formulario 2do bloque.pdf

c
𝑎(𝑎𝑥2𝑛 + 𝑏𝑥𝑛 + 𝑐)
𝑎
Sos gay xd a

c
𝑎
La factorización consiste en calcular todos
los factores o números que multiplicados
entre sí. Determinen el polinomio original.
Existen varios procedimientos para
determinar la factorización, siendo el mas
sencillo, el del factor común.
El factor común de una expresión
algebraica, es el máximo factor que tienen en
común todos los términos de un polinomio.
8ab+16ab+12ab
n
Todos los factores comunes distintos
de uno son: a, b, ab, 2a, 2b, 2ab, 4a,
4ab, el máximo factor común es:
4ab

c
𝑎
F A C T O R C O M U N
El factor comun se determina al calcular el
mcd de los ceoficientes y la parte literal
comun con el menor exponente.
Ejemplo:
Establecer el factor comun del polinomio
48𝑥4 − 36𝑥3 + 24𝑥2
El MCD de los coeficientes 48, 36, y 24 es 12.
La variable común con su menor exponente
es 𝒙𝟐
, entonces; el factor común es 12𝒙𝟐
.
El proceso de factorización consiste en dividir
cada termino del polinomio entre el factor
común.
48 36 24 2
24 12 6 2
12 6 3 3
4 2 1
El comun denominador o factor comun es: 12
48𝑥4
− 36𝑥3
+ 24𝑥2
= 12𝑥2
4𝑥2
− 3x + 2 =

c
𝑎
V A R I A N T E S D E L F A C T O R C O M U N
El factor común en este caso es el binomio (5y-2).
Dividir cada termino del polinomio entre el factor común para factorizar la
expresión original.
3x (5y - 2) - 2z (5y - 2) = (5y - 2) (3x - 2z)
3x (5y – 2) – 2z(5y - 2)
Agrupar en función de “x” y de “y”
Determinar el factor común de cada grupo
(2x+5bx) tiene como factor común “x” y en (4y+10by) el factor común es “2y”.
Se agrupan los dos primeros entre paréntesis y los dos últimos en otro
precedido del digno +, para evitar alterar el cambio de signos.
2x+5bx+ 4y+10by = (2x+5b) (x+2y)
2x+5bx+ 4y+10by
(2x+5bx) + (4y+10by)
(2x+5bx) = x (2+5b)
(4y+10by) = 2y (2+5b)

c
𝑎
DE
Es una expresión que se reconoce por ser la
sustracción de dos términos o expresiones que
tiene raíz cuadrada exacta, su forma es
𝒂𝟐
− 𝒃𝟐
, procedimiento:
Posee 2 terminos
Ambos terminos tienen
raíz cuadrada exacta
Hay un signo – que
separa los terminos
C A R A C T E R I S T I C A S
a – b
2 2

c
𝑎
𝑎2 = 𝑎 ; 𝑏2 = 𝑏.
𝑎 + 𝑏 (𝑎 − 𝑏)
𝑥2
49
−
9𝑦2𝑛
25
-
Extraer raíz cuadra de ambos terminos.
Forma un producto con la suma de las raíces por la diferencia de las mismas.
La raíz cuadrada de
𝑥2
49
es
𝑥
7
. La raíz cuadrada de
9𝑦2𝑛
25
es
3𝑦𝑛
5
Entonces:
𝑥2
49
−
9𝑦2𝑛
25
= (
𝑥
7
+
3𝑦𝑛
5
) (
𝑥
7
-
3𝑦𝑛
5
)
(𝟐𝒙 + 𝟒)² − 𝟐𝟓
(2𝑥 + 4 + 5)(2𝑥 + 4 − 5)
2𝑥 + 9 2𝑥 − 1
La raíz cuadrada de (2𝑥 + 4)² es (2𝑥 + 4) y la de 25 es 5.
Reducir terminos semejantes.
Entonces: (2𝑥 + 4)² - 25 = 𝟐𝒙 + 𝟗 𝟐𝒙 − 𝟏
D I F E R E N C I A D E C U A D R A D O S

c
𝑎
de
Es una expresión que se reconoce por ser la adición o sustracción de dos terminos o expresiones que tienen raíz cubica exacta, su
forma es 𝒂𝟑
+ 𝒃𝟑
.
La raíz cubica de 𝑎3
es a,
3
𝑎3 = 𝑎 ; y la raíz de 𝑏3
es b,
3
𝑏3 = 𝑏 ; se tiene que 𝑎3
+ 𝑏3
es una suma de cubos perfectos.
Para factorizar 𝒂𝟑
± 𝒃𝟑
• Extraer la raíz cubica de cada termino del binomio.
• Formar un producto de dos factores, un binomio por un trinomio.
• Los factores del binomio son la adición o sustracción de las raíces cubicas de los terminos del binomio.
• Los factores del trinomio se determinan así: el cuadrado del 1er termino menos o mas el producto de ambos terminos mas
el cuadrado del segundo termino
• Entonces se tiene: 𝑎2
− 𝑎𝑏 + 𝑏2
ó 𝑎2
+ 𝑎𝑏 + 𝑏2
.
Simbólicamente: ó
𝑎3 + 𝑏3 = (a + b) 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2 𝑎3 − 𝑏3 = (a − b) 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2

c
𝑎
𝒙𝟑
+ 𝟏
Las raíces cubicas son 𝑥 + 1
Por lo tanto: 𝑥3
+ 1 = (𝒙 + 𝟏)(𝒙𝟐
− 𝒙 + 𝟏)
𝑥3
+ 1 = 𝑥 + 1 [ 𝑥 ² − 𝑥 1 + 1 ²]
𝟖𝒙𝟑
− 𝟔𝟒
Las raíces cubicas son 2x y 4.
Entonces: 8𝑥3
− 64 = (2𝑥 − 4)[ 2𝑥 ² + 2𝑥 4 + 4 ²]
Simplificando: 8𝑥3
− 64 = 𝟐𝒙 − 𝟒 𝟒𝒙𝟐
+ 𝟖𝒙 + 𝟏𝟔
F.C.= 𝟖(𝒙 − 𝟐)(𝒙𝟐
+ 𝟐𝒙 + 𝟒)
S U M A O D I F E R E N C I A D E C U B O S
1 2

c
𝑎
Un trinomio cuadrado perfecto es el trinomio en donde 𝒙𝟐
y 𝒄 tienen raíz cuadrada exacta y 𝒃𝒙 es el doble del producto de las
raíces del primer y tercer termino.
T r i n o m i o
𝑏2 𝑎𝑏
𝑎𝑏
𝑎2
E J E M P L O
Extraer raíz cuadrada del 1er y 3er termino.
Verificar si el doble del producto de las raíces es igual al 2do termino.
Se forma un binomio con la adición o sustracción de las raíces cuadradas y
el binomio, se eleva al cuadrado.
𝑎2
− 2𝑎𝑏 + 𝑏2
= (𝑎 + 𝑏)2
si el segundo termino es procedido por el signo
negativo
𝒂𝟐
+𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
𝑎 𝑏
2 𝑎 𝑏
(𝑎 + 𝑏)2

c
𝑎
T R I N O M I O C U A D R A D O P E R F E C T O E J E M P L O S
𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟓
𝑥 5
2 𝑥 5
10𝑥
𝑥2
+ 10𝑥 + 25 = (𝒙 + 𝟓)𝟐
𝟗𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙𝒚 + 𝟒𝒚𝟐
3𝑥 2𝑦
2 2𝑥 2𝑦
12𝑥𝑦
9𝑥2
+ 12𝑥𝑦 + 4𝑦2
= (𝟑𝒙 + 𝟐𝒚)𝟐
𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏
𝑥 1
2 𝑥 1
2𝑥
𝑥2
+ 2𝑥 + 1 = (𝒙 + 𝟏)𝟐
2 3
1

c
c
𝑎
POR ADICION Y SUSTRACCION
Existen trinomios cuyos términos extremos tienen raíz cuadrada exacta, pero el termino del medio no cumple con sr el doble
producto de las raíces. En este caso se transforma en trinomio cuadrado perfecto mediante un adición y una sustracción.
Al verificar que el segundo termino sea el doble del producto de las rices se
determina que no cumple con esta condición. Adiciona la expresión que
convierte al trinomio en cuadrado perfecto. Para no alterar el valor de la
expresión, también debe sustraerse.
Los primeros tres términos constituyen un trinomio cuadrado perfecto y una vez
factorizado, se obtiene de nuevo, una diferencia de cuadrados.
(𝒂𝟐
+ 𝒂 + 𝟏)(𝒂𝟐
− 𝒂 + 𝟏)
T r i n o m i o
𝑎4
+ 𝑎2
+ 1
+ 𝑎2
𝑎4
+ 2𝑎2
+ 1 − 𝑎2
(𝑎2
+ 1)2
−𝑎2
𝑎2
+ 1 + 𝑎 [ 𝑎2
+ 1 − 𝑎]

c
𝑎
Extraer la raíz cuadrada del 1er y 3er termino
Verificar el segundo termino sea el doble del producto de las raíces, el cual se determina
que no se cumple.
Es necesario adicionar 4m2n2 para obtener -6m2n2.
Para no alterar el valor de la expresión, también sustraer 4m2n2
Factorizar el trinomio cuadrado perfecto y formar una diferencia de cuadrados perfectos.
Factorizar la diferencia de cuadrados.
Ordenar cada factor.
E J E M P L O
1
𝑚4
− 10𝑚2
𝑛2
+ 9𝑛4
𝑚2
3𝑛2
2 𝑚2
3𝑛2
6𝑚2
𝑛2
𝑚4
− 10𝑚2
𝑛2
+ 9𝑛4
+4𝑚2
𝑛2
(𝑚4
−6𝑚2
𝑛2
+ 9𝑛4
) − 4𝑚2
𝑛2
(𝑚2
− 3𝑛2
)2
− 4𝑚2
𝑛2
(𝒎𝟐
− 𝟑𝒏𝟐
+ 𝟐𝒎𝒏) (𝒎𝟐
− 𝟑𝒏𝟐
− 𝟐𝒎𝒏)

T r i n o m i o
En un trinomio de la forma 𝑥2𝑛
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 el primer termino 𝑥2𝑛
es cuadrado perfecto, el exponente de x en el segundo termino es
2n/2=n y el termino constante c no depende de x.
En un trinomio de la forma ax²" + bx" + c se tiene que a = 1, esto significa que el coeficiente del término cuadrático es 1. La
factorización del trinomio de esta forma está dada por dos factores, cada uno de estos es un binomio 𝑥2𝑛
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 el = (x+m) (x+m)
donde b = m + nyc = mn. Para factorizar un trinomio de esta forma se procede de la siguiente forma:
E J E M P L O
• Formar dos factores binomio cuyo primer término es la raíz cuadrada del primer término: (x²)=x.
• Escribir el signo del segundo término del trinomio en el primer factor binomio.
• Determinar el signo del segundo factor binomio que resulta de multiplicar los signos del segundo y
el tercer término del trinomio. (-) × (+) = -
• Establecer dos números cuyo producto sea el tercer término del trinomio pero al mismo tiempo al
adicionar o sustraer, según sea el caso, constituya el coeficiente del segundo término del trinomio.
𝐱𝟐
− 𝟖𝐱 + 𝟏𝟐
(𝑥 )(𝑥 )
(𝑥 − )(𝑥 )
(𝑥 − )(𝑥 − )
(𝒙 − 𝟔)(𝒙 − 𝟐 )

𝑎
T r i n o m i o
En un trinomio de la forma ax²" + bx"+cse tiene que a #1, esto significa que el coeficiente del término cuadrático es distinto de 1.
𝑎𝑥2𝑛 + 𝑏𝑥𝑛 + 𝑐 =
𝑎
𝑎2
𝑥2𝑛
+ 𝑎𝑏𝑥𝑛
+ 𝑎𝑐)
𝑎
(𝑎𝑥𝑛 )2 + 𝑏(𝑎𝑥𝑛) + 𝑎𝑐
𝑎
2𝑥2
+ 11𝑥 + 5 =
2(2𝑥2 + 11𝑥 + 5)
2
(2𝑥 )2 + 11(2𝑥) + 10
2
(2𝑥 + 10)(2𝑥 + 1)
2
2(2𝑥 + 5)(2𝑥 + 1)
2
2(2𝑥 + 5)(2𝑥 + 1)
2
(𝒙 + 𝟓)(𝟐𝒙 + 𝟏)

c
𝑎(𝑎𝑥2𝑛
+ 𝑏𝑥𝑛
+ 𝑐)
𝑎
Y
M O D U L O 2

c
𝑈𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑑𝑎 𝑠𝑒 𝑙𝑒 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎 𝑢𝑛 ú𝑛𝑖𝑐𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
/𝑓(𝑥)
= 𝑦𝐷𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑠í 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑜𝑡𝑟𝑎 𝑒𝑛 𝑣𝑖𝑟𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛, 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜:
Funcion, dominio y rango
Las funciones matemáticas se definen como una relación que se establece entre dos conjuntos, a través de la cual a cada elemento del
primer conjunto se le asigna un único elemento del segundo conjunto o ninguno. Al conjunto inicial o conjunto de partida también se le
llama dominio y el conjunto final o de llegada recibe el nombre de contradominio.
Una función es una relación en la que a cada elemento del conjunto de partida se le asocia un único elemento del conjunto de llegada. En
síntesis cada elemento tiene solo una imagen. f: A-B/f(x) = y
Dos cantidades se relacionan entre sí dependiendo una de la otra en virtud de una condición, por ejemplo: relacionar un número con su
doble: 2 con 4, 3 con 6, 10 con 20..., asociar un número con su mitad: 8 con 4, 12 con 6, 11 con 5.5..., entre otras condiciones.El primer
número (x) es la variable independiente, el segundo (y) es la variable dependiente, porque depende de la condición dada. Con ambas
variables se forma la pareja (x, y), llamado par ordenado.El primer número (x) también se llama original y pertenece al conjunto de partida
o dominio, el segundo número (y) es la imagen y pertenece al conjunto de llegada, contradominio.
A es el dominio (Dom) o
con junto de partida.1, 2 y
3 son los originales que
representan a la variable
inde pendiente.
B es el contradominio o conjunto de
llegada, d y cson las imágenes que
forman el conjuntorango (Ran) de
la función, quees un subconjunto
del contradominio. Estos valores
representana la variable
dependiente.
1
2
3
a
b
c
d
F: A → B
A B
f

c
𝑈𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑑𝑎 𝑠𝑒 𝑙𝑒 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎 𝑢𝑛 ú𝑛𝑖𝑐𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑
/𝑓(𝑥)
= 𝑦𝐷𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑠í 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑜𝑡𝑟𝑎 𝑒𝑛 𝑣𝑖𝑟𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛, 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑟
Funciones
Un elemento del dominio
tiene una sola imagen
Toda imagen tiene un
original, pero puede
tener dos originales
A
B
C
D
E
F
A B
INYECTIVAS SOBREYECTIVAS
O
O #
A B

c
𝑎
Funcion lineal
Toda función se puede representar gráficamente en un plano cartesiano. Las funciones cuya grafica siempre es una línea recta
reciben el nombre de funciones de primer grado que pueden ser afines o lineales. Las coordenadas cartesianas son un sistema
de ubicación formado por un eje en la recta. Por dos ejes en el plano o tres en el espacio, mutuamente perpendiculares, cuyo
punto donde se intersecan se llama origen. En el plano, las coordenadas cartesianas rectangulares x, y se denominan
respectivamente abscisa y ordenada.
Las coordenadas de un punto cualquiera, resultan por las
proyecciones perpendiculares sobre cada uno de los ejes. La
distancia entre dos puntos A y B se da por la expresión
𝐴𝐵 = (𝑥2−𝑥1)2(𝑦2−𝑦1)2
Si x aumenta y su imagen también aumenta o ambas
disminuyen, es una función creciente; pero si el valor de x
aumenta y el valor de su imagen disminuye o viceversa, la
función es decreciente

c
𝑎(𝑎𝑥2𝑛
+ 𝑏𝑥𝑛
+ 𝑐)
𝑎
Funciones lineales
Funcion lineal Funcion afin
Existen dos tipos
Son las que pasan por
el origen
Son las que no pasan
por el origen

ቊ
2𝑥 + 4𝑦 = 16
𝑥 − 𝑦 = −1
ቊ
2𝑥 + 4𝑦 = 16
𝑥 − 𝑦 = −1
Ecuaciones y desigualdades
Una ecuación se define como la igualdad entre dos expresiones y contiene una o mas variables. Una ecuación es
una igualdad entre dos expresiones matemáticas denominadas miembros de la ecuación. Ejemplos:
3𝑥 + 2 = 1
5𝑥2
+ 3𝑥 + 19 = 0
ቊ
2𝑥 + 4𝑦 = 16
𝑥 − 𝑦 = −1
Ecuacion Nombre
4𝑥 + 12 = 15 Ecuacion de primer grado o lineal
6𝑥2
− 5𝑥 − 4 = 0 Ecuacion de segundo grado o cuadrática
4𝑥3
+ 35𝑥2
− 3𝑥 + 2 = 0 Ecuacion de tercer grado o polimonial en x

c
𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑐𝑖𝑙𝑙𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑦 𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠. 𝐸𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛, 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑛
inecuaciones
Una inecuación es toda desigualdad condicional que se establece entre dos expresiones matemáticas donde existe por lo
menos una variable. En estas expresiones se utilizan los signos:
< , < , > y >
_ _
Una inecuación es una desigualdad que relaciona coeficientes y variables mediante las operaciones aritméticas. Las variables
constituyen incógnitas. La solución de cada una de estas inecuaciones es un conjunto de valores que hace que la desigualdad
sea verdadera. Son ejemplos de desigualdades o inecuaciones:
3x < 4 3x + 3 > 2x – 7 6 < 2x < 8
Existe una diferencia sencilla entre las ecuaciones y las desigualdades. En una ecuación, se comparan dos cantidades
mediante el signo igual y una desigualdad constituye una condición donde se utilizan los signos, mayor o menor que, o la
combinación de estos con el signo igual. Las desigualdades o inecuaciones se resuelven de forma similar a las ecuaciones
lineales; despejando la variable. Una variante sucede cuando la incógnita es negativa.

Sistemas de ecuaciones simultaneas
METODOS Reducción
Sustitución
Igualación
Matrices
Grafico

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