1. APROXIMACION A LA CUADRATURA DEL CÍRCULOAPROXIMACION A LA CUADRATURA DEL CÍRCULO
Y RECTIFICACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIAY RECTIFICACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
(MÉTODO GRÁFICO)(MÉTODO GRÁFICO)
Ing º Julio Antonio Gutiérrez SamanezIng º Julio Antonio Gutiérrez Samanez
http://www.monografias.com/trabajos36/cuadratura-
circulo/cuadratura-circulo.shtml
Cusco – PerúCusco – Perú
20082008

2. El célebre problema de la cuadratura del círculo trata , El célebre problema de la cuadratura del círculo trata ,
en realidad, de dos problemasen realidad, de dos problemas
a)a) La Cuadratura del CírculoLa Cuadratura del Círculo, en sí, que busca , en sí, que busca
conseguir, usando sólo regla y compás, un cuadrado o conseguir, usando sólo regla y compás, un cuadrado o
polígono regular de igual área que un círculo dado.polígono regular de igual área que un círculo dado.
b)b) La La Rectificación de la CircunferenciaRectificación de la Circunferencia, que consiste , que consiste
en conseguir, usando sólo regla y compás, a partir de en conseguir, usando sólo regla y compás, a partir de
una circunferencia, un cuadrado o polígono regular, de una circunferencia, un cuadrado o polígono regular, de
igual perímetro (isoperímetro).igual perímetro (isoperímetro).

3. HIPÓTESIS.- “La relación del lado del cuadradoHIPÓTESIS.- “La relación del lado del cuadrado
y el radio del círculo de igual área (Isoárea) esy el radio del círculo de igual área (Isoárea) es
constante”.constante”.
2
A L=W
2
A rπ=O
A A=W O
2 2
L rπ=
L rπ=
L
r
π=
AW
AO== rr
LL

4.
Fracción de aproximación delFracción de aproximación del
Pi del holandés MetiusPi del holandés Metius::
= π ⇒ π =
355
~ ~ 3.141592
113
×3.55 10 0
×11.3 10
= π~
π
=
3.55 ~
11.3 10
= ⇒ π =
π
11.3 3.55
~ 3.141592
10 ~

5. CUADRATURA DEL CÍRCULO ENCUADRATURA DEL CÍRCULO EN
14 PASOS14 PASOS
Para este efecto se sigue los pasos siguientes:Para este efecto se sigue los pasos siguientes:
1.-1.- Trazar el plano cartesiano con la recta horizontal (eje X) y otraTrazar el plano cartesiano con la recta horizontal (eje X) y otra
perpendicular (eje Y) con origen en el punto (0,0).perpendicular (eje Y) con origen en el punto (0,0).
2.-2.- Tomar un valor unitario arbitrario (un centímetro, por ejemplo) yTomar un valor unitario arbitrario (un centímetro, por ejemplo) y
con él, dividir la recta X, en doce partes.con él, dividir la recta X, en doce partes.
O
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2
x
Y

6. Sistema gráfico para ubicar la proporción dada por paralelismo.Sistema gráfico para ubicar la proporción dada por paralelismo.
Y
d b
c a
a
c
=
a
b
c
d

7. 3.- Ubicar por paralelismo los puntos (3.55, 0) y (11.3, 0)3.- Ubicar por paralelismo los puntos (3.55, 0) y (11.3, 0)
3 4
3 . 5 5
1 1 1 2
1 1 . 3
3
4.-4.- Trazar la recta auxiliar perpendicular a X en el punto (10, 0)Trazar la recta auxiliar perpendicular a X en el punto (10, 0)
5.-5.- Con el compás en el origen, trazar un arco con radio 11.3, hasta cortar laCon el compás en el origen, trazar un arco con radio 11.3, hasta cortar la
recta perpendicular (10, 0)recta perpendicular (10, 0)
6.-6.- Unir el punto encontrado con el origen (O) y prolongar esta recta oblicua.Unir el punto encontrado con el origen (O) y prolongar esta recta oblicua.
7.-7.- Desde el origen, con radio 3.55, trazar un arco que corte a la recta oblicuaDesde el origen, con radio 3.55, trazar un arco que corte a la recta oblicua

8. O
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 0 1 1 1 2
1 1 .3
x
Y
3 .5 5
=
π
3.11.3
1
55
~0
π =~ 3.141592
8.-8.- Desde este punto, trazar la perpendicular al eje X. El punto halladoDesde este punto, trazar la perpendicular al eje X. El punto hallado
será,será, aproximadamente el valor de Pi, ~aproximadamente el valor de Pi, ~ππ == 3.141592920 (Haciendo,3.141592920 (Haciendo,
paralelamente, el control por el método analítico se encontró que separalelamente, el control por el método analítico se encontró que se
trata de una aproximación de 2.68 * 10trata de una aproximación de 2.68 * 10-7-7
centímetros)centímetros)

9. 99.- Se ubica el punto: (1+.- Se ubica el punto: (1+ππ) en X y con el compás se toma la) en X y con el compás se toma la
mitad de su magnitudmitad de su magnitud
1010.- Con la mitad de (.- Con la mitad de (ππ+1) como radio y desde ese punto medio+1) como radio y desde ese punto medio
se traza una semicircunferencia.se traza una semicircunferencia.
A D B
+ π1
1
A B
+ π1
1
D O
OBTENCIÓN GRÁFICA DE RAÍZ DE PIOBTENCIÓN GRÁFICA DE RAÍZ DE PI

10. = πh
A D B
+ π1
1
0
=
π
1 h
h
= π2
h
= πh
π
π
π
1111.- Se traza la vertical x = 1, hasta cortar la semicircunferencia..- Se traza la vertical x = 1, hasta cortar la semicircunferencia.
El valor de este segmento seráEl valor de este segmento será
1212.- Uniendo el origen y el punto (1, ), se traza la función.- Uniendo el origen y el punto (1, ), se traza la función
Y= XY= X

11. = πh
A D B
+ π1
1
0
= π XY
π
π
1313.- Se traza un círculo de cualquier radio X, por ejemplo r =1, cuyo.- Se traza un círculo de cualquier radio X, por ejemplo r =1, cuyo
área será =área será = ππ
1414.- Se traza un cuadrado de lado Y, (por ejemplo L= , cuyo área.- Se traza un cuadrado de lado Y, (por ejemplo L= , cuyo área
será =será = ππ))
Por lo tanto, cualquier círculo trazado con radio X, será isoárea delPor lo tanto, cualquier círculo trazado con radio X, será isoárea del
cuadrado de lado Y, a través de la función Y= X.cuadrado de lado Y, a través de la función Y= X.
= π XY
= πA r e a
= πA r e a
r = 1
= πL

12. = π XY

13. RECTIFICACION DE LA CIRCUNFERENCIARECTIFICACION DE LA CIRCUNFERENCIA
HIPÓTESIS.- “HIPÓTESIS.- “La relación del lado del cuadrado yLa relación del lado del cuadrado y
el radio del círculo de igual perímetro (Isoperímetro)el radio del círculo de igual perímetro (Isoperímetro)
es constante”.es constante”.
4P L=W 2C rπ=O
P C=W O
4 2L rπ=
2
L r
π
=
X
2
Y
π
=
X 2
Y π
=
PW
CO==
r
LL

14. 1
π
2
π
2
π
=
2
Y X
Y
x
RECTIFICACION DE LA CIRCUNFERENCIARECTIFICACION DE LA CIRCUNFERENCIA

15. RECTIFICACION DE LA CIRCUNFERENCIARECTIFICACION DE LA CIRCUNFERENCIA
π
2
Y
x
π
=
2
Y X
1
2C π=O
2P π=W

16. RECTIFICACION DE LA CIRCUNFERENCIARECTIFICACION DE LA CIRCUNFERENCIA
Y
X
π
=
2
Y X

17. Teorema de Eusebio Corazao (1905)Teorema de Eusebio Corazao (1905)
P 1
C
r is o
b
I s o p e r im e t r o s
PC in s P
d
c
C í r c u lo In s c r it o e n P 1
r in s
a
P 2
d e C in s P
I s o p e r im e t r o
e
I s o á r e a s
I s o á r e a s I s o á r e a s
In s c r it oI s o p e r im e t r o s
In s c r it o
f
Todo polígono regular de n lados es medio proporcional entre suTodo polígono regular de n lados es medio proporcional entre su
circulo inscrito y su circulo isoperímetrocirculo inscrito y su circulo isoperímetro a b
=
b c
Teorema complementario de G.S.Teorema complementario de G.S.
Todo círculo es medio proporcional entre el polígono regular que leTodo círculo es medio proporcional entre el polígono regular que le
circunscribe y su polígono regular isoperímetrocircunscribe y su polígono regular isoperímetro e d
=
d f

18. I N S C R I T O
I S O P E R Í M E T R O
ISOÁREA
ISOÁREA
P R IM E R P O L Í G O N O D E n L A D O S
C I R C U L O I N S C R I T O
A L P R I M E R P O L Í G O N O
C I R C U L O I S O P E R Í M E T R O
A L S E G U N D O P O L Í G O N O E
I S O Á R E A D E L P R I M E R P O L ÍG O N O
Relación entre la Cuadratura del Círculo y la Rectificación de laRelación entre la Cuadratura del Círculo y la Rectificación de la
Circunferencia.Circunferencia.
Si un círculo inscritoSi un círculo inscrito
en un cuadrado tieneen un cuadrado tiene
igual área que unigual área que un
segundo cuadrado;segundo cuadrado;
entonces, el primerentonces, el primer
cuadrado tendrá elcuadrado tendrá el
mismo área que otromismo área que otro
círculo isoperímetrocírculo isoperímetro
del segundodel segundo
cuadradocuadrado

19. Nuevo Teorema generalizado entre polígonos isoáreas y polígonosNuevo Teorema generalizado entre polígonos isoáreas y polígonos
isoperímetros.isoperímetros.
Si un círculo inscritoSi un círculo inscrito
en un polígonoen un polígono
regular de “n” ladosregular de “n” lados
tiene igual área quetiene igual área que
un segundo polígonoun segundo polígono
regular, también deregular, también de
“n” lados; entonces,“n” lados; entonces,
el primer polígonoel primer polígono
tendrá el mismo áreatendrá el mismo área
que otro círculoque otro círculo
isoperímetro delisoperímetro del
segundo polígonosegundo polígono
I N S C R I T O
I S O P E R Í M E T R O
ISOÁREA
ISOÁREA
P R IM E R P O L Í G O N O D E n L A D O S
C I R C U L O I N S C R I T O
A L P R I M E R P O L Í G O N O
C I R C U L O I S O P E R Í M E T R O
A L S E G U N D O P O L Í G O N O E
I S O Á R E A D E L P R I M E R P O L ÍG O N O

20. FIN
Muchas gracias
Ing. Julio Antonio Gutiérrez Samanez
Kutiry @hotmail.com
Jgutierrezsamanez@yahoo.com
www.kutiry.org
http://www.monografias.com/trabajos36/cuadratura-
circulo/cuadratura-circulo.shtml

21. OBTENCIÓN GRÁFICA DE π
El número Pi aproximado obtenido es, ~El número Pi aproximado obtenido es, ~ππ == 3.141592920 (3.141592920 (Cifra a la que
podemos sustraer el valor de π = (3.141592654) obtenido en una
calculadora personal de once dígitos, del modo siguiente:
3.141592920–
3.141592654
0.000000266
Haciendo, paralelamente, el control por el método analítico se encontró queHaciendo, paralelamente, el control por el método analítico se encontró que
se trata de una aproximación o error por exceso de 2.66 * 10-7 centímetros ose trata de una aproximación o error por exceso de 2.66 * 10-7 centímetros o
26.6 Anstrongs que equivale a 13 átomos (de 2 Anstrongs de diámetro26.6 Anstrongs que equivale a 13 átomos (de 2 Anstrongs de diámetro
promedio) puestos en filapromedio) puestos en fila; también son 2.66 nm (nanómetros)
Obviamente, para los alcances de la vista humana y trabajando sobre
una hoja de papel A4, con un compás sencillo, la aproximación hallada
no podría ser más exacta.

22. r is o
C ír c u lo Is o p e r ím e t r o
c
P o líg o n o R e g u la r P 1
b
r in s
a
( F i g . 1 .1 8 )
b
ca ba
c
b
α

23. La Cuadratura con el Teorema de CorazaoLa Cuadratura con el Teorema de Corazao
Proporción de Radios
Proporción de Áreas
1
2
3
4
5
0
2 3 4 51
Radiodelcírculoisoperímetro
R a d io d e l c í r c u lo in s c r ito e n e l c u a d r a d o
Y
X
C í r c u lo Is o p e r í m e t r o
R a d io =
Á r e a ( c ) =
P e r ím e t r o = 8
C í r c u lo In s c r it o
R a d io = 1
Á r e a ( a ) =
P e r ím e t r o = 2
C u a d r a d o
L a d o = 2
Á r e a ( b ) = 4
P e r ím e t r o = 8
c
a
b

24. Dibujo simplificado de la rectificación de la circunferencia conDibujo simplificado de la rectificación de la circunferencia con
el Teorema de Corazaoel Teorema de Corazao
π
Y
X
1
2
3
4
1 2 3 4 5 6 7
π2
Y =
4_
π X
4_
π