expresión algebraica, polinomios

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION
UNIVERSIDAD POLITECNICA TERRITORIAL DEL ESTADO LARA ANDRES ELOY
BLANCO
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
ESTUDIANTE
EMELIS GUEVRAS
C.I 32.028.888
TUO0102

2. Suma de expresiones algebraicas
Para sumar expresiones algebraicas, hay que tener en cuenta dos cosas, la suma de dos
términos semejantes se pueden reducir a un solo término, si tales términos son diferentes
antes una suma, simplemente el resultado se deja expresada tal cual es sin cambiar los
signos de los términos.
Generalmente en álgebra elemental realizamos las operaciones entre polinomios donde se
suele usar signos agrupación y es cierto que el operador suma +acompañada de los signos
de agrupación no afecta tanto el resultado final por lo que el lector pensará que es una
pérdida de tiempo mencionar este tipo de obviedades, pero la cosa cambia cuando tratemos
con el operador diferencia –, pero esto lo veremos en la siguiente sección, lo anteriormente
explicado solo sirve para aclarar esta diferencia.
Decíamos, cuando realizamos sumas entre polinomios, donde encontramos signos de
agrupación y el operador suma +, los signos de agrupación se pueden ignorar sin afectar los
signos operacionales de cada término del polinomio encerrado entre los signos de
agrupación, veamos el siguiente apartado un ejemplo generalizado:
Suma de expresiones algebraica cuando los términos son iguales
a) 5𝑥 + (−3𝑥) + 10 𝑥 + 25𝑥 + (−18𝑥)
5𝑥 + 10 + 25𝑥 + (−3 𝑥 − 18) Agrupamos
40 𝑥 + (−21 𝑥) Reduciendo términos semejante
19𝑥 Reduciendo términos semejante
b) 4𝑥2
+ 12𝑥2
+ (−16𝑥2) + 13𝑥2
4𝑥2
+ 12𝑥 + 13𝑥2
+ (−16𝑥2) Agrupamos
29𝑥2
+ (−16𝑥2) Reduciendo términos semejante
13𝑥2
Reduciendo términos semejante
a) 50 𝑦 + 35 𝑦 + (−16 𝑦) + 14 𝑦 + (−25 𝑦)
50 𝑦 − 35 𝑦 + 14 𝑦 + (−16 𝑦 − 25 𝑦) Agrupamos
99 𝑦 + ( 41 𝑦) Reduciendo términos semejante
58 Reduciendo términos semejante

3. Cuando los términos son diferentes
a) 25 𝑦 + 18𝑥 + 16 𝑦 + 3𝑦 + 20𝑥
(25 𝑦 + 16 𝑦 + 3 𝑦) + (18𝑥 + 20𝑥)
44 𝑦 + 38𝑥
b) 50𝑚2
+ 45 𝑝 + (−16𝑚2) + 14 𝑝 + (−8𝑝) + (−5𝑚2 )
(50𝑚2
+ (−16𝑚2
− 5𝑚2) + (45𝑝 + 14𝑝 − 8𝑝) (agrupamos y
multiplicamos signo)
29𝑚2
+ 51𝑝 reducimos términos semejantes
c) 81𝑛 + (−34𝑛2) + 54𝑛 + (−14𝑛) + 16𝑛2
(81𝑛 + 54𝑛 − 14𝑛) + (−34𝑛2
+ 16𝑛2) (Agrupamos y multiplicamos signo)
121𝑛 − 18𝑛2
Sumamos y restamos y multiplicamos)
Resta de expresiones algebraica
De la misma manera con la suma algebraica, con la resta o diferencia algebraica, debemos
tener en cuenta que restar dos términos semejantes resulta un único termino semejante, para
dos términos no semejantes, el resultado se deja tal cual es.
Si bien, la suma algebraica no afecta a los sinos operacionales de los términos entre
paréntesis, la resta si afecta a cada termino, esto es, cambia los signos operacionales de
cada termino luego de eliminar los paréntesis, veamos un ejemplo generalizad

4. Resta de expresiones algebraica
Resta de monomio
a) 55𝑥 − (16𝑦) − (−12𝑥) − (15𝑦) − (−3𝑥)
55𝑥 − 16𝑦 + 12𝑥 − 15𝑦 + 3𝑥 (multiplicamos signo)
55𝑥 + 12𝑥 + 3𝑥 − 16𝑦 − 15𝑦 Agrupamos y Reducimos términos semejantes
70𝑥 − 31𝑦
b) 14𝑚 − (11𝑛) − (−25𝑚) − (18𝑛) − 16𝑝)
14𝑚 − 11𝑛 + 25𝑚 + 18𝑛 − 16𝑝 (multiplicamos signo)
14𝑚 + 25𝑚 − 11𝑛 + 18𝑛 − 16𝑝 Agrupamos y Reducimos términos semejantes
39𝑚 + 7𝑛 − 16𝑝
c) 55𝑡 − (16𝑥) − (18𝑡) − (−15𝑥)
55𝑡 − 16𝑥 − 18𝑡 + 15𝑥 (multiplicamos signo)
55𝑡 + 18𝑡 − 16𝑥 + 15𝑥 Agrupamos y Reducimos términos semejantes
73𝑡 − 1𝑥
Resta de polinomios
a) (16𝑝 + 17𝑥) − (−18𝑥 + 10𝑝) − (12𝑝 + 14𝑥)
16𝑝 + 17𝑥 + 18𝑥 − 10𝑝 − 12𝑝 − 14𝑥 (multiplicamos signo)
16𝑝 − 10𝑝 − 12𝑝 + 17𝑥 + 18𝑥 − 14𝑥 Agrupamos y Reducimos términos semejantes
−6𝑝 + 21𝑥

5. b) (88𝑝3
+ 16𝑛) − (18𝑚 + 75𝑝3
) − (20𝑛 + 12𝑚 − 15𝑝3
)
88𝑝3
+ 16𝑛 − 18𝑚 − 75𝑝3
− 20𝑛 − 12𝑚 + 15𝑝3
(Agrupamos y
multiplicamos signo)
88𝑝3
− 75𝑝3
+ 15𝑝3
+ 16𝑛 − 20𝑛 − 18𝑚 − 12𝑚 Reducimos términos
semejantes
28𝑝3
− 4𝑛 − 30𝑚
Valor numérico de expresión algebraica
El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta de sustituir las
variables de la de dicha expresión por valores concretos y completar las operaciones. Una
misma expresión algebraica puede tener muchos valores numéricos diferentes, en función
del número que se asigne a cada una de las variables de la misma.
Ejemplos:
a) Dada la expresión:
𝑆 =
𝐾 − 𝐼
𝑡
Encontrar el valor de k para los valores dados 𝑆 = 0,5; 𝑡 = 40; 𝐼 = 10.
Partimos de la expresión original y despejamos k.
𝑆 =
𝐾 − 𝐼
𝑡
𝑆. 𝑡 = 𝐾 − 𝐼
𝑆. 𝑡 + 𝐼 = 𝐾
𝐾 = 𝑆. 𝑡 + 𝐼
Sustituimos los valores dados en la expresión
𝐾 = 0,5.40 + 10 = 20 + 10

6. 𝐾 = 30
b) Dados los valores S = 540; R = 0,4 y N = 50; encontrar el valor numérico de k en la
expresión:
𝑆 = 3. 𝐾2
. 𝑅. 𝑁
Como debemos encontrar el valor de K, nos bastara con despejar 𝑘2
y después
extraer la raíz cuadrada.
𝑆 = 3𝐾2
. 𝑅. 𝑁 →
𝑆
3𝑅𝑁
= 𝐾2
De donde 𝐾2
=
𝑆
3𝑅𝑁
Sustituyendo a S,R,y N por sus valores obtenemos que:
𝐾2
=
540
3.0,4.50
=
540
60
= 9
𝐾2
= 9 → 𝐾 = ±√9
𝐾 = +3𝑦𝐾 = −3.
Multiplicación de expresión algebraica
La multiplicación de dos expresiones algebraicas es otra expresión algebraica, en otras
palabras, es una operación matemática que consiste en obtener un resultado llamado
producto a partir de dos factores algebraicos llamada multiplicanda y multiplicador.
Para multiplica una constante por un polinomio, se multiplica el coeficiente de cada
termino del polinomio por la constante k.
Fíjate en los siguientes ejemplos:
a) P(x) = 2𝑥4
−
1
3
𝑥3
+
3
2
𝑥2
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 −
1
2
∙ 𝑃(𝑥) 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎 𝑙𝑜 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒:

7. −
1
2
∙ 𝑃(𝑥) = −
1
2
∙ (2𝑥4
−
1
3
𝑥3
+
3
2
𝑥2
) = (−
1
2
∙ 2) 𝑥4
+ (−
1
2
) (−
1
3
) 𝑥3
+ (−
1
2
) (
3
2
) 𝑥2
= −𝑥4
+
1
6
𝑥3
−
3
4
𝑥2
b) ¿ Cuál es el resultado de 4∙ (
9
16
𝑥3
−
5
24
𝑥2
−
3
8
𝑥 −
25
4
)
4 ∙ (
9
16
𝑥3
−
5
24
𝑥2
−
3
8
𝑥 −
25
4
) = 4 ∙
9
16
𝑥3
− 4 ∙
5
24
𝑥2
− 4 ∙
3
8
𝑥 − 4 ∙
25
4
=
9
4
𝑥3
−
5
6
𝑥2
−
3
2
𝑥 − 25
Producto de monomios
Dados dos monomios 𝑎𝑥𝑛
𝑦 𝑏𝑥𝑚
, se tiene que el producto (𝑎𝑥𝑛) ∙ (𝑏𝑥𝑚) = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑥𝑛 + 𝑚
Considera los siguientes ejercicios:
a) (– 𝑥5) ∙ (−10𝑥4) = 10𝑥9
b) (
4
5
𝑧10
) ∙ (−
5
3
𝑧5
) = −
4
3
𝑧15
Producto de un monomio por un polinomio
Para multiplicar un monomio por un polinomio, se multiplica en monomio por cada uno de
los términos del polinomio.
a) Para efectuar el siguiente producto: (−5𝑥3) ∙ (2𝑥4
− 𝑥3
+ 7𝑥2
− 3𝑥), fijate lo que
se realiza:
Se multiplica el monomio por cada término del polinomio:
(−5𝑥3) ∙ (2𝑥4
− 𝑥3
+ 7𝑥2
− 3𝑥)
= (5𝑥3) ∙ (2𝑥4) + (−5𝑥3) ∙ (−𝑥3) + (5𝑥3) ∙ (7𝑥2) + (−5𝑥3) ∙ (−3𝑥)
= −10𝑥7
+ 5𝑥6
− 35𝑥5
+ 15𝑥4

8. Producto de polinomio
b) Se puede multiplicar también aplicando la propiedad distributiva, es decir,
multiplicando cada termino de un polinomio por el segundo polinomio.
(2𝑥3
+ 5𝑥2
− 3𝑥 + 1) ∙ (2𝑥2
− 3)
= 2𝑥3
∙ (2𝑥2
− 3) + 5𝑥2
∙ (2𝑥2
− 3) − 3𝑥 ∙ (2𝑥2
− 3) + 1 ∙ (2𝑥2
− 3)
= 4𝑥5
− 6𝑥3
+ 10𝑥4
− 15𝑥2
− 6𝑥3
+ 2𝑥2
3
= 4𝑥5
+ 10𝑥4
− 12𝑥3
− 13𝑥2
+ 9𝑥 − 3
División expresión algebraica
La división algebraica es una operación entre dos expresiones algebraicas llamadas
dividendo y divisor para obtener otra expresión llamado cociente por medio de un
algoritmo.
Como estamos trabajando con polinomios, debemos tener en cuenta un punto importante: el
mayor exponente de algún término del dividendo debe ser mayor o igual al mayor
exponente de algún término del divisor.
División de polinomios
Dados dos polinomios P(x) y Q(x) sobre Q tales que el grado de P(x) sea mayor o igual al
grado de Q(x), existen dos polinomios C(x) y R(x), tales que: P(x) = C(x) ∙ Q(x) + R(x)
Donde R(x) puede ser 0 o distinto de 0. El grado de R(x) es menor que el grado de Q(x).
Si R(x) = 0, se dice que la división es exacta.
Si R(x) ≠ 0, se dice que la división es inexacta.
Considera las siguientes divisiones:
a) (−9𝑥3
− 3𝑥2
+ 2𝑥4
− 𝑥 − 1) ÷ (1 + 2𝑥)
Para calcular la división entre dos polinomios se siguen los siguientes pasos:
1. Se ordenan los dos polinomios según las potencias de x en orden decreciente,
dejando en el dividendo el espacio correspondiente a los términos de las
potencias que falta; en este caso no falta ninguna.
2𝑥4
− 9𝑥3
− 3𝑥2
− 𝑥 − 2𝑥 + 1

9. 2. Se divide el primer termino del polinomio dividendo 2𝑥4
entre el primer
termino del polinomio divisor (2x), así2𝑥4
÷ (2𝑥) = 𝑥3
.el resultado es el
primer termino del cociente.
2𝑥4
− 9𝑥3
− 3𝑥2
− 𝑥 − 1
2𝑥 + 1
𝑥3
3. Se multiplica el resultado obtenido (𝑥3) por el divisor (2x + 1) y el producto
obtenido se resta del dividendo, para ello se les cambian los signos a los
términos del producto.
2𝑥4
− 9𝑥3
− 3𝑥2
− 𝑥 − 1
2𝑥 + 1
𝑥3
−2𝑥4
− 𝑥3
−10𝑥3 − 3𝑥2 − 𝑥 − 1
4. Como el grado−10𝑥3
− 3𝑥2
− 1 es mayor que el grado del divisor, se repite el
procedimiento. Se divide el primer termino de −10𝑥3
− 3𝑥2
− 𝑥 − 1 entre el
primer termino del divisor; el resultado −5𝑥2
se coloca en el cociente. Luego,
este término del divisor; el resultado −5𝑥2
se coloca en el cociente. Luego, este
término se multiplica por el divisor y se resta del dividendo. Este proceso se
repite hasta que el residuo sea 0 o el grado del dividendo sea menor que el grado
del divisor.
Por lo tanto, como el residuo de la división es igual a cero la división es exacta.
2𝑥4
− 9𝑥3
− 3𝑥2
− 𝑥 − 1
2𝑥 + 1
𝑥3 − 5𝑥2 + 𝑥 − 1
−2𝑥4
− 𝑥3
−10𝑥3 − 3𝑥2 − 𝑥 − 1
10𝑥3 + 5𝑥2
2𝑥2 − 𝑥 − 1
−2𝑥2 − 𝑥
−2𝑥 − 1
2𝑥 + 1
𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 → 0
Productos Notables de Expresiones algebraicas
Cuadrado de una suma
El cuadrado de una suma de dos términos es igual a cuadrado del primer término (𝑥2
), más
el doble producto del primer término por el segundo (2ax), más el cuadro del segundo
término (a)2
.

10. a) (𝑥 + 5)2
= 𝑥2
+ 2 ∙ 5 ∙ 𝑥 + 52
= 𝑥2
+ 10𝑥 + 25
b) (𝑥2
+ 1)2
= (𝑥2
)2
+ 2 ∙ 𝑥2
∙ 1 + 12
= 𝑥4
+ 2𝑥2
+ 1
c) (
1
2
𝑧2
+ 𝑧3
)2
= (
1
2
𝑧2
)2
+ 2 ∙ (
1
2
𝑧2
) ∙ 𝑧3
+ (𝑧3
)2
=
1
4
𝑧4
+ 𝑧4
+ 𝑧6
Cuadro de una diferencia
El cuadro de una diferencia es un producto notable y viene dado por:
(𝑥 − 𝑎)2
= 𝑥2
− 2𝑥𝑎 + 𝑎2
a) (𝑥 − 5) ∙ (𝑥 + 5) = 𝑥2
− 52
= 𝑥2
− 25
b) (𝑎3
+ 4𝑏2
) ∙ (𝑎3
− 4𝑏2) = (𝑎3
)2
− (4𝑏2
)2
= 𝑎6
− 16𝑏4
c) (𝑥2𝑚
+ 3. ) ∙ (𝑥2𝑚
− 3. ) = (𝑥2𝑚
)2
− 32
= 𝑥4𝑚
− 9
Producto de una suma por una diferencia
El producto de la suma de dos términos por su diferencia es igual al cuadrado del primer
término menos el cuadrado del segundo.
a) (𝑥 − 4)2
= 𝑥2
− 2 ∙ 𝑥 ∙ 4 + 42
= 𝑥2
− 8𝑥 + 16
b) (3𝑚 − 8)2
= (3𝑚)2
− 2 ∙ 3𝑚 ∙ 8 + 82
= 9𝑚2
− 48𝑚 + 64
c) (
1
5
𝑦 + 10𝑦3
)2
= (
1
5
𝑦)2
− 2 ∙
1
5
𝑦 ∙ 10𝑦3
+ (10𝑦3
)2
=
1
25
𝑦2
− 4𝑦4
+ 100𝑦6

11. Producto de dos binomios con un término en común
El producto notable de dos binomios que tiene un término en común es igual al cuadrado
del término común, más la suma de los términos no comunes multiplicados por el término
común, más el producto de los términos nos comunes, es decir, (𝑥 + 𝑎) ∙ (𝑥 + 𝑏) = 𝑥2
+
(𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏
a) (𝑚3
+ 5) ∙ (𝑚3
− 1) En este caso, el termino común es 𝑚3
y los términos no
cumanés son las constantes 5 𝑦 − 1. Luego, aplicando la fórmula:
(𝑚3
+ 5) ∙ (𝑚3
− 1) = (𝑚3
)2
+ [5 + (−1)]𝑚3
+ 5 ∙ (−1) = 𝑚6
+ 4𝑚3
− 5
b) ¿Cuál es el desarrollo de (𝑎 −
3
4
) ∙ (𝑎 +
4
5
)? El termino común es a y los no
comunes son −
3
4
𝑦
4
5
Entonces:(𝑎 −
3
4
) ∙ (𝑎 +
4
5
) = 𝑎2
+ (−
3
4
+
4
5
) 𝑎 + (−
3
4
) (
4
5
) = 𝑎2
+
1
20
𝑎 −
3
5
Cubo de una suma y cubo de una diferencia
El cubo de una suma de dos monomios es igual al cubo del primer término, más el triple
producto del cuadrado del primer por el segundo, más el triple del primer término por el
cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término, es decir,(𝑥 + 𝑎)3
= 𝑥3
+ 3𝑥3
𝑎 +
3𝑥𝑎3
+ 𝑎3
a) (𝑥 + 2)3
= 𝑥3
+ 3 ∙ 2 ∙ 𝑥2
+ 3 ∙ 22
∙ 𝑥 + 23
= 𝑥3
+ 6𝑥2
+ 12𝑥 + 8
b) (𝑚 + 2𝑛)3
= 𝑚3
+ 3 ∙ (2𝑛) + 3𝑚 ∙ (2𝑛)2
+ (2𝑛)3
= 𝑚3
+ 6𝑚2
𝑛 + 12𝑚𝑛2
+
8𝑛3
c) (𝑎3
+ 𝑏3
)3
= (𝑎3
)3
+ 3 ∙ (𝑎3
)2
∙ 𝑏3
+ 3 ∙ 𝑎3
∙ (𝑏3
)2
+ (𝑏3
)3
= 𝑎9
+ 3𝑎6
𝑏3
+
3𝑎6
𝑏3
+ 3𝑎3
𝑏6
+ 𝑏6
Cubo de una diferencia
El cubo de la diferencia de dos términos es igual al cubo del primer término, menos el triple
producto del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple producto del primer
término por el cuadrado del segundo término menos el cubo del segundo término, es
decir,(𝑥 − 𝑎)3
= 𝑥3
− 3𝑥2
𝑎 + 3𝑥𝑎2
− 𝑎3
a)(𝑥 − 1)3
= 𝑥3
− 3𝑥2
∙ 1 + 3𝑥 ∙ (1)2
− 13
= 𝑥3
− 3𝑥2
+ 3𝑥 − 1

12. b) (3𝑧 − 1)3
= (3𝑧)3
− 3 ∙ (3𝑧)2
∙ 1 + 3 ∙ (3𝑧) ∙ (1)2
− (1)3
= 27𝑧3
− 27𝑧2
+ 9𝑧 − 1
c)(2𝑥 − 3𝑦)3
= (2𝑥)3
− 3 ∙ (2𝑥)2
∙ (3𝑦) + 3 ∙ 2𝑥 ∙ (3𝑦)3
= 8𝑥3
− 36𝑥2
𝑦 + 54𝑥𝑦2
−
27𝑦3
Factorización por Productos Notables
Factor común monomio
Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común, se puede factorizar el
polinomio en el producto de dos factores, uno de los cuales es el factor común. El otro
factor se obtiene dividiendo cada término del polinomio entre el factor común.
a) Ahora fíjate en lo se realiza para factorizar 𝑃(𝑥) = 45𝑥10
− 30𝑥6
− 10𝑥4
1. Se halla el factor común. Para determinar el factor común de un polinomio, se
calcula el máximo común divisor de los coeficientes y se multiplica por la
menor potencia de x. El m.c.d.(45,30,10) = 5, entonces el factor común es 5𝑥4
.
2. Se divide cada termino del polinomio entre el factor común,
45𝑥10
5𝑥4
−
30𝑥6
5𝑥4
−
10𝑥4
5𝑥4
= 6𝑥2
− 2
3. El polinomio es igual al producto del factor común por el polinomio obtenido en
el paso anterior, luego P(x) = 45𝑥10
− 30𝑥6
− 10𝑥4
= 5𝑥4
(9𝑥6
− 6𝑥2
− 2)
Factor común polinomio
Observa cómo se factoriza el siguiente ejercicio:
a) 𝑎(𝑥 + 𝑦) + 𝑏(𝑥 + 𝑦)
El factor común es el binomio ( x + y ); se divide cada termino entre ( x + y ),
así, 𝑎(𝑥 + 𝑦) + 𝑏(𝑥 + 𝑦) = (𝑥 + 𝑦) [𝑎
(𝑥+𝑦)
(𝑥+𝑦)
+ 𝑏
(𝑥+𝑦)
(𝑥+𝑦)
] = (𝑥 + 𝑦)(𝑎 + 𝑏)

13. Factor común por agrupación de términos
Fíjate como se factoriza este ejercicio
a) 𝑎𝑧 + 𝑏𝑧 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦
En esta expresión no existe un factor común a todos los términos, sin embargo “z” es
común de los dos primeros términos, mientras que “y” es factor común de los dos últimos,
entonces se sacan dichos factores así:
𝑧(𝑎 + 𝑏) + 𝑦(𝑎 + 𝑏)
Al hacerlo se encuentra un nuevo factor común binomio, entonces se multiplica y se divide
cada término entre (a + b), asi:
𝑧(𝑎 + 𝑏) + 𝑦(𝑎 + 𝑏) = (𝑎 + 𝑏) [𝑧
(𝑎+𝑏)
(𝑎+𝑏)
+ 𝑦
(𝑎+𝑏)
(𝑎+𝑏)
]
𝑧(𝑎 + 𝑏) + 𝑦(𝑎 + 𝑏) = (𝑎 + 𝑏)8𝑧 + 𝑦)
Factorización de cuadrados perfectos
Un trinomio es cuadrado perfecto si dos de sus términos son cuadrados perfectos; esto se
puede escribir en la forma: 𝑎2
+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2
= (𝑎 + 𝑏)2;
𝑎2
− 2𝑎𝑏 + 𝑏2
= (𝑎 − 𝑏)2
Observa cómo se factoriza el siguiente ejercicio:
a) 25𝑥4
+ 9 + 30𝑥2
Para saber si el trinomio 25𝑥4
+ 9 + 30𝑥2
es cuadrado perfecto, se realizan los siguientes
pasos:
1) Se ordena el trinomio: 25𝑥4
+ 30𝑥2
+ 9
2) tanto el primer como el tercer término son cuadrados perfectos, es decir, se escriben
en la forma:
𝑎2
𝑦 𝑏2
. 𝑒𝑛 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜, +25𝑥4
= (5𝑥2
)2
𝑦 9 = (3)2
, 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑎 = 5𝑥2
𝑦 𝑏 = 3
3) el segundo término del trinomio debe ser igual al doble producto de a por b.
En efecto, 2ab =2 ∙ (5𝑥2) ∙ (3) = 30𝑥2
4) luego, el trinomio es igual al cuadrado de la suma de a mas b. esto es, 𝑎2
+ 2𝑎𝑏 +
𝑏2
= (𝑎 + 𝑏)2
. Entonces, 25𝑥4
+ 30𝑥2
+ 9 = (5𝑥2
+ 3)2
. Se puede verificar que:
(5𝑥2
+ 3)2
= (5𝑥2
)2
+ 2 ∙ (5𝑥2
) ∙ (3) + 9 = 25𝑥4
+ 30𝑥2
+ 9

14. Factorización de un trinomio de la forma 𝒙𝟐
+ 𝒎𝒙 + 𝒏
uno de los casos en productos notables es el producto de dos binomios que tienen un
término común: ( x + a) ( x + b) = 𝑥2
+ (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏
por ejemplo
observa que el coeficiente de 𝑥2
𝑒𝑠 1.
El coeficiente de x es la suma (algebraica) de los términos no comunes: 3 + 1 = 4
El termino constante es el producto de los términos no comunes: 3 y 1, luego:
𝑥2
+ 4𝑥 + 3 = 𝑥2
+ (3 + 1)𝑥 + 3 ∙ 1
= (𝑥 − 1)(𝑥 + 3)
Factorización de la diferencia de dos cuadrados
Para factorizar una diferencia de cuadrados se escribe cada termino igual a un cuadrado
perfecto, cuya factorización viene dada por (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏), 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟: 𝑎2
+ 𝑏2
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 −
𝑏)
Existen casos en que es que se necesario sacar factor común y luego aplicar diferencia de
cuadrados.
a) Por ejemplo, ¿Cómo se puede factorizar 𝑥3
− 100𝑥?
En este caso no se tiene una diferencia de cuadrados, pero se puede sacar el factor
común que es x. entonces, 𝑥3
− 100𝑥 = 𝑥(𝑥2
− 100)
Observa que el segundo factor es una diferencia de cuadrados, al factorizarla
resulta:
3𝑥
− 100𝑥 = 𝑥(𝑥2
− 100) = [(𝑥)2
− (10)2]
= 𝑥(𝑥 + 10)(𝑥 − 10)
Otros casos de factorización aplicado diferencia de cuadrados se plantea en los
siguientes ejemplos.
b) 𝑥4
− 1
𝑥4
− 1 = (𝑥2
)2
− 1 = (𝑥2
+ 1)(𝑥2
− 1)
El último factor es una diferencia de cuadrados: 𝑥2
− 1 = (𝑥 − 1)(𝑥 − 1)
Luego𝑥4
− 1 = (𝑥2
+ 1)(𝑥2
− 1) = (𝑥2
+ 1)(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)

15. BIBLIOGRAFIA
Estrella Suarez Bracho, Darío Duran Cepeda (2002) Matemática 8 editorial Santillana (pág.
146-150, 158-162, 170-174, 182-184)
William A. Suarez, Ely Brett C. teoría y práctica de física de 9 grado educación básica
editorial distribuidora escolar, S.A (pág. 16-17)