El documento describe tres métodos para calcular el volumen de sólidos de revolución y explica cómo usar la integral definida para calcular la longitud de un arco curvo entre dos puntos. Además, define qué curvas son rectificables y cómo aproximar la longitud del arco dividiendo la curva en segmentos rectos usando particiones. Finalmente, presenta la fórmula para calcular la longitud del arco como un límite de una suma.

1.  VOLUMEN DE SOLIDOS DE REVOLUCION CON METODOS DE REBANADAS
O DISCOS

6.  VOLUMEN DE SOLIDOS DE REVOLUCION CON METODO DE ANILLOS O
ARANDELAS

10.  VOLUMEN DE SOLIDOS DE REVOLUCION CON METODO DE CASQUETES
CILINDRICOS.

15.  LONGITUD DE ARCO
Hasta ahora, hemos usado la integral definida para calcular magnitudes con unidades
cúbicas y con unidades cuadradas; esto nos lleva a preguntarnos, ¿podemos medir
unidades lineales mediante la integral definida? Pues en esta aplicación veremos como
podemos medir longitudes usando esta magnífica herramienta del cálculo.
Desde sierre, hemos tenido la noción de longitud, y siempre nos ha parecido muy sencillo
medir objetos, usando los diferentes instrumentos de medición o simplemente calculando
dichas longitudes usando formulas sencillas que nos sirven básicamente para estimar
medidas de rectas o circunferencias; de manera que ahora tendremos la oportunidad de
calcular longitudes pero esta vez de segmentos curvos.
De nuestra experiencia en cursos anteriores, hemos aprendido a calcular la distancia
entre dos puntos usando la fórmula que deriva del teorema de Pitágoras:
Esta fórmula nos será útil para lograr nuestro propósito de medir la longitud de arco, pero
antes tenemos que tener en cuenta que para poder realizar este cálculo, es necesario que
la curva además de ser continua en un intervalo cerrado, sea también continua su
derivada en el mismo intervalo [a,b]. También hay que saber que, no todas las curvas
tienen longitud finita entre dos de sus puntos; si una curva tiene longitud finita entre dos
de sus puntos, se dice que es rectificable entre esos dos puntos.
Sea f(x), una función rectificable en el intervalo cerrado [a,b], aproximamos la curva de su
gráfica mediante segmentos de recta, para hallar una estimación de su longitud.
Tenemos i, donde es la partición correspondiente de [a,b]
tal que
a = n1< n2< n3< n4<…< ni = b

16. Con esto, siendo, estimamos una aproximación de la longitud del arco, que denotamos s,
así: para:
Y
Podemos estimar la longitud de ese en todo el intervalo [a,b], así:
Tomando el límite en el lado derecho y sacando un factor común
( x)2, podemos afirmar que la longitud del arco es:
Ahora, como f'(x), es continua, entonces es aplicable el teorema del valor medio de modo
que existe algún ci en [xi-1,xi], tal que:
O equivalente:
Así, podemos decir que:
Que realmente es equivalente a:
Que finalmente es lo que definimos en cálculo integral como longitud de arco.
Ejemplo:
 Hallar la longitud del arco de curva función en el intervalo [0, 1].

17. 

18. UNIVERSIDAD DE CORDOBA
CALCULO II
PRESENTADO POR:
YULYANA TERESA LOPEZ CASTRO
RAFAEL RODRIGUEZ
FARID CARDENAS BLANCO
PRESENTADO A:
JUAN DAVID DAVID ORTEGA SANCHEZ
UNIVERSIDAD DE CORDOBA
LORICA-CORDOBA
2015