Este documento presenta información sobre conceptos y propiedades de la circunferencia. Define elementos como centro, radio, cuerda, diámetro, secante y tangente. Explica ocho propiedades fundamentales de la circunferencia relacionadas a diámetros, cuerdas, tangentes y arcos. Luego presenta ángulos como central, inscrito, semi-inscrito y ex-inscrito, junto con teoremas como el del ángulo circunscrito y adyacente. Finaliza con problemas de aplicación.

1. IE. N° 6070 “HÉROES DEL ALTO CENEPA” VILLA EL SALVADOR, MATEMÁTICA CUARTO SECUNDARIA 2015 IE. N° 6070 “HÉROES DEL ALTO CENEPA” VILLA EL SALVADOR, MATEMÁTICA CUARTO SECUNDARIA 2015
PROF. DAGOBERTO NAPANGA PAUCAR 990080168 – napanga2009@hotmail.com PROF. DAGOBERTO NAPANGA PAUCAR 990080168 – napanga2009@hotmail.com
CIRCUNFERENCIA
Es el conjunto de puntos
pertenecientes a un mismo plano que
equidistan de otro punto fijo llamado
CENTRO, ubicado en el mismo plano.
ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA.
1.- Centro : O.
2.- Radio: OA OB OQ r   .
3.- Cuerda: MN AB RS 
4.- Diámetro o Cuerda Máxima:.
2AB r .
5.- Secante: Recta L1.
6.- Tangente: , Recta L2 . T
punto de tangencia p tangencial.
7.- Normal: Recta L3
8.- Flecha o Sagita: PQ
9.- Arco: ̂ , ̂ ; ̂ ; ̂
PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE
LA CIRCUNFERENCIA
Propiedad 1:
TEOREMA DEL DIÁMETRO Y DOS
CUERDAS
Siendo AB un diámetro y P un punto
cualquiera de la circunferencia, entonces
el ángulo de vértice P en el triángulo APB
es recto.
AB: diámetro
Propiedad 2:
TEOREMA DE LAS TANGENTES
Las tangentes trazadas desde un punto
exterior P, son iguales en medida. Además
al unir el punto P con el centro se traza la
bisectriz del ángulo.
Propiedad 3:
TEOREMA DEL RADIO Y LA TANGENTE
Siendo L , una tangente y “T” punto de
tangencia, siempre L será perpendicular al
radio trazado hasta “T”.
Propiedad 4
TEOREMA DEL RADIO Y LA CUERDA:
Si un radio es perpendicular a una cuerda,
la biseca y también el arco que subtiende
la cuerda queda dividido en dos partes de
igual medida.
Propiedad 5
TEOREMA DE LAS CUERDAS Y
ARCOS.
Si trazamos dos cuerdas de la misma
longitud, entonces los arcos que subtiende
cada una son de igual medida.
Propiedad 6
TEOREMA DE LAS CUERDAS PARALELAS
Si se traza dos cuerdas paralelas AB y
CD , los arcos ̂ ̂ son de igual
medida
Si:
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̂ ̂
Propiedad 7
PQ ST=
Propiedad 8
AB CD=
Teorema de Poncelet
Teorema de Pitot
PROBLEMAS
I. Hallar “x” en cada caso
01.-
B
0
S
R
M
P N
Q
L1
L3
L2
T
A

2. IE. N° 6070 “HÉROES DEL ALTO CENEPA” VILLA EL SALVADOR, MATEMÁTICA CUARTO SECUNDARIA 2015 IE. N° 6070 “HÉROES DEL ALTO CENEPA” VILLA EL SALVADOR, MATEMÁTICA CUARTO SECUNDARIA 2015
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02.-
03.-
II. Hallar “x” en cada caso
04.-
05.-
06.-
III. Hallar “x” en cada caso
07.-
08.-
09.-
10.- Si el diámetro de la circunferencia es
12u, calcular “PT”
a) 6
b) 6 3
c) 12
d) 8
e) 8 3
11.- Calcular “” , si “O” es centro y “T” es
punto de tangencia.
a) 20º
b) 24º
c) 25º
d) 32º
e) 30º
12.- Calcular el perímetro del cuadrilátero
circunscrito.
a) 32
b) 36
c) 42
d) 48
e) 40
13.- Si: AB =10, R = 13, calcular la flecha
de la cuerda AB
a) 2
b) 3
c) 1
d) 2,5
e) 6
14.- Calcular el perímetro del cuadrilátero
ABCD circunscrito. Si: AB + CD = 26.
a) 32
b) 42
c) 46
d) 52
e) 60
15. Si "P", "Q" y "T" son puntos de
tangencia y el perímetro del ABC es 32
u, calcular "PC".
a) 16 u
b) 18
c) 15
d) 17
e) 20
16.- AB =12; BC =14; AC =18. "P", "Q" y
"R" son puntos de tangencia. Calcular
"AP".
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
17.- Una circunferencia tiene radio 15 u.
Calcular la longitud de la flecha de una
cuerda que mide 18 u.
a) 3 u b) 2 c) 1 d) 4 e) 2,5
18.- Si el perímetro del PQR es 48,
calcular "a + b + c". ("M", "N" y "T" son
puntos de tangencia)
a) 20
b) 28
c) 32
d) 36
e) 24
19.- Calcular el inradio de un triángulo
rectángulo cuyos catetos miden 5 y 12.
a) 1 b) 2 c) 1,5
d) 2,5 e) 3
20) Hallar “PQ”:
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
21) Hallar “ x”:
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
A
B
P
Q
4x – 3
2x + 5
A
B
P
Q
a + 2
x
13 – a

3. IE. N° 6070 “HÉROES DEL ALTO CENEPA” VILLA EL SALVADOR, MATEMÁTICA CUARTO SECUNDARIA 2015 IE. N° 6070 “HÉROES DEL ALTO CENEPA” VILLA EL SALVADOR, MATEMÁTICA CUARTO SECUNDARIA 2015
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EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1) De la figura, si: PA = 8 y r = 5, calcular
“PT” ( T punto tangencial)
A) 15
B) 12
C) 13
D) 14
E) N.A
2) De la figura, calcular x, si: T punto
tangencial.
A) 10º
B) 15º
C) 35º
D) 45º
E) N.A
3) Calcular “x” (T es punto de tangencia).
A) 12º
B) 15º
C) 18º
D) 20º
E) N.A
4) En la figura, calcular la longitud de la
flecha correspondiente a AB, si: AB = 8 y
r = 5.
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
5) En la figura, calcular la longitud de la
flecha correspondiente a AB, si: r = 13 y
AB = 24
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
6) Si los arcos AB y PQ son congruentes,
además AB = 3x + 5 y PQ = x + 9. Hallar
“x”.
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) N.A
7) Si: AQ = 9; y CT = 13, Calcular AC.
A) 22
B) 23
C) 24
D) 25
E) 26
8) Hallar el perímetro del triángulo FBC:
A) 28
B) 29
C) 30
D) 45
E) 27
9) Si: AB = 13; BC = 14 y AC = 15.
Calcular “AM”.
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
10) Calcular “r” ; si AB = 3 y BC = 4:
A) 2
B) 1
C) 3
D) 4
E) 5
11) Si AB = 7 y BC = 24, Calcular: “r + 5”:
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
12) Si AB = 7 y BC = 24, Calcular: “r + 5”:
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
13) Hallar AB:
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
14) Hallar el perímetro del cuadrilátero
ABCD:
A) 32
B) 33
C) 34
D) 35
E) 36
15) Calcular”BC”, si:AE =3; AB = 4; EC =
7.
A) 9
B) 8
C) 7
D) 6
E) N.A.
16) Calcular ”BC”, si: A = 5; AB = 6;
EC = 8
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) N.A.
17) Hallar el perímetro del cuadrilátero
ABCD
A) 28
B) 27
C) 28
D) 29
E) 24
18.- Calcular “x”, si: AB = 20
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
19.- Si: AC = 100, calcular “x”
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
2x+1
A
B 3x–2
C
D
5x–3
3x+2
B
O
A
r
B
O
A
r
B
r
A
C
C B
A
M
T
F
P
B
Q
C
6
3
5
T
POA B
x4x
O
B
A
P
P
A
r
B C
T
POB A
r
O
T
2x
2x
PA
B
A
B
C
E
r
A
B
C
E
r
A
B
D
C
9
x
5
8
A
r
B C
A
B
10
7
C
8
D
r
T
O
Q
r
A C
R

4. IE. N° 6070 “HÉROES DEL ALTO CENEPA” VILLA EL SALVADOR, MATEMÁTICA CUARTO SECUNDARIA 2015 IE. N° 6070 “HÉROES DEL ALTO CENEPA” VILLA EL SALVADOR, MATEMÁTICA CUARTO SECUNDARIA 2015
PROF. DAGOBERTO NAPANGA PAUCAR 990080168 – napanga2009@hotmail.com PROF. DAGOBERTO NAPANGA PAUCAR 990080168 – napanga2009@hotmail.com
O
b
O
b
OO
= 180
O
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA.
1) ÁNGULO CENTRAL: Es aquel
que tiene como vértice el centro de la
circunferencia y como lados dos radios
de la misma. Su medida es igual a la
del arco interceptado.
2) ÁNGULO INSCRITO: Es aquel que
tiene su vértice sobre la circunferencia y
sus lados son dos cuerdas. Su medida es
igual a la mitad de la medida del arco
interceptado.
3) ÁNGULO SEMI - INSCRITO:
Es aquel que tiene su vértice sobre la
circunferencia y sus lados son una
cuerda y una tangente. Su medida es
igual a la mitad de la medida del arco
interceptado.
4) ÁNGULO EX - INSCRITO:
Es aquel que tiene su vértice sobre la
circunferencia y sus lados son una cuerda
y la parte exterior de una secante. Su
medida es igual a la semisuma de los
arcos comprendidos entre los lados del
ángulo y entre los lados del ángulo
opuesto por el vértice.
Cabe señalar que el ángulo ex -
inscrito es adyacente al ángulo inscrito,
por lo que su medida es igual al
suplemento de este.
5) ÁNGULO INTERIOR:
Es aquel que tiene su vértice dentro
de la circunferencia y sus lados son
dos cuerdas que se cortan. Su medida
es igual a la semisuma de las medidas
de los arcos interceptados.
6) ÁNGULO EXTERIOR: Su medida
es igual a la semicircunferencia de las
medidas de los arcos interceptados.
Caso I: Ángulo formado por dos
secantes.
Caso II: Ángulo formado por una tangente
y una secante.
Caso III: Ángulo formado por dos
tangentes.
TEOREMA DEL ÁNGULO
CIRCUNSCRITO
TEOREMA DEL ÁNGULO ADYACENTE.
TEOREMA DEL ARCO CAPAZ.
EN TODO CUADRILÁTERO INSCRITO
a. Los ángulos opuestos son
suplementarios
b. Un ángulo interior es
congruente
al opuesto exterior
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. En el gráfico O es el centro, hallar x:
x
y
y°
x°
O xx = 
P

x
P

x
PC
x
A
x
Q
x

x
x
x + y = 180°
x = y
3x
A
B
O
240ºA) 50º
B) 60º
C) 20º
D) 30º
E) 40º

x



A
Q
B

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2. En el gráfico O es el centro, hallar x:
3. Hallar el valor de x:
4. De la figura hallar x:
5. Hallar x:
6. Si ̂ = 260º hallar x:
7. Hallar x: Si: ángulo RBO = 32º
8. Hallar ̂ ; si: BA = AD.
9. En el gráfico T es un punto de
tangencia, si ̂ = 160º. Hallar x:
10. Hallar x.
11. En la figura si ̂ = 200º. Hallar x:
12. En la figura si ̂ = 207º.Hallar
x:
13. Del gráfico ángulo 60ºAB  ,
ángulo 80ºCD  Hallar x:
14. Hallar x: Si: BE = EC
15. Hallar x:
16. En la figura A y B son puntos de
tangencia. Hallar x:
17. En la figura A y B son puntos de
tangencia. Hallar x:
18. En la figura si ángulo 110ºAB  ,
ángulo 60ºCD  . Hallar x:
19. En la figura T es punto de tangencia y
el ángulo 40ºTA  , Hallar x:
A) 17º
B) 18º
C) 20º
D) 19º
E) 21º
5x
A
B
O13x
A) 120º
B) 150º
C) 130º
D) 140º
E) N.A
Q
x
P
R
O
80º
150
A) 160º
B) 65º
C) 170º
D) 75º
E) 180º
100º
B
C
O
A
x
A
B O C
x
88
º
A) 120º
B) 136º
C) 146º
D) 144º
E) N.A
Q
x
P
R
A) 50º
B) 40º
C) 30º
D) 37º
E) 62º
A) 110º
B) 120º
C) 122º
D) 150º
E) N.A
B x
P
R O C
A) 60º
B) 50º
C) 30º
D) 20º
E) 10º
30º
A
DCB
T
A
E
2x3x
A) 20º
B) 30º
C) 16º
D) 15º
E) N.A
T
x
P
E
O
C
28º
A) 124º
B) 130º
C) 142º
D) 152º
E) N.A
A
x
BP
A) 120º
B) 100º
C) 130º
D) 135º
E) 140º
A
x
PB
A) 120º
B) 125º
C) 136º
D) 135º
E) 140º
A
B
C
D
x+20º
A) 40º
B) 20º
C) 50º
D) 30º
E) 25º
B
x
A
C
D
E
32º
80ºA) 60º
B) 50º
C) 62º
D) 40º
E) N.A
C
x
A
T
O B
94
º
80
º
A) 20º
B) 36º
C) 53º
D) 56º
E) N.A
P
x
A
B
O
2x
A) 36º
B) 53º
C) 45º
D) 48º
E) 54º
P
x
A
B
O
4x
A) 30º
B) 20º
C) 15º
D) 25º
E) 10º
A
C
P
DB
X+10º
A) 30º
B) 20º
C) 12º
D) 18º
E) 15º
T
A
P
EB
40º
x
A) 50º
B) 60º
C) 70º
D) 40º
E) 80º

6. IE. N° 6070 “HÉROES DEL ALTO CENEPA” VILLA EL SALVADOR, MATEMÁTICA CUARTO SECUNDARIA 2015 IE. N° 6070 “HÉROES DEL ALTO CENEPA” VILLA EL SALVADOR, MATEMÁTICA CUARTO SECUNDARIA 2015
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01.- Hallar x:
02.- Siendo O el centro y Q punto de
tangencia: Hallar “x”.
03.- Hallar el valor de “x”, si “o” es el
centro de la circunferencia.
a) 90º
b) 110º
c) 95º
d) 85º
e) 70º
04.- Calcular " " , si: m AOB 100º
a) 50º
b) 130º
c) 80º
d) 100º
e) 160º
05.- Calcular “x”
a) 10º
b) 12º
c) 30º
d) 18º
e) 15º
06.- Hallar “x”
a) 160º
b) 165º
c) 145º
d) 164º
e) 176º
07.- Hallar “x”
a) 34º
b) 25º
c) 30º
d) 53º
e) 37º
08.- Hallar “x”, si: “P” es punto de
tangencia y AB=BP.
a) 100º
b) 50º
c) 65º
d) 80º
e) 40º
09.- Hallar “x”, si: AB es diámetro.
a) 50º
b) 40º
c) 80º
d) 55º
e) 70º
10.- Calcular “x”, si: “o” es el centro.
a) 20º
b) 40º
c) 30º
d) 35º
e) 70º
11.- Hallar “x”. mAMD=76°, mBC =42°
a) 30°
b) 40°
c) 45°
d) 50°
e) 55°
12.- Encontrar el valor de “x”, m AB
=140°,mBC =120°
a) 25°
b) 50°
c) 40°
d) 30°
e) 60°
13.- Calcular " " , si: AB es diámetro.
a) 55º
b) 45º
c) 50º
d) 70º
e) 40º
14.- Hallar “x+y” , si: m AB 70º . “O” :
centro
a) 70º
b) 140º
c) 110º
d) 35º
e) 55º
A
P
R
QF
100º
30º
x
A) 40º
B) 50º
C) 60º
D) 70º
E) N.A
A) 64º
B) 32º
C) 22º
D) 40º
E) N.A
Q
P
OA B
26ºx