t con v grados de libertad
V se redondea al entero menor más cercano
El estimado de los grados de libertad se denomina aproximación de Satterthwaite

dos medias,~
• Intervalo con el estadístico T'
donde tα/2 es el valor de la distribución t con v grados de libertad

entre dos medias, ejemplo2
• El Departamento de zoología de una universidad llevó a
cabo un estudio para estimar la diferencia en la
cantidad de ortofósforo químico medido en dos
estaciones diferentes de un rio.
• Se reunieron 15 muestras de la estación 1 y 12
muestras de la estación 2

– Las 15 muestras de la estación 1 tuvieron un
contenido promedio de 3.84 mg/L y una desviación
estándar de 3.07 mg/L
– Las 12 muestras de la estación 2 tuvieron un
contenido promedio de 1.49 mg/L y una desviación
estándar de 0.80 mg/L

• Calcule un intervalo de confianza de 95% para la
diferencia en el contenido promedio verdadero de
ortofósforo en estas dos estaciones. Suponga que las
observaciones provienen de poblaciones normales con
varianzas diferentes
• Para la estación 1: Ẍ1=3.84, s1=3.07 y n1 = 15
• Para la estación 2: Ẍ2=1.49, s2=0.80 y n2 = 12
Se busca un intervalo de confianza del 95% para μ1 – μ2

• Grados de libertad

• Intervalo
– Intervalo de confianza del 95%
– α=0.05 de la tabla A.4(distribución t ) t0.025=2.120
0.599< µ1-µ2< 4.100

• Se tiene un 95% de confianza de que el intervalo de
0.60 a 4.10 miligramos por litro contiene la diferencia del
promedio verdadero del ortofósforo que contienen estos
dos lugares

Observaciones pareadas

• Procedimiento de estimación para la diferencia de dos
medias
– cuando las muestras no son independientes y las varianzas de
las dos poblaciones no son necesariamente iguales
– La intención al parear es reducir σD

• Al realizar una prueba de una nueva dieta con 15
individuos, los pesos antes y después de seguir la dieta
conforman la información de las dos muestras
• Las dos poblaciones son “antes” y “después”, y la
unidad experimental es el individuo
• Para determinar si la dieta es efectiva consideramos las
diferencias d1, d2,..., dn en las observaciones pareadas

• Estas diferencias son los valores de una muestra
aleatoria D1, D2,..., Dn de una población de diferencias,
que supondremos distribuidas normalmente, con media
μD = μ1 – μ2 y varianza σD
2
– Se estima σD
2 mediante sd
2 , la varianza de las diferencias que
constituyen nuestra muestra
• La i-ésima diferencia del par es:

• Elegir n pares de sujetos, donde cada par tenga una
característica similar, como el coeficiente intelectual (CI),
la edad o la raza
• Luego para cada par seleccionar un miembro al azar
para obtener un valor de X1, el otro miembro
proporciona el valor de X2
opcional

• X1 y X2 podrían representar las calificaciones obtenidas
por dos individuos con igual CI
– Individuo uno es asignado al azar a un grupo que usa el método
de enseñanza convencional
– Individuo dos es asignado al azar a un grupo que utiliza
materiales programados
opcional

• Se puede establecer un intervalo de confianza del
100(1–α)% para μD escribiendo
• Donde, t es un valor de la distribución t con n – 1 grados
de libertad

• Si y sd son la media y la desviación estándar,
respectivamente, de las diferencias distribuidas
normalmente de n pares aleatorios de mediciones, un
intervalo de confianza del 100(1 – α)% para μD=μ1–μ2 es
• Donde tα/2 es el valor t con v = n – 1 grados de libertad,
que deja una área de α/2 a la derecha

Observaciones pareadas,
ejemplo
• Un estudio reporta los niveles de la dioxina TCDD en 20
veteranos de Vietnam, quienes posiblemente estuvieron
expuestos al agente naranja. En la tabla se presentan
los niveles de tcdd en plasma y tejido adiposo

ejemplo
• Calcule un intervalo de confianza del 95% para μ1 – μ2,
donde μ1 y μ2 representen las medias verdaderas de
los niveles de TCDD en plasma y en tejido adiposo,
respectivamente.
• Suponga que la distribución de las diferencias es casi
normal

ejemplo
• Como las observaciones están pareadas, μ1 – μ2 = μD
• La estimación puntual de μD es = – 0.87. La
desviación estándar sd de las diferencias muestrales es

ejemplo
• Con α = 0.05, en la tabla A.4
t0.025 = 2.093 v =n–1= 19 grados de libertad
Por lo tanto, el intervalo de confianza del 95% es
–2.2634 < μD < 0.5234
No hay diferencia significativa entre el nivel medio de TCDD en plasma
y el nivel medio de TCDD en tejido adiposo

Referencias
• Walpole,Myers.Probabilidad y estadística para ingeniería y
ciencias: Pearson
• Editor de formulas: www.mathway.com
• Notación
Ẍ= media muestral

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