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ANALISIS
MATEMATICOI
PARA ESTUDIANTES DE CIENCIA E INGENIERÍA
(1ER EDICIÓN)
SOLUCIONARIO
EDUARDO ESPINOZA RAMOS
LIMA -PERÚ
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zm m m m
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IMPRESO EN EL PERÚ
01 -01 -2012
» DERECHOS RESERVADOS
Este libro no puede reproducirse total ó parcialmente por ningún método
gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo los sistemas de fotocopia,
registros magnéticos o de alimentación de datos, sin expreso consentimiento
^ del autor y Editor._____________________________ ___ _____________________
RUC N° 20520372122
Ley del Libro N° 28086
Ley de Derechos del Autor N° 13714
Registro comercial , N° 10716
Escritura Publica N° 448 4
solucionadoanálisisMfffltf¡tf£olucionarios.net www.eduhperu.com
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PRÓLOGO
Habiéndose adaptado a nivel universitario, en el curso de análisis matemático, el
texto de Análisis Matemático para Estudiantes de Ciencias e Ingeniería por su acertado
desarrollo teórico, siendo necesario como consecuencia de la concepción teórica, ahondar
en las aplicaciones y ejercicios a fin de desarrollar la habilidad mediante la práctica; por eso
el objetivo del presente volumen de problemas desarrollados del texto Análisis Matemático
para estudiantes de Ciencias e Ingeniería de Eduardo Espinoza Ramos orienta su intención de
ser complemento teórico-práctico para el estudiante universitario.
Su contenido sigue en esencia las pautas del texto, la solución de los problemas
están detalladas en forma clara y precisa, se ha puesto especial cuidado en los gráficos, pues
pensamos que un "buen dibujo" por señalar en forma natural, es el camino a seguir en el bus
que da la solución de un problema.
Agradezco por anticipado la acogida que ustedes brindan a cada una de mis
publicaciones, las que emanan el deseo de que encuentren en ellas una agenda para su
avance y desarrollo intelectual
EDUARDO ESPINOZA RAMOS
. . . t SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
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INDICE
1. CAPITULO 1
1.1. SISTEMAS DE NÚMEROS REALES.............................................................. 1
1.2. INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR CON UNA INCÓGNITA................43
1.3. INECUACIONES FRACCIONARIAS.........................................................Al,
1.4. INECUACIONES EXPONENCIALES........................................................ 113
1.5. INECUACIONES CON RADICALES..........................................................120
1.6. ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO..................... 141
1.7. RELACIONES V FUNCIONES..................................................................188
1.8. FUNCIONES......................................................................................... 221
1.9. ALGEBRA DE FUNCIONES.................................................................... 264
1.10. FUNCIONES INYECT1VAS, SURYECTIVAS, BIYECTIVAS...............319
2. CAPITULO 2
2.1. LIMITES Y CONTINUIDAD.....................................................................337
3. CAPITULO 3
3.1. LIMITES................................................................................................387
3.2. LIMITES LATERALES.............................................................................454
3.3. LIMITES AL INFINITO.............................................................................481
3.4. LIMITES INFINITOS.............................................................................. 516
3.5. LIMITES TRIGONOMÉTRICOS................................................................520
3.6. LIMITES TIPO ex....................................................................................554
3.7. ASÍNTOTAS......................................................................................... 577
3.8. CONTINUIDAD.................................................................................... 597
4. CAPITULO 4
4.1. DEFINICIÓN DE DERIVADA.................................................................. 615
4.2. DIFERENCIABILIDAD............................................................................639
i ■ ■ <SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO
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4.3. DERIVACIÓN MEDIANTE TABLAS.........................................................647
4.4. DERIVACIÓN IMPLÍCITA....................................................................... 680
4.5. ECUACIONES DE TANGENTE Y NORMAL A UNA CURVA......................699
. CAPITULO 5
5.1. MÁXIMOS Y MÍNIMOS..........................................................................717
5.2. GRÁFICOS........................................................................................... 732
5.3. PROBLEMAS SOBRE MÁXIMOS Y MÍNIMOS..........................................757
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CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
SISTEMA DE NUMEROS REALES
Si a y b, son números reales positivos, demostrar que: +^ ] (a+b)>4
(a-b)‘ >0 => a"-2ab +b2>0
=> a2-2ab +b2+4ab>4ab => a2+2ab+b2>4ab
( a+b^i
(a +b)‘ >4ab => (a +b)>4 => |^-+^-j(a +b)>4
Si a, b y c son números reales positivos, Demostrar que:
gUSEMUMÍ
(a-b)‘ >0 => c(a-b)' >0
(a-c)? >0 => b(a-c)‘ >0
(b-c)‘ >0 => a(b-c)2>0
...0 )
... (2)
... (3), sumando
c(a-b)2+b(a-c)2+a(b-c)'í >0, efectuando los binomios
a2c - 2abc+b2c +a2b- 2abc+c2b +b2a- 2abc+c2a >0
a2c +abe +b2c +a2b+abe+c?b+b2a+abe+c2a >9abc
a2c +abe +a2b+b2c +abe+b2a+c2a+abe +c2b >9abc agrupando adecuadamente
(ac +be +ab) +b(bc +ac +ab) +c(ac +ab +be) >9abc, dividiendo entre abe
www.solucionarios.fiet K¡
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS )
J b ™ a b ) (a +b+c)í9 ^ J i +l +l J +(a+b+c)í9
jjfl Si a, b, c y d, son números reales positivos, Demostrar que:
- +- +- +-1 +(a +b+c +d)> 16
a b c '
CAPITULO I
...O )
... (2)
... (3)
... (4)
... (5)
... (6), sumando
(a-b )> 0 => cd(a-b)2>0
(a-c)' >0 => b d (a-cf >0
(a-d)‘ >0 => bc(a-df> 0
(b - c )'>0 => ad(b-c) >0
(b-d) >0 => ac(b-d)2>0
(c-d)~>0 => ab(c-d)2>0
cd(a-b)' +bd(a-c)~ +bc(a-d)‘ +ad(b-c)‘ +ac(b-d)‘ +ab(d-c)‘ >0
cd(a2-2ab +b2) +bd(a2-2ac +c2)+bc(a2-2ad +d2) +ad(b? -2bc +c2) +
+ac(b2-2bd +d2) +ab(c2-2cd +d2)>0
-2abcd +a2cd +a2bd +a2bc +b2cd - 2abcd +ab2d +ab2c - 2abcd
+bc2d +ac2d - 2abcd +abc2+bed" - 2abcd+acd2+abd2- 2abcd >0
abed +a2cd +a2bd +a2be +b2cd +abed +ab2d +ab2c +
+bc2d+ac2d +abed +abc2+bed2+acd2+abd2+abed >16abcd
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICISIS MATEMATICO I .
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CAPITULO I
( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
a(bed +acd +abd +abc) +b( bed +acd +abd +abc) +c(bed +acd +abd +abc)+
+d(bed +acd +abd +abc) >16abcd , sacando factor comun
bed +acd +abd +abc
abed
(a +b +c +d)> 16
-l +- +l +- l +(a +b+c +d)>16
a b c d J
a , a 3b b2 .
Si a y b dos números reales positivos tal que a >b. Demostrar que: —+— > ^
(a-b)3^0 => a3- 3a2b +3ab2- b3>0 => a’ +3ab2>3a2b+b3
Diviendiendo entre a2b se tiene:
a 3b b2 .
=* r +— >— +3
b a a
9
Va e % a* 0, demostrar que a“ +— >6
(a2-3)~>0 => a4-6a2+9^0 => a' +9>6a2
a4+9 s 9
>6 => a +— >6
Si a,b,C€'JT, , demostrar que (b +c)(a +c)(a +b)>8abc
jQ¡a2»2SC2S3H¡íF
(a - c)2>0, (a - b)2>0, a(b - c)* >0
~ ~ SOLUCJONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I ■ ?■ [
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS J CAPITUK
b(a - c)2>0, c (a - b)2>0, a(b - c)2>0 , sumando se tiene:
b(a-c)2+c(a-b)2+a(b-c)2>0 , desarrollando los binomios
b(a2-2ac +c2)+e(a'?-2ab +b2) +a(b2-2bc +c2)>0
a2b- 2abc +be2+a2c - 2abc +b2c +ab~ - 2abc +ac2>0
a2b +c2b+a2c +b2c +b2a +2abc +c2a >6abc +2abc
ab(a +b)+c2b+abe+a2c +b2c +abe +c2a >8abc
ab(a +b)+c2(a +b)+abe +a2c +b2c +abe £ 8abc
ab(a +b)+c2(a +b)+ac(a +b) +bc(b+a) >8abc , sacando factor común
(a +b).(ab +c2+ac +bc)>8abc => (a +b).[b+(a+c) +c(a +c)]>8abc
(a +bXa +cXb +c) >8abc
& Si a,b,ce ÜK4, demostrar que a’b +ab3<a4+b4
(a2-b2)2>0 => a4-2a2b2+b4>0 =* a4+b4>2a2b2 ...(1)
(a - b)2>0 => a2- 2ab +b2>0 => a2+b2>2ab
ab(a2+b2)£2 a2b2 ...(2)
a4+b4-ab(a2+b2)£ 2 a2b2-2a2b2 => a4+b4-ab(a2+b2) >0
a3b +ab3^ a4+b4 a4+b4<a3b+ab3
Si a,b,ce 'JT demostrar que a2+b2+c2+3>2(a +b+c)
«■«-"•■‘ M tí.S íto n s n b s . net www edukperu corr-
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CAPITULO I
EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
(a —l)2>0 => aJ -2a +l>0 ...(1)
(b-1)2>0 => b2-2b+1>0 ...(2)
(c —I)2>0 => c2-2a +1>0 ... (3) sumando(l), (2)y (3)
a" +b2+c2+3-2a-2b-2c>0 => a2+b2+c2+3¿:2a+2b+2c
transponiendo términos se tiene: a2+b2+c2+3 £ 2(a +b+c)
Si 0 <a < 1, demostrar que a2<a
0<a<1 => a >0 a a < 1, multiplico por a
a.a < 1.a => a2<a
r.. L d e f ^ . d d+e+f f
iTii Si a,b,c son números reales positivos y Demuestre que —<— ----<-
a b e a a+b +c c
d d + e + f f d e e f „ , ,
—<------<- => —<— a —<— => db <ea a de <af
a a+b+c c a b b c
sumando las desigualdades db +de <ea +af
sumando ad se tiene: ad +db +de <ad +ea +af, entonces
d(a +b +c) <a(d +e +0 => —<^+6—- •••(!)
a a+b+c
- < —< - = > - < - a — <- => ec<fb a dc<fa, sumando las desigualdades
a b e b e a e
ec +de <fb +fa, sumando cf se tiene: fe +ec +de <fe +fb +fa
.. " SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
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^ c, u  d+e+f f
c (f +e +d) <f (c +b +a) ------<-
a+b+c c
0
©
de(l)y(2):
d d +e +f f
—<------ <-
a a+b+c c
Demostrar que si a,b,c son números positivos y no iguales entre si, entonces:
(a +b+c)(a2+b2+c2)>9abc
(a-b)2£ab; (b -c)2>bc; (a-c)">ac
c(a-b)2^abc; a(b-c)‘ >abe; b(a-c)2>abe , sumando
c(a-b)2+a(b-c)J +b(a-c)2>3abc
a3+b3+c3>0, sumando
a3+b3+c3+c(a-b)2+a(b-c)2+b(a-c)2>3abc
a3+b3+c3 +a‘J c-2abc +b"c +bra-2abc +ac2+a2b-2abc +bc‘‘ >3abc
a3+b3+c3+a2c +b2c +b2a+ac2+a2b +bc2>9abc
a2(a +b +c) +b2(a +b +c) +c2(a +b+c) >9abc , sacando factor común
(a +b+c)(a2+b2+c2)>9abc
Si a,b,c son números positivos y no iguales entre si, demuestre que:
(a +b +c)(a 1+b"' +c"')>9
capitu' 11
(2)
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
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CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
(a-b)2>0 => a2+bL'>2ab => a2c +b2c >2abc
(a-c)2 >0 => a2+c2 >2ac => a2b +c2b>2abc
(b-c)'> 0 => b +c2>2bc => ab2+ac2>2abc, sumando
a2c +b2c +a2b+c2b +ab~ +ac2>6abc sumando 3abc
abe +a2c +b2c +a2b +abe +c2b +abe +ab2+ac2>9abc
bc(a +b +c+)+ab(a +b+c) +ac(a +b+c)>9abc
(a +b+<;)(bc +ab+ac) >9abc dividiendo entre abe
(a +b+c)(bc +ab+ac) ^ / . w « . i i «
^ --------- >9 (a +b+c)(a +b +c )>9
abe
^ Si a y b son números reales diferentes de cero. Demostrar que:
a2 16b2 8a 32b
r ? + —— +24 - n r+—
b a b a
(a-2b)~ >0 =s>a2-4ab +4b2>0, elevando al cuadrado se tiene:
(a2+4b2-4ab)¿ >0
(a2+4b2)2-8ab(a2+4b2) +16a2b2>0 => (a2+4b2f +16a2b2£ 8ab(a2+4b2)
a4+8a2b2+16b4+16aV ab(8a' +32b*) a4+16b4.+24a2b2 ^ 8a2+32b2
a2b2 ^ a2b2 ^ a2b2 “ ab
a2 16b2 8a 32b
-Í-+— 2-+24> — +---
b a b a
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CAPITUI O I
(a - b)~ >0 =í>a2+b2>2ab => a2c +b2c >2abc
(a-c)~ >0 => a2+c2 >2ac => a2b+c2b>2abc
(b-c)"> 0 => b2+c2>2bc => ab2+ac2>2abc, sumando
a2c +b2c +a2b +c2b +ab2+ac2>6abc sumando 3abc
abe +a2c +b2c +a2b +abe +c2b +abe +ab2+ac2>9abc
bc(a +b +c+)+ab(a +b+c) +ac(a +b+c)>9abc
(a +b+c)(bc +ab +ac)> 9abc dividiendo entre abe
(a +b+c)(bc +ab+ac) >9 (a+b+c)(a-' +b " +c > 9
Si a y b son números reales diferentes de cero. Demostrar que:
a2 16b2 n . . 8a 32b
7T +— r-+24> — +---
b a b a
(a - 2bf >0 => a2- 4ab +4b2£ 0 , elevando al cuadrado se tiene:
(a2+4b2-4ab)2>0
(a2+4b2)2-8ab(a2+4b2)+16a2b2>0 => (a2+4b2) +16a2b2>8ab(a2+4b2)
a4+8a2b2+16b4+16a2b2 ^ ab(8a2 +32b2) _ a<+i6b4+24a2b2 ^ 8a2+32b2
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a2 16b2 8a 32b
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b a~ b a
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CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
O Si a2+b2=1, Demostrar que:
-Í2 <a +b<¡2. Sug.(x-y)‘ >0 => 2(x2+y2)>(x +y)'
(a - b) >0 => a2+b2£ 2ab => 1+1 >2ab +a2+b2 => (a +b)‘ <2
-s¡2< a+b<¡2
• 2 2 2
Si a +b =c, a >0, b >0, Demostrar que: a3+b3>c3
m m m
Aplicando la propiedad: (a +b)n <an +bn
2 2 2 2
c =a +b => c3=(a +b)3<a3+b3
? i ?
de donde c3<a3+b3
a b ^ c
Si a +b >c >0, Demostrar —— +---- >
^ ■ r U a 1 4 -hl+a 1+b 1+c
a+b> c => a+b +2ab+abc> 0
a +2ab+b+ac +2abc +bc>abc +bc +ac+c
a+2ab +b+c(a +2ab+b)>bc(a+1) +c(a +1)
(a +2ab+b)(c +1) c(a +1)(b +l)
(a +l)(b +l)(c +l)~ (a +1)(b +1)(c +l)
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
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a +2ab+b c a+ab+ab+b c
>--- => --- r->-
(a +1)(b +l) c +1 (a +1)(b +1) c +1
3x2-5x-2 >0 =>(3x+1)(x-2)>0
O Si a, b, c >0, Demostrar que: 3abc <a3+b3+c3
Aplicando el ejercicio (1); se tiene: (a +b +c)(a2+b2+c2) >9abc
a3+b3+c3+(ab2+a2b +ac2+be2+a2c +b2c) >9abc
ab2+a‘b+ac"1+be2+a2c +b2c =6abc
Reemplazando (2) en (1) se tiene:
a! +b‘ +c3+6abc>9abc de donde: a3+b3+c3>3abc
Si c >0, d >0, 2d * 3c. Demostrar que: — >1- —
w 3c 4d
(2d - 3c)2>0 =>4d" - 12dc+9c2>0 => 4d2+9c2>12dc
4d2+9c2 12dc
Dividimos la expresión entre 12dc: ----------------- >
12dc 12c
d 3c d 3c
— +— >1 =>— >1---
3c 4d 3c 4d
r /h
Si a >0, b >0, a * b, demostrar que —ÍL +—¡= >2
Vb Va
j222¡q¡223I3¡F
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I.slALISIS MATEMATICO I. . .
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CAPITULO I
...O )
wvvw.edukperu com
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(Va-Vbj >0 => a-¿Va>/b +b >0
u o r rz a+b oVaVa VbVb Va Vb ~
a+b>2Vavb => r r >2 => - + >2 => —= +—= >2
VaVb vavb Va Vb Vb Va
Si a, b, c € R, Demostrar que: b2c2+c2a2+a2b2>abc(a +b+c)
J2¿¡¡22u222í!l2f
(be - ac)2>0 => b2c2+a2c2>2abc2
(ca - ab)2£ 0 => a2c* +a2b2>2a2bc
(bc-ao)9>0 => b2c2+a2b2>2ab2c sumando
2(b2c2+a2c2+a2b2)^2abc(a +b+c)
b2c2+a2c2+a2b2£abc(a +b+c)
^ || a +b =2, donde a y b son números reales, Demostrar que a4+b4>2
J S ü »
(a-b)2£0 => a2+b2>2ab pero(a +b)‘ =4 => a2+b2=4-2ab
4-2ab>2ab => ab<1
a2+b2>2ab =s> (a2+b2)2£ 4a2b2 => a4+b4>4a2b2- 2a2b2
a4+b4>2a2b2 pero ab< 1 de donde a4+b4>2
Si a2+b2+c2=1 y x2+y2+z2=1, demostrar que: ax +by +cz < 1
CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
I. ^ ^ ^ S^LÜQIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS )
(a - x)2>0 => a2+x2>2ax
(b-y)2>0 => b2+y2>2by
(c - z)2>0 => c2+z2>2cz sumando
a2+b2+c2+x2+y2+z2>2(ax +by +cz)
1 + 1 >2(ax +by +cz)
2 >2(ax +by +cz)
ax +by +cz <1
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO J .,
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cAPin» ^i
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CAPITULOI
( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
Si a >0, b >0, Demostrar qu»: + +^
b a a b
a - b e R => (a-b)2>0, desarrollando
a2-2ab +b2>0 sumando ab
a2-ab +b2>ab, multiplicando por a +b
(a +b)(a2-ab +b2)^ab(a-+-b), dividiendo entre a2b2
(a+b)( f -ab+bg) ^ ab(a+b) ^ a ^ b ^ a + b _ separando
a2b2 a2b‘ a2b‘ ab
a b 1 1
ba +a2 ~ a +b
o Si 0 <a <1, Demostrar que: a2<a
¿rra'.T i-srrogr.Tíy
Como 0< a< l => a >0 y a < 1
Multiplicando a < 1 por a >0 entonces
a.acl.a, de donde a2<a
© a >0, b >0, a *b, demostrar Vab >
a+b
(Va-Vb)2>0 => a-2>/aVb +b>0
i- i— / v 2>/ab
a+b>2VaVb dividiendo entre(a +b)=>1 >--- —
v ' a+b
i ■ -'J
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITIMOI
$
. O
Multiplicando por Vab se tiene: Vab>----
a+b
c- n , s i a3+b3 f a+b
Si a >0, b >0, demostrar que ----- >
O
(a-b)2>0 => a'J -2ab +b2>0 multiplicando por 3 se tiene: 3a1’ - 6ab+3b* >0
Sumando a2+b* en ambos miembros: 4a2-6ab +4b2>a2+b2
Ahora sumando 2ab se tiene:
4aJ -4ab +4b2>a2+2ab+b2=> 4(a2-ab +b2)>(a +b)‘
4(a +b)(a‘ -ab +4b" )>(a +b )’ => 4(a3+bJ )>(a +b)3 dividiendo entre 4
a3+b3>
(a +b)'
de donde
a3+b  ( a +b
demostrado.
Si a >0, a * 1. Demostrar que: a3+4r >a2+4-
a a*
Como a * 1 => (a-1)‘ >0, como a4+a3+a2+a+l >0 para a>0
Multiplicando: (a - 1)2(a4+a3+a2+a+1) >0.(a4+a3+a2+a +1)
(a-l).[(a-l)(a4+a4+a2+a +l)]> 0 => (a-1)(a5- l) >0
a(a-1 )-(a-l)> 0 => a5(a-1)>a-1 => a6-a5>a-1
a6+1 >a' +a , dividiendo entre a1
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CAPSULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
a° +1 a: +a a° 1 a5 a
— ~ >— ~ =* T +~ >T +—
a a a a a a
3 1 o 1
a + T > a ^ + —
aJ a*
a Si a>0, b>0, demostrar que 4(aJ +b3) > (a +b)’
(a +b)2£ 0 => a2- 2ab+b2£ 0 multiplicando por 3se tiene:
3a*’ -6'tb +3b2>0 sumando a2+b2
4a2-6ab +4b2£a2+b2 ahora sumamos 2ab
4a2-4ab +4b2>a2+2ab +b2 => 4(a2-ab +4b2)>(a +b)J
4(a2-ab +4b2).(a +b)>(a +b )3 => 4(a3+b3)>(a +b )!
Si a y b son números reales, demostrar que:
x/(a+c)2+(b +d)2 <Va2+b'J +Vc2+d2
ac +bd <>/a2+b2Vc2+d2, multiplicando por 2
2ac +2bd <2>/a2+b2Vcs +d2 sumando a2+b2+c2+d2
a2+2ac +c? +b2+2bd +d2<(a2+b2) +2>/as+b£Ve2+d2+(c2+d2)
(a +c)2+(b +d)^ <|Va2+b2+Ve2+d2j
.V .-.aduKj:fc: -: rr SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
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3» EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPfTUi " l
^(a +c)‘ +(b +d)~ £ J(V a' +b2"+>/c2+d2j
yj(a +c f +(b +d)2 <Va2+b2+Ve2+d'2
Si a,b,c e R’ , demostrar que: (a +b+c )’ £27abc
(a +b+c)3=a3+b3+c3+3(a2c +b2c +bc2+ab2+ac2) +6abc ... (1)
(a-b)‘ >0
(a-c)2>0
(b-c)2>0
a +b‘ >2ab a c +b‘c >2abc
a2+c2>2ac a2b +bc? >2abc
b2+c2>2bc ab" +ac2£ 2abc
a2c +b2c +a2b+be2+ab2+ac >óabe
Luego 3(a2c +b2c +a2b +bc2+ab2+ac2)>18abc ..-(2)
(2) en (1) se tiene: (a +b+c)3>a*+ b3+c3+18abc +6abc ..-(3)
Pero a3+b^+c3>3abc ... (4)
Reemplazando (4) en (3) se tiene: (a +b+c )’ >3abc +24abc =27abc
(a +b +c)3>27abc
O Si a, b, c y d son números reales cualquiera.
Demostrar: (ab +cd)~ <(a2+c2)(b¿ d2)
(ad-bc) >0 => a2d2+b2ca>2abcd
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CAPITULO I
Sumando ambos miembros a V +c2d2
a2b2+c2d2+a2d2+b2c2£a2b2+2abcd +c2d2
a2(b2+cs) +c2(b” +d2)>(ab+cd)2
(a2+c2)(b2+d2) >(ab +cdf
Si a, b e R, Demostrar que: a4+b4>-(a +b)4g
f EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
(ab +cd)‘ ^(a2+cs)(b2+d2)
(a2-br) >0 => a4+b4>2a2b2 .
Sumando a4+b4 a ambos miembros
2a4+2b4>a4+2a2b2+b4 => 2(a4+b4) >(a2+b2)‘
a4+b* >^(a! +b2)*
(a-b)¿ >0 => a2+b2>2ab, sumando a2+b2 se tiene:
2a2+2b2>a2+2ab+b2 => a2+b2>i( a +b)2
(a2+b2)2>-^(a +b)4
. (a+b)4
a4+b4>---- L
(1)
(2)
Colocando (2) en (1) se tiene;
Si a >0 y b >0. Demostrar que:
1
a+-
v ay
8 -Y (a +b)“ +4
a+b
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITI " o |
(a +a-')! +(b +b-')! =a2+b! +^ - + 4
(a-b)‘ £0 => a2+b2^2ab => 2(a2+b2)>a2+2ab+b‘
a2+b2>
>(a +b f
(2)
(a-b)2>0 => a2+b2>2ab => a2+2ab+b2>4ab => (a +b)‘ >4ab
(a +b)4>16a2b2 => ——— >a~V
v 1 16
Multiplicando miembro a miembro (2) y (3)
a2+b2 > 8
a!b2 (a +b)2
Sumando miembro a miembro (2) y (4)
...(3)
...(4)
a2+b2+-
+b* (a+b)s 8
2.2
a‘b (a +b)‘
de donde
2 , o a
a +b +
2+b2 , (a +b)2 8
+4 > --——+------+4
a b (a +b)‘
...(5)
Reemplazando (1) en el primer miembro de (5) y operando en el segundo miembro
de (5) tenemos.
r ir l p2b+-
b
>1
2
(a +b)2+4^
a +b
i
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CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
Si a >0, b >0 tal que a +b - 1. Demostrar que:
25
Utilizando el ejercicio (33)
í 0a+- s+íb+iT ii '(a +b) +4 '
l a, l b j 2l a+b J
; Como a +b =1, lo reemplazamos
=2(5)!
f t2 f
a+- | +
k a
b+’i >?5
bj 2
Si a, b, c, d e R, demostrar que: ac +bd <^(a2+b2)(c2+d2)
(ad - be)" >0 => a2d2+b2c2>2abcd
2abcd <a2d2+b2c2
a2c2+2abcd +b2d2<a2c2+b2d2+a2d2+b2c2
(ac+bd)2<(a2+b2)c2+(a2+b2)d2 (ac +bd)‘ <(aL>+b2)(c2+d2)
ac +bd<yj(a¿ +b2)(c2+d2)
Si a, b e R tal que a +b = 1. Demostrar que: a4+b4>-
M m rn 7 m ¡nw
•V SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMÁTICO I
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPíTUi OI
Utilizando el ejercicio (32) es decir: a4+b4>^(a +b)
8
Como por condición del problema a +b = 1, se tiene el momento de reemplazar
a4+b4>-(a +b)4=-(1)4=- de donde a4+b4>^
8 8 8 8
81
Si a,b e R tal que a +b =3. Demostrar que a4+b4£ —
Utilizamos el ejercicio (32), es decir:
a4+b4>- (a +b)4; Como a +b =3 entonces lo reemplazamos
8
a«+b‘ * l ( a +b)4- |(3 )« - $ ! ••• +
© Si a,b,c,d e R*, demostrar que: ^(a +b+c +d)> Vabcd
(Va-Vb) >0 => a+b>2>/ab
(Vc-Vd) >0 => c +d>2>/cd sumando
a+b+c +d>2(Vab +>/cd) ...(I)
Pero >/ab+>/cd >2>/>^b>/cd =2VVabcd =2Vabcd ... (2)
Ahora reemplazamos (2) en (1) se tiene:
a+b+c+d£ 2|Vab +Vcd)^ 2.2Vabcd
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a+b+c +d >4Vabcd => -(a +b+c +d) >Vabcd
4
Si a,,a2,a3,...,an,b.lb2,...JbneR tal que: af +a‘ +...+a2=1, bj +b2+...+b2=1.
Demostrar que a,b, +a2b2+... +anbn£ 1
(a,-b,)2>0 => a;+b^>2a)b,
(a2-b2)2£0 => a2+b2>2a2b2
K - b n)2^0 => aj +b* £2anbn sumando
(a? +a2+...+a*)+(bf +b| +...+b2)í>2(a,b, +a2b2+...+anbn)
1+1£2(a,b, +a2b2+...+anbn)
2;>2(a,b, +a2b2+...+anbn) . a,b, +a2b2+...+anbn£ 1
© Si -1 <a <0, demostrar a1>a
-l< a< 0= > a> -lA a< 0
Como a<0=> a2>0 de donde a >-1 => aí .a>-l(a;>)
a3>-a2 ...(1)
a>-l y a<0 =>a2<-a (por-1)
... (2)
CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
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De (1) y (2) se tiene: a'> -a2>a => a3>a
O Si -a> 0y (a-b)‘ >(a +b) entonces b>0
(a-b) >(a +b)~ =t< a2-2ab+b2>a2+2ab+b2
CAPITU1*>I
-2ab >2ab
4ab <0 => ab <0 ... (i)
Como -a >0 => --> 0, multiplicando a (1)
a
— (ab)<0 => - — <0 => -b<0 => b>0
a a
O Si a,b e R tal que 2a +4b = 1. Demostrar que: a2+b2>—
20
jCS22¡iS3IÍI¡jr
De acuerdo a la condición del problema
2 > ^ 2 i_° ^ a b
a >— a +b* >— +—
10 ^ 10 5
b2£ - a2+b2>
10
a2+b2^2a +4b =_L a2+b2>-I
20 20 20
S ia > 0 y b > 0 a3+b3£ a2b +ab2
(a-b)‘ >0 => a2-2ab +b‘ >0a2-ab +b2>ab, multiplicando por (a +b)
22 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
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CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
(a* - a b + b2)(a + b )^ a b (a + b)
a3+ b 3£ a 2b + ab2
Si x,,x2,...,xneR* y si /?=^/x,.x2...xn y « = X| + , demostrar que p<a
O
/ /— /— 2 x, +x„ > 2 J x , x 2//i--------- 
Jx, - Jx 2 ¡>0 => ‘ _____ => x,+x2+x3+x4£2(Vx,x2+Vx3x4)
v ' x3+x42:2yJx3xÁ
x, +x2+x3+x42:2^VX|X2+>/x3x<)^2.2^Vxix2>/x3x4 =4;¡/x,x2x3x4
Luego <, +•x2+x3+x42 4^/x,x2x3x4, generalizando
x, +x2+x3+x4+... +xn£ nVxix2x3x4...xn
De donde Vx,x2x3x4...xn <,
a b e
Si a, b, c, m, n, p e R / m > 0, n > 0, p > 0; , entonces
m n p
ab+a+c c
— <------ <—
m m+n+p p
Demostración similar al ejercicio (10) que esta desarrollado
_ . . a. +a2+...+an
Probar que si a,<a2<... <a„ entonces a, <—1-- ------- <an
Énrm*vKmt*vw
a, £a, <an
a, <a2<an
a, <a3<a„
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CAPITII! O
a, +a, +...+a, <a, +a2+....+a„ <an+an+... +an ,
'--------V-------- ’ '-------- v-------- •
n-veces n-veces
na, <a,+a.,+... +an<nan, Dividiendo entre n se tiene:
a, +a¡, +...+a
a <—!------------ i--—<a.
® a3-b3
Demostrar que si 0< a< b< c entonces ------ <a+b +c
3c(b-a)
a >0, b >0, c >0 => á~ +b2 +3c2>0 ... (1)
a >0, b >0, c >0 => ab >0, ac >0, be >0
ab +3ac +3bc>0 ... (2)
sumando (1) y (2) se tiene: a2+b2+3c2+2ac +3bc+ab >0
Agrupando apropiadamente
(a* +ab+b2)+3c(a +b+c )>0 => -(a2+ab +b2)<3c(a +b+c)
(a2+ab +b2)
----------<a+b+c , como b - a >0
3c
(b-a)(a2+ab +b2) (a-b)(a2+ab +b2)
---- ——— --- <a+b+c => ----- —— — -----<a+b+c
3c(b-a) 3c(b-a)
aJ - b 3
<a+b+c
3c(b-a)
O Probar que: a4+b4+c4+d4>4 Iabed I para a, b, c, d e R
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, ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
Como a, b, c, d e R => a2,b2,c2,d2e R, además
ja2-b2e R i 3' _ b! )
(c2-d2e R ^ >0 l
sumando
a4+b4+c4+d4>2(a2b2+c2d2) ... (1)
(ab-cd)¿ >0 => a2b2+c2d2>2abcd
2(a2b2+c2d2)>4labcdl ...(2)
De (1) y (2) por transitividad se tiene: a4+b4+c4+d4>4 1abed I
O Si a, b, c>0, demostrar que: 2(a3+b3+c3)>bc(b +c) +ac(c +a) +ab(a +b)
(a +b +c f =a3+b3+c3+3(ab2+ac2+a2b +a2c +b2c +bc2) +6abc
Además se tiene: (a +b+c)3-(a1+b3+C1) >0
Operando y agrupando adecuadamente y estas operaciones dejamos como ejercicio
al lector para obtener el resultado.
2(a3+b3+c ’)>bc(b+c) +ac(a +c) +ab(a +b)
Demostrar que: a2b2+b2c2+a2c2>abe(a +b +c ), V a, b, c e R
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(bc-ac)2>0
(ca-ab)~ >0
(bc-ab)2>'
•b2c2+ aV >2abc2
c2a2+a2b2>2a2bc
b2c2+a2b2>2ab2c
sumando
2 (a V +b2c2+a*c2) >2(abc2+a2bc ++ab2c)
a2b2+b2c2+a2c2>abe(a +b +c)
O V x e R, y n par, demostrar que:
xn ^ 1
x M ‘ 2
x € R y n es par entonces xn-1 e R
(xn-1)S >0 => x2n-2xn+1 >0
x2n+1>2xn es decir: 2xn<xs" +1
2x” x
<1 => X
x2n+1
<1
x2n+l 2
Demostrar que s ir > 0 y a < b entonces a <-a-~ <b
1+r
Como r >0 y a <b entonces se tiene: ar <br a a <b, agregando
a +ar <a +br a a +br <b +br
a(1 +r) <a +br a a +br <b(l +r)
a+br a+br
a <
1+r 1+r
<b , porque 1+r >0
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CAPtTUI * I
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CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
$
a <a+tz>t <b por transitividr.d
1+r
Si a y b son números positivos y distintos, demostrar que: — +— >- +
a b 1 1
b2+a2 >a +b
a - b e R => (a-b)' >0, desarrollando a2-2ab +b2>0 sumando ab
a2-ab +b2>ab multiplicando por (a +b)
(a +b)(a2-ab +b2)>ab(a +b) dividiendo entre a2b2
(a +b)(a -ab +b‘ ) ab(a +b) a3+b’ a+b
----- --------- ->— => —r—— >----, separando
ab a b a2b2 ab ^
Consideremos x, y, z, w números reales, demostrar que:
2
x2+y2+z +w2>- (xy +xz +xw +yz +yw +zw)
¡ g ¡ y
(x - y f >0
(y-z)2^o
(x -w )2>0
(y-z)2>o
(y - w )2>0
(z-w )2>0
x2+y2>2xy
x2+z2>2xz
x2+w2>2xw
y2+z2>2yz
y2+w 2>2yw
z2+w 2>2zw
sumando
3(x2+y2+z2+w2)>2(xy +xz+xw +yz +yw +zw)
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS J
CAPITUI O I
$
O
x‘ +y2+z‘ +w 2L - (xy +xz +xw +yz +yw +zvv)
3
j u2
Si a y b son números desiguales y positivos, demostrar que: a +b <— +—-
. b a
Por ser a y b positivos y desiguales se tiene:
(a-b)~>0 => a -2ab +b~>0
a2-ab +b2>ab
(a +b)(a~-ab +b )>ab(a +b) => ab(a +b)<(a +b)(a2-ab +b2)
(a +b)(a2-ab+b! ) a3+b3
D<--------;------- => a +b<-----a +
ab ab
a2 b2
a +b <— +—
b a
separando
Si a, b ye son números positivos y distintos. Demostrar que:
(a +b +c)2<3(a2+b2+c2)
(a-b )¿ >0
(a- c)2>0
(b - c)2>0
a2+b2>2ab
a2+c2>2ac sumando
b2+c2>2bc
2(a¿ +b‘ +c2) >2ab +2ac +2bc sumamos a2+b2+c2
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( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
CAPITULO I .......................................................................................................................  ---------------------------------
3( a2+b2+c2) >a2+b2+c2+2ab +2ac+2bc
3(a2+b2+c2) >(a +b +c)~ (a +b+c) <3(a +b'+c2)
Si a y b son números positivos distintos, demostrar que: (a3+b* )(a +b) >(a* +b‘ )
a y b son positivos y distintos, entonces
(a - b f> 0 -=> a2-2ab +b2>0
a2+b2>2ab, multiplicando por ab
ab(a2+b2) >2a2b2 sumando a4+b4
a4+a3b +ab3+b4>a4+2a2b2+b4 a3(a +b) +b3(a +b)>(a2+b2)2
(a3+b1)(a +b)>(a2+b )
Si x, y son números distintos, demostrar que: (x4+y4)(x‘ +y )>(x3+y3)
Como x e y son números distintos, entonces
(x—y)2>0 => x2+y2>2xy (por x2y2)
x2y2(x2+y2)>2x3y3 sumando x6+y6
x6+x4y2+x2y4+y6>x6+2x3y3+y6 => x4(x2+y2) +y4(x2+y2)> (x3+y3)2
(x4+y4)(x2+y2) >(x3+y3)2
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS
Si x, y, z son números positivos, distintos, demostrar que:
xy(x +y) +yz(y +z) +xz(x +z) >6xyz
Aplicando el ejercicio (49): 2(a3+b3+c3) >bc(b+c) +ac(a +c)+
Y el ejercicio (17); a3+b3+c3£ 3abc
De la combinación de estos dos ejercicios que están desarrolladas.
Se concluye que: xy(x +y) +yz(y +z) +xz(x +z) >6xyz
dfft Demostrar que: a <b < I => ^ <— ?
w a-1 b-1
a ^ b < 1 => a <b a b<1
a <b => a - 1£ b - 1 invirtiendo
— multiplicando por-1
a-1 b-1
— — sumando 1
a-1 b-1
1— L s i _ _ L =
a-1 b-1 a-1 b-1
a3+b3+c3>3abc => 2>6abc
Sean a, b, c, x, y, z son números positivos distintos, demostrar que:
(a’ +b2+c2)(x2+y2+z2)>(ax +by +cz)2
CAPITI" 0 I
ab(a +b)
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CAPITULO I
( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
(bx +ay) £0 b2x2+a?y2>2abxy
(cx-azf>0 => c2x2+a2z2>2acxz sumando
(bz-cy)* 20 b V +c V í2 b c y z
b V +a V +c V +aJz" +b 'V + c V >2abxy +2acxz +2bcyz
Sumando a2x2+b2y2+c2z2 a ambos miembros
a2x2+b2y2+c2z2+b2x2+a2y2+c2x2+a2z2+b2z2+c2y2>
a2x2+b2y2+c2z2+2abxy +2acxz+2bcyz
a2(x2+vs +z2) +b2(x2+y2+z2) +c2(x2+y2+z2) >(ax +by +cxf
(a2+b2+c2)(x 2+y2+z2)>(ax +by +czf
c3 d3
Demostrar que: 0<d<c => —— —> d'(c-d)
0<d<c => 0<d a d <c
0<d => 0<2d => 0 <2d +c
2d +c >0 => (c +d) +d >0
Multiplicando por c - d >0 se tiene:
(c +dXc - d) +d(c - d) >0 => c2-d2+cd-d? >0
c2+cd>2dL’ sumando d~
c2+cd +d2>3d2 (multiplicando por c - d)
(c-d )(c2+cd +d2)
(c-d)(c2+cd +d2)>3d2(c-d) => ------- -------- >d2(c-d)
i * i
www.solucionarlos,netg
W
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS j ........................................................................
• íL ^ l> d ’ (c-d) f £>*(*-<*>
^ Si 0<d <c => d3(c-d )< ^ --y< c2(c-d)
Seguir el mismo desarrollo del ejercicio (62) que esta^ en detalle y agrupando
convenientemente para obtener el resultado d ( c - d ) < — ~ ^ <c ^
O Si x >0, y>0, z >0, demostrar que:
a) xyz =1 => x +y +z >3
b) xyz=1 a x +y +z =3 o x =y =z=l
a) Aplicando el ejercicio (30): (a +b+c) £27abc
Para nuestro caso se tiene: (x +y +z) £ 27xyz para xyz =1
(x +y +z)3 >27 sacando raíz cubica x+y +z£>/27=3
x +y +z £ 3
b) Es inmediato se deja para que se entrenen.
^ Demsotrarque: x>0, y >0, z >0 => ^ +^ +” - 3 (sus‘ ^ =1 ejercici° 64)
Aplicando el ejercicio (50) que es: x2y! +y*2* +x2r - x+y +z)
el ejercicio (64) que es: xyz =1 =>x +y +z>3
Combinando estos dos ejercicios se obtiene:
x y z
—+—+—
y z x
w v á www.solucionarios.net
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CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
Demostrar para todo a y b rec* >/ab <-|=%¡aJ 4 b2
V2
(a - b )'>0 => a2+b‘ >2ab
ab£^(a2+b2)
Sacando raíz cuadrada cubica se tiene: </ab <-1=Va2+b2
y¡2
© Si xe y f: R, demostrar que: lxl +ly l^ lx +yl
|x+yf =|(x+y)2|=(x +y f =x2+2xy +y2 ... (i)
Como xy <I xy l=I x 11y I ... (2)
Luego de (2) en (1) se tiene: |x+y|2<|x|2+2|x||y|+|y|‘
|x+y|‘ <(|x| +|y|)‘ de donde lxl +lyl> lx +yl
O Si x,,x2r..,xn€R tal que x,.x?...xn=1 entonces x, +x,, +...+xn>n
Aplicando el ejercicio (44) esto es: x i-+ x,¿ *n >Wx..x„...x
n v i Z n
Para x,.x,.x3...xn=1 entonces — +X¿ +"‘+Xn >1 de donde
x, +x2+...+xn^n
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS j
Si a, b € R, demostrar que: (a +b)4<8(a4+b‘)
Es inmediato del ejercicio (32) que esta demostrado en detalle
a4+b4>-(a +b)4 de donde (a +b)4<8(a4+b4)
CAPITULO i
x2+1+a
Si a >0, probar que: —-¡==
Vx +
>a +l
Como ejercicio, probar que:
>/x2+a >a
i sumando
>1
Vx2+a '
x2+a+1
>a+1
^ Si a,b,c e R* y si a2+b2+c2=8, Demostrar que: a3+b3+c3£ 16^|
Aplicando la media potencial M, =
¡-i n
Como M3>M2 entonces evaluamos
a3+b3+ 7 ^ ^ a~ +b +c~ _ ^8 ^|a +b +cT ^ ^8 e¡evancj0 a| cub0
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CAPITULO I
c EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
O
a1+b'+c3
a3+b* +c3>3
=8 ¡8 16 Í2
3V3 " 3 V3
16 Í2 _ Í2
3 V3 y3
a3+b3+c3
Sia>0,b>0, demostrar que: ^ j(a* +b*) >4
Como a >0, b >0 => a2—b2eR de donde
(a2-b2) >0 =í> a4-2a2b2+b4>0 sumando 4a2b‘
a4+2a2b2+b4Í4 a 2b8 => (a2+b2)‘ >4a2b2
( 1
(a2+b2)(a2+b2)
— £ 4
a b U ! +b2
(a2+b2)>4
Demostrar que si a,b,c son números reales positivos, entonces +c >Vabc
3
Aplicando el ejercicio (30) se tiene: (a +b +c)3>27abc
Sacando la raíz cubica se tiene:
a+b+c >^27abc => a+b+c >3/abc
a +b+c
>yjabc
Si V x € R, tal que a >0 a b >0 y a2£ x <b => Va <x <Vb v -Vb <x <-Va
wvnv ed .kperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
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i r a r e n a M i n r
a < x 2 < b => a < x 2 a x 2 < b
=> x 2 - a > 0 a - V b < x < V b
( X - V S ) ( x + > / a )> 0 a - 7 b < x < > / b
( x - > / a > 0 a x + V a > 0 ) v (x - - s / a < 0 a x + V a < 0 ) a (- > / b < x a x < V b )
Por la propiedad distributiva de la intersecccion
jjx<>/a a x£->/a) v (x<Va a x<-VajJ a |-Vb<x a x < 75)
(Va<x a x<Vb) v (-7b<x a x<-Va)
%/a<x<Vb v -Vb <x <- Ja
© Si x,,x2,x3,...,xn€ R , tal que: x,.x2.x3...xn=1, demostrar que: x,+x2+...+xn>n
J 2 ¡ y £ S ¡¡M ü it
Aplicando el ejercicio (44) que es: x, +x2 >^x,.x2...xr
Como x,.x2...xn=1 entonces se tiene.
» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAP|TULO I
x, +x„ +... +X.
n
X + X + + X
—1--2——— - >1 de donde x,+x2+... +xn>n
n
$ Si a,be R+, demostrar que: (a2+b8)(a +b)2>8a2b2
(a-b)“ >0 => a2+b2£2ab, multiplicando por (a-t-b)2
H
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMATICO L.NÁLISIS MATEMATICO L . t
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CAPITULO I í EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
(a2+b2)(a +b)‘ ^2ab(a +b)" => (a2+bL’)(a +b)2>2ab(a': +b2+2ab) ...(1)
Pero a2+b2>2ab ...(2)
De (1) y (2) se tiene: (a2+b2)(a +b)2>2ab(2ab +2ab) =8a2b‘
.*. (a2+b2)(a +b)2>8a2b2
¿ 7 1 Si a + b + c = 0, demostrar que: ( - + —+- | +  + 
^a b c j a b‘ c
tfm H ñ is w tC T ” 'b
Como a +b +c =0 => abc(a +b +c) =0. (abe)
a2bc+ab2c +abe2=0, multiplicando por 2
2a2bc +2ab*c+2abc2=0 sumando a ambos miembros a2b2+a2c2+b2c2
a2cb2+a2c2+b2c2+2a2bc +2ab2c +2abc' =a2b2+a2c2+b2c2V. ■■■y ................✓
(ab +ac +be)2=a2b2+a2c2+b2c2
Divididiendo entre a2b2c2se tiene:
(ab +ac +be)' _ a2b2+a2c2+b2c2 ( ab +ac +beY a2b2+a2c2+b2c2
a2b2c2 a2b2c2 abe ) a b e
1 1 1
- + — + -
c b a)
^ 1 1 1 O 1 l Y 1 1 1J_ J_ _1_
* c ! +b! +a2
© 1 1 8
Si a,beR*( demostrar que: -T +— >------
a (a +b)'
n s n
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS J
Aplicando el ejercicio (76) se tiene: (a* +b2)(a +b)‘ >8a’b
Dividiendo entre a2b2(a +b)2
(a2+b2)(a +b)‘ 8aV . . a2+b2 8
------ ------->--------- ¡r, simplificando ----- >----
a2b2(a +b) a2b2(a +b)‘ a V (a +b)
a2 b2 (a +b)
© Sean a, b, c números reales positivos tal que: a <b <c, demuestre que
a b 1
<--- <—
a +c b +c 2
a c b c c <=> a < b a b < c
a < b a b < c => ac< bc a b + b < b + c
=> ab + ac < ab + be a 2b < b + c
2b
=> a(b + c) < b(a + c) a ----< 1
b +c
a b b 1
=> ----- < ------ a ----- < -
a +c b +c b +c 2
a b 1
<--- <—
a +c b +c 2
Si x >0, x e R - {1}, demostrar que: x"'1+— -<xn+— , V n > 1
x x
x > 1 => 1<x, multiplicando por x2n“' -1 >0
CAPITUI O I
/ ‘
38 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
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CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
x2"'1-1 <x(x2n‘'- l) => x2""1-1 <x2n- x
x2"“' +x <x2n+1, dividiendo entre x
x +1 <
x2n+1
, dividiendo entre x
n-1
x2n"2+1 x2n+1
x.x
x"'1+— <X n + —
xn xn
o Si 0 <a <b <c, demostrar que: —- +— >2
a ac
j2B¡ES¡2I3I¡I3r
Como a <b <c, entonces se tiene:
* > i
a
c b c b2 b+c b2 0
-> 1 => —+- +— >3 => --- +— >3
Ü1>1ac
a a ac
^ Í5 - 1 +— >3 i
a ac
a ac
b +c-a b2 *
--------------------+ — >2
a ac
C- n 1 2 3 .1 6 3
Si 0 <—<—<—, demostrar que: - <------ <-
x y z x x+y+z z
Aplicando el ejercicio (10) se tiene:
d e f d d+e+ f f
_ = > _ < ------<-
a b c a a+b+c c
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ............................................................... CAPITUi O I
1 2 3 1 1+2+33 . 1
=> - < ----------- < - ••V v + V + Z zx y z x x+y +z z x x y-t-¿ ¿
Sean a, b, c, d números reales positivos distintos tal que ad > be, demuestre que:
abd +bed
be <------- <ad
a+d
c <d a be <ad
abe <abd a ab+be <a2+ad
abe +bed <bed +abd a abd +bed <a2d +ad‘
bc(a +d) <bed +abd a bed +abd <ad(a +b)
bc(a +d) <bed +abd <ad(a +b)
bed +abd ,
be <----- -— <ad
a +d
<¡> Sean a, b, c numerous reales positivos, demuestre que:
abe >(a +b +c)(a +c - bXb +c - a)
Aplicando el ejercicio (30) que es: (x +y +z) >27xyz y el ejercicio
(x +y +z)3>2 7(y+ z-x)(z +x-y)(x +y-z), se tiene:
(a +b +c)3£27abc >2 7(b +c-a)(c +a-b)(a +b-c)
abe >(b +c - aXc +a - b)(a +b - c)
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f EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
CAPITULO I ' ----------------------------------
ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
I. Resolver las siguientes inecuaciones
O 5x-2 >10x +8 >2x +16 __
5x-2<10x+8 <2x +16 => 5x-2<10x +8 a 10x +8<2x +16
-8-2< 10x-5x a 10x-2x <16-8 => -10<5x a 8 x < 8
x > - 2 a x<1 => - 2 < x <1 x e <-2,1>
1 0 1 1
— < 3x — <—
5 ” 4 3
_ 1 < 3 x < — M C M (5 ,4 ,3 ) = 60 =x> - 1 2 < 1 8 0 x - 15 < 20
5 " 4 3
1 7
3 < 180x < 3 5 => — < x ^ — =* X €
60 >36
x 3x 5 ,
<--- , a >b
J _ L
60'36
r a2-b2 a-b a +b
-— MCM=a2-b2 => x íU f a^ ^ l< - ^ -
a2- b2 a-b a +b V a2-b2 ) a +b
5(a +b) / 5(a +b) 
1 +3(a~^b) =* X e  " ° ' l +3(a-b)/
% £ ^ + 4 > ^ i + 2x, a > b > 0
w 3a 6b ____________
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a
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS )
CAPITI)' o I
2x 5x
— +4>— +2x, MCM =6ab => 4bx+24ab> 5ax+12abx
3a 6b
24ab> x(5a +12ab-4b) => x--- — --- => xe(-«o,- 24ab
5a +12ab-4b  5a +12ab-4b
o 6-3x
2x+---- <4
4
6-3x
2x +—-— <4 => 8x +6-3x<16 => 5x<10 => x<2 => X€(-oo,2)
O x x i x
- +— >1+-, c>b>a >0
• a b c _____
X X X
—+—>1+—, MCM =abc bcx + xac >1+abx
a b c
x(bc +ac - ab) >abe => x >---— --- => x e /---— ---.oo
be +ac - ab be +ac - ab '
O 2x-6< 2í¿®
l-2x-3x2>0 => 3x2+2x-1 <0 => (3x-l)(x +1)<0
O 3(x-5)-4(4-3x) > 2(7-x)-3 (x-5 )
3(x-5)-4(4-3x)>2(7-x)-3(x-5) => 3x-15-16 +12x >14-2x-3x +15
15x-31 >29-5x => 20x>60 => x>3 => x g [3 ,oc)
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CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR CON UNA INCOGNITA
2x2- 6x +3 <0
2x2-6x +3<0 => x2-3x +-<0
3] 9 3 .
x— -- +-<0 =>
2 4 2
( 3 )* 3 J 3 3 &
x — <—= > ----- < x — < —
2 4 2 2 2
3-y¡3 3+73
-----<X <-----
2 2
3-y¡3 3+y¡3
X 6<
2 ’ 2
2x2+6x-9 <0
2x2+6x -9<0 => x2+3x --<0
í 3 )* 9 9 _ ( 3Y 27 _ f 3 3y¡3
XH— -----<0 => x+- ----<0 => X+------
2 4 2 [ 2 4 2 2
3 3>/3
x+- +---
2 2
<0
3 + 3 / 3 3 + 3 / 3
X €
2 2
-3-3V3-3+3V3
2 ' 2
9x2+54x >-76
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPIT1"? I
9x~+54x>-76 =3> x~+6x +— >0
9
(x +3)‘ -9 +-^ >0 => ( x +3)2--^>0 x+3-—
3
x+3+ >0
 r ~ ~ v
-9-¡S 9-y?
x . , -
-4x2+4x +3>0
1 3 / 1 3
x =—-x-- => x e ( — ,-
2 2  2 2
4x2+9x +9<0
o 9x 9
4 x '+ 9 x +9 < 0 => x2+— +-< 0 , completando cuadrados
4 4
9Y 81 9 . (9V 63
x+- ———+—<0 =>x+- +—<0como
8] 64 4 l 8 64
f 9Y 63
x+— +— >0, Vx e R
8 J 64
La solución es <j>
4x2-4x +7 >0
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CAPITULO I
4x2-4x +7 >0 => x2- x +—>0, completando cuadrados
4
( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
f 1 1 7 f 1V 3 2— +—>0 => x+— +—>0 como se conoce V x e R , x >0
4 4 l 2 ) 2
Entonces la solución es R.
x4-2x2-8 <0
x4-2x2-8<0 factorizando (x2-4) (x2+2) <0
x2-/< 0 factorizando (x-2 )(x +2)<0
V ~ ~ V
-2 2
/. x e <-2,2>
—4x2-8 <-12x
-4x2-8 <-12x => x2-3x +2>0 => (x - 2 )(x - l)> 0
/ - y
1 • 2
/. x e <-oo, 1> u <0,+oo>
x2-2yÍ3x-2 >0
jgg£¿MáÉMf
x2- 2y/3x-2>0, completando cuadrados
( x - V 3 ) 2- 3 - 2 > 0 ( x - V 3 )2 - 5 > 0 factorizando se tiene:
- •, - " SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS J CAPm " 91
©
©
( x - V 3 - 7 5 ) ( x - 7 3 + V 5 ) > 0
V
7 3 -7 5 S Í3 + J5
/. x e >/3->/5) ^ V 3 - V5,oo^
3 x 2 - 8 x + l l > 4 ( x - l )
3 x 2 - 8 x + 11 £ 4 ( x - l ) =^> 3 x 2 - 8 x + 11 > 4 x - 4 => 3 x 2 - 1 2 x + 1 5 > 0
Simplificando se tiene:
x 2 - 4 x + 5 £ 0 completando cuadrados (x-2)2- 4 + 5 ^ 0
(x- 2)2+1 >0 la respuesta es V x e SJ?
3 x 2 - 1 0 x + 3 < 0
3 x 2 - 1 0 x + 3 < 0 => ( 3 x - l ) ( x - 3 ) < 0
x e 1,33
x (3 x + 2 ) < ( x + 2 )?
M S »
x (3 x + 2 ) < ( x + 2 )‘ => 3 x 2 + 2 x < x 2 + 4 x + 4 = > 2 x 2 - 2 x - 4 < 0
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CAPITULO I í EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
x 2 - x + 2 < 0 facto riz an d o ( x - 2 ) ( x + 1 )< 0
-1
O
O
(-1,2)
4x2-8x +1<0
4 x 2 - 8 x + 1<0 => x2-2x +—<0, completando cu a d ra d o s
o í 3
(x - l)2-l +-<0 =>(x-1)2-- <0 factorizando x—1— X —1+—
2
<0
2 - sÍ T 2+ yi
2 2
' 2 - & 2 + >/3
2 ’ 2
X €
5 x 2 - 1 4 x + 9 < 0
IMTNñ'VWt*
5 x 2 - 1 4 x + 9 < 0 factorizando ( 5 x - 9 ) ( x - l ) < 0
x e
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS
D CAPITI" T í
O x2+3x+2 >0 ________________
x2+3x+2 >0 factorizando (x + 1)(x +2) >0
-2 -1
xe (-oo,-2)^(-1,oo)
1-2x-3x2£0
J K ü ¡M S M f
1-2x-3x2>0 => 3x2+ 2x-l<0 factorizando (3x-1)(x +1)<0
-1
x e
3x2-5x-2 >0
i— ^ . n n - T i v r
3x2-5x-2>0 factorizando (3x +l)(x-2) >0
V ~ ~ V
xe/-<x>,-Mu(2,ao)
(x2+2x)(x2-l)-24 >0
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CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
O
K>
+
roX
24 >0 => x4+2 X ’
1 2 -1 -2 -24
2 8 14 24 2
1 4 7 12 0
-2 -2 -12 -3
1 1 4 0
x4+2x3- x2- 2x- 24 =(x +2Xx +3Xx2+x+4)
(x-2)(x +3)(x2+x +4)>0 como x2+x +4>0, V x e R entonces
O
(x-2)(x +3)£
x +x+4
(x-2)(x +3)>0
-3 2
x e <-00,-3>vj <2,+oo>
x(x-3)(x-l)(x +2) >16
x(x-3)(x-1)(x +2)>16 =>x(x-1)(x-3)(x +2)>!6
(x2-x)(x2- x - 6 )>16 sea u =x2-x
u(u-6)> 16 => u2-6 u - 16>0 => (u -8)(u +2)>0
u =x2-x => (x2-x-8)(x2-x +2)>0, como x2-x +2>0, V x e R
0
Entonces (x - x - 8 )>
x2-x +2
=0 => x‘ —x—8 >0
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS )
Ccompletando cuadrados se tiene: x2-x +->8 +-
4 4
, K 2 33 1 y/33 1 V§3
( X - - ) > -- => X --- > ----- V X — < -------
2 2
1+V33 1-733
x> ----- V x<-----
1-V33  /1 +V33
xe(-oo,----- ) u ( ------ ,+00
2 /  2
x4+2x3-x2+4x-6 <0
rn m s m m
x4+2x* - x2+4x-6<0, factorizando por Ruffini
1 2 -1 4 -6
1 3 2 6 1
1 3 2 6 0
-3 0 -6 -3
1 0 2 0
x4+2x3-x2+4x--6 =(x-lXx +3Xx2
(* -l)(x +3)(x2+2) <0 como x2+2
(x~1)(x +3) =0 => (x - l)(x +3) <0
V ~ ~ V
-3 1
x e (-3,1)
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CAPITIM 0 I
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CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
(x2+x-6)(4x-4-x2)<0
(x2+x -6)(4x - 4 - x2)<0 => (x2+x-6)(x2-4x +4) >0
(x +3)(x-2)(x-2)2>0 => (x +3)(x-2)3>0
V
-3 2
x e <-oo,3]^[2,+00 >
2x3+3x -llx-6> 0
2x3+3x2 -11x -6>0, factorizando por Ruffini 2x3+3x2-llx -6
2 3 - 1 1 - 6
4 14 6
2 7 3 0
2x3+3x2- llx -6 =(x- 2X2x2+7x +3)
=(x - 2)(2x + 1)(x +3) entonces
(x-2)(2xe+7x +3)>0 => (x-2)(2x +1)(x +3)>0
1
2
x e
- 3' - i
[2,+oc >
O x3-3x2-I3x +15>0
www r?d'jKDei •■¡on SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO
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x* -3xJ -13x +l5 >0, factorizando por Ruffini x3-3x2-13x +15
CAPI7',,n i
O
1 -3 -3 15
1 -2 -15 1
1 -2 -15 0
x3- 3x2-13x+15 =(x -1Xx2- 2x -15)
=(x - IXx - 5Xx +3) entonces
(x -1)(x2-2x -15)>0 => (x-l)(x-5)(x +3) >0
Y .
-3 1 5
x e(-3,l)u(5,oo)
x4-4x3-x2+I6x-12 >0
É O L W m U l'M *
x4-4x3- x2+16x -12>0 factorizando por Ruffinni x4-4x3-x2+16x-12
1 -4 -1 16 -12
1 -3 -4 12 1
1 -3 -4 12 0
2 -2 -12 2 2
1 -1 -6 0
x4-4x3-x2+16x-12 =(x-lXx-2Xx2-x-6)
=(x-1Xx-2Xx-3Xx +2)
(x-l)(x-2)(x-3)(x +2)>0
- 2 1 2 3
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CAPITULO I .................................................... ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
x e(-oo,-2)u(l,2)u(3,ao)
x5+3x4-5x3-15x2+4x- 12>0
Tnrrrgr.i^r
x5+3x4-5x3-15x2+4x- 12>0
Factorizando por Ruffinni x5+3x4- 5x3-15x2+4x- 12
1 3 -5 -15 4 12
-1 -2 7 8 -12 -1
1 2 -7 -8 12 0
1 3 -4 -12 1
1 3 -4 -12 0
2 10 12 2
1 5 6 0
x5+3x4-5x3-15x2+4x-12 =(x +l)(x - l)(x - 2 )(x 2+5x +ó)
=(x+ 1Xx-lXx-2Xx +3Xx +2)
~ ^ ^ A r ~ i r r -  / ~ A A T -
-3 - 2 - 1 1 2
(x +1Xx-l)(x2+5x +6)>0
=> (x +1Xx-lXx-2Xx +3Xx +2)>0
xe<-3,-2> u< —1,1>u2,oo>
^ x5-6x4-x3+29x2+8x-15 <0
x5-6x4- x3+29x2+8x-15 <0
factorizando por Ruffinni x5- 6x4- x3+29x2+8x-15
. SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
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S
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITUI O I
1 -6 -1 29 8 -15
-1 7 -6 -23 15 -1
1 -7 6 23 -15 0
3 -12 -18 15 3
1 -4 -6 5 0
5 5 -5 5
1 1 -1 0
x5- 6x4- x3+29x2+8x-15 =(x +lXx- 3Xx - 5Xx2+x-1)
(x +1Xx-3Xx-5Xx2+x-1)<0, factorizando x2+x-1
(x +1Xx-3Xx-5)
(x +1Xx-3Xx-5)
(x +1Xx-3Xx-5)
~ ~ V ~
x+: Y . i .
2J 4
<0
i r -
1 s
X -I- ---------
2 2
<0
1 V sl
x+- +—
2 2
<0
:y ;
l+  / 5 -1 -1 +  ÍS
. l +&  / , - l +>/5
.. x€(-co,---_ W - l , -- -— u<3,5>
O (x2- 2x - 5Xx2- 2x - 7Xx2- 2x- 4) >0
(x2- 2x- 5Xx2- 2x- 7Xx2- 2x- 4) >0, factorizando
1
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
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( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
©
[(x-1)2-1-5](x2-2x-7Xx2-2x-4) >0
=> [(x-1)2- 6][(x- 1)2- 8 ][(x - 1)2-5] >0
=>(x -1 - >/ó)(x-1 +Vó)(x -1 +V8)(x -1 - n/8)(x -1 - >/5Xx-1 +n/5) >0
1-2Í2 1- V6 1-V5 1+¡S 1+46 1+2Í2
x e ^-oo,l-2^2^ u ^1-yjb,1—VH^U^I +>/6^u(l +2>/2,+co^
x5-2x4-15x3>0
x5-2x4-15x} >0 => x3(x2-2x-15) >0 => x3(x-5Xx +3) >0
+
>
1
>
+
>
1
-3 0 5
x e<-3,0 >u <5,oo>
(x3-5x2+7x-3X2-x) >0
Factorizando por Ruffinn x3-5x2+7x-3
1 - 5 7 - 3
3 - 6 3 3
1 - 2 1 0
(x-3 )(x-l)2(x-2) <0
+
>
l
>
+
>
1
www ^dukperu com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
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x e [2,3] ^ {1}
(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)< 0 si a<b<c<d
m m m m n w ai
(x-a)(x-b)(x-c) (x-d)<0
» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITU' O l
O
a b c d
xe(a,b)u(c,d)
(x2+6x -1Xx3-2x2-2x +4Xx +5)5>0
(x2+6x - IXx1- 2x2- 2x +4Xx +5)5>0, factorizando
=> [(x +3)2- 9 - l][(x 2(x-2)-2(x-2)](x +5)5>0
=> [ ( x + 3 )2 - 1 0 ] ( x - 2 X x 2 - 2 X x + 5 )5 > 0
=>[x +3- VÍÓ](x +3+VÍÓXx - 2Xx - V2Xx +>/2Xx+5)5>0
~ v : v + v • v + v - a ~
-3- VIO -5 -¡2 -3 +/To ¡2 2
x e (-x,-3-VÍÓ)u(-5,-V2)u(-3+>/ÍÓ,V2)w<2,4oo>
^ (6x +3)2(x2-1)3(3x -5)7<0
(6x +3)2(x2-1)3(3x - 5)7<0 => (6x +3)2(x - l)3(x +1)3(3x-5)7<0
8
m SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO! . , wwwedukperu.comANÁLISIS MATEMÁTICO I .,
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CAPÍTULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
O
o
-1
••• xe(-oo,-l)u^1,|^
(3-x)3(x2- l)2(l- x )5x>0
M ü B W
(3-x)3(x2- l)2(1-x)5x >0 => x(x -3)3(x -1)2(x +1)2(x -1)5>0
x(x -3)3(x -1)7(x + 1)2> 0
-i
x4-2x2-3x-2 >0
0 1
/. x e ( 0 , l)u (3 ,o o )
x4-2x2-3x-2>0 factorizando por Ruffinni x4-2xa-3x-2
1 0 -2 -3 -2
-1 1 1 2 -1
1 -1 -1 -2 0
2 2 2 2
1 1 1 0
x4-2x2-3x-2 =(x +1Xx-2Xx2+x+1)
(x-lXx-2Xx2+x+l)^ 0 , como x2+x +l>0, Vxe R, entonces.
(x-lXx-2) >
0
x2+x +6
=0 => (x- lXx - 2) >0
www.edukperu.com i . S O I 1C
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS
$
-i o
x e < - o o >- 1 ]u [2 ,+ o o >
x4-3x3+5x2- 27x-36 <0
x4-3x3+5x2- 27x-36 <0 factorizando por Ruffinni
1 -3 5 -27 -36
-1 4 -9 36 -1
1 -4 9 -36 0
4 0 36 4
1 0 9 0
x4-3x3+5x2- 27x-36 = (x +1Xx -4Xx2+9)
(X +lXx
l
X
Xx>
+9) <0, como x2+9>0, V x e R ,
(x +1Xx-4)<0
-1 4
X€<-1,4>
m
x4- x2<0 => x2(x2-1)<0 => x2(x-l)(x +l)<0
+ V ¿ /~ ~ *
- 1 0 1
x e <-1,0> <j <0,1 >
CAPITI" n i
36
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I .,
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CAPITULO I
( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
O (2x2-4x-1X3x2-6x +4Xx2+4x-2)>0
Jg ^ S S S S iS M f
(2x2-4x-lX3x2-6x +4Xx2+4x-2)>0, factorizando se tiene:
x2-2 x--1 f x2-2x +-1(x2+4x-2) >0
^(x-l)2- l-^ j^ (x -l)2- l +^j[(x +2)2- 4-2]>0
f(x - l)2- | ^(x —l)2+^j[(x +2)2-6]>0, como (x -l)s +^ >0, V x e R
[ o _
(x-1)2- - [(x +2)2-6J >0, factorizando
-1_^|)íx-1+^)(x+2+.'^)(x+8“'^)>0
, Í3 2+yfb , ¡3
Puntos críticos x =1+J- =---- , x = - =
V2 2  2
2 -y f b
, x =-2-Vó , x =-2+n/ó
~ v 1 - ~ V .+
-2-^6 2 -x/6~ -2 '/6 2 +/6
x5+8x4+12x3-x2-8x-12>0
Factorizando por Ruffinni x5+8x4+12x3-x2-8x-12
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SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITUI n i
1 8 12 -1 -8 -12
1 9 21 20 12 1
1 9 21 20 12 0
-2 -14 -14 -12 -2
1 7 7 6 0
-6 -6 -6 -6
1 1 1 0
x5+8x4+12x3- x2- 8x-12 =(x - 1Xx +2Xx+6Xx2+x+1)
(x-1)(x +2Xx +6Xx2+x +1)>0 , como x2+x +l>0, V x e R , simplificar
(x-1)(x +2Xx +6)>0
-6 -2 1
xe(-6,-2)u(l,oo)
^ (x2-1Xx2+9Xx +4Xx +5)>0
(x2- lXx2+9Xx +4Xx +5) >0, simplificando x2+9>0, V x e Ry factorizando
(x-lXx +1Xx +4Xx-5)>0
- 4 - 1 1 5
xe(-oo,-4)u(-1,l)u(5,oo)
60 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I .,
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CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
O
©
(x +2Xx +3Xx - 4Xx - 5) >4*■
(x +2Xx +3Xx-4Xx-5) >44 => (x +2Xx-4Xx +3Xx-5) >44
=> (x2-2x-8Xx2-2x-15)>44 u =x2-2x-8
=> u =(u-7)>44 => u -7u-44>0 => (u-1lXu +4)>0
=> (x2- 2x-8-11Xx2-2x-8 +4) >0 => (x2-2x-19Xx2-2x-4)>0
[(x-1)2-1 -19][(x-l)2-1 -4] >0 => [(x-1)2- 2 0 j(x - l)2-5]>0
(x -1 - 2>/óXx-1 +2>/5Xx-1 - >/5Xx-1 +>/5) >0
v
1 +2ÍS 1 -ÍS 1+ÍS 1-2^5
xe(-oo,1-2>/5)u(l-75,1 +7 5 )u (l +275,®)
x +6x4+6x +4 >0
x6+6x4+6x2+4 >0 => u =x2 => (x2)3+6(x2)2+9x2+4 >0
=> u3+6u2+9u +4 >0
Factorizando por Ruffinni; u +6u +9u+4
1 6 9 4
-1 -5 -4 -1
1 5 4 0
u*-1-6u2+9u+4 =(u +IXu2+5u+4)
=(u +IXu +4Xu + 1)
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPrr” ' n i
O
o
u =x2 => (x2+ lf(x 2+4)>0, como )C+1>0 a x2+4>0, V x e R
Entonces la solución es: V x e R
x4-3x2- 6x-2<0
x4- 3x2- 6x- 2<0 , factorizando x4- 3xJ - 6x- 2
x4-3x2-6x-2 =(x2-2x-lXx2+2x +2) entonces
(x2-2x-l)(x2+2x +2)<0, como x2+2x +2>0, Vx e R , simplifican
x2-2 x-l< ____-____=0 => x2-2x-l <0, completando cuadrados
x2+2x +2
x2-2x +l <2 => (x - 1)2<2 => -72 <x-1 <y¡2
1-72 < x < 1 +72
xe< 1-72,1+72 >
x5-6x4-17x3+17x2+6x-l >0
m m m m t
X5-6x4-17x3+17x2+6x-l >0 factorizando por Ruffinni
1 -6 -17 17 6 -1
1 -5 -22 -5 1 1
1 -5 -22 •-5 1 0
X
1
X
X*
-5x3--22x2--5x+l) >0
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f-8x
+3x
CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
XlX-5x3 -5x
-2x
x4-5xJ -22x2-5x +l =(x2-8x +1Xx2+3x +1)
(x-lXx2-8x +1)(x2+3x +1) >0
3 2 9
(x-l)[(x-4 )2-15]
(x-1)[(x-4)2-7Í5](x-4 +7Í5)
>0
r 3X + --------
2 2
3 75
X H-- + ----
2 2
>0
A /
3 + /5 -3 +fS 4-'/l5 1 4 + fl5
2 2
...
x4-2x2+8x-3 >0
Factorizando x4- 2x2+8x- 3
x4+0x3-2x2+8x-3
A
2x v -1
+ 2 x ^ * 3
(x2+2x-lXx2-2x +3 )>0, como x2-2x +3>0, V x e R , simplificamos
v - 2x v
/ v „ „ X
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITUt O I
x +2x—1>
x -2x+3
[(x +1)->/2][(x +1)+>/2]>0
x2+2x-1 >0, factorizando
A /
-1-72 -1 +72
xe(-<or 1 - ^ |u ^ - 1 - h ^ o o ^
O x4-2x3-5x2+10x-3 <; 0
Éimmrnaf
x4-2x^ -5x2+10x-3 <0
x4-2x3-5x2+10x-3
x2 -3x -3
x2 X 1
(x2- 3x +1)(x 2+x -3 ) <0 , factorizando
3T 9 ix— — +1
2 J 4
n 1 ^x+- --- 3
2 J 4
<0
1Y 13
X H— ----
2 J 4
<0
r 3+75X --------
í 3--75 ¥ 1-7Í3
x—■ X + ■ <0
-1 -¡13 3-/5 713-1 3+75
2 2 2 2
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
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CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
X €
'-1-73 3-y/S
u
n/T3 -1 3+75
2 2 2 ' 2
$ (x-7Xx-3)(x +5Xx +1)>1680
(x - 7Xx +5Xx - 3Xx +1) >1680
(x-7Xx +5Xx-3Xx +1)>!680 => (x2-2x-35Xx2-2x-3) >1680
u=x2-2x-3, reemplazando se tiene:
(u-32) 1680 => (u2-32u-1680)^0 => (u- 60Xu +28) >0
(x2- 2x - 63Xx2- 2x +25) £ 0, factorizando se tiene:
[(x -1)! -1-63][(x - 1)! -1 +25]20 => [(x -1)*-64][(x-1)* +24]£0
Como (x - l);' +24>0, V x e R, simplificando (x - l)2-64>0
(x-1)2>64 <x> x-1^-764 v x- 1<-Vó4
x- 1>8 v x - 1<-8
x>9 v xú-7
x e <-oo,-7] u [9,+oo>
(x +9Xx - 3Xx - 7Xx +5) ^ 385
(x +9)(x - 3)(x - 7)(x +5) ^ 385
(x +9Xx-7Xx-3Xx +5)<385 => (x2+2x-63Xx2+2x-15) <385
u= x~+2x-15, reemplazando se tiene:
• . . SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ...................................................................................
(u-48)u^385 => u2- 48u-385 <0 => (u - 5 5 X u + 7)^0
(x2+2x-15-55)(x2+2x-15+7)<0, factorizando se tiene:
[ ( x + 1)2- 1 - 7 0 ] [ ( x + 1)2 - 9 ] ^ 0 => [(x + l ) 2 - 7 l ] [ ( x + l)2-9]<0
(x +1 +V7l)(x +1->/7Í)(x +1-3Xx +l +3)<0
(x +1+%/7Í)(x +4)(x +1->/ñ)(x-2)<0
-1 ~¡71 -4 2 ¡7Í-1
xe[-l->/71,-4j^[2,-l+>/7Íj
CAPITI1' « I
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CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
O
INECUACIONES FRACCIONARIAS
Resolver las siguientes inecuaciones:
x+1 x
<
2-x x+3
x+ 1, x 2 ilI_ _ JL _ < 0 => (x +1Xx+3)-x(2-x)
2-x x+3 2-x x+3 (2-xXx +3)
x2+4x +3-2x +x2 A 2x2+2x +3 _
---- --------------- <0 => -------------- >0
(2 -xXx +3) (x-2Xx +3)
como 2x +2x+3>0, V x e R, entonces expresamos asi:
1 - o = > ---- !_____ >0
(x-2Xx +3) 2x2+2x +3 (x-2Xx +3)
-3 2
/. X€<-oo,-3>u<2,oo>
3x-7 3-2x
— í— >0 =» — 1 - ^ 0 => 3-2x -4(3x - 7 ) , 0
3x-7 3-2x 3x-7 3-2x (3x-7X3-2x)
31-14X ^ ^ ___14x_-31
(3x-7X3-2x) (3x-7X2x-3)
31 7 3
x =— , x=-, x = -, puntos críticos
14 3 2
. . . SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I I. . . S O L IO
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPIW * •
3 31 7
2 4 3
'3 31
X € < ( —
2 14
x+2 >x2+2
x+2_x^+2>0 x2(x -t-2) -(x - 2)(x2+2) ^ Q
x-2 x2 " ~ x2(x-2)
x1+2x8-x3+2xg-2x +4 )a 0 ^4>^-2x±4 a0 como 4x* _2x +4 >0, V x e R
x2(x-2) . x (x-2)
1 > „ ° --------------- = 0 => —r — --- > 0
x2(x -2) 4x2-2x +4 x2(x -2)
: ~ V
0 2
/. x e < 2 ,0 0 >
x-2 > x
x+4 x-2
=» ü z 2 . _ í _ a 0
x+4 x-2 x+4 x-2
(x-2)2-x(x +4) x2-4x +4-x2-4x
----- ----------- > 0 => -----------------------> U
(x +4Xx-2) (x +4Xx-2)
~8x+4 ¿o =. — — — <o(x +4)(x-2) (x +4Xx-2)
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capitulo I { EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
-4 I 2
2
/. xe< -oo,-4 >u
,2>
x -4 ; x -2
x2+2 x2+1
x3-4 x3-2
< (x3-4)(x2+1)<(x3-2)(x2+2)
x2+2 x¿ +1
x5-4x2+x3-4<x5-2x2+2x3-4 =>2x2+x3>0 => x2(x +2)>0
x =0; x =-2, puntos críticos
v :
-2 0
x e < - 2 ,0 > ^ j< 0 ,o o >
x-1 < 2x x
x x +1 x-1
M K S B M M
x-1 2x x x-1 2x x ^ .
---- < ------------ = > -------------- + ----- < 0
X X +1 X-1 X x +1 x-1
(x8—l) ( x —1)—2x 2( x - 1 )+ x 2(x +1)
x(x +1)(x —1)
x —x —x+1—2x +2x +x +x . 2x -x +1 .
=> ------------ ;-----r;-----:---------- < 0 =>— -----T7------ < 0
x(x +l)(x - l) x ( x + 1 )(x - 1 )
Como 2x2-x +l>0, V x e R , entonces simplificamos
” —^ SOLUQONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO Il ■ ±www.solucionarlos,net
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ...........................................................................CAPITU' O I
1 - o ^ ------1— so
x(x +l)(x - l) 2x2- x+1 x(x +lX x -l)
x =-1; x =1; x =0, puntos críticos
A / ± V :
•i 0 1
X G < -00,-1 > U < 0,1 >
x2+2 x~+1
y4+1 y4+1 ___
MmxmAwm
— íll simplificando x4+l se tiene:
x4+1 x4+1
x2+2 >x2+1 => 2 > 1, V x e R
/. La solución es V x e R
x2-2x <x+8
x2-2x x+8 x! -2x x+8 _ 2(x*-2x)-(x +8X x-4) ^
I T T “ T * x-4 2 - 2(x-4)
2x2-4x-x2-4x +32 ^ ^ (x-4) +16 ^ Q
2(x-4) ” 2(x —4)
Como (x-4)2+16>0, V x e R =>
V
4
t
■ * ■
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CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
1 3x+l
—<---- <4
X X
X G <-oo,4>
1 3x+l 1 3x +l 3x +l .
—<---- <4 => —<----- a ---- <4
x x x x x
1 3x +l 3x +l , l-3x-1^.rt 3x+l-4x „
------- <0 a ------4 <0 => -------<0 a -------- <0
x x x x x
— < 0 a ^ Í l < 0 => - 3 < 0 a — > 0
X X X
i» x—1 x—1
x g 9? a -----> 0 =2» ------> 0
x x
©
x2+8 5x-8
x+4 ~ 5
0 1
XG< -oo,0> U< l,oo>
x2+8 5x-8 x2+8 5x-8 ^ rt 5x2+40-(5x-8)(x +4) „
----- > — -— = > ------------->0 => ---------- ------ ----- - > 0
x+4. 5 x+4 55(x+4)
5x* +40-5x2+8x-20x +32 _ 72-12x x+6
=> ---------- ---- ---------- >0 => ---->0 => ------------- <0
5(x +4) 5(x +4) 5(x +4)
x =-4; x =6, puntos críticos
-4 6
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ...............................CAPITU' f i
©
O
x+4 x-2
>
x"+4x +4 x -4
^ ■ arrn m .T M T
x+4 . x-2 _ x+4 x-2 , 0
>
x2+4x +4 x2-4 (x +2) X--4
(x +4)(x-2)-x2-f4 n x2+2x- 8- x~ +4 ^ n
(x +2)2(x-2) (x +2)2(x-2)
2x~ 4 >0 ^ — L_^>0, Vx e R, x^±2
1 2
<•
x+1 3x-l
(x +2)2(x - 2) (x +2)
x e R- {-2,2}
_ L < _ L - * — _____ — <0 => 3x- 1-2(^ < 0
x+1 3x-1 x+1 3x-1 (x+1X3x-1)
3x-1-2x-2), n ^ ____x^3--- <0
(x +1X3x-1) (x +lX3x-1)
x =3; x = 1; x =- puntos críticos
3
-1 1 3
3
xe<-oo,-l,>u/^,3
©
f l
2 2x2-3x +3
2 <(x -2X2x +3)
SOLUCIONARI
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CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
2x2- 3x +3 1
+->0
(x-2)(2x +3) 2
4x~-6x +6+2x2-4x +3x-6 _ 6x2-7x
--------------------------------------------------------------- >0 => ------------------------------->0
2(x-2X2x +3) (x-2X2x +3)
x(6x-7)
(x-2X2x +3)
>0
3 7
Puntos críticos: x =2; x =0; x =-; x =-
2 6
.3 0 7 2
2 6
w <2,+oo>
X E ( ^ i u 
© 2x-1 3x-1 x-7
---- +----- <4 +
v o. 1 v -i_Ox+1 x+2 x—1
(2x-lXx +2) +(3x-1Xx +1) 4x-4 +x-7 .
------ ;— ~ ----------------------------- <-:------ , simplificando
(x +lXx +2) x-1
5x~+5x-3 5x-12 5x2+5x—3 5x-12
(x +1Xx +2) x-1 (x +1)(x+2) x-1
(5x2+5x -3)(x -1)-(x +1Xx +2X5x -12)
<0
(x +lXx +2Xx-l)
<0, simplificando
-3x2+18x +27 x2-6x -9 _ ,
<0 => -— —-- —----- >0, factorizando
(x +lXx +2Xx-l) (x +lXx +2Xx-l)
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS j
CAPITI"OI
O
o
(x-3 +3j2)(x 3 3>/2)^ n HnnHp x =-2; x=3-3>/2 ; x =-1
(x +1Xx+2Xx-1)
x =1, x =3+3v2 , puntos críticos
-2 3 - 3 ^ 2 -1
3 +3 ¡2
x e
x < x-3
<2+4 x2+x+4
(-2,3 - 3>/2j u <-1,1 >u(3 +3>/2,+0°)
_ J L _ < x — = > x ( x 2 + x + 4 ) < ( x 2 + 4 ) ( x - 3 )
x2+4 x2+x+4
puesto que x2+4>0, x2+x+4>0, V x e R
x ( x 2+ x + 4 ) é ( x 2+ 4) ( x - 3) => x3+ x E+ 4x £ x 3- 3x e + 4x -12
=> 4x2<-12 => x2<-3 pero Vx e R . La solución es <t>
(xg-2 )(x-5)(x -3 )^
x(x2+2)(x -3)
(xi -2)(x-5)(x-3) ' ^
x(x2+2)(x-3)
( x - 7 2 ) ( x + 7 2 ) ( x + 5 ) ( x - 3 ) ^
> x(x + 3 )
puesto que x2+2>0, V x e R
Puntos críticos: x =± 3; x =±72 ; x =-5; x =0
V v : v
-5 ■72 0 72
/
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O
x e<-oo,-5'>u^-3,-72^'^0,—72^u<3,-oo>
' (6x-3)~(x2+1) (3x-5)'
CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
O
(x +6)¿ (2x +3 ),.,
(6x +3)2(x2+l)3(3x-5)7 ^ (6x +3)2(3x -5)? ^
(x +6)2(2x +3)17 > ^ (x +6)2(2x +3)’7 >
puesto que x¿ +1 >O, V x e R
- O V ¿ V
-6 3 1 5
'2 "2 3
x e < - o o ,- 6 > u ( - 6, - | W - | , c o
( 4 x + 2 )2 ( x 2 + 2 )5(2 x - 8 ) 9
( x + 1)2 (2 x + 5 )'7
ISMUlHT
(4x +2)¿ (xa+ 2 )5 ( 2 x - 8 ) q _o ^ (4x +2)g(2x-8)g , Q
( x + 1)! (2 x + 5 )'3 ( x + 1)’ (2 x + 5 )'3
puesto que x¿ +2>0, V x e R
1 5
PuntOS críticos: X =4; X =--: X =-- : X =-1
2 2
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W (x-5) (x +3)
cAPrrui o i
(x +4) (x-2)
(x-5) (x +3)x-5 x+3
(x +4)(x +3)-(x-2)(x-5)
(x-5)(x +3)
x2+7x +12-(x2-7x +10)
<0 =* (x-5)(x +3 T
14x42__ <o ; Puntos críticos: x =5; x= -3; x -
(x-5)(x +3)
-3
C.S.: xe(oo,-3)u(--,5
x-4 x+2
7 +- U - 2
:-4 x+2
beeem m
Z í í í ! h í d +2<o
(x-4)(x +2)
7x +14+x-4 +2(x-4)(x +2) n
(x-4)(x+2)
8 x + 10 + 2 ( x 2 - 2 x - 8 )
(x-4)(x+2)
x2+2x-3
<0
2x2+4x-6
(x-4)(x+2)
(x+3)(x-1) , n
(x-4)(x +2)
<0
(x-4)(x +2)
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CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
Puntos críticos: X =-3; X = X = 1; X =4
o
+ V 1 V t V 1 V +
- 3 - 2 1 4
C.S.: x e(-3,-2)u(l,4)
(x* +x-6)(x’ -x-6)
(x2-4)(x2-2)
jBEimSÜSMt
( * ! + *-6)(.r! - *- 6 ) (* +3)(a'- 2 )(a'-3)(.v +2)
( * * - 4 ) ^ - 2 ) >0 " ( , - 2 ) ( , +2 ) ( x - ^ ) ( , +^ ) >0
(x +3)(x-3) _
7--- pr---- — >0 a x^±2. Los Puntos críticos: x =±3; x =±v2
(x-V2)(x +>/2)
-3 -s¡2 s¡2 3
C.S.: X€<-co,-3>u<-Í2,yj2><j<3,co>
@ x1z 2x±3>_3
^ x -4x+3
x2-2x +3 x2-2x +3 _ _
I — --- >-3 => -r— ---- +3>0, operando se tiene:
x -4x +3 x -4x +3
x -2x +3+3(x“ -4x +3) 2x2-7x +6 _ (2x-3)(x-2)
--------— --- ------ ^>0 => — ------->0 => ^---------r >0
x -4x +3 x -4x +3 (x-l)(x-3 )
Puntos críticos: x =-; x =1; x =3; x =2
2
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77
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS j
CAPITUl O I
O
V : V i V ___±—1 3 2 3
2
3
C.S.: xe<oo,1>u<-,2>u<3,co>
J L + J_ > 2
x+3 x—1 ____
jnm M M
5 , 1 ^ O _É —+—l--2 >0, de donde se tiene:
x+3 x—1 x+3 x—1
5(x-1) +x+3-2(x +3)(x-1) n
(x +3)(x-l)
5x-5 +x+3-2(x2+2x-3) -2x2+2x+4 ^ n
(x +3)(x —1) > ^ (x +3)(x-1)
x*-x-2 <0(x-2Kx.tij<0
(x +3)(x-1) (x +3)(x-1)
Puntos críticos: x =-3; x =-l; x = 1; x =2
-3 -1 1
xe<-3,-l >u<1,2>
« 3x+1 1
2 > ------> -
. 3x+1 1rt^3x +l , 3x+1 1
2 > ------> - => 2 > - a — —
X X x x x
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CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
3x +l „ 3x+l 1 n 3x +1+2x 3x
--------2 < 0 a ---------- > 0 = > ----------- < 0 a — > 0
x x x x x
— < 0 a 3 > 0 => — < 0
Puntos críticos: x =0; x =-1
 T ~ ~ V
-1 0
La solución es: x e [-1,0>
0 x ^ -2 _x i 3 > _ 3
W v2 -L. 3x -4x +3
x2-2x +3 0 x2-2x +3 0 ,.|
—------- > -3 => —t---------+3 >0, efectuando las operaciones
x -4x +3 x -4x +3
x2-2x +3(x2-2x +3) x2-7x +6 A (2x-3)(x-2)
------ s— ^--------- >0 => —-------- >0 => ----¿r— z r > 0
x —4x +3 x —4x+3 (x-1)(x-3)
3
Puntos críticos: X =- ; X =1; X =3; X =2
2
V 1 V + V = V
1 _3 2 3
2
Conjunto solución
© 2x4+7x3+8x2+6x +1 ^
óx^1+17.x4+23x3+18x2+7x +1
2x4+7x3+8x2+6x +1
6x5+17x4+23x3+18x2+7x+«1
>0
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CAPITULO I
Factorización por aspa doble en el numerador
(2x2+5x+l)(x2+x +l)
>0
ÍX~2IX+1)X+1)(6X!+6X+7)
como x2+x+1>0, V x é R V 6x2+6x+7>0, V x « R, simplificando
2 5x 1
x +— +—
2 22x2+5x +1 ^ __________
x+sXx+Í)(x+1) (X+Ü(X+9(X+1)
>0
2 5x 25 1 25
X2+— +— +r.~77
____ 2— 16—2— 16_>o => tw —
KHH (x+iXx+3>+i)
X + - T - -
^ --- >0, factorizando
5 (17 Ì 5 17
X+4 'V Í 6 j r K 4 + Í 6 j
f 5 - V Ì7
x+
V 5 + >/Í7
x+— -—
(x4)H)x+1) H)K)(X+1)
5-Vv7 5+y¡V7 ____ 1_ v =- i x =-1. puntos críticos
X --------- , X ------- » X - 0 > o '
-  / + V - V — ^
! 7 & ------ -i 4 1
Conjunto Solución: x e
<5
_2fl7+5 A<_I 1
3 4
1 /V i7-5
2 3
>vj
X—1 x2-1
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CAPÍTULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
X—1 X —1
<5
X —1 (x-l)(x +1)
<5 =>
x—1 (x-lXx +1)
-5 <0
7(x +1)-6-5(x-1)(x +1) 7x +7-6-5(x2+1)
(x +1)(x-1) (x +1)(x-1)
-5x2+7x +6 . 5x2-7x-6 . (5x +3)(x-2) „
<0 => T---- —---- -> 0 => — ,---- r r --- ^ > 0
(x +l)(x - l) (x +1)(x-1) (x +l)(x-1)
Puntos criticos x =-1; x =— ; x =1; x =2
5
-1
xe(-»f-l)u^-|,1^u(2,+co)
<0
12x5-35x4-53x3+53x2+35x - 12
x6+15x5+78x4+155x3+78x2+15x+1
12x5- 35x4- 53x3-f53x2+35x- 12 ^Q
x6+15xs +78x4+155x3+78x2+15x +1<
Agrupando término en forma adecuada para su factorización
12(x5- 1 )- 3 5 (x 4 - x )- 5 3 x 2(x - 1 )
x6 +1 + 15(xs + x) +78(x4 +x 2) +155x3
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ......................... .....................................CAPITU!
12(x4+x3+x2+x +l)-35x(x" +x+l)-53x* j
x3+¿ +,5l( x2+? l
+
00
íX+x]+155
<0
3 |r n3u = X + —
1V XJ
í 1Yu = X + —
l XJ
1 3
- +— => u
X J X
( 23 12
( x - 1 ) ( 1 2 x 4 -23x3-76x2-23x +12) ^ (x l)|^12x 23x 76 ^ x%
u3-3u +15(u2-2) +78u-f 155 <^ u3+15u2+75u+125
(x —1) 12| x 2 + x12 l - 2 3 Í x + M - 7 6
<0
(u +5)
(x-l)[l2 (u 2-2)-23u-76]
( u + 5 )3
<0
(x—1)f12ug-23u-lOO] -A (x -1)(12u +25)(u, 4) ^ ^ u =x +i
(u +5)3 ( u +5) x
(x"1)líl2x +^+ 25j
(X+x _ 4 J
(x-l)(l2x2+25+12)(x2-4x +l) ^
I(X+H3
(x2+5x +l)
(x-l)(3x +4)(4x +3)[^(x-2)2-4 +lJ
5Y 25 ,
x+-¡ +1
2 J 4
<0
(x-l)(3x +4)(x +3) x-2x>/3j(x-2 +^ )
B*f)H-#)I
<0
H www.solucionarios.net
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CAPITULO I ............................................................. ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
4 3 r-
x =1; x = ; x = x =2+V3
X - 2 - J 3 ; X - 4 - &
2 2 2 2
~ A~^/ : y /~r
. 4 .3 7 2 1 - 5 2 -^3 1 2 +/3
4 3 4 2
, :r | ) v ( 4 í , á ) ^ . ( )
2x-l x+2 x—1
x+4 +3-x >x+3
2x-l _ x+2 x—1 2x-l x+2 x—1„ ,
! T ¡ T + 3 ^ > ^ 3 = > i r r 4 + í 3 5 ' Í Í 3 > 0 ' A c t u a n d o las o p e ra c io n e s
(2x-l)(x2-9)+(x +2)(x +4)(x +3)-(x-1)(x +4)(x-3)
(x +4)(x-3)(x +3) >0
2x3-x2-18x +9+x3+9x2+26x +24-x3+I3x-12
(x +4)(x-3)(x +3) >0
-10x2-31x-27 10x2+31x+27
> 0 => 7---- t ;-----TT----- < 0
(x +4)(x —3)(x +3) (x +4)(x-3)(x +3)
como 10x~ +31x+27 >0, V x e R entonces se simplifica, es decir:
(x +4)(x-3)(x +3) <0 dedonde x =*4- x =-3» x =3 puntos críticos
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_______________ _____________ . CAPITUl O )
» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ...............................................................................
:  / +  /
.4 -3 3
xe(-co,-4)'-'{-3.3)
O S 1+X3 ^ * - x * + * “ -j L + 9
w (l- X ! )(1-x) (1-x) (1+x ) ___________
jg g a s s a a a B T
. » .. (1 +x )(l- x +x! ) x(1-x)+x4(1-x)^0
( í d ? f r ^ >l ^ x f n ^ +9 * M f d « )
_ b ü --+9; x*±l
(l—x)(1—x) (l-x)(l+x)
1 - X + X* : X ( U X ] _ ^Q; X*±1
(l-x)O-x) (1 -x)(Ux)
_ ¡ W X(H X)(1-X +X‘ ) ^0 xse±1
(1-x)(1-x) (1-x)(1 +x)
x - xg+x3 1 -x+x8 ^o^r,. x#±1
(1-x) (1—x)(1-x)
( x - x i + x 3) ( 1 - x ) - 1 +x-xi ^o ^ n XJ¡±1
(1-x)
-x4+2x3- 2xg+ x - U x - x ^ Q^ n, X5t±1
(1-x)!
-x4+2x3-3xa+2X-1 +g <Q. X,± 1
(x - lf
______________________;-------
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CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
O
9-
x4-2x3+3x2-2x + l
(x - l)!
<0; x * ±1 => 9-
r •> *2
x~- x+1
x—1
<0; X * ± l
í ..2
3-
X —1
f ..2
3+
)
X —X-f1
X —1
<0; x* ±1
' 3 x - 3 - x 2+ x - l Y 3 x - 3 +x2- x +1
x" ! A x—1
( -x2+4x - 4
x^7~
f ..2x +2x-2
X—1
<0; x*±l =>
<0; x*±1
(x-2)![(x+1)! -3]
(x-1)2
>0; x*±1
(x-2)J (x +1->/3)(x +1+>/3)
>0; x*±l
x =2; x*±l; x=-l±>/3. Existe multiplicidad par en x =2yx =1
-1 -n/3 v/3-1
-V3-l)u(V3-1,l)w{1,2)w{2,co}
4x4-20x2+8
x4-5x2+4
4x4-20x2+8
<8
<8
4x4-20x®*+8
x4-5x2+4 x4-5x2+4
4x4-20x2+8-8x4+40x2-32
-8<0, operando se tiene:
x4-5x2+4
<0, simplificando
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) .................................................................... S 9 fE r”
O
o
-4x'l +20x1-8 n x4-5x*+6 - _ (x___» o . factorizando
x4- 5x* +4 ~ x4-5x2+4 ® (x2-l)(x! -4)
(x->/5)(x +-J2)(x-£ ) ( * +£ ) ' n
(x-1)(x +1)(x-2)(x +2)
Puntos críticos: x= ±¡2; x=±l; x=±3; x=±2
+ / : / r ~ y -  A ~ r ~ y
_2 V3 s il -1 1 v/2 VB 2
Conjunto solución es: x e(-<r,-2) ^ - >/ í- >/2^u(-lfl)u(>/2,>/3)vj(2f-Hx)
( x -1)8( x 2- 1 )(x 4- 1 )_
(x4+])(x-2)
m i f M l i i ' T
(x-1)’ (x»-l)(x4- l ) _ (x-1 )T (x»-l)(x»-l)(x»^ )%n
(x4+l)(x-2) (x4+l)(x-2)
Simplificamos los términos (x4+l) y (x2+l), (x-1) por ser siempre positivos
íx2- lf i
^____L >o => --- £ 0 => x >2 de donde x e <2,+qo>
x-2 * x-2
(x2+5x +6)(x4-16)(x2—4x —12) ^
(1-3x)3(x-1)(x! +l)
( x * +5x+6)(x4-16)(x*-4x-12) ^
(1-3x)3 (x -1)(x! +1)
Factorización por diferencia de cuadrados y aspa simple:
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CAPÍTULO I
JCEDUARDO ESPINOZA RAMOS «
(x +3)(x +2)(xJ -4)(x‘ 4)(x-6)(x +2)
(l -3x)3(x -1)(x2+1)
(x2+4) y (x2-rl) son positivos V x € R, entonces simplificamos
(x +3)(x +2)(x-2)(x +2)(x-6)(x +2) (x +3)(x +2)’ (x-2)(x-6)
(3x —I)3(x —1) (3x —l)(x —1)
-3 -2 3. 1
‘ 3
xe(-oo,-3)u^-2,-^u(l,2)u(6,+oo)
O
4 x-2 4
<—
4-x 5 x
4 x—2 4 4 x—2 4
<— => ------- ----- <0, efectuando la operación
4-x 5 x 4-x 5 x
20x-x(x-2)(x-x)-20(4-x)
5x(4-x)
20x+x3-6x2+8x-80 +20x
5x(x-4)
Factorización por Ruffinni:
<0
_ x3-6x2+48x-80 . f
>0 => --- — :--- --- >0, factonzando
5x(x-4)
1 -6 48 -80
2 .8 80 2
1 -4 40 0
_
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■ CAPJT-w'l
» EDUARDO ESPINOZA RAMOS J ....................................
(x -2 )(x2- 4 x + 40) (x -2 )[(x - 2) 4 + 40J ^ fi
- ¿ (x - 4 )— >0 ~ S F * ) .
(x-2)[(x-2)*+36]>0 (x-2)*+36>0, V x e R, simplificamos
5x(x-4)
x~2__ >o de donde x =2; x =0; x =4 son los puntos críticos
5x(x-4)
v - t a z :
3xg+7x +5
x2+3x+2 “
0 2 4
xe(0,2)u(4,oo)
3x2+7x +5 <2 3x2+7x +5 _ 2<o , operando y simplicamos
x2 +3x +2 x‘ +3x +2
3x2+7x+5-2x2-6x-4 n _ _ í! ± í± L - <;0, como x2+X+1>0, V x e R
------------------- s0 =* (x+2)(x+l)
1
Entonces simplificamos ^X+2)(X+Í ) "
entonces x =-2, x =-1 son los puntos críticos
-2 -1
X 6 (-2,-1)
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CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
O
(x'-' +x—o)(x? —x—6)
(x2-4)(x2-16)
(x2+x-6)(x2-x-6)
-— -----r—-<0 , factorizando se tiene:
(x2-4)(x2-16)
(x +3)(x-2)(x-3)(x +2) (x +3)(x-3)
7----77---77--- 7 --- (<0 simplificando 7 --- ( 7 ----£<0; x * ± 2
(x-2)(x +2)(x +4)(x-4) (x +4)(x-4)
x =-3, x =3, x =-4, x =4, son los puntos críticos
- 4 - 3 3 4
x e (—4,3] w[3,4)
(l +x+x2)(2-x-x8)(x4-2x2-3x-2)
(2x2-4x-l) (3x2-6x +4)(x2+4x-2)(x2-7)
(l +x+x2)(2-x-x2)(x‘l -2x2-3x-2)
(2x2-4x-l) (3x2-6x +4)(x2+4x -2)(x2-7)
factorizando cada expresión se tiene:
<0
1 0 -2 -3 -2
-1 1 1 2 -1
1 -1 -1 -2 0
2 2 2 2
1 1 1 0
(x +1)(x-2)(x2+x+l)
2Í x2—2x——j(3)í x2-2x +^-](x2+4x-2)(x2-7)
<0
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS )
Como x2+x+1>0, x
CAPITULO I
©
X2-2x+- >o , V X 6 R, entonces simplificamos
_________(x +1)(x 2)_________<0 ^^ctonzando
(2x2-4x-l)(x2+4x-2)(x2-7)
(x +l)(x - 2 )
-,-IÍx-i+I)x+2^ )(x+2+^)(x'^)(x+'/7)
Í =1+J | , x= x=-2+^ x=- 2 - ^ ; x =^ ; x=-V7:x =l; x =2
X 12 X + 1
< 19 < x+2
x I2 < i± l =, - * _ < H A 2 | < ^
x T Í 19 x+2 x+1 19 x+2
x+1 19 X +2 19
in v - iO v - 1 9 1 9 x + l9 - l2 x - 2 4 n , 7 x ~--^- < 0 a
19(x ^ T <0 A ~ W ( x - g ) ~ 19( X +1) 19(x }
15 12
/. x e ( . 7
_ ( x - 3 M x + 2 )8 ( x + 1 ) ( x - 4 ) _ „ n
W x(x+2)(xs - 3 ) ( x +3)(x2+4 )
g jm mvmñwww.solucionarlos.net
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CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
>0, x2+4 >0 siempre positivo
(x-3)(x +2)2(x +l)(x-4)
x(x +2)(x2—3)(x 3)(x2+4)
Í x - 3)¡x +2Kx +1) ( x - 4 ) >o -2
x(x -3)(x +3)
Los puntos críticos: x =±3; x =-2; x =-l; x =4; x =0; x =±¡3
-3 -2 ->/3 -1 0 n/3 3 4
Conjunto solución: x e (-oo,-3]u ^-2,-V3) u [-1,0) u (>/3,3]u[4,+°o)
2x2-3x +3 ]_
(x —2)(2x +1) _ 2
2x2-3x +3 ^ 1 2x2-3x +31
>— => + - >0, efectuando la operación
(x-2)(2x +1) 2 (x-2)(2x +l) 2
4x2-6x +6+2x2-4x +x-2 _ 6x2-9x +4
(x —2)(2x +1) " ^ (x—2)(2x +1) "
como 6x2-9x +4>0, Vx e R , entonces simplificamos
7— - rr-— —^ 0 , Los puntos críticos: x = x =2
(x-2)(2x +l) 2
V ~ ~ V
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS j ..............................
Conjunto solución x e ^-oo,-—^u(2,+<x>)
O
o
x+1 x-1 1-x2
JB_ I^ITí MT
_ 2 _ +_ 3 _ > ü ± l => _ l _ +^ _ + —
x +1+x - l 1 - x 2 W X +1 x-1 (x-1)(x +1)
2 (x - l) +3(x +l) +x+5 6x+6 ^ J - > 0
( x +1 )(x -1) ( x +1 )(x -1) x-1
Los puntos críticos: x = 1; x * -1
i
Conjunto solución: x €(1,+oo)
_2_> 2x
x2-5x +6 2-x (3-x)(l-x)
2 _ > 2x
x2-5x +6 2-x (3-x)(l-x)
x 2 2x
(x-3)(x-2) x-2 (x-3)(x-l)
x(x-l) +2(x-3)(x-l)-2x(x-2)
(x-3)(x-2)(x-l)
x2—x+2(x2-4x +3)-2x2+4x
>0, efectuando la operación
(x —3)(x —2)(x —1)
>0, simplificando
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CAPITI OI
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3x +2x2 -8X +6 - X 2 x2-5x +6 _ _
—,------------------------------- rw— T77— 7r £ 0 => --—----- —----- >0
(x“ 3)(x —2)(x —1) (x —3)(x —2)(x —1)
(x-3)(x-2) i
(x —3)(x —2)(x —1) ^ x ^ T " °; * * 2 ,3
Conjunto solución xe(l,+oo)-{2,3}
O
3 13 1
—<----- r +
x 4^x—1) 4x +12
Ém m rM vw m
3 13 1 13 1 3 A
—£ — ---- r +------ => — ---- -+ —----- ---- > 0
x 4(x-l) 4x +12 4(x —1) 4(x-3) x
13x(x +3) +x(x-l)-12(x-l)(x +3)
4x(x-l)(x +3)
13x* +39x+x2-x-12(x2+2x-3)
-----------7----77---- r-------- £ 0, simplificando
4x(x —l)(x +3)
14x2+38x-12x2-24x +36 ^ Q 2x2+14x+36 x2+7x +18 >Q
4x(x —l)(x +3) 4x(x-1)(x +3) ~ ^ 4x(x-l)(x +3) ~
Como x2+7x +18>0, simplificamos —7---- ----- >0
x(x-l)(x +3)
Los puntos críticos: x =0; x =1; x =-3
-3 0 11
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--------------- ---------------------- V CAPITULO I
» EDUARDO ESPINOZA RAMOS J
Conjunto solución: xe(- (!,+<*)
A (x ' +4x +4)(x-9)- ^
w (||-x)(x'+ 5)
— . n w . f
(x? +4x+4)(x-9)J ^ ^ (x +2) (x-9) %f|
(I1-x)(x- +5) (x-1l)(x? +5)
Los términos (x+2)s, (x-9)' y x'+9 son siempre positivos.
Se simplifican — — >0 =>x >11
X —I I
í i
x e <1 !,+<*>
J _ +_ L > 3
X - 1 X +1 x
Q — +— >-
3 1 3 3(x +l) +x-13 ^ n_ (4x+2) 3jx— l ) ^ Q
____ >_ —S ---- ------- — K / o «
x—1 x+1 X
xe+2x +3 ^ 0 como x2+2x +3 >0 , V x g R, entonces simplificamos
x(x2- l)
1____ >0. Los puntos críticos: x =0; x =±1
x(x; - l)
-i
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©
Conjunto solución: x e (-l,0)U(l,o°)
X‘ 1 <1 •
j g g ¡ 2 M ¡H M
x+2
x-l , x-1 x-1-x-2 . .
<1 => — 1<0 => ---- :— <0, simplificamos
x+2 x+2
3 <0 => — >0
x+2
x+1 x+2
:v:
o
o
x € (2.»)
(x2-5)(x2+7)
(x2+x +l)(x2-3x +2)
(x2-5)(x¿ +7)
(x2+x+1)(x2-3x +2)
>0
M a & m zbvm /
>0 como x2+7>0 y x2+x+l>0 entonces simplificamos
(x-V5)(x +%/5)
(x-2)(x +1)
>0. Los puntos críticos: x =—1; x =2; x =±>/5
+ V = V + V 1 V ~
-¡S -1 2 sfS
Conjunto solución: xe^-3o,-V5ju(-1,2)uj^>y5>+oo^
3x- > ,
-6
m m ¡ m m
x2—x—6
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_______________________________________ CAPITULO I
» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ...........................................................
3x 3x i n _ 3x-x? +x +6 Q simpiificando
— -- >1=>—----- 7-1> ° => v 2 _ * _ f c
x8-x-6 ~ x2-x+6 " ' x¿-x-6
-x2+4x +6 x2-4x-6 ^ (X~ 2I— 1 _Í< 0
x2- x - T * (x-3)(x+£) (x-3)(x+2)
(x-2->/tÓ)(x-2h->/To) n ^ puntoscríticos: x=-2; x=3-, ^ 2 ± J W
(x-3)(x +2)
— T ^ / ~ ~ r - y ♦ ~  / •
------- -2 2 - M 3
Conjunto solución: x e (-2,2 - 7 ÍÓ )ü (3,2 +7ÍÓ)
¿ A x i~3x+2 <2
w x ¡ - 4 x + 3 « ^ n t t i a r í « *
x2-3x+2 < 2 xg-3x+g , 9 ^-n=> y*-3xf : 2X^ +8— <0■simplificando
x*^4x +3 x! -4x +3 x
v* +Sx-4 x2-*5x+4 n (x-4)(x~1L n íZ Í> 0 ;x * 1
^ 7 1 <0 => 7 ^ 3 (x -3)(x -1) x -3
Los puntos críticos: x =3; x =4; x * l
-1 5
Conjunto solución: xe (-«>,3)vj(4,<o) a x * l
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2x-25 2x + 1l
•+—---- r >
2(xs+2x-3) 2 (x 2-1) x +3
2x-25 2x+1l 1
'+—;---- r >
2(x2+2x-3) 2(x2-1) x +3
2x-25 2x+11 1 . _w <w .
+—:-----------------—------ ------>0; MCM =2(x +3)(x -1)(x +1
2(x +3)(x-1) 2(x-1)(x +1) x+3
(2x -25)(x +I) +(2x +11)(x +3)-2(xs -1)
2(x +3)(x -1)(x +1)
2x2-25x +2x-25 +2x2+11x +6x +33-2x2+2
2(x +3)(x —l)(x +l)
>0, efectuando las operaciones
>0, simplificando
2x2-6x +10 x2-3x +5_
•>0 =>---- —--- —--- - >0
2(x +3)(x-1)(x +l) (x +3)(x -1)(x +1)
como x2- 3x +5 >0, V x e R, entonces simplificamos
1
(x +3)(x-1)(x +1)
>0. Los puntos críticos: x =-3; x * ±1
-3 -1
Conjunto solución: x e (-3,-l) U (l, ®)
© x W 4 a()
x - 4 x -5
4 ± i í i i a0 => J r f >o
x —4x—5 (x —5)(x +1)
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97
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS )
CAPITULO I
Los puntos críticos: x =—1; x =5
-1 5
Conjunto solución: x e (-oo, -l) U (5,ce)
2 x - x 2 - 1 x2-2x +1 (xlD ----<0 => * % <0
x! -"x~ x2(xa—i) x! (x-1)(x+1) x2(x +1)
Los puntos críticos: x =0; x*±1
-1 0
Conjunto solución: x e (-1,0) U (0,1)
0 ( 2 x ; - 8 x + 8 ) ( x + 3 ) ^ ^
x+6
( 2 x ! - 8 x +8 ) ( x +3) n _ (xg-4x +4)(x +3 )^^ (x -2 ¿(x +3) ^ Q
^76 2 ^ x+6 ' x+6
Podemos simplificar (x +2)‘ por ser positivo: ^+^^ 0
Los puntos críticos: x =-6; x =—3
-6 -B
Conjunto solución: x e (- c o ,- 6 )U [- 3 ,o o )
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X —1
x2-2x +1 . (x _ 1)2 « / x2------— ^ 0 => i--- '->0 => (x—1) >0, V x e R
X —1 X —1 v ’
Simplificando se tiene — >0
x—1
1
Conjunto solución: x e (l,o o )
^ 6 3
X +1
MESUSaSMÍ
2x+1 _2x+1 - _ 2x +1-3(x +1)
---r - 3 => ---—-3>0 => ------- ---->0, operando
x+1 x+1 x+1
gx +1-3x-3a0 => í ± ? S 0
x+1 x+1 x+1
-2 -1
Conjunto solución: x e[-2,l)
x2+4x +9
<U
jB33SS2E2WF
© x ^ x +9
x -4x-5
x" ^4x +9
—z— --- <0 como x2+4x +9 >0 , V x e R, entonces simplificamos
x -4x-5
_
“ ' ‘ SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS
CAPITI' O I
©
©
---- ----- <0
(x-5)(x +1)
ZZZVZZZV3 H-1 5
Conjunto solución: x g (-1,5)
x2+x-tg-<o
x(x2-x-2) _________
rnmmmim i
x2+x+2 <0 como xs +x +2 > 0 , V x g R, entonces simplificamos, obteniendo
x(x2-x-2)
_______}_______<o. Los puntos críticos: x =0; x =2; x =-1
x(x-2)(x +1)
-1 0
Conjunto solución: x e(-<»,-l)U(0,2)
2 3
<
3x-2 x+2 __________
M T f T T T ™ 11*
2 3 __2_____ 3___Q _ 2(x+2)~ 3(3x~2L n
3x-2 < x+2 ^ 3x-2 x+2 (3x-2)(x +2)
2x +4-9x +6 ^ -7x +10 <o => --------- 7x T 1-— r>0
(3x-2)(x +2) (3x-2)(x +2) (3x-2)(x +2)
2 10
Los puntos críticos: x =-2; x - -; x - ^
1SOLUCION
- ‘--.nei
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CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
o
a¿ 3 z y :
-2 10
7
Conjunto solución: xG(-2,?u/y,+oc
x -4 x-2 x+2
32 > x x 32
X + - ^ - > 0
-4 x-2 x+2 (x-2)(x +2) x-2 x+2
32-x(x +2) +4(x-2)
(x-2)(x +2)
>0
32-x2-2x +4x-8
(x-2)(x +2)
£ 0
-x2+2x +24
(x-2)(x +2)
>0
x2- 2x-24 . (x-6)(x +4)
<0 => ^ ---- r< 0
(x-2)(x +2) ” (x-2)(x +2)
Los puntos críticos: x =-2; x =2; x =6; x =-4
-4 -2 2 6
Conjunto solución: x g [-4,-2>u <2,6]
2+x-x2
x* -2x +1
- > 0
2+x-x2
>0
x -x-2
<;0
(x-2)(x +1)
x -2x +1 (x - 1)* • (x —1)*
Los puntos críticos: x =2; x =-1; x = 1
<0
V
-1
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS j
CAPITU ^ '
O
Conjunto solución: xe[-l,1>u <1,2]
x3-x2-8x +12 <Q
j t T í i n r a ri« r
x2+5x-14
x3-x2 8x+12 ^ 0 pGr Ruffinni el numerador
x2+5x-14
1 -1 -8 12
2 2 -12 2
1 1 -6 0
x3-x2-8x +12 =(x-2)(x-2)(x +3) =(x-2)s(x +3)
(x-2)(x2+x-6) (x-2)(x-2)(x +3 )^ n ^ (x-2)(x +3 )¿p ^ x í2
(x-2)(x +7) " (x-2)(x +7) x+7
x2+8x-12-x3
7x-x2-6
x2+8x-12-x3
> 0
-7 -3 2
x € (-<»,-7) u[-3,2)
x3-x2-8x +12
7x-x2-6 ' x -7x +6
Factorizamos por Ruffinni el numerador
1 -1 -8 12
2 2 -12 2
1 1 -6 0
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CAPITULO 1......................................................... ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
O
(x-2)(xz+x-6) (x-2)(x +3)(x-2)
(x-6)(x-1)(x-6)(x-1)
Puntos críticos: Abiertos: x =1; x =6
Cerrado: x =2 multiplicidad par 1,-3
V ♦ V
-3 1 2
Conjunto solución: x e[-3,l)u(6,+oo)u{2}
x2+3.' +2 x-2
j b m m m
x-2 x+2
x +3x +2 x-2 x +3x +2 x-2
------- r — < — - = > ----------------------< 0
x-2 x+2 x-2 x+2
x3+5x2+8x+4- x2+4x- 4 A _ x 3+4x2+12x
(x-2)(x +2) < ^ (x-2)(x +2)
Como x2+4x +12>0, V x e R, simplificamos
(x +2)(x2+3x +2)-(x-2)2
(x-2)(x +2)
x(x2+4x +12)
(x-2)(x +2)
<0
<0
(x-2)(x +2)
<0 . Puntos críticos: Abiertos: x =2; x =-2; x =0
V + V 1
-2 0
Conjunto solución: x e (-<o,-2) U(0,2)
1 2 3
+ ----- >
x+1 x+3 x+2
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besem m i
=> - L i + i i — — > 0
x+1 x+3 x+2 x+1 x+3 x+2
íx +3Ux+2^ +2fx +1)(x +2 )- 3 (x +l)(x +3 )^ n
(x +1)( x +3)(x +2)
x2+5x +6+2(x2+3x +2)-3(x2+4x +3) x -1____ <0
--------- ( x ; i ) ( x +3)(xT 2 ) (x +1)( x +3)(x +2)
---------------------------------  CAPITU¡ * t
» EDUARDO ESPIN02A RAMOS .................................................................................................................................
Puntos críticos: x =± 1, x =-3, x =-2
^ -  a — y - r - A A — V +
-3 -2 -1 1
Conjunto solución: x e <-3,-2>^ <-1,1>
® 5 il- 2 < J= í
1—X X
x+1 2 1 - x _ x +1 _ o_ l z x ^ n=>xg+x-2x(1 - x )- (1 -xJ- < 0 , opeando
1—x X 1-X X X(1 x)
x2+x-2x+2x2-1+2x-x2 . 2x n x - 1 . n j .(^-|-1)(2x-.l) > 0
--------< 0~ x(1-x) X(x-1)
Puntos críticos: x=-l; x =-; x =0; x =l
-1 0 i 1
2
x e ^ - l M O ^ M l + o o )
+
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x 2+ 8 x +24 _
O - ^ £8
x2+8x+24 xa+8x+24 x2+8x +24-8x-16
_ x+2 a8 --- =“ --------- J7 i------ ° simplificando
xz+8 „ i
---— >0 como x‘ +8 >0, V x e R, simplificamos --- >0
x+ - x+2
CAPITULO I .................................................................... ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
©
©
-2
x e <-2,+oc>
x-2 2x-3
x+2 ~ 4x-1
j H S i l ü E
x ^ > 2 x - 3 X ;2 _2 x -3 (x-2)(4x-l)-(x +2)(2x-3), „
x+2 4x-1 x+2 4x-1 (x +2)(4x —1)
4x*-9x +2-2x2-x +6 >0 x2-5x +4 (*-4)(x-1) .
(x +2)(4x-1) (x +2)(4x-1)(x+ 2)(4x-1)
Puntos críticos: x=4; x=1; x =-2¡ x =-
4
A /-
- 2 1 1 4
4
Conjunto solución: xe(-<x>,-2)u^,1 u[4,+x>)
6 3 7 n
<0
x-1 x+1 x+2
. . . SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I. . . SOLUCION
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y, EDUARDO ESPINOZA RAMOS j
CAPITULO |
O
h 3 7 6 (x +1)(x +2)-3(x+1)(x +2)-7(x +1)(x +2)
— í i r ^ <0 * ------ ( íT T ) ( í7 í) ( J T 2 r
<o
—4x" +15x+25
(xT 1K ; ; , K xT 2 )<0 ** (x-1)(x +1)(x+2) " U = (x-1)(x+1)(x+2)
4x2-15x-25 o (x-5)(4x +5)
Puntos críticos: x =5; x =±1; x - -2; x - ^
N/~
Conjunto solución: x s /-2,-¿ju(-U)U(5,°°)
x4+3x3-6xg-28X-24 <0
40 +(x - 1 )(x - 3 )(x +4)(x +6)
Desarrollamos el denominador haciendo
(x - 1)(x +4 )(x - 3 )(x +6) +40 = (x2+3x - 4)(x a +3x-18)+40
Hacemos u =x2+3x-4 => de donde
u( u —14) +40 = x =u2-14U +40 = (u - 1 0 )(u - 4 ) = (x2+3X-4 —10)(x2+3x—18-4)
= (x2+3x-14)(x2+3x-22)
Factorizando el numerador
1 3 -6 -25 -24
-2 -2 16 -24 -2
1 1 -8 -12 0
-2 2 12 -2
1 -1 -6 0
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CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
(x +2)(x +2)(x* -x-6)
(xi +3x-14)(xi +3x-22)
(x +2)‘í(x-3)(x +2)
(x +2)'(x-3)(x +2)
H i - : -
<0
3 ) 65
x+— ---
2 4
3) 97
x+
2 4
<0
(x +2)'(x-3)
3 765 ' 3 V65
x+----
2 2
x+- +
2 2 y .
( 3 v/97 r 3 n/97
x+ +
2 2
< 0
Puntos críticos: X =-2¡ X =3; X = - l ; X = — — x = - l ^ Z
©
y:-3 - ,§7 -3 - n/65 -2
2 2
-3-sÍ97 /-3-n/65
-1 -3 + .65
3x
x* - x-6
>1
3x
x -x-6
•-1>0
3x-x'-x -6 . -x2+2x -6 .
-----5--------1“ >0 ^ ------------- 7 - >0x - x -6 x* —x—6
x* —2x—6
(x-3)(x +2)
< 0
Como x--2x->-6 >0 V x e R. simplificando se tiene:
1
(x-3)(x +2)
>0. Puntos críticos: x =3; x =-2
V
-2
-
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ........................................
x e <-2,3>
CAPITULO I
O
7 | 30 , 7
x-4 x+2 x+i .
7 30 7 7 (x +2)-*-30(x-4) 7 _ <ñ
7 T i +7 T 2 S x+1 ^ (x-4)(x+2) x+1
(7x +14+30x-120)(x +1)-7(x +2)(x-4)
(x-4)(x +2)(x +1)
|37x-106)(x +1)-7(xs -2x-8)^n _ 30xg-45x +50
----- (x - 4)(x +2)(7 7 i) - ° (x-4)(x +2)(x +l)
6x: -9x +10 cr}
(x —4)(x+2)(x +l) ”
________ 1________
Como 6x2-9x +10>0, V x e R, entonces simplificamos (x_ 4)(x+2)(x +1)
<0
/ + / 1 VI
©
-2 -1
x € <-%,-2> <-l,4>
—í— +—^— <2
x-2 x+4
1 7 1 7 x + 4+7(x-2)-2(x-2)(x +4 ) ^
7 ^ +7 T Í <2 * 7 ^ +^ ' 2 (x-2)(x +4)
x*4+7x-14-2(x! +2x-8) n _ -2x8+4x +6
(x —2)(x +4) <(x —2)(x +4)
i
____ —--------____________________________________ f "----i------------- ■ £
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CAPITULO 1 EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
x2-2x-3
(x-2)(x +4)
< 0 (x 3 )(x + 0
(x-2)(x +4)
< 0
V + V : V +
-4
x e <-4,-1>u<2,3>
©
3x'+7x-6 3x +16x-12
— 5------ >— ó--------
x‘ -x-6 x‘ -4x-12
3x2+7*.-6 3xg+16x-12
x2- x-6 x2-4x -12
> 0 (3x-2)(x +3) (3x-2)(x +6)
(x-3)(x +2) (x-6)(x +2)
> 0
3x-2
x+2
x+3 x+6
x-3 x-6
> 0
(3x —2)
(x+2)
-6(x+ 1)
(x-3)(x-6)
> 0
(3x-2)(x +1)
(x +2)(x-3)(x-6)
< 0
V ~ T “ V “
-1
V
6
©
0 x-2 x-3
2----->----
x—1 x-2
... x e (_Q¿>_2>u ^-1,0w(3,6)
0 x - 2 x - 3 2 ( x - 1 ) - ( x - 2 ) x - 3
2---- >---- => —i--- — ----->---
x -1 x - 2 x —1 x - 2
_><___x - 3 ; Q _ x(x-2)-(x-3)(x- I) o
x—1 x-2 (x-1)(x-2)
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS j
CAPITULO |
(2-2x-xJ +4x-3
(x-1)(x-2)
> 0
2x -3
(x-l)(x -2 )
> 0
2x
2x2+7x +5 x'+6x +5
2x 2x
2x2+7x +5 > x2+6x +5 2x**+7x+'5 x’ +6x+5
> 0
2x______________ ___________ _ >0 => -- :
(2x +5)(x +l) (x +5)(x +1) x+1
1
2x +5 x+5
> 0
Q
x 2x +10-2x-5
(2x +5)(x +5)
> 0
5x
(x +l)(2x +5)(x +5)
> 0
-5
x e (-qo,-5 ) +co)
x2+10x+16
x-1
>16
x2+10x +16 _ x2+10x+16-10x +10^n
x-1 X ' 1
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w w * ediikperu con*t
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CAPITULO I (---1~--- -------------------------
.............I EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
x2+26
x - 1 >° ' como x‘ +26>0, V x € R, entonces simplificamos —— >0
x-1
©
X € < 1 ,+ o c >
x2-3x +2
~ r------->0
x* +3x +2
4 4 xi | > o => Í l - ’Mx - 2 ) > 0
x +3 +2 (x +l)(x +2)
-2 -1 i 2
x e <-co,-2>u <-1,1] u (2,+oo>
< D -^— +4 > x +10
x-2
¿ +4>x +,0 => ^ - x - 6 > 0 =¿ M l > >0
x ¿ x-2
— X^ g X+l 2 > 0 - ^ ± ^ > 0=» Ü Z 3 < 0
x-2 . x-2
2 3
■. X 6 <2,3>
3x2- 4
------< x +6
x -6
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WWW.SOlucinnarin.<tn%Í T AWu ANAL,S,S mat™ a t,co i m
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3xg- 4-<;x+b o 2í- = i- (X- 6 ) £ 0
x-6 x-6
3x2-4-(x2-36) 3x*-4-x2-f36.,„ = 2x^+32s0
-----¡T= 6 * x- 6 x- 6
---------------------------------- - c a p it wO i
» EDUARDO ESPINOZA RAMOS J ....................................................................................
1
como 2x2+32 >0, V x £ R entonces simplificando se tiene: — _ u
CD 1+-r-rSs0x +4x +3
6
x e <-oo,6>
1-8x n ^ xa+4x+4+1^8x
x2+4x+3 x2+4x+3
2
x2—4x +4 2)^a
---1 ^ < 0 r> V oW ~T-°
x2+4x +3 (x +3)(x +1)
V Z Z Z ^ Z Z Z ^ -
-3 -1 2
x e <-3,-1>u {2}
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CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
INECUACIONES EXPONENCIALES
IV. Resolver las siguientes inecuacines
4x-3 3x^2
J 0,5 2 >0,0625 5
4x-3 3x-2
4x-3 3x-2
0,5 2 >0,0625 5
3x-S
1 Y"5
v16
T
2>
4x-3 4<3*-2)
2 M Y 5 4x-3 12x-8
>I - => ---- <------ => 20x-15<24x-16
2 2 5
4x >1 => x >— => x e (—,oo
4 4
27 <9
27**1 <Qx-*3 ^ 3 3(X-D < 3 2(x+3) 3(X_ I) <2(x +3)
3x-3<2x +6 => x<9 => xe(-oo,9)
Oy• 1 Oy_*
^ (0,2) s <(0,0016)^
2x4-1 2x-2
2x-2 f O o f2x->l 2x-2 f O  j
(0,2) * <(0,0016) 5 => | — I <
10000
2x*l 2x-2
M 1' 1625
2x*1
<{l
2x +1 8x-8
---- >----- I0x +5>16x-16
7 / 7
21 >6x => 21 >6x => x <— => x e(-oo,-
2  2
WV.-V -J>36'.: con SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS J
25x*8 <16x+5
jB L L L f 1!!! í i M f
2&x+8<|£x+5 2:>**6<24'X451 => 5x +8<4x +20
x <12 => xe (-qo,12)
32*-33<2 >^32x+.yx-2»
Í. 1IIM 0Í]
i5x-1
32x'33
35,-1 >V )
-4x +2>2x2 +x-3x-2 =>2x5 +x-4<0, completamos cuadrados
x’ +| - 2 < 0 =» (x + lj - ¡ ^ - 2 < 0=» [ x+4 ) '1 6 <0
x+---.
4 4
x + - + ^ — l < 0
4 4
1 ->/33 -l+/33
" X - 4
-1-V33 -1+V33'
xe '
0 [(0,5)" .(0,5)"]
6,125
8V
"" "• -'»SU
CAPITULO I
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CAPITULO I ......................... ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
x4-3x*»6xs-18
8 2
3x4 x4-3x! -18
<491 i
3x4-3 -2x4*3x!-2I
<49 =7!
-2x’ +3x2-21 <2 =í> 2x4-3x~+23 >O, V x e R . La respuesta es x € R
g M >
9 .3
> 9’~
9 .3
=> 32(’‘-')S>93-x.x-33-I 32(x-I)’ > 3 ^ , . 2
2(x-1)‘ >-4x-2 => 2x2-4x +2 >-4x-2 => 2x2+4>0, xe'.H
V x e R
^ <^322~5
jg g ^ ¡S ¡¡¡¡¡¡g g
x^gTTT ^ x-^322’1*5 ^ 2 ^<32^x_l ' 9 <. +25
x+1 x-1
3x +9 10x+25 ^ (3x +9)(x-l)-(l0x +25)(x +l)
x+1 x-1<^ (x +1)(x—1)
3x2+9x -3x -9-10x2-10x -25x - 25
(x +l)(x - l)
< 0
-7x2 -29x-34 7x2 +29x +34
(x +1)(x—l) < ^ (x+ l)(x -l)
Como 7x2+29x +34 >0, V xeR, simplificando se tiene:
(x +1)(x —l)
> 0
V 1 V
- 1
v/vt'wed.jfrva-. SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
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___________ _________ _________ ___________V CAPITULO I
» EDUARDO ESPINOZA RAMOS j
S' x e <-oc,-1>U <1 ,+®>
A s¡27^ <
(x+1) (x-3) O 2 , „ x
=> 33 2 <32 3 => -(x +1)^ -(x-3 )
21
9 ( x + 1 ) < 4 ( x - 3 ) = > 9 x + 9 < 4 x + 12 => 5 x 5 - 2 1 - 2 1 => x < g
x * - | =*
$ jg g g iT Q Q a e f
JÓ F * < J2 4 3^ => 34<x+,^<35<x",0> => 4(x +15) <5(x-10)
4x+60<5x-50 => 110<x => xe<110,+®>
©
2561' t L >2"<«! .8j,*'.256s"'
, o.* - 3(x-2)a i'S ,3x-l
256SX i > 2 ^ ^ .8 - ,.256^“ ' =» ( í ) * >2"' .(2’) .(2*)
-2)* > *J<í,“'>*<0l,S'“) => 12(x-2)2>9(x2-9)2+9x +3+40x2-640>4(3Xx-
12x! -48x +48>9x* -162 +729+9x+3 +40x! -640
105±n/4513
37x2-105X +44 <0. Puntos críticos x- —
1
____ ^ _ _ _ _ — WWW.SdokpQCU.COTTi
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CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
©
o
729x?.243x 243xb.275x-<>
812x > 274x _ _ _ _ _
729xz.243x 243x6.275x-* 36x’.35x 35<‘33<5*-6>
g 'j íx ^ 274x 3^(2*) ^ 03(4x)
3 6x*+5x-8x > 3 ( ) 30..5x-t8-12x ^ 6 X 2 + 5 X ~ 8 X > 1 2 + 3 x
6x2 -6x-12>0 => x2-x-2>0 => (x-2Xx +l)> 0.
Puntos críticos x =-1; x =2
-1 2
x e ( - o o f- l ) u ( 2 f-oof)
( P 3x*.32x>27
JB E 2S3E2MÍIf
3x+2x >33 =>x3+2x >3 =>x3+2x-3>0. Factorizando por Ruffinni
(x -1)(x2+x +3)<0 => x-l< 0 => x<l => xe<-oo,l>
Puesto que x2 +x+3 >0 , V x e R
x-5 x-9
2 2 >8 3
ÍÍKESSMiSMf
2¥ >8T = 27 >2. - . J ! ^ x^
2
x-5>2x-18 => 13>x => xe<-oc,13>
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ......................................................................... CAPITULO I
5x->3 I 2xTl
Q (0.216) < >yj(0.36) o
5x»3 I 2^7 3(5x+3) 15x+9 2x +1
(0.216) * >y¡(0.36)o =>(0.6) 4>(0.6)«s,
131 / 131
225x+135 >8x+4 => 117x>-131 =>x>-— => x e ^ , ^
(42)x*-1 >(64)*1'
, ,-5- J_ 10 3 10 3 „
( 4 ° y - < >(64).- => (4! y->4«-> ^ — ^ ^ - ^ > 0
10-(3x +l) A _ 7-3x __ 3x-7 <Q
(x —!)(x +l ) > ^ (x-l)(x +l) ^ (x-l)(x +l)
7Puntos críticos: x =-1, x = 1; x =-
-i i z
3
0 [(0.3)(‘",Xx !)] K"3 >[(0.09)*1 J ? *
[(0.3)<,-'x,-!>J ' 3>[(0.09),'-,>J ’''‘ => (0.3)l- '>t,-!Xx-3>>[(0.3),'-,>]"' ’
H
T 7 *
1 s o lu c io n a r io a n á lis is m atem á tico I w m m m p m m
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CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
(0.3)tx' 1Xx_2Xx_3>>(0.9)(xi' ' Xx''9) => (x-l)(x-2)(x-3)< 2(x2-4)(x2-9)
2(x-2)(x +2)(x-3)(x+3)-(x-!)(x-2)(x-3)>0
(x-2)(x-3)[2(x +2)(x +3)-x +l]> (x-2)(x-3)(2x2+I0x +12-x +l)>0
(x-2)(x-3)(2x2+9x +13)>0 => (x-2)(x-3)f x2+y +y l >0*
x-2)(x-3)>0. Puntos críticos: x =2, x =3
^ / = / ^
2 3
x g (-oo,2)u (3,oo)
$ ^ (0.00032)5x i < yj(0.2f?
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119
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ft EDUARDO ESPINOZA RAMOS j
CAPITULO I
<D
gx-3 2»-2
-■ -'i)“«r■ # )’
2x -3 £x -2 2(x -3) 2x - 2 , q _ 2(x -3Xx +2 )-(x +3)(2x -2)
x+3 x+2 :+3 x+2 (x +3)(x +2)
©
2x2-2x-12-(2x2+4x-6) ^ -6x-6
(x +3)(x +2) ' (x +3)(x +2)
Puntos Críticos: x =-2, x =-3, x =-1
¿0 =>
x+1
(x +3)(x +2)
< 0
-3 -2 -1
x e <-oo,-3>u <-2,-1]
^ / o T Ü T ^ ^>¡0.0256^
Seasabe: 0.16 f 0.0256= - 0.004096 =1-
<'/^/a0Ó4096
2^x-í sVxTb
2X1%^ ( 2X3**^
2^ í b'JxZb
2 ( 2J**'
x- 1
2-v/x-T +5>/x+6 >7
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CAPITULO I
.CEDUARDO ESPINOZA RAMOS «
2(x-l) +5^(x +6)(x - l) >14 => 5>/x'; +5x-6 >16-2x
25(x2+5x-6)>256-64x +4x2 => 21x2+189x-406 >0
25(x2+5x-6)>256 - 64x+4x2 => 21x2+189x-406 >0
D , r v. -27-5^27 5^7-27
Puntos Críticos: x =----- -— ; x =— -----
A T ~ ~ V
•27 - S¡27 5/27-27
-27-5>/27 /5n/27-27 '
x e ( -00,----:----)u ( —------ ,+00
( j ) x-^(0.08)x"' 2:x-^(0.04)x
*-fj(0.08)*~' >^(0.04 f 3
x-1
^ 1 — / 1 
U 25 v25,
3x-3 2x+6 3x-3 2x +6 _
<---- =>-----------< 0 x - 8x+l5
x- 2 x—l
(x-3)(x-5)
(x —2)(x —1)
x- 2 x- 1
< 0
(x - 2)(x - l)
=0. Los puntos críticos son: x = 1; x =2; x =3; x =5
v 1 v * v :
1 2 3 5
x e <1,2>u [3,5]
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Solucionario analisis matematico I

  • 1. www.solucionarlos.net www.solucionarlos.net www.solucionarlos.net ANALISIS MATEMATICOI PARA ESTUDIANTES DE CIENCIA E INGENIERÍA (1ER EDICIÓN) SOLUCIONARIO EDUARDO ESPINOZA RAMOS LIMA -PERÚ www.solucionarios.net zm m m m
  • 2. www.solucionarlos.net IMPRESO EN EL PERÚ 01 -01 -2012 » DERECHOS RESERVADOS Este libro no puede reproducirse total ó parcialmente por ningún método gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo los sistemas de fotocopia, registros magnéticos o de alimentación de datos, sin expreso consentimiento ^ del autor y Editor._____________________________ ___ _____________________ RUC N° 20520372122 Ley del Libro N° 28086 Ley de Derechos del Autor N° 13714 Registro comercial , N° 10716 Escritura Publica N° 448 4 solucionadoanálisisMfffltf¡tf£olucionarios.net www.eduhperu.com www.solucionarlos.net PRÓLOGO Habiéndose adaptado a nivel universitario, en el curso de análisis matemático, el texto de Análisis Matemático para Estudiantes de Ciencias e Ingeniería por su acertado desarrollo teórico, siendo necesario como consecuencia de la concepción teórica, ahondar en las aplicaciones y ejercicios a fin de desarrollar la habilidad mediante la práctica; por eso el objetivo del presente volumen de problemas desarrollados del texto Análisis Matemático para estudiantes de Ciencias e Ingeniería de Eduardo Espinoza Ramos orienta su intención de ser complemento teórico-práctico para el estudiante universitario. Su contenido sigue en esencia las pautas del texto, la solución de los problemas están detalladas en forma clara y precisa, se ha puesto especial cuidado en los gráficos, pues pensamos que un "buen dibujo" por señalar en forma natural, es el camino a seguir en el bus que da la solución de un problema. Agradezco por anticipado la acogida que ustedes brindan a cada una de mis publicaciones, las que emanan el deseo de que encuentren en ellas una agenda para su avance y desarrollo intelectual EDUARDO ESPINOZA RAMOS . . . t SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 3. www.solucionarlos,net ■ ■ • ,www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net INDICE 1. CAPITULO 1 1.1. SISTEMAS DE NÚMEROS REALES.............................................................. 1 1.2. INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR CON UNA INCÓGNITA................43 1.3. INECUACIONES FRACCIONARIAS.........................................................Al, 1.4. INECUACIONES EXPONENCIALES........................................................ 113 1.5. INECUACIONES CON RADICALES..........................................................120 1.6. ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO..................... 141 1.7. RELACIONES V FUNCIONES..................................................................188 1.8. FUNCIONES......................................................................................... 221 1.9. ALGEBRA DE FUNCIONES.................................................................... 264 1.10. FUNCIONES INYECT1VAS, SURYECTIVAS, BIYECTIVAS...............319 2. CAPITULO 2 2.1. LIMITES Y CONTINUIDAD.....................................................................337 3. CAPITULO 3 3.1. LIMITES................................................................................................387 3.2. LIMITES LATERALES.............................................................................454 3.3. LIMITES AL INFINITO.............................................................................481 3.4. LIMITES INFINITOS.............................................................................. 516 3.5. LIMITES TRIGONOMÉTRICOS................................................................520 3.6. LIMITES TIPO ex....................................................................................554 3.7. ASÍNTOTAS......................................................................................... 577 3.8. CONTINUIDAD.................................................................................... 597 4. CAPITULO 4 4.1. DEFINICIÓN DE DERIVADA.................................................................. 615 4.2. DIFERENCIABILIDAD............................................................................639 i ■ ■ <SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarlos,net
  • 4. www.solucionarlos,net 4.3. DERIVACIÓN MEDIANTE TABLAS.........................................................647 4.4. DERIVACIÓN IMPLÍCITA....................................................................... 680 4.5. ECUACIONES DE TANGENTE Y NORMAL A UNA CURVA......................699 . CAPITULO 5 5.1. MÁXIMOS Y MÍNIMOS..........................................................................717 5.2. GRÁFICOS........................................................................................... 732 5.3. PROBLEMAS SOBRE MÁXIMOS Y MÍNIMOS..........................................757 OLUCIONARIO ANÁLISIS www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « SISTEMA DE NUMEROS REALES Si a y b, son números reales positivos, demostrar que: +^ ] (a+b)>4 (a-b)‘ >0 => a"-2ab +b2>0 => a2-2ab +b2+4ab>4ab => a2+2ab+b2>4ab ( a+b^i (a +b)‘ >4ab => (a +b)>4 => |^-+^-j(a +b)>4 Si a, b y c son números reales positivos, Demostrar que: gUSEMUMÍ (a-b)‘ >0 => c(a-b)' >0 (a-c)? >0 => b(a-c)‘ >0 (b-c)‘ >0 => a(b-c)2>0 ...0 ) ... (2) ... (3), sumando c(a-b)2+b(a-c)2+a(b-c)'í >0, efectuando los binomios a2c - 2abc+b2c +a2b- 2abc+c2b +b2a- 2abc+c2a >0 a2c +abe +b2c +a2b+abe+c?b+b2a+abe+c2a >9abc a2c +abe +a2b+b2c +abe+b2a+c2a+abe +c2b >9abc agrupando adecuadamente (ac +be +ab) +b(bc +ac +ab) +c(ac +ab +be) >9abc, dividiendo entre abe www.solucionarios.fiet K¡
  • 5. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) J b ™ a b ) (a +b+c)í9 ^ J i +l +l J +(a+b+c)í9 jjfl Si a, b, c y d, son números reales positivos, Demostrar que: - +- +- +-1 +(a +b+c +d)> 16 a b c ' CAPITULO I ...O ) ... (2) ... (3) ... (4) ... (5) ... (6), sumando (a-b )> 0 => cd(a-b)2>0 (a-c)' >0 => b d (a-cf >0 (a-d)‘ >0 => bc(a-df> 0 (b - c )'>0 => ad(b-c) >0 (b-d) >0 => ac(b-d)2>0 (c-d)~>0 => ab(c-d)2>0 cd(a-b)' +bd(a-c)~ +bc(a-d)‘ +ad(b-c)‘ +ac(b-d)‘ +ab(d-c)‘ >0 cd(a2-2ab +b2) +bd(a2-2ac +c2)+bc(a2-2ad +d2) +ad(b? -2bc +c2) + +ac(b2-2bd +d2) +ab(c2-2cd +d2)>0 -2abcd +a2cd +a2bd +a2bc +b2cd - 2abcd +ab2d +ab2c - 2abcd +bc2d +ac2d - 2abcd +abc2+bed" - 2abcd+acd2+abd2- 2abcd >0 abed +a2cd +a2bd +a2be +b2cd +abed +ab2d +ab2c + +bc2d+ac2d +abed +abc2+bed2+acd2+abd2+abed >16abcd SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICISIS MATEMATICO I . www.so ucionarios.net wwv ed'Jkpe’uvcpm www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « a(bed +acd +abd +abc) +b( bed +acd +abd +abc) +c(bed +acd +abd +abc)+ +d(bed +acd +abd +abc) >16abcd , sacando factor comun bed +acd +abd +abc abed (a +b +c +d)> 16 -l +- +l +- l +(a +b+c +d)>16 a b c d J a , a 3b b2 . Si a y b dos números reales positivos tal que a >b. Demostrar que: —+— > ^ (a-b)3^0 => a3- 3a2b +3ab2- b3>0 => a’ +3ab2>3a2b+b3 Diviendiendo entre a2b se tiene: a 3b b2 . =* r +— >— +3 b a a 9 Va e % a* 0, demostrar que a“ +— >6 (a2-3)~>0 => a4-6a2+9^0 => a' +9>6a2 a4+9 s 9 >6 => a +— >6 Si a,b,C€'JT, , demostrar que (b +c)(a +c)(a +b)>8abc jQ¡a2»2SC2S3H¡íF (a - c)2>0, (a - b)2>0, a(b - c)* >0 ~ ~ SOLUCJONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I ■ ?■ [ www.solucionarlos,net
  • 6. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J CAPITUK b(a - c)2>0, c (a - b)2>0, a(b - c)2>0 , sumando se tiene: b(a-c)2+c(a-b)2+a(b-c)2>0 , desarrollando los binomios b(a2-2ac +c2)+e(a'?-2ab +b2) +a(b2-2bc +c2)>0 a2b- 2abc +be2+a2c - 2abc +b2c +ab~ - 2abc +ac2>0 a2b +c2b+a2c +b2c +b2a +2abc +c2a >6abc +2abc ab(a +b)+c2b+abe+a2c +b2c +abe +c2a >8abc ab(a +b)+c2(a +b)+abe +a2c +b2c +abe £ 8abc ab(a +b)+c2(a +b)+ac(a +b) +bc(b+a) >8abc , sacando factor común (a +b).(ab +c2+ac +bc)>8abc => (a +b).[b+(a+c) +c(a +c)]>8abc (a +bXa +cXb +c) >8abc & Si a,b,ce ÜK4, demostrar que a’b +ab3<a4+b4 (a2-b2)2>0 => a4-2a2b2+b4>0 =* a4+b4>2a2b2 ...(1) (a - b)2>0 => a2- 2ab +b2>0 => a2+b2>2ab ab(a2+b2)£2 a2b2 ...(2) a4+b4-ab(a2+b2)£ 2 a2b2-2a2b2 => a4+b4-ab(a2+b2) >0 a3b +ab3^ a4+b4 a4+b4<a3b+ab3 Si a,b,ce 'JT demostrar que a2+b2+c2+3>2(a +b+c) «■«-"•■‘ M tí.S íto n s n b s . net www edukperu corr- www.solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « (a —l)2>0 => aJ -2a +l>0 ...(1) (b-1)2>0 => b2-2b+1>0 ...(2) (c —I)2>0 => c2-2a +1>0 ... (3) sumando(l), (2)y (3) a" +b2+c2+3-2a-2b-2c>0 => a2+b2+c2+3¿:2a+2b+2c transponiendo términos se tiene: a2+b2+c2+3 £ 2(a +b+c) Si 0 <a < 1, demostrar que a2<a 0<a<1 => a >0 a a < 1, multiplico por a a.a < 1.a => a2<a r.. L d e f ^ . d d+e+f f iTii Si a,b,c son números reales positivos y Demuestre que —<— ----<- a b e a a+b +c c d d + e + f f d e e f „ , , —<------<- => —<— a —<— => db <ea a de <af a a+b+c c a b b c sumando las desigualdades db +de <ea +af sumando ad se tiene: ad +db +de <ad +ea +af, entonces d(a +b +c) <a(d +e +0 => —<^+6—- •••(!) a a+b+c - < —< - = > - < - a — <- => ec<fb a dc<fa, sumando las desigualdades a b e b e a e ec +de <fb +fa, sumando cf se tiene: fe +ec +de <fe +fb +fa .. " SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 7. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ^ c, u d+e+f f c (f +e +d) <f (c +b +a) ------<- a+b+c c 0 © de(l)y(2): d d +e +f f —<------ <- a a+b+c c Demostrar que si a,b,c son números positivos y no iguales entre si, entonces: (a +b+c)(a2+b2+c2)>9abc (a-b)2£ab; (b -c)2>bc; (a-c)">ac c(a-b)2^abc; a(b-c)‘ >abe; b(a-c)2>abe , sumando c(a-b)2+a(b-c)J +b(a-c)2>3abc a3+b3+c3>0, sumando a3+b3+c3+c(a-b)2+a(b-c)2+b(a-c)2>3abc a3+b3+c3 +a‘J c-2abc +b"c +bra-2abc +ac2+a2b-2abc +bc‘‘ >3abc a3+b3+c3+a2c +b2c +b2a+ac2+a2b +bc2>9abc a2(a +b +c) +b2(a +b +c) +c2(a +b+c) >9abc , sacando factor común (a +b+c)(a2+b2+c2)>9abc Si a,b,c son números positivos y no iguales entre si, demuestre que: (a +b +c)(a 1+b"' +c"')>9 capitu' 11 (2) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « (a-b)2>0 => a2+bL'>2ab => a2c +b2c >2abc (a-c)2 >0 => a2+c2 >2ac => a2b +c2b>2abc (b-c)'> 0 => b +c2>2bc => ab2+ac2>2abc, sumando a2c +b2c +a2b+c2b +ab~ +ac2>6abc sumando 3abc abe +a2c +b2c +a2b +abe +c2b +abe +ab2+ac2>9abc bc(a +b +c+)+ab(a +b+c) +ac(a +b+c)>9abc (a +b+<;)(bc +ab+ac) >9abc dividiendo entre abe (a +b+c)(bc +ab+ac) ^ / . w « . i i « ^ --------- >9 (a +b+c)(a +b +c )>9 abe ^ Si a y b son números reales diferentes de cero. Demostrar que: a2 16b2 8a 32b r ? + —— +24 - n r+— b a b a (a-2b)~ >0 =s>a2-4ab +4b2>0, elevando al cuadrado se tiene: (a2+4b2-4ab)¿ >0 (a2+4b2)2-8ab(a2+4b2) +16a2b2>0 => (a2+4b2f +16a2b2£ 8ab(a2+4b2) a4+8a2b2+16b4+16aV ab(8a' +32b*) a4+16b4.+24a2b2 ^ 8a2+32b2 a2b2 ^ a2b2 ^ a2b2 “ ab a2 16b2 8a 32b -Í-+— 2-+24> — +--- b a b a i ■ í www.solucionarlos,net «
  • 8. » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) www.solucionarlos,net CAPITUI O I (a - b)~ >0 =í>a2+b2>2ab => a2c +b2c >2abc (a-c)~ >0 => a2+c2 >2ac => a2b+c2b>2abc (b-c)"> 0 => b2+c2>2bc => ab2+ac2>2abc, sumando a2c +b2c +a2b +c2b +ab2+ac2>6abc sumando 3abc abe +a2c +b2c +a2b +abe +c2b +abe +ab2+ac2>9abc bc(a +b +c+)+ab(a +b+c) +ac(a +b+c)>9abc (a +b+c)(bc +ab +ac)> 9abc dividiendo entre abe (a +b+c)(bc +ab+ac) >9 (a+b+c)(a-' +b " +c > 9 Si a y b son números reales diferentes de cero. Demostrar que: a2 16b2 n . . 8a 32b 7T +— r-+24> — +--- b a b a (a - 2bf >0 => a2- 4ab +4b2£ 0 , elevando al cuadrado se tiene: (a2+4b2-4ab)2>0 (a2+4b2)2-8ab(a2+4b2)+16a2b2>0 => (a2+4b2) +16a2b2>8ab(a2+4b2) a4+8a2b2+16b4+16a2b2 ^ ab(8a2 +32b2) _ a<+i6b4+24a2b2 ^ 8a2+32b2 ¡ V " a2b2 ^ a2b2 ~ ab a2 16b2 8a 32b — +- 1-+24>— +--- b a~ b a solu 1 ^'WWWSÜIG'áionarios.net vvww edukperucom www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O Si a2+b2=1, Demostrar que: -Í2 <a +b<¡2. Sug.(x-y)‘ >0 => 2(x2+y2)>(x +y)' (a - b) >0 => a2+b2£ 2ab => 1+1 >2ab +a2+b2 => (a +b)‘ <2 -s¡2< a+b<¡2 • 2 2 2 Si a +b =c, a >0, b >0, Demostrar que: a3+b3>c3 m m m Aplicando la propiedad: (a +b)n <an +bn 2 2 2 2 c =a +b => c3=(a +b)3<a3+b3 ? i ? de donde c3<a3+b3 a b ^ c Si a +b >c >0, Demostrar —— +---- > ^ ■ r U a 1 4 -hl+a 1+b 1+c a+b> c => a+b +2ab+abc> 0 a +2ab+b+ac +2abc +bc>abc +bc +ac+c a+2ab +b+c(a +2ab+b)>bc(a+1) +c(a +1) (a +2ab+b)(c +1) c(a +1)(b +l) (a +l)(b +l)(c +l)~ (a +1)(b +1)(c +l) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net 9
  • 9. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) a +2ab+b c a+ab+ab+b c >--- => --- r->- (a +1)(b +l) c +1 (a +1)(b +1) c +1 3x2-5x-2 >0 =>(3x+1)(x-2)>0 O Si a, b, c >0, Demostrar que: 3abc <a3+b3+c3 Aplicando el ejercicio (1); se tiene: (a +b +c)(a2+b2+c2) >9abc a3+b3+c3+(ab2+a2b +ac2+be2+a2c +b2c) >9abc ab2+a‘b+ac"1+be2+a2c +b2c =6abc Reemplazando (2) en (1) se tiene: a! +b‘ +c3+6abc>9abc de donde: a3+b3+c3>3abc Si c >0, d >0, 2d * 3c. Demostrar que: — >1- — w 3c 4d (2d - 3c)2>0 =>4d" - 12dc+9c2>0 => 4d2+9c2>12dc 4d2+9c2 12dc Dividimos la expresión entre 12dc: ----------------- > 12dc 12c d 3c d 3c — +— >1 =>— >1--- 3c 4d 3c 4d r /h Si a >0, b >0, a * b, demostrar que —ÍL +—¡= >2 Vb Va j222¡q¡223I3¡F SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I.slALISIS MATEMATICO I. . . www.solucionarlos,net CAPITULO I ...O ) wvvw.edukperu com www.solucionarlos,net (Va-Vbj >0 => a-¿Va>/b +b >0 u o r rz a+b oVaVa VbVb Va Vb ~ a+b>2Vavb => r r >2 => - + >2 => —= +—= >2 VaVb vavb Va Vb Vb Va Si a, b, c € R, Demostrar que: b2c2+c2a2+a2b2>abc(a +b+c) J2¿¡¡22u222í!l2f (be - ac)2>0 => b2c2+a2c2>2abc2 (ca - ab)2£ 0 => a2c* +a2b2>2a2bc (bc-ao)9>0 => b2c2+a2b2>2ab2c sumando 2(b2c2+a2c2+a2b2)^2abc(a +b+c) b2c2+a2c2+a2b2£abc(a +b+c) ^ || a +b =2, donde a y b son números reales, Demostrar que a4+b4>2 J S ü » (a-b)2£0 => a2+b2>2ab pero(a +b)‘ =4 => a2+b2=4-2ab 4-2ab>2ab => ab<1 a2+b2>2ab =s> (a2+b2)2£ 4a2b2 => a4+b4>4a2b2- 2a2b2 a4+b4>2a2b2 pero ab< 1 de donde a4+b4>2 Si a2+b2+c2=1 y x2+y2+z2=1, demostrar que: ax +by +cz < 1 CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « I. ^ ^ ^ S^LÜQIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarlos.
  • 10. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) (a - x)2>0 => a2+x2>2ax (b-y)2>0 => b2+y2>2by (c - z)2>0 => c2+z2>2cz sumando a2+b2+c2+x2+y2+z2>2(ax +by +cz) 1 + 1 >2(ax +by +cz) 2 >2(ax +by +cz) ax +by +cz <1 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO J ., www.solucionarlos,net cAPin» ^i www.edukperu.com www.solucionarlos,net CAPITULOI ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Si a >0, b >0, Demostrar qu»: + +^ b a a b a - b e R => (a-b)2>0, desarrollando a2-2ab +b2>0 sumando ab a2-ab +b2>ab, multiplicando por a +b (a +b)(a2-ab +b2)^ab(a-+-b), dividiendo entre a2b2 (a+b)( f -ab+bg) ^ ab(a+b) ^ a ^ b ^ a + b _ separando a2b2 a2b‘ a2b‘ ab a b 1 1 ba +a2 ~ a +b o Si 0 <a <1, Demostrar que: a2<a ¿rra'.T i-srrogr.Tíy Como 0< a< l => a >0 y a < 1 Multiplicando a < 1 por a >0 entonces a.acl.a, de donde a2<a © a >0, b >0, a *b, demostrar Vab > a+b (Va-Vb)2>0 => a-2>/aVb +b>0 i- i— / v 2>/ab a+b>2VaVb dividiendo entre(a +b)=>1 >--- — v ' a+b i ■ -'J www.solucionarlos,net
  • 11. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITIMOI $ . O Multiplicando por Vab se tiene: Vab>---- a+b c- n , s i a3+b3 f a+b Si a >0, b >0, demostrar que ----- > O (a-b)2>0 => a'J -2ab +b2>0 multiplicando por 3 se tiene: 3a1’ - 6ab+3b* >0 Sumando a2+b* en ambos miembros: 4a2-6ab +4b2>a2+b2 Ahora sumando 2ab se tiene: 4aJ -4ab +4b2>a2+2ab+b2=> 4(a2-ab +b2)>(a +b)‘ 4(a +b)(a‘ -ab +4b" )>(a +b )’ => 4(a3+bJ )>(a +b)3 dividiendo entre 4 a3+b3> (a +b)' de donde a3+b ( a +b demostrado. Si a >0, a * 1. Demostrar que: a3+4r >a2+4- a a* Como a * 1 => (a-1)‘ >0, como a4+a3+a2+a+l >0 para a>0 Multiplicando: (a - 1)2(a4+a3+a2+a+1) >0.(a4+a3+a2+a +1) (a-l).[(a-l)(a4+a4+a2+a +l)]> 0 => (a-1)(a5- l) >0 a(a-1 )-(a-l)> 0 => a5(a-1)>a-1 => a6-a5>a-1 a6+1 >a' +a , dividiendo entre a1 SOLUCIOMARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPSULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « a° +1 a: +a a° 1 a5 a — ~ >— ~ =* T +~ >T +— a a a a a a 3 1 o 1 a + T > a ^ + — aJ a* a Si a>0, b>0, demostrar que 4(aJ +b3) > (a +b)’ (a +b)2£ 0 => a2- 2ab+b2£ 0 multiplicando por 3se tiene: 3a*’ -6'tb +3b2>0 sumando a2+b2 4a2-6ab +4b2£a2+b2 ahora sumamos 2ab 4a2-4ab +4b2>a2+2ab +b2 => 4(a2-ab +4b2)>(a +b)J 4(a2-ab +4b2).(a +b)>(a +b )3 => 4(a3+b3)>(a +b )! Si a y b son números reales, demostrar que: x/(a+c)2+(b +d)2 <Va2+b'J +Vc2+d2 ac +bd <>/a2+b2Vc2+d2, multiplicando por 2 2ac +2bd <2>/a2+b2Vcs +d2 sumando a2+b2+c2+d2 a2+2ac +c? +b2+2bd +d2<(a2+b2) +2>/as+b£Ve2+d2+(c2+d2) (a +c)2+(b +d)^ <|Va2+b2+Ve2+d2j .V .-.aduKj:fc: -: rr SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 12. www.solucionarlos,net 3» EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPfTUi " l ^(a +c)‘ +(b +d)~ £ J(V a' +b2"+>/c2+d2j yj(a +c f +(b +d)2 <Va2+b2+Ve2+d'2 Si a,b,c e R’ , demostrar que: (a +b+c )’ £27abc (a +b+c)3=a3+b3+c3+3(a2c +b2c +bc2+ab2+ac2) +6abc ... (1) (a-b)‘ >0 (a-c)2>0 (b-c)2>0 a +b‘ >2ab a c +b‘c >2abc a2+c2>2ac a2b +bc? >2abc b2+c2>2bc ab" +ac2£ 2abc a2c +b2c +a2b+be2+ab2+ac >óabe Luego 3(a2c +b2c +a2b +bc2+ab2+ac2)>18abc ..-(2) (2) en (1) se tiene: (a +b+c)3>a*+ b3+c3+18abc +6abc ..-(3) Pero a3+b^+c3>3abc ... (4) Reemplazando (4) en (3) se tiene: (a +b+c )’ >3abc +24abc =27abc (a +b +c)3>27abc O Si a, b, c y d son números reales cualquiera. Demostrar: (ab +cd)~ <(a2+c2)(b¿ d2) (ad-bc) >0 => a2d2+b2ca>2abcd SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO iANÁLISIS MATEMÁTICO i ., www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I Sumando ambos miembros a V +c2d2 a2b2+c2d2+a2d2+b2c2£a2b2+2abcd +c2d2 a2(b2+cs) +c2(b” +d2)>(ab+cd)2 (a2+c2)(b2+d2) >(ab +cdf Si a, b e R, Demostrar que: a4+b4>-(a +b)4g f EDUARDO ESPINOZA RAMOS « (ab +cd)‘ ^(a2+cs)(b2+d2) (a2-br) >0 => a4+b4>2a2b2 . Sumando a4+b4 a ambos miembros 2a4+2b4>a4+2a2b2+b4 => 2(a4+b4) >(a2+b2)‘ a4+b* >^(a! +b2)* (a-b)¿ >0 => a2+b2>2ab, sumando a2+b2 se tiene: 2a2+2b2>a2+2ab+b2 => a2+b2>i( a +b)2 (a2+b2)2>-^(a +b)4 . (a+b)4 a4+b4>---- L (1) (2) Colocando (2) en (1) se tiene; Si a >0 y b >0. Demostrar que: 1 a+- v ay 8 -Y (a +b)“ +4 a+b wvvw.edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 13. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITI " o | (a +a-')! +(b +b-')! =a2+b! +^ - + 4 (a-b)‘ £0 => a2+b2^2ab => 2(a2+b2)>a2+2ab+b‘ a2+b2> >(a +b f (2) (a-b)2>0 => a2+b2>2ab => a2+2ab+b2>4ab => (a +b)‘ >4ab (a +b)4>16a2b2 => ——— >a~V v 1 16 Multiplicando miembro a miembro (2) y (3) a2+b2 > 8 a!b2 (a +b)2 Sumando miembro a miembro (2) y (4) ...(3) ...(4) a2+b2+- +b* (a+b)s 8 2.2 a‘b (a +b)‘ de donde 2 , o a a +b + 2+b2 , (a +b)2 8 +4 > --——+------+4 a b (a +b)‘ ...(5) Reemplazando (1) en el primer miembro de (5) y operando en el segundo miembro de (5) tenemos. r ir l p2b+- b >1 2 (a +b)2+4^ a +b i SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.sdukparu.com www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Si a >0, b >0 tal que a +b - 1. Demostrar que: 25 Utilizando el ejercicio (33) í 0a+- s+íb+iT ii '(a +b) +4 ' l a, l b j 2l a+b J ; Como a +b =1, lo reemplazamos =2(5)! f t2 f a+- | + k a b+’i >?5 bj 2 Si a, b, c, d e R, demostrar que: ac +bd <^(a2+b2)(c2+d2) (ad - be)" >0 => a2d2+b2c2>2abcd 2abcd <a2d2+b2c2 a2c2+2abcd +b2d2<a2c2+b2d2+a2d2+b2c2 (ac+bd)2<(a2+b2)c2+(a2+b2)d2 (ac +bd)‘ <(aL>+b2)(c2+d2) ac +bd<yj(a¿ +b2)(c2+d2) Si a, b e R tal que a +b = 1. Demostrar que: a4+b4>- M m rn 7 m ¡nw •V SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 14. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPíTUi OI Utilizando el ejercicio (32) es decir: a4+b4>^(a +b) 8 Como por condición del problema a +b = 1, se tiene el momento de reemplazar a4+b4>-(a +b)4=-(1)4=- de donde a4+b4>^ 8 8 8 8 81 Si a,b e R tal que a +b =3. Demostrar que a4+b4£ — Utilizamos el ejercicio (32), es decir: a4+b4>- (a +b)4; Como a +b =3 entonces lo reemplazamos 8 a«+b‘ * l ( a +b)4- |(3 )« - $ ! ••• + © Si a,b,c,d e R*, demostrar que: ^(a +b+c +d)> Vabcd (Va-Vb) >0 => a+b>2>/ab (Vc-Vd) >0 => c +d>2>/cd sumando a+b+c +d>2(Vab +>/cd) ...(I) Pero >/ab+>/cd >2>/>^b>/cd =2VVabcd =2Vabcd ... (2) Ahora reemplazamos (2) en (1) se tiene: a+b+c+d£ 2|Vab +Vcd)^ 2.2Vabcd solucionario-mm.Wiúrdionahos.net www.edukperu.com www.solucionarlos,net a+b+c +d >4Vabcd => -(a +b+c +d) >Vabcd 4 Si a,,a2,a3,...,an,b.lb2,...JbneR tal que: af +a‘ +...+a2=1, bj +b2+...+b2=1. Demostrar que a,b, +a2b2+... +anbn£ 1 (a,-b,)2>0 => a;+b^>2a)b, (a2-b2)2£0 => a2+b2>2a2b2 K - b n)2^0 => aj +b* £2anbn sumando (a? +a2+...+a*)+(bf +b| +...+b2)í>2(a,b, +a2b2+...+anbn) 1+1£2(a,b, +a2b2+...+anbn) 2;>2(a,b, +a2b2+...+anbn) . a,b, +a2b2+...+anbn£ 1 © Si -1 <a <0, demostrar a1>a -l< a< 0= > a> -lA a< 0 Como a<0=> a2>0 de donde a >-1 => aí .a>-l(a;>) a3>-a2 ...(1) a>-l y a<0 =>a2<-a (por-1) ... (2) CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « WWW Qdukperu com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 15. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) De (1) y (2) se tiene: a'> -a2>a => a3>a O Si -a> 0y (a-b)‘ >(a +b) entonces b>0 (a-b) >(a +b)~ =t< a2-2ab+b2>a2+2ab+b2 CAPITU1*>I -2ab >2ab 4ab <0 => ab <0 ... (i) Como -a >0 => --> 0, multiplicando a (1) a — (ab)<0 => - — <0 => -b<0 => b>0 a a O Si a,b e R tal que 2a +4b = 1. Demostrar que: a2+b2>— 20 jCS22¡iS3IÍI¡jr De acuerdo a la condición del problema 2 > ^ 2 i_° ^ a b a >— a +b* >— +— 10 ^ 10 5 b2£ - a2+b2> 10 a2+b2^2a +4b =_L a2+b2>-I 20 20 20 S ia > 0 y b > 0 a3+b3£ a2b +ab2 (a-b)‘ >0 => a2-2ab +b‘ >0a2-ab +b2>ab, multiplicando por (a +b) 22 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www.edukperu.com www.solucionarios.net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « (a* - a b + b2)(a + b )^ a b (a + b) a3+ b 3£ a 2b + ab2 Si x,,x2,...,xneR* y si /?=^/x,.x2...xn y « = X| + , demostrar que p<a O / /— /— 2 x, +x„ > 2 J x , x 2//i--------- Jx, - Jx 2 ¡>0 => ‘ _____ => x,+x2+x3+x4£2(Vx,x2+Vx3x4) v ' x3+x42:2yJx3xÁ x, +x2+x3+x42:2^VX|X2+>/x3x<)^2.2^Vxix2>/x3x4 =4;¡/x,x2x3x4 Luego <, +•x2+x3+x42 4^/x,x2x3x4, generalizando x, +x2+x3+x4+... +xn£ nVxix2x3x4...xn De donde Vx,x2x3x4...xn <, a b e Si a, b, c, m, n, p e R / m > 0, n > 0, p > 0; , entonces m n p ab+a+c c — <------ <— m m+n+p p Demostración similar al ejercicio (10) que esta desarrollado _ . . a. +a2+...+an Probar que si a,<a2<... <a„ entonces a, <—1-- ------- <an Énrm*vKmt*vw a, £a, <an a, <a2<an a, <a3<a„ SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 16. » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) www.solucionarlos,net CAPITII! O a, +a, +...+a, <a, +a2+....+a„ <an+an+... +an , '--------V-------- ’ '-------- v-------- • n-veces n-veces na, <a,+a.,+... +an<nan, Dividiendo entre n se tiene: a, +a¡, +...+a a <—!------------ i--—<a. ® a3-b3 Demostrar que si 0< a< b< c entonces ------ <a+b +c 3c(b-a) a >0, b >0, c >0 => á~ +b2 +3c2>0 ... (1) a >0, b >0, c >0 => ab >0, ac >0, be >0 ab +3ac +3bc>0 ... (2) sumando (1) y (2) se tiene: a2+b2+3c2+2ac +3bc+ab >0 Agrupando apropiadamente (a* +ab+b2)+3c(a +b+c )>0 => -(a2+ab +b2)<3c(a +b+c) (a2+ab +b2) ----------<a+b+c , como b - a >0 3c (b-a)(a2+ab +b2) (a-b)(a2+ab +b2) ---- ——— --- <a+b+c => ----- —— — -----<a+b+c 3c(b-a) 3c(b-a) aJ - b 3 <a+b+c 3c(b-a) O Probar que: a4+b4+c4+d4>4 Iabed I para a, b, c, d e R SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I "" www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net , ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Como a, b, c, d e R => a2,b2,c2,d2e R, además ja2-b2e R i 3' _ b! ) (c2-d2e R ^ >0 l sumando a4+b4+c4+d4>2(a2b2+c2d2) ... (1) (ab-cd)¿ >0 => a2b2+c2d2>2abcd 2(a2b2+c2d2)>4labcdl ...(2) De (1) y (2) por transitividad se tiene: a4+b4+c4+d4>4 1abed I O Si a, b, c>0, demostrar que: 2(a3+b3+c3)>bc(b +c) +ac(c +a) +ab(a +b) (a +b +c f =a3+b3+c3+3(ab2+ac2+a2b +a2c +b2c +bc2) +6abc Además se tiene: (a +b+c)3-(a1+b3+C1) >0 Operando y agrupando adecuadamente y estas operaciones dejamos como ejercicio al lector para obtener el resultado. 2(a3+b3+c ’)>bc(b+c) +ac(a +c) +ab(a +b) Demostrar que: a2b2+b2c2+a2c2>abe(a +b +c ), V a, b, c e R SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos.net 25
  • 17. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) (bc-ac)2>0 (ca-ab)~ >0 (bc-ab)2>' •b2c2+ aV >2abc2 c2a2+a2b2>2a2bc b2c2+a2b2>2ab2c sumando 2 (a V +b2c2+a*c2) >2(abc2+a2bc ++ab2c) a2b2+b2c2+a2c2>abe(a +b +c) O V x e R, y n par, demostrar que: xn ^ 1 x M ‘ 2 x € R y n es par entonces xn-1 e R (xn-1)S >0 => x2n-2xn+1 >0 x2n+1>2xn es decir: 2xn<xs" +1 2x” x <1 => X x2n+1 <1 x2n+l 2 Demostrar que s ir > 0 y a < b entonces a <-a-~ <b 1+r Como r >0 y a <b entonces se tiene: ar <br a a <b, agregando a +ar <a +br a a +br <b +br a(1 +r) <a +br a a +br <b(l +r) a+br a+br a < 1+r 1+r <b , porque 1+r >0 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net CAPtTUI * I wwA.edukperu.com www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « $ a <a+tz>t <b por transitividr.d 1+r Si a y b son números positivos y distintos, demostrar que: — +— >- + a b 1 1 b2+a2 >a +b a - b e R => (a-b)' >0, desarrollando a2-2ab +b2>0 sumando ab a2-ab +b2>ab multiplicando por (a +b) (a +b)(a2-ab +b2)>ab(a +b) dividiendo entre a2b2 (a +b)(a -ab +b‘ ) ab(a +b) a3+b’ a+b ----- --------- ->— => —r—— >----, separando ab a b a2b2 ab ^ Consideremos x, y, z, w números reales, demostrar que: 2 x2+y2+z +w2>- (xy +xz +xw +yz +yw +zw) ¡ g ¡ y (x - y f >0 (y-z)2^o (x -w )2>0 (y-z)2>o (y - w )2>0 (z-w )2>0 x2+y2>2xy x2+z2>2xz x2+w2>2xw y2+z2>2yz y2+w 2>2yw z2+w 2>2zw sumando 3(x2+y2+z2+w2)>2(xy +xz+xw +yz +yw +zw) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net
  • 18. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J CAPITUI O I $ O x‘ +y2+z‘ +w 2L - (xy +xz +xw +yz +yw +zvv) 3 j u2 Si a y b son números desiguales y positivos, demostrar que: a +b <— +—- . b a Por ser a y b positivos y desiguales se tiene: (a-b)~>0 => a -2ab +b~>0 a2-ab +b2>ab (a +b)(a~-ab +b )>ab(a +b) => ab(a +b)<(a +b)(a2-ab +b2) (a +b)(a2-ab+b! ) a3+b3 D<--------;------- => a +b<-----a + ab ab a2 b2 a +b <— +— b a separando Si a, b ye son números positivos y distintos. Demostrar que: (a +b +c)2<3(a2+b2+c2) (a-b )¿ >0 (a- c)2>0 (b - c)2>0 a2+b2>2ab a2+c2>2ac sumando b2+c2>2bc 2(a¿ +b‘ +c2) >2ab +2ac +2bc sumamos a2+b2+c2 W IM SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.edukperu com www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « CAPITULO I ....................................................................................................................... --------------------------------- 3( a2+b2+c2) >a2+b2+c2+2ab +2ac+2bc 3(a2+b2+c2) >(a +b +c)~ (a +b+c) <3(a +b'+c2) Si a y b son números positivos distintos, demostrar que: (a3+b* )(a +b) >(a* +b‘ ) a y b son positivos y distintos, entonces (a - b f> 0 -=> a2-2ab +b2>0 a2+b2>2ab, multiplicando por ab ab(a2+b2) >2a2b2 sumando a4+b4 a4+a3b +ab3+b4>a4+2a2b2+b4 a3(a +b) +b3(a +b)>(a2+b2)2 (a3+b1)(a +b)>(a2+b ) Si x, y son números distintos, demostrar que: (x4+y4)(x‘ +y )>(x3+y3) Como x e y son números distintos, entonces (x—y)2>0 => x2+y2>2xy (por x2y2) x2y2(x2+y2)>2x3y3 sumando x6+y6 x6+x4y2+x2y4+y6>x6+2x3y3+y6 => x4(x2+y2) +y4(x2+y2)> (x3+y3)2 (x4+y4)(x2+y2) >(x3+y3)2 www.edukperu.i www.solucionarios.net
  • 19. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS Si x, y, z son números positivos, distintos, demostrar que: xy(x +y) +yz(y +z) +xz(x +z) >6xyz Aplicando el ejercicio (49): 2(a3+b3+c3) >bc(b+c) +ac(a +c)+ Y el ejercicio (17); a3+b3+c3£ 3abc De la combinación de estos dos ejercicios que están desarrolladas. Se concluye que: xy(x +y) +yz(y +z) +xz(x +z) >6xyz dfft Demostrar que: a <b < I => ^ <— ? w a-1 b-1 a ^ b < 1 => a <b a b<1 a <b => a - 1£ b - 1 invirtiendo — multiplicando por-1 a-1 b-1 — — sumando 1 a-1 b-1 1— L s i _ _ L = a-1 b-1 a-1 b-1 a3+b3+c3>3abc => 2>6abc Sean a, b, c, x, y, z son números positivos distintos, demostrar que: (a’ +b2+c2)(x2+y2+z2)>(ax +by +cz)2 CAPITI" 0 I ab(a +b) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I ■± www.solucionarlos,net www edukperu.com www.solucionarios.net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « (bx +ay) £0 b2x2+a?y2>2abxy (cx-azf>0 => c2x2+a2z2>2acxz sumando (bz-cy)* 20 b V +c V í2 b c y z b V +a V +c V +aJz" +b 'V + c V >2abxy +2acxz +2bcyz Sumando a2x2+b2y2+c2z2 a ambos miembros a2x2+b2y2+c2z2+b2x2+a2y2+c2x2+a2z2+b2z2+c2y2> a2x2+b2y2+c2z2+2abxy +2acxz+2bcyz a2(x2+vs +z2) +b2(x2+y2+z2) +c2(x2+y2+z2) >(ax +by +cxf (a2+b2+c2)(x 2+y2+z2)>(ax +by +czf c3 d3 Demostrar que: 0<d<c => —— —> d'(c-d) 0<d<c => 0<d a d <c 0<d => 0<2d => 0 <2d +c 2d +c >0 => (c +d) +d >0 Multiplicando por c - d >0 se tiene: (c +dXc - d) +d(c - d) >0 => c2-d2+cd-d? >0 c2+cd>2dL’ sumando d~ c2+cd +d2>3d2 (multiplicando por c - d) (c-d )(c2+cd +d2) (c-d)(c2+cd +d2)>3d2(c-d) => ------- -------- >d2(c-d) i * i www.solucionarlos,netg W
  • 20. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j ........................................................................ • íL ^ l> d ’ (c-d) f £>*(*-<*> ^ Si 0<d <c => d3(c-d )< ^ --y< c2(c-d) Seguir el mismo desarrollo del ejercicio (62) que esta^ en detalle y agrupando convenientemente para obtener el resultado d ( c - d ) < — ~ ^ <c ^ O Si x >0, y>0, z >0, demostrar que: a) xyz =1 => x +y +z >3 b) xyz=1 a x +y +z =3 o x =y =z=l a) Aplicando el ejercicio (30): (a +b+c) £27abc Para nuestro caso se tiene: (x +y +z) £ 27xyz para xyz =1 (x +y +z)3 >27 sacando raíz cubica x+y +z£>/27=3 x +y +z £ 3 b) Es inmediato se deja para que se entrenen. ^ Demsotrarque: x>0, y >0, z >0 => ^ +^ +” - 3 (sus‘ ^ =1 ejercici° 64) Aplicando el ejercicio (50) que es: x2y! +y*2* +x2r - x+y +z) el ejercicio (64) que es: xyz =1 =>x +y +z>3 Combinando estos dos ejercicios se obtiene: x y z —+—+— y z x w v á www.solucionarios.net www.solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Demostrar para todo a y b rec* >/ab <-|=%¡aJ 4 b2 V2 (a - b )'>0 => a2+b‘ >2ab ab£^(a2+b2) Sacando raíz cuadrada cubica se tiene: </ab <-1=Va2+b2 y¡2 © Si xe y f: R, demostrar que: lxl +ly l^ lx +yl |x+yf =|(x+y)2|=(x +y f =x2+2xy +y2 ... (i) Como xy <I xy l=I x 11y I ... (2) Luego de (2) en (1) se tiene: |x+y|2<|x|2+2|x||y|+|y|‘ |x+y|‘ <(|x| +|y|)‘ de donde lxl +lyl> lx +yl O Si x,,x2r..,xn€R tal que x,.x?...xn=1 entonces x, +x,, +...+xn>n Aplicando el ejercicio (44) esto es: x i-+ x,¿ *n >Wx..x„...x n v i Z n Para x,.x,.x3...xn=1 entonces — +X¿ +"‘+Xn >1 de donde x, +x2+...+xn^n www.¿düíTperu.com www.solucionariosJir,oms MATEMÁTIC01ES
  • 21. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j Si a, b € R, demostrar que: (a +b)4<8(a4+b‘) Es inmediato del ejercicio (32) que esta demostrado en detalle a4+b4>-(a +b)4 de donde (a +b)4<8(a4+b4) CAPITULO i x2+1+a Si a >0, probar que: —-¡== Vx + >a +l Como ejercicio, probar que: >/x2+a >a i sumando >1 Vx2+a ' x2+a+1 >a+1 ^ Si a,b,c e R* y si a2+b2+c2=8, Demostrar que: a3+b3+c3£ 16^| Aplicando la media potencial M, = ¡-i n Como M3>M2 entonces evaluamos a3+b3+ 7 ^ ^ a~ +b +c~ _ ^8 ^|a +b +cT ^ ^8 e¡evancj0 a| cub0 www.solucionarios.net www.edukperu con www.solucionarios.net CAPITULO I c EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O a1+b'+c3 a3+b* +c3>3 =8 ¡8 16 Í2 3V3 " 3 V3 16 Í2 _ Í2 3 V3 y3 a3+b3+c3 Sia>0,b>0, demostrar que: ^ j(a* +b*) >4 Como a >0, b >0 => a2—b2eR de donde (a2-b2) >0 =í> a4-2a2b2+b4>0 sumando 4a2b‘ a4+2a2b2+b4Í4 a 2b8 => (a2+b2)‘ >4a2b2 ( 1 (a2+b2)(a2+b2) — £ 4 a b U ! +b2 (a2+b2)>4 Demostrar que si a,b,c son números reales positivos, entonces +c >Vabc 3 Aplicando el ejercicio (30) se tiene: (a +b +c)3>27abc Sacando la raíz cubica se tiene: a+b+c >^27abc => a+b+c >3/abc a +b+c >yjabc Si V x € R, tal que a >0 a b >0 y a2£ x <b => Va <x <Vb v -Vb <x <-Va wvnv ed .kperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 22. www.solucionarlos,net i r a r e n a M i n r a < x 2 < b => a < x 2 a x 2 < b => x 2 - a > 0 a - V b < x < V b ( X - V S ) ( x + > / a )> 0 a - 7 b < x < > / b ( x - > / a > 0 a x + V a > 0 ) v (x - - s / a < 0 a x + V a < 0 ) a (- > / b < x a x < V b ) Por la propiedad distributiva de la intersecccion jjx<>/a a x£->/a) v (x<Va a x<-VajJ a |-Vb<x a x < 75) (Va<x a x<Vb) v (-7b<x a x<-Va) %/a<x<Vb v -Vb <x <- Ja © Si x,,x2,x3,...,xn€ R , tal que: x,.x2.x3...xn=1, demostrar que: x,+x2+...+xn>n J 2 ¡ y £ S ¡¡M ü it Aplicando el ejercicio (44) que es: x, +x2 >^x,.x2...xr Como x,.x2...xn=1 entonces se tiene. » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAP|TULO I x, +x„ +... +X. n X + X + + X —1--2——— - >1 de donde x,+x2+... +xn>n n $ Si a,be R+, demostrar que: (a2+b8)(a +b)2>8a2b2 (a-b)“ >0 => a2+b2£2ab, multiplicando por (a-t-b)2 H SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMATICO L.NÁLISIS MATEMATICO L . t www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I í EDUARDO ESPINOZA RAMOS « (a2+b2)(a +b)‘ ^2ab(a +b)" => (a2+bL’)(a +b)2>2ab(a': +b2+2ab) ...(1) Pero a2+b2>2ab ...(2) De (1) y (2) se tiene: (a2+b2)(a +b)2>2ab(2ab +2ab) =8a2b‘ .*. (a2+b2)(a +b)2>8a2b2 ¿ 7 1 Si a + b + c = 0, demostrar que: ( - + —+- | + + ^a b c j a b‘ c tfm H ñ is w tC T ” 'b Como a +b +c =0 => abc(a +b +c) =0. (abe) a2bc+ab2c +abe2=0, multiplicando por 2 2a2bc +2ab*c+2abc2=0 sumando a ambos miembros a2b2+a2c2+b2c2 a2cb2+a2c2+b2c2+2a2bc +2ab2c +2abc' =a2b2+a2c2+b2c2V. ■■■y ................✓ (ab +ac +be)2=a2b2+a2c2+b2c2 Divididiendo entre a2b2c2se tiene: (ab +ac +be)' _ a2b2+a2c2+b2c2 ( ab +ac +beY a2b2+a2c2+b2c2 a2b2c2 a2b2c2 abe ) a b e 1 1 1 - + — + - c b a) ^ 1 1 1 O 1 l Y 1 1 1J_ J_ _1_ * c ! +b! +a2 © 1 1 8 Si a,beR*( demostrar que: -T +— >------ a (a +b)' n s n ww-w.9dukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 23. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J Aplicando el ejercicio (76) se tiene: (a* +b2)(a +b)‘ >8a’b Dividiendo entre a2b2(a +b)2 (a2+b2)(a +b)‘ 8aV . . a2+b2 8 ------ ------->--------- ¡r, simplificando ----- >---- a2b2(a +b) a2b2(a +b)‘ a V (a +b) a2 b2 (a +b) © Sean a, b, c números reales positivos tal que: a <b <c, demuestre que a b 1 <--- <— a +c b +c 2 a c b c c <=> a < b a b < c a < b a b < c => ac< bc a b + b < b + c => ab + ac < ab + be a 2b < b + c 2b => a(b + c) < b(a + c) a ----< 1 b +c a b b 1 => ----- < ------ a ----- < - a +c b +c b +c 2 a b 1 <--- <— a +c b +c 2 Si x >0, x e R - {1}, demostrar que: x"'1+— -<xn+— , V n > 1 x x x > 1 => 1<x, multiplicando por x2n“' -1 >0 CAPITUI O I / ‘ 38 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.edukperu com ---- www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « x2"'1-1 <x(x2n‘'- l) => x2""1-1 <x2n- x x2"“' +x <x2n+1, dividiendo entre x x +1 < x2n+1 , dividiendo entre x n-1 x2n"2+1 x2n+1 x.x x"'1+— <X n + — xn xn o Si 0 <a <b <c, demostrar que: —- +— >2 a ac j2B¡ES¡2I3I¡I3r Como a <b <c, entonces se tiene: * > i a c b c b2 b+c b2 0 -> 1 => —+- +— >3 => --- +— >3 Ü1>1ac a a ac ^ Í5 - 1 +— >3 i a ac a ac b +c-a b2 * --------------------+ — >2 a ac C- n 1 2 3 .1 6 3 Si 0 <—<—<—, demostrar que: - <------ <- x y z x x+y+z z Aplicando el ejercicio (10) se tiene: d e f d d+e+ f f _ = > _ < ------<- a b c a a+b+c c www.edukperu com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net 39
  • 24. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ............................................................... CAPITUi O I 1 2 3 1 1+2+33 . 1 => - < ----------- < - ••V v + V + Z zx y z x x+y +z z x x y-t-¿ ¿ Sean a, b, c, d números reales positivos distintos tal que ad > be, demuestre que: abd +bed be <------- <ad a+d c <d a be <ad abe <abd a ab+be <a2+ad abe +bed <bed +abd a abd +bed <a2d +ad‘ bc(a +d) <bed +abd a bed +abd <ad(a +b) bc(a +d) <bed +abd <ad(a +b) bed +abd , be <----- -— <ad a +d <¡> Sean a, b, c numerous reales positivos, demuestre que: abe >(a +b +c)(a +c - bXb +c - a) Aplicando el ejercicio (30) que es: (x +y +z) >27xyz y el ejercicio (x +y +z)3>2 7(y+ z-x)(z +x-y)(x +y-z), se tiene: (a +b +c)3£27abc >2 7(b +c-a)(c +a-b)(a +b-c) abe >(b +c - aXc +a - b)(a +b - c) SOLUCIONARIO www.solucionarios.net www.solucionarios.net f EDUARDO ESPINOZA RAMOS « CAPITULO I ' ---------------------------------- ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA I. Resolver las siguientes inecuaciones O 5x-2 >10x +8 >2x +16 __ 5x-2<10x+8 <2x +16 => 5x-2<10x +8 a 10x +8<2x +16 -8-2< 10x-5x a 10x-2x <16-8 => -10<5x a 8 x < 8 x > - 2 a x<1 => - 2 < x <1 x e <-2,1> 1 0 1 1 — < 3x — <— 5 ” 4 3 _ 1 < 3 x < — M C M (5 ,4 ,3 ) = 60 =x> - 1 2 < 1 8 0 x - 15 < 20 5 " 4 3 1 7 3 < 180x < 3 5 => — < x ^ — =* X € 60 >36 x 3x 5 , <--- , a >b J _ L 60'36 r a2-b2 a-b a +b -— MCM=a2-b2 => x íU f a^ ^ l< - ^ - a2- b2 a-b a +b V a2-b2 ) a +b 5(a +b) / 5(a +b) 1 +3(a~^b) =* X e " ° ' l +3(a-b)/ % £ ^ + 4 > ^ i + 2x, a > b > 0 w 3a 6b ____________ www.solucionarios.WF0"™0ANÁLIS,SMATEMÁTIC0 a
  • 25. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITI)' o I 2x 5x — +4>— +2x, MCM =6ab => 4bx+24ab> 5ax+12abx 3a 6b 24ab> x(5a +12ab-4b) => x--- — --- => xe(-«o,- 24ab 5a +12ab-4b 5a +12ab-4b o 6-3x 2x+---- <4 4 6-3x 2x +—-— <4 => 8x +6-3x<16 => 5x<10 => x<2 => X€(-oo,2) O x x i x - +— >1+-, c>b>a >0 • a b c _____ X X X —+—>1+—, MCM =abc bcx + xac >1+abx a b c x(bc +ac - ab) >abe => x >---— --- => x e /---— ---.oo be +ac - ab be +ac - ab ' O 2x-6< 2í¿® l-2x-3x2>0 => 3x2+2x-1 <0 => (3x-l)(x +1)<0 O 3(x-5)-4(4-3x) > 2(7-x)-3 (x-5 ) 3(x-5)-4(4-3x)>2(7-x)-3(x-5) => 3x-15-16 +12x >14-2x-3x +15 15x-31 >29-5x => 20x>60 => x>3 => x g [3 ,oc) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR CON UNA INCOGNITA 2x2- 6x +3 <0 2x2-6x +3<0 => x2-3x +-<0 3] 9 3 . x— -- +-<0 => 2 4 2 ( 3 )* 3 J 3 3 & x — <—= > ----- < x — < — 2 4 2 2 2 3-y¡3 3+73 -----<X <----- 2 2 3-y¡3 3+y¡3 X 6< 2 ’ 2 2x2+6x-9 <0 2x2+6x -9<0 => x2+3x --<0 í 3 )* 9 9 _ ( 3Y 27 _ f 3 3y¡3 XH— -----<0 => x+- ----<0 => X+------ 2 4 2 [ 2 4 2 2 3 3>/3 x+- +--- 2 2 <0 3 + 3 / 3 3 + 3 / 3 X € 2 2 -3-3V3-3+3V3 2 ' 2 9x2+54x >-76 www.8dukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 26. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPIT1"? I 9x~+54x>-76 =3> x~+6x +— >0 9 (x +3)‘ -9 +-^ >0 => ( x +3)2--^>0 x+3-— 3 x+3+ >0 r ~ ~ v -9-¡S 9-y? x . , - -4x2+4x +3>0 1 3 / 1 3 x =—-x-- => x e ( — ,- 2 2 2 2 4x2+9x +9<0 o 9x 9 4 x '+ 9 x +9 < 0 => x2+— +-< 0 , completando cuadrados 4 4 9Y 81 9 . (9V 63 x+- ———+—<0 =>x+- +—<0como 8] 64 4 l 8 64 f 9Y 63 x+— +— >0, Vx e R 8 J 64 La solución es <j> 4x2-4x +7 >0 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.edukperu.com www.solucionarlos,net CAPITULO I 4x2-4x +7 >0 => x2- x +—>0, completando cuadrados 4 ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « f 1 1 7 f 1V 3 2— +—>0 => x+— +—>0 como se conoce V x e R , x >0 4 4 l 2 ) 2 Entonces la solución es R. x4-2x2-8 <0 x4-2x2-8<0 factorizando (x2-4) (x2+2) <0 x2-/< 0 factorizando (x-2 )(x +2)<0 V ~ ~ V -2 2 /. x e <-2,2> —4x2-8 <-12x -4x2-8 <-12x => x2-3x +2>0 => (x - 2 )(x - l)> 0 / - y 1 • 2 /. x e <-oo, 1> u <0,+oo> x2-2yÍ3x-2 >0 jgg£¿MáÉMf x2- 2y/3x-2>0, completando cuadrados ( x - V 3 ) 2- 3 - 2 > 0 ( x - V 3 )2 - 5 > 0 factorizando se tiene: - •, - " SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarlos,net 1
  • 27. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J CAPm " 91 © © ( x - V 3 - 7 5 ) ( x - 7 3 + V 5 ) > 0 V 7 3 -7 5 S Í3 + J5 /. x e >/3->/5) ^ V 3 - V5,oo^ 3 x 2 - 8 x + l l > 4 ( x - l ) 3 x 2 - 8 x + 11 £ 4 ( x - l ) =^> 3 x 2 - 8 x + 11 > 4 x - 4 => 3 x 2 - 1 2 x + 1 5 > 0 Simplificando se tiene: x 2 - 4 x + 5 £ 0 completando cuadrados (x-2)2- 4 + 5 ^ 0 (x- 2)2+1 >0 la respuesta es V x e SJ? 3 x 2 - 1 0 x + 3 < 0 3 x 2 - 1 0 x + 3 < 0 => ( 3 x - l ) ( x - 3 ) < 0 x e 1,33 x (3 x + 2 ) < ( x + 2 )? M S » x (3 x + 2 ) < ( x + 2 )‘ => 3 x 2 + 2 x < x 2 + 4 x + 4 = > 2 x 2 - 2 x - 4 < 0 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.edukperu com www.solucionarios.net CAPITULO I í EDUARDO ESPINOZA RAMOS « x 2 - x + 2 < 0 facto riz an d o ( x - 2 ) ( x + 1 )< 0 -1 O O (-1,2) 4x2-8x +1<0 4 x 2 - 8 x + 1<0 => x2-2x +—<0, completando cu a d ra d o s o í 3 (x - l)2-l +-<0 =>(x-1)2-- <0 factorizando x—1— X —1+— 2 <0 2 - sÍ T 2+ yi 2 2 ' 2 - & 2 + >/3 2 ’ 2 X € 5 x 2 - 1 4 x + 9 < 0 IMTNñ'VWt* 5 x 2 - 1 4 x + 9 < 0 factorizando ( 5 x - 9 ) ( x - l ) < 0 x e www.edukpsru.com SOLUCI' www.solucionarlos,netSOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
  • 28. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS D CAPITI" T í O x2+3x+2 >0 ________________ x2+3x+2 >0 factorizando (x + 1)(x +2) >0 -2 -1 xe (-oo,-2)^(-1,oo) 1-2x-3x2£0 J K ü ¡M S M f 1-2x-3x2>0 => 3x2+ 2x-l<0 factorizando (3x-1)(x +1)<0 -1 x e 3x2-5x-2 >0 i— ^ . n n - T i v r 3x2-5x-2>0 factorizando (3x +l)(x-2) >0 V ~ ~ V xe/-<x>,-Mu(2,ao) (x2+2x)(x2-l)-24 >0 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO) ANALISIS MATEMATICO I . , www.solucionarlos,net www edukperu.com ’ www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O K> + roX 24 >0 => x4+2 X ’ 1 2 -1 -2 -24 2 8 14 24 2 1 4 7 12 0 -2 -2 -12 -3 1 1 4 0 x4+2x3- x2- 2x- 24 =(x +2Xx +3Xx2+x+4) (x-2)(x +3)(x2+x +4)>0 como x2+x +4>0, V x e R entonces O (x-2)(x +3)£ x +x+4 (x-2)(x +3)>0 -3 2 x e <-00,-3>vj <2,+oo> x(x-3)(x-l)(x +2) >16 x(x-3)(x-1)(x +2)>16 =>x(x-1)(x-3)(x +2)>!6 (x2-x)(x2- x - 6 )>16 sea u =x2-x u(u-6)> 16 => u2-6 u - 16>0 => (u -8)(u +2)>0 u =x2-x => (x2-x-8)(x2-x +2)>0, como x2-x +2>0, V x e R 0 Entonces (x - x - 8 )> x2-x +2 =0 => x‘ —x—8 >0 WW'.V eduKperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 29. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) Ccompletando cuadrados se tiene: x2-x +->8 +- 4 4 , K 2 33 1 y/33 1 V§3 ( X - - ) > -- => X --- > ----- V X — < ------- 2 2 1+V33 1-733 x> ----- V x<----- 1-V33 /1 +V33 xe(-oo,----- ) u ( ------ ,+00 2 / 2 x4+2x3-x2+4x-6 <0 rn m s m m x4+2x* - x2+4x-6<0, factorizando por Ruffini 1 2 -1 4 -6 1 3 2 6 1 1 3 2 6 0 -3 0 -6 -3 1 0 2 0 x4+2x3-x2+4x--6 =(x-lXx +3Xx2 (* -l)(x +3)(x2+2) <0 como x2+2 (x~1)(x +3) =0 => (x - l)(x +3) <0 V ~ ~ V -3 1 x e (-3,1) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net CAPITIM 0 I wwvv ediikperu cóm www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « (x2+x-6)(4x-4-x2)<0 (x2+x -6)(4x - 4 - x2)<0 => (x2+x-6)(x2-4x +4) >0 (x +3)(x-2)(x-2)2>0 => (x +3)(x-2)3>0 V -3 2 x e <-oo,3]^[2,+00 > 2x3+3x -llx-6> 0 2x3+3x2 -11x -6>0, factorizando por Ruffini 2x3+3x2-llx -6 2 3 - 1 1 - 6 4 14 6 2 7 3 0 2x3+3x2- llx -6 =(x- 2X2x2+7x +3) =(x - 2)(2x + 1)(x +3) entonces (x-2)(2xe+7x +3)>0 => (x-2)(2x +1)(x +3)>0 1 2 x e - 3' - i [2,+oc > O x3-3x2-I3x +15>0 www r?d'jKDei •■¡on SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarlos,net
  • 30. www solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) x* -3xJ -13x +l5 >0, factorizando por Ruffini x3-3x2-13x +15 CAPI7',,n i O 1 -3 -3 15 1 -2 -15 1 1 -2 -15 0 x3- 3x2-13x+15 =(x -1Xx2- 2x -15) =(x - IXx - 5Xx +3) entonces (x -1)(x2-2x -15)>0 => (x-l)(x-5)(x +3) >0 Y . -3 1 5 x e(-3,l)u(5,oo) x4-4x3-x2+I6x-12 >0 É O L W m U l'M * x4-4x3- x2+16x -12>0 factorizando por Ruffinni x4-4x3-x2+16x-12 1 -4 -1 16 -12 1 -3 -4 12 1 1 -3 -4 12 0 2 -2 -12 2 2 1 -1 -6 0 x4-4x3-x2+16x-12 =(x-lXx-2Xx2-x-6) =(x-1Xx-2Xx-3Xx +2) (x-l)(x-2)(x-3)(x +2)>0 - 2 1 2 3 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net wwv,.3dukperu.com . www solucionarlos,net CAPITULO I .................................................... ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « x e(-oo,-2)u(l,2)u(3,ao) x5+3x4-5x3-15x2+4x- 12>0 Tnrrrgr.i^r x5+3x4-5x3-15x2+4x- 12>0 Factorizando por Ruffinni x5+3x4- 5x3-15x2+4x- 12 1 3 -5 -15 4 12 -1 -2 7 8 -12 -1 1 2 -7 -8 12 0 1 3 -4 -12 1 1 3 -4 -12 0 2 10 12 2 1 5 6 0 x5+3x4-5x3-15x2+4x-12 =(x +l)(x - l)(x - 2 )(x 2+5x +ó) =(x+ 1Xx-lXx-2Xx +3Xx +2) ~ ^ ^ A r ~ i r r - / ~ A A T - -3 - 2 - 1 1 2 (x +1Xx-l)(x2+5x +6)>0 => (x +1Xx-lXx-2Xx +3Xx +2)>0 xe<-3,-2> u< —1,1>u2,oo> ^ x5-6x4-x3+29x2+8x-15 <0 x5-6x4- x3+29x2+8x-15 <0 factorizando por Ruffinni x5- 6x4- x3+29x2+8x-15 . SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net S
  • 31. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITUI O I 1 -6 -1 29 8 -15 -1 7 -6 -23 15 -1 1 -7 6 23 -15 0 3 -12 -18 15 3 1 -4 -6 5 0 5 5 -5 5 1 1 -1 0 x5- 6x4- x3+29x2+8x-15 =(x +lXx- 3Xx - 5Xx2+x-1) (x +1Xx-3Xx-5Xx2+x-1)<0, factorizando x2+x-1 (x +1Xx-3Xx-5) (x +1Xx-3Xx-5) (x +1Xx-3Xx-5) ~ ~ V ~ x+: Y . i . 2J 4 <0 i r - 1 s X -I- --------- 2 2 <0 1 V sl x+- +— 2 2 <0 :y ; l+ / 5 -1 -1 + ÍS . l +& / , - l +>/5 .. x€(-co,---_ W - l , -- -— u<3,5> O (x2- 2x - 5Xx2- 2x - 7Xx2- 2x- 4) >0 (x2- 2x- 5Xx2- 2x- 7Xx2- 2x- 4) >0, factorizando 1 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www edukpery.com www.solucionarlos,net ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « © [(x-1)2-1-5](x2-2x-7Xx2-2x-4) >0 => [(x-1)2- 6][(x- 1)2- 8 ][(x - 1)2-5] >0 =>(x -1 - >/ó)(x-1 +Vó)(x -1 +V8)(x -1 - n/8)(x -1 - >/5Xx-1 +n/5) >0 1-2Í2 1- V6 1-V5 1+¡S 1+46 1+2Í2 x e ^-oo,l-2^2^ u ^1-yjb,1—VH^U^I +>/6^u(l +2>/2,+co^ x5-2x4-15x3>0 x5-2x4-15x} >0 => x3(x2-2x-15) >0 => x3(x-5Xx +3) >0 + > 1 > + > 1 -3 0 5 x e<-3,0 >u <5,oo> (x3-5x2+7x-3X2-x) >0 Factorizando por Ruffinn x3-5x2+7x-3 1 - 5 7 - 3 3 - 6 3 3 1 - 2 1 0 (x-3 )(x-l)2(x-2) <0 + > l > + > 1 www ^dukperu com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 32. www.solucionarlos,net x e [2,3] ^ {1} (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)< 0 si a<b<c<d m m m m n w ai (x-a)(x-b)(x-c) (x-d)<0 » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITU' O l O a b c d xe(a,b)u(c,d) (x2+6x -1Xx3-2x2-2x +4Xx +5)5>0 (x2+6x - IXx1- 2x2- 2x +4Xx +5)5>0, factorizando => [(x +3)2- 9 - l][(x 2(x-2)-2(x-2)](x +5)5>0 => [ ( x + 3 )2 - 1 0 ] ( x - 2 X x 2 - 2 X x + 5 )5 > 0 =>[x +3- VÍÓ](x +3+VÍÓXx - 2Xx - V2Xx +>/2Xx+5)5>0 ~ v : v + v • v + v - a ~ -3- VIO -5 -¡2 -3 +/To ¡2 2 x e (-x,-3-VÍÓ)u(-5,-V2)u(-3+>/ÍÓ,V2)w<2,4oo> ^ (6x +3)2(x2-1)3(3x -5)7<0 (6x +3)2(x2-1)3(3x - 5)7<0 => (6x +3)2(x - l)3(x +1)3(3x-5)7<0 8 m SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO! . , wwwedukperu.comANÁLISIS MATEMÁTICO I ., www.solucionarlos,net www.solucionarios.net CAPÍTULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O o -1 ••• xe(-oo,-l)u^1,|^ (3-x)3(x2- l)2(l- x )5x>0 M ü B W (3-x)3(x2- l)2(1-x)5x >0 => x(x -3)3(x -1)2(x +1)2(x -1)5>0 x(x -3)3(x -1)7(x + 1)2> 0 -i x4-2x2-3x-2 >0 0 1 /. x e ( 0 , l)u (3 ,o o ) x4-2x2-3x-2>0 factorizando por Ruffinni x4-2xa-3x-2 1 0 -2 -3 -2 -1 1 1 2 -1 1 -1 -1 -2 0 2 2 2 2 1 1 1 0 x4-2x2-3x-2 =(x +1Xx-2Xx2+x+1) (x-lXx-2Xx2+x+l)^ 0 , como x2+x +l>0, Vxe R, entonces. (x-lXx-2) > 0 x2+x +6 =0 => (x- lXx - 2) >0 www.edukperu.com i . S O I 1C www.solucionarlos,net
  • 33. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS $ -i o x e < - o o >- 1 ]u [2 ,+ o o > x4-3x3+5x2- 27x-36 <0 x4-3x3+5x2- 27x-36 <0 factorizando por Ruffinni 1 -3 5 -27 -36 -1 4 -9 36 -1 1 -4 9 -36 0 4 0 36 4 1 0 9 0 x4-3x3+5x2- 27x-36 = (x +1Xx -4Xx2+9) (X +lXx l X Xx> +9) <0, como x2+9>0, V x e R , (x +1Xx-4)<0 -1 4 X€<-1,4> m x4- x2<0 => x2(x2-1)<0 => x2(x-l)(x +l)<0 + V ¿ /~ ~ * - 1 0 1 x e <-1,0> <j <0,1 > CAPITI" n i 36 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I ., www.solucionarlos,net www.eduKperu.com www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O (2x2-4x-1X3x2-6x +4Xx2+4x-2)>0 Jg ^ S S S S iS M f (2x2-4x-lX3x2-6x +4Xx2+4x-2)>0, factorizando se tiene: x2-2 x--1 f x2-2x +-1(x2+4x-2) >0 ^(x-l)2- l-^ j^ (x -l)2- l +^j[(x +2)2- 4-2]>0 f(x - l)2- | ^(x —l)2+^j[(x +2)2-6]>0, como (x -l)s +^ >0, V x e R [ o _ (x-1)2- - [(x +2)2-6J >0, factorizando -1_^|)íx-1+^)(x+2+.'^)(x+8“'^)>0 , Í3 2+yfb , ¡3 Puntos críticos x =1+J- =---- , x = - = V2 2 2 2 -y f b , x =-2-Vó , x =-2+n/ó ~ v 1 - ~ V .+ -2-^6 2 -x/6~ -2 '/6 2 +/6 x5+8x4+12x3-x2-8x-12>0 Factorizando por Ruffinni x5+8x4+12x3-x2-8x-12 www.edukperu.com www.solucionarios.net SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO
  • 34. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITUI n i 1 8 12 -1 -8 -12 1 9 21 20 12 1 1 9 21 20 12 0 -2 -14 -14 -12 -2 1 7 7 6 0 -6 -6 -6 -6 1 1 1 0 x5+8x4+12x3- x2- 8x-12 =(x - 1Xx +2Xx+6Xx2+x+1) (x-1)(x +2Xx +6Xx2+x +1)>0 , como x2+x +l>0, V x e R , simplificar (x-1)(x +2Xx +6)>0 -6 -2 1 xe(-6,-2)u(l,oo) ^ (x2-1Xx2+9Xx +4Xx +5)>0 (x2- lXx2+9Xx +4Xx +5) >0, simplificando x2+9>0, V x e Ry factorizando (x-lXx +1Xx +4Xx-5)>0 - 4 - 1 1 5 xe(-oo,-4)u(-1,l)u(5,oo) 60 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I ., www.solucionarlos,net www.edukperu.com www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O © (x +2Xx +3Xx - 4Xx - 5) >4*■ (x +2Xx +3Xx-4Xx-5) >44 => (x +2Xx-4Xx +3Xx-5) >44 => (x2-2x-8Xx2-2x-15)>44 u =x2-2x-8 => u =(u-7)>44 => u -7u-44>0 => (u-1lXu +4)>0 => (x2- 2x-8-11Xx2-2x-8 +4) >0 => (x2-2x-19Xx2-2x-4)>0 [(x-1)2-1 -19][(x-l)2-1 -4] >0 => [(x-1)2- 2 0 j(x - l)2-5]>0 (x -1 - 2>/óXx-1 +2>/5Xx-1 - >/5Xx-1 +>/5) >0 v 1 +2ÍS 1 -ÍS 1+ÍS 1-2^5 xe(-oo,1-2>/5)u(l-75,1 +7 5 )u (l +275,®) x +6x4+6x +4 >0 x6+6x4+6x2+4 >0 => u =x2 => (x2)3+6(x2)2+9x2+4 >0 => u3+6u2+9u +4 >0 Factorizando por Ruffinni; u +6u +9u+4 1 6 9 4 -1 -5 -4 -1 1 5 4 0 u*-1-6u2+9u+4 =(u +IXu2+5u+4) =(u +IXu +4Xu + 1) www edukpervi.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net ■L
  • 35. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPrr” ' n i O o u =x2 => (x2+ lf(x 2+4)>0, como )C+1>0 a x2+4>0, V x e R Entonces la solución es: V x e R x4-3x2- 6x-2<0 x4- 3x2- 6x- 2<0 , factorizando x4- 3xJ - 6x- 2 x4-3x2-6x-2 =(x2-2x-lXx2+2x +2) entonces (x2-2x-l)(x2+2x +2)<0, como x2+2x +2>0, Vx e R , simplifican x2-2 x-l< ____-____=0 => x2-2x-l <0, completando cuadrados x2+2x +2 x2-2x +l <2 => (x - 1)2<2 => -72 <x-1 <y¡2 1-72 < x < 1 +72 xe< 1-72,1+72 > x5-6x4-17x3+17x2+6x-l >0 m m m m t X5-6x4-17x3+17x2+6x-l >0 factorizando por Ruffinni 1 -6 -17 17 6 -1 1 -5 -22 -5 1 1 1 -5 -22 •-5 1 0 X 1 X X* -5x3--22x2--5x+l) >0 www.solucionarios.net f-8x +3x CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « XlX-5x3 -5x -2x x4-5xJ -22x2-5x +l =(x2-8x +1Xx2+3x +1) (x-lXx2-8x +1)(x2+3x +1) >0 3 2 9 (x-l)[(x-4 )2-15] (x-1)[(x-4)2-7Í5](x-4 +7Í5) >0 r 3X + -------- 2 2 3 75 X H-- + ---- 2 2 >0 A / 3 + /5 -3 +fS 4-'/l5 1 4 + fl5 2 2 ... x4-2x2+8x-3 >0 Factorizando x4- 2x2+8x- 3 x4+0x3-2x2+8x-3 A 2x v -1 + 2 x ^ * 3 (x2+2x-lXx2-2x +3 )>0, como x2-2x +3>0, V x e R , simplificamos v - 2x v / v „ „ X www.solucionarios.net www edukperu.com' www.edukperu.com . . . SOLUCIO www.solucionarlos,net
  • 36. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITUt O I x +2x—1> x -2x+3 [(x +1)->/2][(x +1)+>/2]>0 x2+2x-1 >0, factorizando A / -1-72 -1 +72 xe(-<or 1 - ^ |u ^ - 1 - h ^ o o ^ O x4-2x3-5x2+10x-3 <; 0 Éimmrnaf x4-2x^ -5x2+10x-3 <0 x4-2x3-5x2+10x-3 x2 -3x -3 x2 X 1 (x2- 3x +1)(x 2+x -3 ) <0 , factorizando 3T 9 ix— — +1 2 J 4 n 1 ^x+- --- 3 2 J 4 <0 1Y 13 X H— ---- 2 J 4 <0 r 3+75X -------- í 3--75 ¥ 1-7Í3 x—■ X + ■ <0 -1 -¡13 3-/5 713-1 3+75 2 2 2 2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www edukperu.com : www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « X € '-1-73 3-y/S u n/T3 -1 3+75 2 2 2 ' 2 $ (x-7Xx-3)(x +5Xx +1)>1680 (x - 7Xx +5Xx - 3Xx +1) >1680 (x-7Xx +5Xx-3Xx +1)>!680 => (x2-2x-35Xx2-2x-3) >1680 u=x2-2x-3, reemplazando se tiene: (u-32) 1680 => (u2-32u-1680)^0 => (u- 60Xu +28) >0 (x2- 2x - 63Xx2- 2x +25) £ 0, factorizando se tiene: [(x -1)! -1-63][(x - 1)! -1 +25]20 => [(x -1)*-64][(x-1)* +24]£0 Como (x - l);' +24>0, V x e R, simplificando (x - l)2-64>0 (x-1)2>64 <x> x-1^-764 v x- 1<-Vó4 x- 1>8 v x - 1<-8 x>9 v xú-7 x e <-oo,-7] u [9,+oo> (x +9Xx - 3Xx - 7Xx +5) ^ 385 (x +9)(x - 3)(x - 7)(x +5) ^ 385 (x +9Xx-7Xx-3Xx +5)<385 => (x2+2x-63Xx2+2x-15) <385 u= x~+2x-15, reemplazando se tiene: • . . SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarlos,net
  • 37. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ................................................................................... (u-48)u^385 => u2- 48u-385 <0 => (u - 5 5 X u + 7)^0 (x2+2x-15-55)(x2+2x-15+7)<0, factorizando se tiene: [ ( x + 1)2- 1 - 7 0 ] [ ( x + 1)2 - 9 ] ^ 0 => [(x + l ) 2 - 7 l ] [ ( x + l)2-9]<0 (x +1 +V7l)(x +1->/7Í)(x +1-3Xx +l +3)<0 (x +1+%/7Í)(x +4)(x +1->/ñ)(x-2)<0 -1 ~¡71 -4 2 ¡7Í-1 xe[-l->/71,-4j^[2,-l+>/7Íj CAPITI1' « I www edokperu con« www.solucionarios.net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O INECUACIONES FRACCIONARIAS Resolver las siguientes inecuaciones: x+1 x < 2-x x+3 x+ 1, x 2 ilI_ _ JL _ < 0 => (x +1Xx+3)-x(2-x) 2-x x+3 2-x x+3 (2-xXx +3) x2+4x +3-2x +x2 A 2x2+2x +3 _ ---- --------------- <0 => -------------- >0 (2 -xXx +3) (x-2Xx +3) como 2x +2x+3>0, V x e R, entonces expresamos asi: 1 - o = > ---- !_____ >0 (x-2Xx +3) 2x2+2x +3 (x-2Xx +3) -3 2 /. X€<-oo,-3>u<2,oo> 3x-7 3-2x — í— >0 =» — 1 - ^ 0 => 3-2x -4(3x - 7 ) , 0 3x-7 3-2x 3x-7 3-2x (3x-7X3-2x) 31-14X ^ ^ ___14x_-31 (3x-7X3-2x) (3x-7X2x-3) 31 7 3 x =— , x=-, x = -, puntos críticos 14 3 2 . . . SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I I. . . S O L IO www.solucionarlos,net
  • 38. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPIW * • 3 31 7 2 4 3 '3 31 X € < ( — 2 14 x+2 >x2+2 x+2_x^+2>0 x2(x -t-2) -(x - 2)(x2+2) ^ Q x-2 x2 " ~ x2(x-2) x1+2x8-x3+2xg-2x +4 )a 0 ^4>^-2x±4 a0 como 4x* _2x +4 >0, V x e R x2(x-2) . x (x-2) 1 > „ ° --------------- = 0 => —r — --- > 0 x2(x -2) 4x2-2x +4 x2(x -2) : ~ V 0 2 /. x e < 2 ,0 0 > x-2 > x x+4 x-2 =» ü z 2 . _ í _ a 0 x+4 x-2 x+4 x-2 (x-2)2-x(x +4) x2-4x +4-x2-4x ----- ----------- > 0 => -----------------------> U (x +4Xx-2) (x +4Xx-2) ~8x+4 ¿o =. — — — <o(x +4)(x-2) (x +4Xx-2) m www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net capitulo I { EDUARDO ESPINOZA RAMOS « -4 I 2 2 /. xe< -oo,-4 >u ,2> x -4 ; x -2 x2+2 x2+1 x3-4 x3-2 < (x3-4)(x2+1)<(x3-2)(x2+2) x2+2 x¿ +1 x5-4x2+x3-4<x5-2x2+2x3-4 =>2x2+x3>0 => x2(x +2)>0 x =0; x =-2, puntos críticos v : -2 0 x e < - 2 ,0 > ^ j< 0 ,o o > x-1 < 2x x x x +1 x-1 M K S B M M x-1 2x x x-1 2x x ^ . ---- < ------------ = > -------------- + ----- < 0 X X +1 X-1 X x +1 x-1 (x8—l) ( x —1)—2x 2( x - 1 )+ x 2(x +1) x(x +1)(x —1) x —x —x+1—2x +2x +x +x . 2x -x +1 . => ------------ ;-----r;-----:---------- < 0 =>— -----T7------ < 0 x(x +l)(x - l) x ( x + 1 )(x - 1 ) Como 2x2-x +l>0, V x e R , entonces simplificamos ” —^ SOLUQONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO Il ■ ±www.solucionarlos,net
  • 39. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ...........................................................................CAPITU' O I 1 - o ^ ------1— so x(x +l)(x - l) 2x2- x+1 x(x +lX x -l) x =-1; x =1; x =0, puntos críticos A / ± V : •i 0 1 X G < -00,-1 > U < 0,1 > x2+2 x~+1 y4+1 y4+1 ___ MmxmAwm — íll simplificando x4+l se tiene: x4+1 x4+1 x2+2 >x2+1 => 2 > 1, V x e R /. La solución es V x e R x2-2x <x+8 x2-2x x+8 x! -2x x+8 _ 2(x*-2x)-(x +8X x-4) ^ I T T “ T * x-4 2 - 2(x-4) 2x2-4x-x2-4x +32 ^ ^ (x-4) +16 ^ Q 2(x-4) ” 2(x —4) Como (x-4)2+16>0, V x e R => V 4 t ■ * ■ www.solucionarios.net www eduKperu com www.solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 1 3x+l —<---- <4 X X X G <-oo,4> 1 3x+l 1 3x +l 3x +l . —<---- <4 => —<----- a ---- <4 x x x x x 1 3x +l 3x +l , l-3x-1^.rt 3x+l-4x „ ------- <0 a ------4 <0 => -------<0 a -------- <0 x x x x x — < 0 a ^ Í l < 0 => - 3 < 0 a — > 0 X X X i» x—1 x—1 x g 9? a -----> 0 =2» ------> 0 x x © x2+8 5x-8 x+4 ~ 5 0 1 XG< -oo,0> U< l,oo> x2+8 5x-8 x2+8 5x-8 ^ rt 5x2+40-(5x-8)(x +4) „ ----- > — -— = > ------------->0 => ---------- ------ ----- - > 0 x+4. 5 x+4 55(x+4) 5x* +40-5x2+8x-20x +32 _ 72-12x x+6 => ---------- ---- ---------- >0 => ---->0 => ------------- <0 5(x +4) 5(x +4) 5(x +4) x =-4; x =6, puntos críticos -4 6 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 40. www.solucionarios.net x e <-4,6] » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ...............................CAPITU' f i © O x+4 x-2 > x"+4x +4 x -4 ^ ■ arrn m .T M T x+4 . x-2 _ x+4 x-2 , 0 > x2+4x +4 x2-4 (x +2) X--4 (x +4)(x-2)-x2-f4 n x2+2x- 8- x~ +4 ^ n (x +2)2(x-2) (x +2)2(x-2) 2x~ 4 >0 ^ — L_^>0, Vx e R, x^±2 1 2 <• x+1 3x-l (x +2)2(x - 2) (x +2) x e R- {-2,2} _ L < _ L - * — _____ — <0 => 3x- 1-2(^ < 0 x+1 3x-1 x+1 3x-1 (x+1X3x-1) 3x-1-2x-2), n ^ ____x^3--- <0 (x +1X3x-1) (x +lX3x-1) x =3; x = 1; x =- puntos críticos 3 -1 1 3 3 xe<-oo,-l,>u/^,3 © f l 2 2x2-3x +3 2 <(x -2X2x +3) SOLUCIONARI WWW.soimtbnarios.net www.edukperu.connr www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 2x2- 3x +3 1 +->0 (x-2)(2x +3) 2 4x~-6x +6+2x2-4x +3x-6 _ 6x2-7x --------------------------------------------------------------- >0 => ------------------------------->0 2(x-2X2x +3) (x-2X2x +3) x(6x-7) (x-2X2x +3) >0 3 7 Puntos críticos: x =2; x =0; x =-; x =- 2 6 .3 0 7 2 2 6 w <2,+oo> X E ( ^ i u © 2x-1 3x-1 x-7 ---- +----- <4 + v o. 1 v -i_Ox+1 x+2 x—1 (2x-lXx +2) +(3x-1Xx +1) 4x-4 +x-7 . ------ ;— ~ ----------------------------- <-:------ , simplificando (x +lXx +2) x-1 5x~+5x-3 5x-12 5x2+5x—3 5x-12 (x +1Xx +2) x-1 (x +1)(x+2) x-1 (5x2+5x -3)(x -1)-(x +1Xx +2X5x -12) <0 (x +lXx +2Xx-l) <0, simplificando -3x2+18x +27 x2-6x -9 _ , <0 => -— —-- —----- >0, factorizando (x +lXx +2Xx-l) (x +lXx +2Xx-l) www.solucionarios.net matemáticoi 73
  • 41. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITI"OI O o (x-3 +3j2)(x 3 3>/2)^ n HnnHp x =-2; x=3-3>/2 ; x =-1 (x +1Xx+2Xx-1) x =1, x =3+3v2 , puntos críticos -2 3 - 3 ^ 2 -1 3 +3 ¡2 x e x < x-3 <2+4 x2+x+4 (-2,3 - 3>/2j u <-1,1 >u(3 +3>/2,+0°) _ J L _ < x — = > x ( x 2 + x + 4 ) < ( x 2 + 4 ) ( x - 3 ) x2+4 x2+x+4 puesto que x2+4>0, x2+x+4>0, V x e R x ( x 2+ x + 4 ) é ( x 2+ 4) ( x - 3) => x3+ x E+ 4x £ x 3- 3x e + 4x -12 => 4x2<-12 => x2<-3 pero Vx e R . La solución es <t> (xg-2 )(x-5)(x -3 )^ x(x2+2)(x -3) (xi -2)(x-5)(x-3) ' ^ x(x2+2)(x-3) ( x - 7 2 ) ( x + 7 2 ) ( x + 5 ) ( x - 3 ) ^ > x(x + 3 ) puesto que x2+2>0, V x e R Puntos críticos: x =± 3; x =±72 ; x =-5; x =0 V v : v -5 ■72 0 72 / www.solucionarios.net wwv.'.©dukperu.com www.solucionarios.net O x e<-oo,-5'>u^-3,-72^'^0,—72^u<3,-oo> ' (6x-3)~(x2+1) (3x-5)' CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O (x +6)¿ (2x +3 ),., (6x +3)2(x2+l)3(3x-5)7 ^ (6x +3)2(3x -5)? ^ (x +6)2(2x +3)17 > ^ (x +6)2(2x +3)’7 > puesto que x¿ +1 >O, V x e R - O V ¿ V -6 3 1 5 '2 "2 3 x e < - o o ,- 6 > u ( - 6, - | W - | , c o ( 4 x + 2 )2 ( x 2 + 2 )5(2 x - 8 ) 9 ( x + 1)2 (2 x + 5 )'7 ISMUlHT (4x +2)¿ (xa+ 2 )5 ( 2 x - 8 ) q _o ^ (4x +2)g(2x-8)g , Q ( x + 1)! (2 x + 5 )'3 ( x + 1)’ (2 x + 5 )'3 puesto que x¿ +2>0, V x e R 1 5 PuntOS críticos: X =4; X =--: X =-- : X =-1 2 2 ■•edukperucom . . SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 42. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j W (x-5) (x +3) cAPrrui o i (x +4) (x-2) (x-5) (x +3)x-5 x+3 (x +4)(x +3)-(x-2)(x-5) (x-5)(x +3) x2+7x +12-(x2-7x +10) <0 =* (x-5)(x +3 T 14x42__ <o ; Puntos críticos: x =5; x= -3; x - (x-5)(x +3) -3 C.S.: xe(oo,-3)u(--,5 x-4 x+2 7 +- U - 2 :-4 x+2 beeem m Z í í í ! h í d +2<o (x-4)(x +2) 7x +14+x-4 +2(x-4)(x +2) n (x-4)(x+2) 8 x + 10 + 2 ( x 2 - 2 x - 8 ) (x-4)(x+2) x2+2x-3 <0 2x2+4x-6 (x-4)(x+2) (x+3)(x-1) , n (x-4)(x +2) <0 (x-4)(x +2) www.solucionarios.net www edukperu.com www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Puntos críticos: X =-3; X = X = 1; X =4 o + V 1 V t V 1 V + - 3 - 2 1 4 C.S.: x e(-3,-2)u(l,4) (x* +x-6)(x’ -x-6) (x2-4)(x2-2) jBEimSÜSMt ( * ! + *-6)(.r! - *- 6 ) (* +3)(a'- 2 )(a'-3)(.v +2) ( * * - 4 ) ^ - 2 ) >0 " ( , - 2 ) ( , +2 ) ( x - ^ ) ( , +^ ) >0 (x +3)(x-3) _ 7--- pr---- — >0 a x^±2. Los Puntos críticos: x =±3; x =±v2 (x-V2)(x +>/2) -3 -s¡2 s¡2 3 C.S.: X€<-co,-3>u<-Í2,yj2><j<3,co> @ x1z 2x±3>_3 ^ x -4x+3 x2-2x +3 x2-2x +3 _ _ I — --- >-3 => -r— ---- +3>0, operando se tiene: x -4x +3 x -4x +3 x -2x +3+3(x“ -4x +3) 2x2-7x +6 _ (2x-3)(x-2) --------— --- ------ ^>0 => — ------->0 => ^---------r >0 x -4x +3 x -4x +3 (x-l)(x-3 ) Puntos críticos: x =-; x =1; x =3; x =2 2 www edukpem.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net 77
  • 43. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITUl O I O V : V i V ___±—1 3 2 3 2 3 C.S.: xe<oo,1>u<-,2>u<3,co> J L + J_ > 2 x+3 x—1 ____ jnm M M 5 , 1 ^ O _É —+—l--2 >0, de donde se tiene: x+3 x—1 x+3 x—1 5(x-1) +x+3-2(x +3)(x-1) n (x +3)(x-l) 5x-5 +x+3-2(x2+2x-3) -2x2+2x+4 ^ n (x +3)(x —1) > ^ (x +3)(x-1) x*-x-2 <0(x-2Kx.tij<0 (x +3)(x-1) (x +3)(x-1) Puntos críticos: x =-3; x =-l; x = 1; x =2 -3 -1 1 xe<-3,-l >u<1,2> « 3x+1 1 2 > ------> - . 3x+1 1rt^3x +l , 3x+1 1 2 > ------> - => 2 > - a — — X X x x x soLucios otw¡/^^f¡f£¡onarios.net www.edukperu.com www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 3x +l „ 3x+l 1 n 3x +1+2x 3x --------2 < 0 a ---------- > 0 = > ----------- < 0 a — > 0 x x x x x — < 0 a 3 > 0 => — < 0 Puntos críticos: x =0; x =-1 T ~ ~ V -1 0 La solución es: x e [-1,0> 0 x ^ -2 _x i 3 > _ 3 W v2 -L. 3x -4x +3 x2-2x +3 0 x2-2x +3 0 ,.| —------- > -3 => —t---------+3 >0, efectuando las operaciones x -4x +3 x -4x +3 x2-2x +3(x2-2x +3) x2-7x +6 A (2x-3)(x-2) ------ s— ^--------- >0 => —-------- >0 => ----¿r— z r > 0 x —4x +3 x —4x+3 (x-1)(x-3) 3 Puntos críticos: X =- ; X =1; X =3; X =2 2 V 1 V + V = V 1 _3 2 3 2 Conjunto solución © 2x4+7x3+8x2+6x +1 ^ óx^1+17.x4+23x3+18x2+7x +1 2x4+7x3+8x2+6x +1 6x5+17x4+23x3+18x2+7x+«1 >0 wwwedukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 44. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I Factorización por aspa doble en el numerador (2x2+5x+l)(x2+x +l) >0 ÍX~2IX+1)X+1)(6X!+6X+7) como x2+x+1>0, V x é R V 6x2+6x+7>0, V x « R, simplificando 2 5x 1 x +— +— 2 22x2+5x +1 ^ __________ x+sXx+Í)(x+1) (X+Ü(X+9(X+1) >0 2 5x 25 1 25 X2+— +— +r.~77 ____ 2— 16—2— 16_>o => tw — KHH (x+iXx+3>+i) X + - T - - ^ --- >0, factorizando 5 (17 Ì 5 17 X+4 'V Í 6 j r K 4 + Í 6 j f 5 - V Ì7 x+ V 5 + >/Í7 x+— -— (x4)H)x+1) H)K)(X+1) 5-Vv7 5+y¡V7 ____ 1_ v =- i x =-1. puntos críticos X --------- , X ------- » X - 0 > o ' - / + V - V — ^ ! 7 & ------ -i 4 1 Conjunto Solución: x e <5 _2fl7+5 A<_I 1 3 4 1 /V i7-5 2 3 >vj X—1 x2-1 www.soiucionarios.net www.edukperu.corrí www.solucionarlos,net CAPÍTULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « X—1 X —1 <5 X —1 (x-l)(x +1) <5 => x—1 (x-lXx +1) -5 <0 7(x +1)-6-5(x-1)(x +1) 7x +7-6-5(x2+1) (x +1)(x-1) (x +1)(x-1) -5x2+7x +6 . 5x2-7x-6 . (5x +3)(x-2) „ <0 => T---- —---- -> 0 => — ,---- r r --- ^ > 0 (x +l)(x - l) (x +1)(x-1) (x +l)(x-1) Puntos criticos x =-1; x =— ; x =1; x =2 5 -1 xe(-»f-l)u^-|,1^u(2,+co) <0 12x5-35x4-53x3+53x2+35x - 12 x6+15x5+78x4+155x3+78x2+15x+1 12x5- 35x4- 53x3-f53x2+35x- 12 ^Q x6+15xs +78x4+155x3+78x2+15x +1< Agrupando término en forma adecuada para su factorización 12(x5- 1 )- 3 5 (x 4 - x )- 5 3 x 2(x - 1 ) x6 +1 + 15(xs + x) +78(x4 +x 2) +155x3 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 45. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ......................... .....................................CAPITU! 12(x4+x3+x2+x +l)-35x(x" +x+l)-53x* j x3+¿ +,5l( x2+? l + 00 íX+x]+155 <0 3 |r n3u = X + — 1V XJ í 1Yu = X + — l XJ 1 3 - +— => u X J X ( 23 12 ( x - 1 ) ( 1 2 x 4 -23x3-76x2-23x +12) ^ (x l)|^12x 23x 76 ^ x% u3-3u +15(u2-2) +78u-f 155 <^ u3+15u2+75u+125 (x —1) 12| x 2 + x12 l - 2 3 Í x + M - 7 6 <0 (u +5) (x-l)[l2 (u 2-2)-23u-76] ( u + 5 )3 <0 (x—1)f12ug-23u-lOO] -A (x -1)(12u +25)(u, 4) ^ ^ u =x +i (u +5)3 ( u +5) x (x"1)líl2x +^+ 25j (X+x _ 4 J (x-l)(l2x2+25+12)(x2-4x +l) ^ I(X+H3 (x2+5x +l) (x-l)(3x +4)(4x +3)[^(x-2)2-4 +lJ 5Y 25 , x+-¡ +1 2 J 4 <0 (x-l)(3x +4)(x +3) x-2x>/3j(x-2 +^ ) B*f)H-#)I <0 H www.solucionarios.net www.edukperu.com www.solucionarlos,net CAPITULO I ............................................................. ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 4 3 r- x =1; x = ; x = x =2+V3 X - 2 - J 3 ; X - 4 - & 2 2 2 2 ~ A~^/ : y /~r . 4 .3 7 2 1 - 5 2 -^3 1 2 +/3 4 3 4 2 , :r | ) v ( 4 í , á ) ^ . ( ) 2x-l x+2 x—1 x+4 +3-x >x+3 2x-l _ x+2 x—1 2x-l x+2 x—1„ , ! T ¡ T + 3 ^ > ^ 3 = > i r r 4 + í 3 5 ' Í Í 3 > 0 ' A c t u a n d o las o p e ra c io n e s (2x-l)(x2-9)+(x +2)(x +4)(x +3)-(x-1)(x +4)(x-3) (x +4)(x-3)(x +3) >0 2x3-x2-18x +9+x3+9x2+26x +24-x3+I3x-12 (x +4)(x-3)(x +3) >0 -10x2-31x-27 10x2+31x+27 > 0 => 7---- t ;-----TT----- < 0 (x +4)(x —3)(x +3) (x +4)(x-3)(x +3) como 10x~ +31x+27 >0, V x e R entonces se simplifica, es decir: (x +4)(x-3)(x +3) <0 dedonde x =*4- x =-3» x =3 puntos críticos www.solucionarios.net 83
  • 46. www.solucionarlos,net _______________ _____________ . CAPITUl O ) » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ............................................................................... : / + / .4 -3 3 xe(-co,-4)'-'{-3.3) O S 1+X3 ^ * - x * + * “ -j L + 9 w (l- X ! )(1-x) (1-x) (1+x ) ___________ jg g a s s a a a B T . » .. (1 +x )(l- x +x! ) x(1-x)+x4(1-x)^0 ( í d ? f r ^ >l ^ x f n ^ +9 * M f d « ) _ b ü --+9; x*±l (l—x)(1—x) (l-x)(l+x) 1 - X + X* : X ( U X ] _ ^Q; X*±1 (l-x)O-x) (1 -x)(Ux) _ ¡ W X(H X)(1-X +X‘ ) ^0 xse±1 (1-x)(1-x) (1-x)(1 +x) x - xg+x3 1 -x+x8 ^o^r,. x#±1 (1-x) (1—x)(1-x) ( x - x i + x 3) ( 1 - x ) - 1 +x-xi ^o ^ n XJ¡±1 (1-x) -x4+2x3- 2xg+ x - U x - x ^ Q^ n, X5t±1 (1-x)! -x4+2x3-3xa+2X-1 +g <Q. X,± 1 (x - lf ______________________;------- rsoLucioNAtvWvv.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O 9- x4-2x3+3x2-2x + l (x - l)! <0; x * ±1 => 9- r •> *2 x~- x+1 x—1 <0; X * ± l í ..2 3- X —1 f ..2 3+ ) X —X-f1 X —1 <0; x* ±1 ' 3 x - 3 - x 2+ x - l Y 3 x - 3 +x2- x +1 x" ! A x—1 ( -x2+4x - 4 x^7~ f ..2x +2x-2 X—1 <0; x*±l => <0; x*±1 (x-2)![(x+1)! -3] (x-1)2 >0; x*±1 (x-2)J (x +1->/3)(x +1+>/3) >0; x*±l x =2; x*±l; x=-l±>/3. Existe multiplicidad par en x =2yx =1 -1 -n/3 v/3-1 -V3-l)u(V3-1,l)w{1,2)w{2,co} 4x4-20x2+8 x4-5x2+4 4x4-20x2+8 <8 <8 4x4-20x®*+8 x4-5x2+4 x4-5x2+4 4x4-20x2+8-8x4+40x2-32 -8<0, operando se tiene: x4-5x2+4 <0, simplificando www.ftdukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net 85
  • 47. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) .................................................................... S 9 fE r” O o -4x'l +20x1-8 n x4-5x*+6 - _ (x___» o . factorizando x4- 5x* +4 ~ x4-5x2+4 ® (x2-l)(x! -4) (x->/5)(x +-J2)(x-£ ) ( * +£ ) ' n (x-1)(x +1)(x-2)(x +2) Puntos críticos: x= ±¡2; x=±l; x=±3; x=±2 + / : / r ~ y - A ~ r ~ y _2 V3 s il -1 1 v/2 VB 2 Conjunto solución es: x e(-<r,-2) ^ - >/ í- >/2^u(-lfl)u(>/2,>/3)vj(2f-Hx) ( x -1)8( x 2- 1 )(x 4- 1 )_ (x4+])(x-2) m i f M l i i ' T (x-1)’ (x»-l)(x4- l ) _ (x-1 )T (x»-l)(x»-l)(x»^ )%n (x4+l)(x-2) (x4+l)(x-2) Simplificamos los términos (x4+l) y (x2+l), (x-1) por ser siempre positivos íx2- lf i ^____L >o => --- £ 0 => x >2 de donde x e <2,+qo> x-2 * x-2 (x2+5x +6)(x4-16)(x2—4x —12) ^ (1-3x)3(x-1)(x! +l) ( x * +5x+6)(x4-16)(x*-4x-12) ^ (1-3x)3 (x -1)(x! +1) Factorización por diferencia de cuadrados y aspa simple: SOLUCIONAR! www.solucionarios.net www edukperu com www.solucionarios.net CAPÍTULO I JCEDUARDO ESPINOZA RAMOS « (x +3)(x +2)(xJ -4)(x‘ 4)(x-6)(x +2) (l -3x)3(x -1)(x2+1) (x2+4) y (x2-rl) son positivos V x € R, entonces simplificamos (x +3)(x +2)(x-2)(x +2)(x-6)(x +2) (x +3)(x +2)’ (x-2)(x-6) (3x —I)3(x —1) (3x —l)(x —1) -3 -2 3. 1 ‘ 3 xe(-oo,-3)u^-2,-^u(l,2)u(6,+oo) O 4 x-2 4 <— 4-x 5 x 4 x—2 4 4 x—2 4 <— => ------- ----- <0, efectuando la operación 4-x 5 x 4-x 5 x 20x-x(x-2)(x-x)-20(4-x) 5x(4-x) 20x+x3-6x2+8x-80 +20x 5x(x-4) Factorización por Ruffinni: <0 _ x3-6x2+48x-80 . f >0 => --- — :--- --- >0, factonzando 5x(x-4) 1 -6 48 -80 2 .8 80 2 1 -4 40 0 _ * SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net K
  • 48. www.solucionarlos,net ■ CAPJT-w'l » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J .................................... (x -2 )(x2- 4 x + 40) (x -2 )[(x - 2) 4 + 40J ^ fi - ¿ (x - 4 )— >0 ~ S F * ) . (x-2)[(x-2)*+36]>0 (x-2)*+36>0, V x e R, simplificamos 5x(x-4) x~2__ >o de donde x =2; x =0; x =4 son los puntos críticos 5x(x-4) v - t a z : 3xg+7x +5 x2+3x+2 “ 0 2 4 xe(0,2)u(4,oo) 3x2+7x +5 <2 3x2+7x +5 _ 2<o , operando y simplicamos x2 +3x +2 x‘ +3x +2 3x2+7x+5-2x2-6x-4 n _ _ í! ± í± L - <;0, como x2+X+1>0, V x e R ------------------- s0 =* (x+2)(x+l) 1 Entonces simplificamos ^X+2)(X+Í ) " entonces x =-2, x =-1 son los puntos críticos -2 -1 X 6 (-2,-1) SOLUCIONARIwww.solucionarios.net www.edukperu.com www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O (x'-' +x—o)(x? —x—6) (x2-4)(x2-16) (x2+x-6)(x2-x-6) -— -----r—-<0 , factorizando se tiene: (x2-4)(x2-16) (x +3)(x-2)(x-3)(x +2) (x +3)(x-3) 7----77---77--- 7 --- (<0 simplificando 7 --- ( 7 ----£<0; x * ± 2 (x-2)(x +2)(x +4)(x-4) (x +4)(x-4) x =-3, x =3, x =-4, x =4, son los puntos críticos - 4 - 3 3 4 x e (—4,3] w[3,4) (l +x+x2)(2-x-x8)(x4-2x2-3x-2) (2x2-4x-l) (3x2-6x +4)(x2+4x-2)(x2-7) (l +x+x2)(2-x-x2)(x‘l -2x2-3x-2) (2x2-4x-l) (3x2-6x +4)(x2+4x -2)(x2-7) factorizando cada expresión se tiene: <0 1 0 -2 -3 -2 -1 1 1 2 -1 1 -1 -1 -2 0 2 2 2 2 1 1 1 0 (x +1)(x-2)(x2+x+l) 2Í x2—2x——j(3)í x2-2x +^-](x2+4x-2)(x2-7) <0 www.edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 49. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) Como x2+x+1>0, x CAPITULO I © X2-2x+- >o , V X 6 R, entonces simplificamos _________(x +1)(x 2)_________<0 ^^ctonzando (2x2-4x-l)(x2+4x-2)(x2-7) (x +l)(x - 2 ) -,-IÍx-i+I)x+2^ )(x+2+^)(x'^)(x+'/7) Í =1+J | , x= x=-2+^ x=- 2 - ^ ; x =^ ; x=-V7:x =l; x =2 X 12 X + 1 < 19 < x+2 x I2 < i± l =, - * _ < H A 2 | < ^ x T Í 19 x+2 x+1 19 x+2 x+1 19 X +2 19 in v - iO v - 1 9 1 9 x + l9 - l2 x - 2 4 n , 7 x ~--^- < 0 a 19(x ^ T <0 A ~ W ( x - g ) ~ 19( X +1) 19(x } 15 12 /. x e ( . 7 _ ( x - 3 M x + 2 )8 ( x + 1 ) ( x - 4 ) _ „ n W x(x+2)(xs - 3 ) ( x +3)(x2+4 ) g jm mvmñwww.solucionarlos.net www.edukperu.com www.solucionaríos.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « >0, x2+4 >0 siempre positivo (x-3)(x +2)2(x +l)(x-4) x(x +2)(x2—3)(x 3)(x2+4) Í x - 3)¡x +2Kx +1) ( x - 4 ) >o -2 x(x -3)(x +3) Los puntos críticos: x =±3; x =-2; x =-l; x =4; x =0; x =±¡3 -3 -2 ->/3 -1 0 n/3 3 4 Conjunto solución: x e (-oo,-3]u ^-2,-V3) u [-1,0) u (>/3,3]u[4,+°o) 2x2-3x +3 ]_ (x —2)(2x +1) _ 2 2x2-3x +3 ^ 1 2x2-3x +31 >— => + - >0, efectuando la operación (x-2)(2x +1) 2 (x-2)(2x +l) 2 4x2-6x +6+2x2-4x +x-2 _ 6x2-9x +4 (x —2)(2x +1) " ^ (x—2)(2x +1) " como 6x2-9x +4>0, Vx e R , entonces simplificamos 7— - rr-— —^ 0 , Los puntos críticos: x = x =2 (x-2)(2x +l) 2 V ~ ~ V www.edukperu.com www.solucionarios¡?mmR,omAus>sMATEMATIC01
  • 50. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j .............................. Conjunto solución x e ^-oo,-—^u(2,+<x>) O o x+1 x-1 1-x2 JB_ I^ITí MT _ 2 _ +_ 3 _ > ü ± l => _ l _ +^ _ + — x +1+x - l 1 - x 2 W X +1 x-1 (x-1)(x +1) 2 (x - l) +3(x +l) +x+5 6x+6 ^ J - > 0 ( x +1 )(x -1) ( x +1 )(x -1) x-1 Los puntos críticos: x = 1; x * -1 i Conjunto solución: x €(1,+oo) _2_> 2x x2-5x +6 2-x (3-x)(l-x) 2 _ > 2x x2-5x +6 2-x (3-x)(l-x) x 2 2x (x-3)(x-2) x-2 (x-3)(x-l) x(x-l) +2(x-3)(x-l)-2x(x-2) (x-3)(x-2)(x-l) x2—x+2(x2-4x +3)-2x2+4x >0, efectuando la operación (x —3)(x —2)(x —1) >0, simplificando www.solucionarios.net CAPITI OI www.edukperu.cont www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 3x +2x2 -8X +6 - X 2 x2-5x +6 _ _ —,------------------------------- rw— T77— 7r £ 0 => --—----- —----- >0 (x“ 3)(x —2)(x —1) (x —3)(x —2)(x —1) (x-3)(x-2) i (x —3)(x —2)(x —1) ^ x ^ T " °; * * 2 ,3 Conjunto solución xe(l,+oo)-{2,3} O 3 13 1 —<----- r + x 4^x—1) 4x +12 Ém m rM vw m 3 13 1 13 1 3 A —£ — ---- r +------ => — ---- -+ —----- ---- > 0 x 4(x-l) 4x +12 4(x —1) 4(x-3) x 13x(x +3) +x(x-l)-12(x-l)(x +3) 4x(x-l)(x +3) 13x* +39x+x2-x-12(x2+2x-3) -----------7----77---- r-------- £ 0, simplificando 4x(x —l)(x +3) 14x2+38x-12x2-24x +36 ^ Q 2x2+14x+36 x2+7x +18 >Q 4x(x —l)(x +3) 4x(x-1)(x +3) ~ ^ 4x(x-l)(x +3) ~ Como x2+7x +18>0, simplificamos —7---- ----- >0 x(x-l)(x +3) Los puntos críticos: x =0; x =1; x =-3 -3 0 11 www.solucionarios.net
  • 51. www.solucionarios.net --------------- ---------------------- V CAPITULO I » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J Conjunto solución: xe(- (!,+<*) A (x ' +4x +4)(x-9)- ^ w (||-x)(x'+ 5) — . n w . f (x? +4x+4)(x-9)J ^ ^ (x +2) (x-9) %f| (I1-x)(x- +5) (x-1l)(x? +5) Los términos (x+2)s, (x-9)' y x'+9 son siempre positivos. Se simplifican — — >0 =>x >11 X —I I í i x e <1 !,+<*> J _ +_ L > 3 X - 1 X +1 x Q — +— >- 3 1 3 3(x +l) +x-13 ^ n_ (4x+2) 3jx— l ) ^ Q ____ >_ —S ---- ------- — K / o « x—1 x+1 X xe+2x +3 ^ 0 como x2+2x +3 >0 , V x g R, entonces simplificamos x(x2- l) 1____ >0. Los puntos críticos: x =0; x =±1 x(x; - l) -i ri www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « © Conjunto solución: x e (-l,0)U(l,o°) X‘ 1 <1 • j g g ¡ 2 M ¡H M x+2 x-l , x-1 x-1-x-2 . . <1 => — 1<0 => ---- :— <0, simplificamos x+2 x+2 3 <0 => — >0 x+2 x+1 x+2 :v: o o x € (2.») (x2-5)(x2+7) (x2+x +l)(x2-3x +2) (x2-5)(x¿ +7) (x2+x+1)(x2-3x +2) >0 M a & m zbvm / >0 como x2+7>0 y x2+x+l>0 entonces simplificamos (x-V5)(x +%/5) (x-2)(x +1) >0. Los puntos críticos: x =—1; x =2; x =±>/5 + V = V + V 1 V ~ -¡S -1 2 sfS Conjunto solución: xe^-3o,-V5ju(-1,2)uj^>y5>+oo^ 3x- > , -6 m m ¡ m m x2—x—6 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 52. www.solucionarlos,net _______________________________________ CAPITULO I » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ........................................................... 3x 3x i n _ 3x-x? +x +6 Q simpiificando — -- >1=>—----- 7-1> ° => v 2 _ * _ f c x8-x-6 ~ x2-x+6 " ' x¿-x-6 -x2+4x +6 x2-4x-6 ^ (X~ 2I— 1 _Í< 0 x2- x - T * (x-3)(x+£) (x-3)(x+2) (x-2->/tÓ)(x-2h->/To) n ^ puntoscríticos: x=-2; x=3-, ^ 2 ± J W (x-3)(x +2) — T ^ / ~ ~ r - y ♦ ~ / • ------- -2 2 - M 3 Conjunto solución: x e (-2,2 - 7 ÍÓ )ü (3,2 +7ÍÓ) ¿ A x i~3x+2 <2 w x ¡ - 4 x + 3 « ^ n t t i a r í « * x2-3x+2 < 2 xg-3x+g , 9 ^-n=> y*-3xf : 2X^ +8— <0■simplificando x*^4x +3 x! -4x +3 x v* +Sx-4 x2-*5x+4 n (x-4)(x~1L n íZ Í> 0 ;x * 1 ^ 7 1 <0 => 7 ^ 3 (x -3)(x -1) x -3 Los puntos críticos: x =3; x =4; x * l -1 5 Conjunto solución: xe (-«>,3)vj(4,<o) a x * l U solucionaimmsolucmnarios.net www.ed'Jkperu i www.solucionarlos,net CAPITULO I I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 2x-25 2x + 1l •+—---- r > 2(xs+2x-3) 2 (x 2-1) x +3 2x-25 2x+1l 1 '+—;---- r > 2(x2+2x-3) 2(x2-1) x +3 2x-25 2x+11 1 . _w <w . +—:-----------------—------ ------>0; MCM =2(x +3)(x -1)(x +1 2(x +3)(x-1) 2(x-1)(x +1) x+3 (2x -25)(x +I) +(2x +11)(x +3)-2(xs -1) 2(x +3)(x -1)(x +1) 2x2-25x +2x-25 +2x2+11x +6x +33-2x2+2 2(x +3)(x —l)(x +l) >0, efectuando las operaciones >0, simplificando 2x2-6x +10 x2-3x +5_ •>0 =>---- —--- —--- - >0 2(x +3)(x-1)(x +l) (x +3)(x -1)(x +1) como x2- 3x +5 >0, V x e R, entonces simplificamos 1 (x +3)(x-1)(x +1) >0. Los puntos críticos: x =-3; x * ±1 -3 -1 Conjunto solución: x e (-3,-l) U (l, ®) © x W 4 a() x - 4 x -5 4 ± i í i i a0 => J r f >o x —4x—5 (x —5)(x +1) www.edüKperurcófTi SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net 97
  • 53. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I Los puntos críticos: x =—1; x =5 -1 5 Conjunto solución: x e (-oo, -l) U (5,ce) 2 x - x 2 - 1 x2-2x +1 (xlD ----<0 => * % <0 x! -"x~ x2(xa—i) x! (x-1)(x+1) x2(x +1) Los puntos críticos: x =0; x*±1 -1 0 Conjunto solución: x e (-1,0) U (0,1) 0 ( 2 x ; - 8 x + 8 ) ( x + 3 ) ^ ^ x+6 ( 2 x ! - 8 x +8 ) ( x +3) n _ (xg-4x +4)(x +3 )^^ (x -2 ¿(x +3) ^ Q ^76 2 ^ x+6 ' x+6 Podemos simplificar (x +2)‘ por ser positivo: ^+^^ 0 Los puntos críticos: x =-6; x =—3 -6 -B Conjunto solución: x e (- c o ,- 6 )U [- 3 ,o o ) www.solucionarios.net www edukperu.com www solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « X —1 x2-2x +1 . (x _ 1)2 « / x2------— ^ 0 => i--- '->0 => (x—1) >0, V x e R X —1 X —1 v ’ Simplificando se tiene — >0 x—1 1 Conjunto solución: x e (l,o o ) ^ 6 3 X +1 MESUSaSMÍ 2x+1 _2x+1 - _ 2x +1-3(x +1) ---r - 3 => ---—-3>0 => ------- ---->0, operando x+1 x+1 x+1 gx +1-3x-3a0 => í ± ? S 0 x+1 x+1 x+1 -2 -1 Conjunto solución: x e[-2,l) x2+4x +9 <U jB33SS2E2WF © x ^ x +9 x -4x-5 x" ^4x +9 —z— --- <0 como x2+4x +9 >0 , V x e R, entonces simplificamos x -4x-5 _ “ ' ‘ SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarlos,net
  • 54. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITI' O I © © ---- ----- <0 (x-5)(x +1) ZZZVZZZV3 H-1 5 Conjunto solución: x g (-1,5) x2+x-tg-<o x(x2-x-2) _________ rnmmmim i x2+x+2 <0 como xs +x +2 > 0 , V x g R, entonces simplificamos, obteniendo x(x2-x-2) _______}_______<o. Los puntos críticos: x =0; x =2; x =-1 x(x-2)(x +1) -1 0 Conjunto solución: x e(-<»,-l)U(0,2) 2 3 < 3x-2 x+2 __________ M T f T T T ™ 11* 2 3 __2_____ 3___Q _ 2(x+2)~ 3(3x~2L n 3x-2 < x+2 ^ 3x-2 x+2 (3x-2)(x +2) 2x +4-9x +6 ^ -7x +10 <o => --------- 7x T 1-— r>0 (3x-2)(x +2) (3x-2)(x +2) (3x-2)(x +2) 2 10 Los puntos críticos: x =-2; x - -; x - ^ 1SOLUCION - ‘--.nei www.edukperu.cfcfn www.solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « o a¿ 3 z y : -2 10 7 Conjunto solución: xG(-2,?u/y,+oc x -4 x-2 x+2 32 > x x 32 X + - ^ - > 0 -4 x-2 x+2 (x-2)(x +2) x-2 x+2 32-x(x +2) +4(x-2) (x-2)(x +2) >0 32-x2-2x +4x-8 (x-2)(x +2) £ 0 -x2+2x +24 (x-2)(x +2) >0 x2- 2x-24 . (x-6)(x +4) <0 => ^ ---- r< 0 (x-2)(x +2) ” (x-2)(x +2) Los puntos críticos: x =-2; x =2; x =6; x =-4 -4 -2 2 6 Conjunto solución: x g [-4,-2>u <2,6] 2+x-x2 x* -2x +1 - > 0 2+x-x2 >0 x -x-2 <;0 (x-2)(x +1) x -2x +1 (x - 1)* • (x —1)* Los puntos críticos: x =2; x =-1; x = 1 <0 V -1 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net «
  • 55. www solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITU ^ ' O Conjunto solución: xe[-l,1>u <1,2] x3-x2-8x +12 <Q j t T í i n r a ri« r x2+5x-14 x3-x2 8x+12 ^ 0 pGr Ruffinni el numerador x2+5x-14 1 -1 -8 12 2 2 -12 2 1 1 -6 0 x3-x2-8x +12 =(x-2)(x-2)(x +3) =(x-2)s(x +3) (x-2)(x2+x-6) (x-2)(x-2)(x +3 )^ n ^ (x-2)(x +3 )¿p ^ x í2 (x-2)(x +7) " (x-2)(x +7) x+7 x2+8x-12-x3 7x-x2-6 x2+8x-12-x3 > 0 -7 -3 2 x € (-<»,-7) u[-3,2) x3-x2-8x +12 7x-x2-6 ' x -7x +6 Factorizamos por Ruffinni el numerador 1 -1 -8 12 2 2 -12 2 1 1 -6 0 www.solucionarios.net www.edJkperu.com www.solucionarios.net CAPITULO 1......................................................... ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O (x-2)(xz+x-6) (x-2)(x +3)(x-2) (x-6)(x-1)(x-6)(x-1) Puntos críticos: Abiertos: x =1; x =6 Cerrado: x =2 multiplicidad par 1,-3 V ♦ V -3 1 2 Conjunto solución: x e[-3,l)u(6,+oo)u{2} x2+3.' +2 x-2 j b m m m x-2 x+2 x +3x +2 x-2 x +3x +2 x-2 ------- r — < — - = > ----------------------< 0 x-2 x+2 x-2 x+2 x3+5x2+8x+4- x2+4x- 4 A _ x 3+4x2+12x (x-2)(x +2) < ^ (x-2)(x +2) Como x2+4x +12>0, V x e R, simplificamos (x +2)(x2+3x +2)-(x-2)2 (x-2)(x +2) x(x2+4x +12) (x-2)(x +2) <0 <0 (x-2)(x +2) <0 . Puntos críticos: Abiertos: x =2; x =-2; x =0 V + V 1 -2 0 Conjunto solución: x e (-<o,-2) U(0,2) 1 2 3 + ----- > x+1 x+3 x+2 www.edukperu.com ^ _ SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 56. www.solucionarlos,net besem m i => - L i + i i — — > 0 x+1 x+3 x+2 x+1 x+3 x+2 íx +3Ux+2^ +2fx +1)(x +2 )- 3 (x +l)(x +3 )^ n (x +1)( x +3)(x +2) x2+5x +6+2(x2+3x +2)-3(x2+4x +3) x -1____ <0 --------- ( x ; i ) ( x +3)(xT 2 ) (x +1)( x +3)(x +2) --------------------------------- CAPITU¡ * t » EDUARDO ESPIN02A RAMOS ................................................................................................................................. Puntos críticos: x =± 1, x =-3, x =-2 ^ - a — y - r - A A — V + -3 -2 -1 1 Conjunto solución: x e <-3,-2>^ <-1,1> ® 5 il- 2 < J= í 1—X X x+1 2 1 - x _ x +1 _ o_ l z x ^ n=>xg+x-2x(1 - x )- (1 -xJ- < 0 , opeando 1—x X 1-X X X(1 x) x2+x-2x+2x2-1+2x-x2 . 2x n x - 1 . n j .(^-|-1)(2x-.l) > 0 --------< 0~ x(1-x) X(x-1) Puntos críticos: x=-l; x =-; x =0; x =l -1 0 i 1 2 x e ^ - l M O ^ M l + o o ) + www.solucionarios.net www.edukperu.cort! www.solucionarlos,net x 2+ 8 x +24 _ O - ^ £8 x2+8x+24 xa+8x+24 x2+8x +24-8x-16 _ x+2 a8 --- =“ --------- J7 i------ ° simplificando xz+8 „ i ---— >0 como x‘ +8 >0, V x e R, simplificamos --- >0 x+ - x+2 CAPITULO I .................................................................... ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « © © -2 x e <-2,+oc> x-2 2x-3 x+2 ~ 4x-1 j H S i l ü E x ^ > 2 x - 3 X ;2 _2 x -3 (x-2)(4x-l)-(x +2)(2x-3), „ x+2 4x-1 x+2 4x-1 (x +2)(4x —1) 4x*-9x +2-2x2-x +6 >0 x2-5x +4 (*-4)(x-1) . (x +2)(4x-1) (x +2)(4x-1)(x+ 2)(4x-1) Puntos críticos: x=4; x=1; x =-2¡ x =- 4 A /- - 2 1 1 4 4 Conjunto solución: xe(-<x>,-2)u^,1 u[4,+x>) 6 3 7 n <0 x-1 x+1 x+2 . . . SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I. . . SOLUCION www.solucionarlos,net
  • 57. www.solucionarios.net y, EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO | O h 3 7 6 (x +1)(x +2)-3(x+1)(x +2)-7(x +1)(x +2) — í i r ^ <0 * ------ ( íT T ) ( í7 í) ( J T 2 r <o —4x" +15x+25 (xT 1K ; ; , K xT 2 )<0 ** (x-1)(x +1)(x+2) " U = (x-1)(x+1)(x+2) 4x2-15x-25 o (x-5)(4x +5) Puntos críticos: x =5; x =±1; x - -2; x - ^ N/~ Conjunto solución: x s /-2,-¿ju(-U)U(5,°°) x4+3x3-6xg-28X-24 <0 40 +(x - 1 )(x - 3 )(x +4)(x +6) Desarrollamos el denominador haciendo (x - 1)(x +4 )(x - 3 )(x +6) +40 = (x2+3x - 4)(x a +3x-18)+40 Hacemos u =x2+3x-4 => de donde u( u —14) +40 = x =u2-14U +40 = (u - 1 0 )(u - 4 ) = (x2+3X-4 —10)(x2+3x—18-4) = (x2+3x-14)(x2+3x-22) Factorizando el numerador 1 3 -6 -25 -24 -2 -2 16 -24 -2 1 1 -8 -12 0 -2 2 12 -2 1 -1 -6 0 www.solucionarios.netJMMJl www eduKperu com www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « (x +2)(x +2)(x* -x-6) (xi +3x-14)(xi +3x-22) (x +2)‘í(x-3)(x +2) (x +2)'(x-3)(x +2) H i - : - <0 3 ) 65 x+— --- 2 4 3) 97 x+ 2 4 <0 (x +2)'(x-3) 3 765 ' 3 V65 x+---- 2 2 x+- + 2 2 y . ( 3 v/97 r 3 n/97 x+ + 2 2 < 0 Puntos críticos: X =-2¡ X =3; X = - l ; X = — — x = - l ^ Z © y:-3 - ,§7 -3 - n/65 -2 2 2 -3-sÍ97 /-3-n/65 -1 -3 + .65 3x x* - x-6 >1 3x x -x-6 •-1>0 3x-x'-x -6 . -x2+2x -6 . -----5--------1“ >0 ^ ------------- 7 - >0x - x -6 x* —x—6 x* —2x—6 (x-3)(x +2) < 0 Como x--2x->-6 >0 V x e R. simplificando se tiene: 1 (x-3)(x +2) >0. Puntos críticos: x =3; x =-2 V -2 - www.solucionarios.net
  • 58. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ........................................ x e <-2,3> CAPITULO I O 7 | 30 , 7 x-4 x+2 x+i . 7 30 7 7 (x +2)-*-30(x-4) 7 _ <ñ 7 T i +7 T 2 S x+1 ^ (x-4)(x+2) x+1 (7x +14+30x-120)(x +1)-7(x +2)(x-4) (x-4)(x +2)(x +1) |37x-106)(x +1)-7(xs -2x-8)^n _ 30xg-45x +50 ----- (x - 4)(x +2)(7 7 i) - ° (x-4)(x +2)(x +l) 6x: -9x +10 cr} (x —4)(x+2)(x +l) ” ________ 1________ Como 6x2-9x +10>0, V x e R, entonces simplificamos (x_ 4)(x+2)(x +1) <0 / + / 1 VI © -2 -1 x € <-%,-2> <-l,4> —í— +—^— <2 x-2 x+4 1 7 1 7 x + 4+7(x-2)-2(x-2)(x +4 ) ^ 7 ^ +7 T Í <2 * 7 ^ +^ ' 2 (x-2)(x +4) x*4+7x-14-2(x! +2x-8) n _ -2x8+4x +6 (x —2)(x +4) <(x —2)(x +4) i ____ —--------____________________________________ f "----i------------- ■ £ www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO 1 EDUARDO ESPINOZA RAMOS « x2-2x-3 (x-2)(x +4) < 0 (x 3 )(x + 0 (x-2)(x +4) < 0 V + V : V + -4 x e <-4,-1>u<2,3> © 3x'+7x-6 3x +16x-12 — 5------ >— ó-------- x‘ -x-6 x‘ -4x-12 3x2+7*.-6 3xg+16x-12 x2- x-6 x2-4x -12 > 0 (3x-2)(x +3) (3x-2)(x +6) (x-3)(x +2) (x-6)(x +2) > 0 3x-2 x+2 x+3 x+6 x-3 x-6 > 0 (3x —2) (x+2) -6(x+ 1) (x-3)(x-6) > 0 (3x-2)(x +1) (x +2)(x-3)(x-6) < 0 V ~ T “ V “ -1 V 6 © 0 x-2 x-3 2----->---- x—1 x-2 ... x e (_Q¿>_2>u ^-1,0w(3,6) 0 x - 2 x - 3 2 ( x - 1 ) - ( x - 2 ) x - 3 2---- >---- => —i--- — ----->--- x -1 x - 2 x —1 x - 2 _><___x - 3 ; Q _ x(x-2)-(x-3)(x- I) o x—1 x-2 (x-1)(x-2) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 59. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO | (2-2x-xJ +4x-3 (x-1)(x-2) > 0 2x -3 (x-l)(x -2 ) > 0 2x 2x2+7x +5 x'+6x +5 2x 2x 2x2+7x +5 > x2+6x +5 2x**+7x+'5 x’ +6x+5 > 0 2x______________ ___________ _ >0 => -- : (2x +5)(x +l) (x +5)(x +1) x+1 1 2x +5 x+5 > 0 Q x 2x +10-2x-5 (2x +5)(x +5) > 0 5x (x +l)(2x +5)(x +5) > 0 -5 x e (-qo,-5 ) +co) x2+10x+16 x-1 >16 x2+10x +16 _ x2+10x+16-10x +10^n x-1 X ' 1 www.solucionarlos,netCAI i irm w ARin ANÁLISIS MATEMÁTICO I w w * ediikperu con*t www.solucionarlos,net CAPITULO I (---1~--- ------------------------- .............I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « x2+26 x - 1 >° ' como x‘ +26>0, V x € R, entonces simplificamos —— >0 x-1 © X € < 1 ,+ o c > x2-3x +2 ~ r------->0 x* +3x +2 4 4 xi | > o => Í l - ’Mx - 2 ) > 0 x +3 +2 (x +l)(x +2) -2 -1 i 2 x e <-co,-2>u <-1,1] u (2,+oo> < D -^— +4 > x +10 x-2 ¿ +4>x +,0 => ^ - x - 6 > 0 =¿ M l > >0 x ¿ x-2 — X^ g X+l 2 > 0 - ^ ± ^ > 0=» Ü Z 3 < 0 x-2 . x-2 2 3 ■. X 6 <2,3> 3x2- 4 ------< x +6 x -6 WWW É*dti(..jie.r .--irn - — ■' ---- — - ~ l~T‘" íL ' * ~ I |¡- ■ > ~ l i l WWW.SOlucinnarin.<tn%Í T AWu ANAL,S,S mat™ a t,co i m
  • 60. www.solucionarlos,net 3xg- 4-<;x+b o 2í- = i- (X- 6 ) £ 0 x-6 x-6 3x2-4-(x2-36) 3x*-4-x2-f36.,„ = 2x^+32s0 -----¡T= 6 * x- 6 x- 6 ---------------------------------- - c a p it wO i » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J .................................................................................... 1 como 2x2+32 >0, V x £ R entonces simplificando se tiene: — _ u CD 1+-r-rSs0x +4x +3 6 x e <-oo,6> 1-8x n ^ xa+4x+4+1^8x x2+4x+3 x2+4x+3 2 x2—4x +4 2)^a ---1 ^ < 0 r> V oW ~T-° x2+4x +3 (x +3)(x +1) V Z Z Z ^ Z Z Z ^ - -3 -1 2 x e <-3,-1>u {2} 112 www.solucionarlos,net www.edjk.per'j.ct'm www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « INECUACIONES EXPONENCIALES IV. Resolver las siguientes inecuacines 4x-3 3x^2 J 0,5 2 >0,0625 5 4x-3 3x-2 4x-3 3x-2 0,5 2 >0,0625 5 3x-S 1 Y"5 v16 T 2> 4x-3 4<3*-2) 2 M Y 5 4x-3 12x-8 >I - => ---- <------ => 20x-15<24x-16 2 2 5 4x >1 => x >— => x e (—,oo 4 4 27 <9 27**1 <Qx-*3 ^ 3 3(X-D < 3 2(x+3) 3(X_ I) <2(x +3) 3x-3<2x +6 => x<9 => xe(-oo,9) Oy• 1 Oy_* ^ (0,2) s <(0,0016)^ 2x4-1 2x-2 2x-2 f O o f2x->l 2x-2 f O j (0,2) * <(0,0016) 5 => | — I < 10000 2x*l 2x-2 M 1' 1625 2x*1 <{l 2x +1 8x-8 ---- >----- I0x +5>16x-16 7 / 7 21 >6x => 21 >6x => x <— => x e(-oo,- 2 2 WV.-V -J>36'.: con SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 61. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J 25x*8 <16x+5 jB L L L f 1!!! í i M f 2&x+8<|£x+5 2:>**6<24'X451 => 5x +8<4x +20 x <12 => xe (-qo,12) 32*-33<2 >^32x+.yx-2» Í. 1IIM 0Í] i5x-1 32x'33 35,-1 >V ) -4x +2>2x2 +x-3x-2 =>2x5 +x-4<0, completamos cuadrados x’ +| - 2 < 0 =» (x + lj - ¡ ^ - 2 < 0=» [ x+4 ) '1 6 <0 x+---. 4 4 x + - + ^ — l < 0 4 4 1 ->/33 -l+/33 " X - 4 -1-V33 -1+V33' xe ' 0 [(0,5)" .(0,5)"] 6,125 8V "" "• -'»SU CAPITULO I mj www.solucionarios.net www.solucionarlos,net CAPITULO I ......................... ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « x4-3x*»6xs-18 8 2 3x4 x4-3x! -18 <491 i 3x4-3 -2x4*3x!-2I <49 =7! -2x’ +3x2-21 <2 =í> 2x4-3x~+23 >O, V x e R . La respuesta es x € R g M > 9 .3 > 9’~ 9 .3 => 32(’‘-')S>93-x.x-33-I 32(x-I)’ > 3 ^ , . 2 2(x-1)‘ >-4x-2 => 2x2-4x +2 >-4x-2 => 2x2+4>0, xe'.H V x e R ^ <^322~5 jg g ^ ¡S ¡¡¡¡¡¡g g x^gTTT ^ x-^322’1*5 ^ 2 ^<32^x_l ' 9 <. +25 x+1 x-1 3x +9 10x+25 ^ (3x +9)(x-l)-(l0x +25)(x +l) x+1 x-1<^ (x +1)(x—1) 3x2+9x -3x -9-10x2-10x -25x - 25 (x +l)(x - l) < 0 -7x2 -29x-34 7x2 +29x +34 (x +1)(x—l) < ^ (x+ l)(x -l) Como 7x2+29x +34 >0, V xeR, simplificando se tiene: (x +1)(x —l) > 0 V 1 V - 1 v/vt'wed.jfrva-. SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 62. www.solucionarios.net ___________ _________ _________ ___________V CAPITULO I » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j S' x e <-oc,-1>U <1 ,+®> A s¡27^ < (x+1) (x-3) O 2 , „ x => 33 2 <32 3 => -(x +1)^ -(x-3 ) 21 9 ( x + 1 ) < 4 ( x - 3 ) = > 9 x + 9 < 4 x + 12 => 5 x 5 - 2 1 - 2 1 => x < g x * - | =* $ jg g g iT Q Q a e f JÓ F * < J2 4 3^ => 34<x+,^<35<x",0> => 4(x +15) <5(x-10) 4x+60<5x-50 => 110<x => xe<110,+®> © 2561' t L >2"<«! .8j,*'.256s"' , o.* - 3(x-2)a i'S ,3x-l 256SX i > 2 ^ ^ .8 - ,.256^“ ' =» ( í ) * >2"' .(2’) .(2*) -2)* > *J<í,“'>*<0l,S'“) => 12(x-2)2>9(x2-9)2+9x +3+40x2-640>4(3Xx- 12x! -48x +48>9x* -162 +729+9x+3 +40x! -640 105±n/4513 37x2-105X +44 <0. Puntos críticos x- — 1 ____ ^ _ _ _ _ — WWW.SdokpQCU.COTTi solucionawww.solüCÍÓfiarios.net www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « © o 729x?.243x 243xb.275x-<> 812x > 274x _ _ _ _ _ 729xz.243x 243x6.275x-* 36x’.35x 35<‘33<5*-6> g 'j íx ^ 274x 3^(2*) ^ 03(4x) 3 6x*+5x-8x > 3 ( ) 30..5x-t8-12x ^ 6 X 2 + 5 X ~ 8 X > 1 2 + 3 x 6x2 -6x-12>0 => x2-x-2>0 => (x-2Xx +l)> 0. Puntos críticos x =-1; x =2 -1 2 x e ( - o o f- l ) u ( 2 f-oof) ( P 3x*.32x>27 JB E 2S3E2MÍIf 3x+2x >33 =>x3+2x >3 =>x3+2x-3>0. Factorizando por Ruffinni (x -1)(x2+x +3)<0 => x-l< 0 => x<l => xe<-oo,l> Puesto que x2 +x+3 >0 , V x e R x-5 x-9 2 2 >8 3 ÍÍKESSMiSMf 2¥ >8T = 27 >2. - . J ! ^ x^ 2 x-5>2x-18 => 13>x => xe<-oc,13> vmw.edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net
  • 63. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ......................................................................... CAPITULO I 5x->3 I 2xTl Q (0.216) < >yj(0.36) o 5x»3 I 2^7 3(5x+3) 15x+9 2x +1 (0.216) * >y¡(0.36)o =>(0.6) 4>(0.6)«s, 131 / 131 225x+135 >8x+4 => 117x>-131 =>x>-— => x e ^ , ^ (42)x*-1 >(64)*1' , ,-5- J_ 10 3 10 3 „ ( 4 ° y - < >(64).- => (4! y->4«-> ^ — ^ ^ - ^ > 0 10-(3x +l) A _ 7-3x __ 3x-7 <Q (x —!)(x +l ) > ^ (x-l)(x +l) ^ (x-l)(x +l) 7Puntos críticos: x =-1, x = 1; x =- -i i z 3 0 [(0.3)(‘",Xx !)] K"3 >[(0.09)*1 J ? * [(0.3)<,-'x,-!>J ' 3>[(0.09),'-,>J ’''‘ => (0.3)l- '>t,-!Xx-3>>[(0.3),'-,>]"' ’ H T 7 * 1 s o lu c io n a r io a n á lis is m atem á tico I w m m m p m m www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « (0.3)tx' 1Xx_2Xx_3>>(0.9)(xi' ' Xx''9) => (x-l)(x-2)(x-3)< 2(x2-4)(x2-9) 2(x-2)(x +2)(x-3)(x+3)-(x-!)(x-2)(x-3)>0 (x-2)(x-3)[2(x +2)(x +3)-x +l]> (x-2)(x-3)(2x2+I0x +12-x +l)>0 (x-2)(x-3)(2x2+9x +13)>0 => (x-2)(x-3)f x2+y +y l >0* x-2)(x-3)>0. Puntos críticos: x =2, x =3 ^ / = / ^ 2 3 x g (-oo,2)u (3,oo) $ ^ (0.00032)5x i < yj(0.2f? WWW edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net 119
  • 64. www.solucionarios.net ft EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO I <D gx-3 2»-2 -■ -'i)“«r■ # )’ 2x -3 £x -2 2(x -3) 2x - 2 , q _ 2(x -3Xx +2 )-(x +3)(2x -2) x+3 x+2 :+3 x+2 (x +3)(x +2) © 2x2-2x-12-(2x2+4x-6) ^ -6x-6 (x +3)(x +2) ' (x +3)(x +2) Puntos Críticos: x =-2, x =-3, x =-1 ¿0 => x+1 (x +3)(x +2) < 0 -3 -2 -1 x e <-oo,-3>u <-2,-1] ^ / o T Ü T ^ ^>¡0.0256^ Seasabe: 0.16 f 0.0256= - 0.004096 =1- <'/^/a0Ó4096 2^x-í sVxTb 2X1%^ ( 2X3**^ 2^ í b'JxZb 2 ( 2J**' x- 1 2-v/x-T +5>/x+6 >7 www.solucionarios.net www^edukperu.coi www.solucionarios.net CAPITULO I .CEDUARDO ESPINOZA RAMOS « 2(x-l) +5^(x +6)(x - l) >14 => 5>/x'; +5x-6 >16-2x 25(x2+5x-6)>256-64x +4x2 => 21x2+189x-406 >0 25(x2+5x-6)>256 - 64x+4x2 => 21x2+189x-406 >0 D , r v. -27-5^27 5^7-27 Puntos Críticos: x =----- -— ; x =— ----- A T ~ ~ V •27 - S¡27 5/27-27 -27-5>/27 /5n/27-27 ' x e ( -00,----:----)u ( —------ ,+00 ( j ) x-^(0.08)x"' 2:x-^(0.04)x *-fj(0.08)*~' >^(0.04 f 3 x-1 ^ 1 — / 1 U 25 v25, 3x-3 2x+6 3x-3 2x +6 _ <---- =>-----------< 0 x - 8x+l5 x- 2 x—l (x-3)(x-5) (x —2)(x —1) x- 2 x- 1 < 0 (x - 2)(x - l) =0. Los puntos críticos son: x = 1; x =2; x =3; x =5 v 1 v * v : 1 2 3 5 x e <1,2>u [3,5] www.edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net