1. Funciones Exponenciales yFunciones Exponenciales y
LogarítmicasLogarítmicas
Prof. Enrique Huapaya G.

7. Funciones ExponencialesFunciones Exponenciales
Una función exponencial tiene la forma
donde b >0, y b es diferente de cero.
x
b)x(f =

8. Funciones ExponencialesFunciones Exponenciales
Recordemos la gráfica de la función
( ) 2x
f x =
x -3 -2 -1 0 1 2 3
2^x 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8
En general las gráficas de las funciones exponenciales se
comportan de forma similar a el ejemplo anterior.
Para b>1,
– la gráfica de f(x)=bx
es creciente,
– contiene al punto (0, 1),
– y se acerca al eje de x,sin llegar a el, segun nos alejamos en la
dirección negativa.
– En la dirección positiva, crece indefinidamente.

9. Funciones ExponencialesFunciones Exponenciales
1
( )
2
x
g x
 
= ÷
 
Para 0 < b < 1,
– la gráfica de f(x)=bx
es decreciente,
– contiene al punto (0, 1),
– y se acerca al eje de x, sin llegar a el, segun nos
alejamos en la dirección positiva.
– En la dirección negativa, crece indefinidamente
x -3 -2 -1 0 1 2 3
(1/2)^x 8 4 2 1 0.5 0.25 0.125

10. Funciones ExponencialesFunciones Exponenciales
Ejemplo #3: Trace la gráfica de la función
Determine su dominio, indique si es creciente o
decreciente, y si tiene alguna asintota.
2
( ) 3x
h x +
=

11. Funciones ExponencialesFunciones Exponenciales
Solucion Ej.#3: Esta funcion se puede
reescribir de la forma: h(x) = g(x + 2), pues
g(x) = 3x
,
g(x + 2) = 3x+2.
Asi que la gráfica se puede obtener
desplazando la grafica de g(x) 2 unidades a
la izquierda. Además sabemos que el
intercepto en y es y = 9.

12. Ejemplo #4: Trace la gráfica de la función
Determine dominio, recorrido, creciente o
decreciente, y si tiene asintotas verticales u
horizontales.
( ) 2 1x
K x =− +

13. Funciones Exponenciales:Funciones Exponenciales:
AplicacionesAplicaciones
Ejemplo #5: (Interés Compuesto)
Halle el valor futuro de una inversión de
$500 al 8% de interés, compuesto
trimestralmente (n = 4) por 3 años.
RECORDAMOS:
S P
r
n
nt
= +





1

14. Funciones Exponenciales:Funciones Exponenciales:
AplicacionesAplicaciones
Solución Ej.#6: Para este ejemplo, basta
sustituir adecuadamente: P = 500, n = 4,
r = 0.08, t = 3.
Obtenemos : S = 500(1.02)12
= 500(1.27)
= $634.12
(4)(3)
0.08
(500) 1
4
S
 
= + ÷
 

15. Funciones Exponenciales:Funciones Exponenciales:
AplicacionesAplicaciones
Ejemplo #7: (Interés Simple)
Un préstamo de $500 se otorga por un
periodo de 90 dias a un interés simple de
16% anual. Determine la cantidad a pagar
al cabo de los 90 días.

16. Funciones Exponenciales:Funciones Exponenciales:
AplicacionesAplicaciones
Solución Ej#8: Nos dan P = 500, r = .16,
. Sustituimos en la fórmula:
Obtenemos que S = $520. O sea, al cabo de
90 dias , se pagará al banco $520.
360
90
r =
1
(500) 1 (0.16)
4
S
 
= + ÷
 

17. Funcion Exponencial NaturalFuncion Exponencial Natural
La función exponencial natural es la
función f definida por
f(x) = ex
Su dominio son los reales, y su recorrido el
conjunto de los reales positivos.
– Note: Como e =2.718, la gráfica de esta
función se comporta como la de f = bx
, b > 1.

18. Funcion Exponencial Natural:Funcion Exponencial Natural:
AplicacionesAplicaciones
Existen muchos modelos matemáticos que
envuelven potencias de la base exponencial.
Algunos envuelven lo que se llama
crecimiento exponencial ó decaimiento
exponencial.

19. Funcion Exponencial Natural:Funcion Exponencial Natural:
AplicacionesAplicaciones
Crecimiento exponencial: Una función de
la forma,
donde B y k son constantes positivas, se
dice que reflejan crecimiento exponencial.
A la constante k se le llama la constante de
crecimiento.
0t,Be)t(f kt
≥=

20. Funcion Exponencial Natural:Funcion Exponencial Natural:
AplicacionesAplicaciones
Ejemplo #1: Sea f(t) la función que
representa las bacterias presentes luego de t
minutos. Entonces
f(t) = Be0.04t
donde B es una constante positiva. Si hay
1500 bacterias presentes inicialmente,
¿Cuántas habrá luego de 1 hora?

21. Funcion Exponencial Natural:Funcion Exponencial Natural:
AplicacionesAplicaciones
Solución Ej #2: Inicialmente hay 1500
bacterias. Eso nos dice que f(0) = 1500. O
sea, B = 1500. Así que la función de
crecimiento es: f(t) = 1500 e 0.04t
. El número
de bacterias presentes luego de 1 hora será:
f(60) = 1500 e 0.04(60)
= 1500(11.023)
= 16,535

22. Funcion Exponencial Natural:Funcion Exponencial Natural:
AplicacionesAplicaciones
Decaimiento exponencial: Una función de
la forma,
donde B y k son constantes positivas, se
dice que reflejan decaimiento exponencial.
A la constante k se le llama la constante de
decaimiento.
0t,Be)t(f kt
≥= −

23. Funcion Exponencial Natural:Funcion Exponencial Natural:
AplicacionesAplicaciones
Ejemplo #3: Sea V(t), la función que
representa el valor en dólares de cierto
equipo de computadoras , t años luego de su
compra inicial. Dicha función tiene la
forma,
V(t) = Be -0.20t
donde B es una constante. Si el equipo se
compró por $2800, ¿Cuál será su valor
luego de 2 años?

24. Funcion Exponencial Natural:Funcion Exponencial Natural:
AplicacionesAplicaciones
Solución Ej#13: El equipo se compró es
$2,800. Esto nos dice que V(0) = 2800, o sea
B = 2800. Así que la función V(t) será:
V(t) = 2800e-0.20t
Para encontrar el valor del equipo, luego de 2
años, sustituimos t = 2 en dicha ecuación.
Obtenemos: V(2) = 2800e-0.20(2)
= 2800(0.67032) = 1876.9

25. Funciones LogarítmicasFunciones Logarítmicas
La función logarítmica con base b, es la
función inversa de la función exponencial
con base . Se escribe
F(x) = logbx
para denotar dicha función. Note:
y = logbx si y solo si x = by
El dominio de la función logarítmica es el
conjunto de los números positivos, y su

26. Funciones LogarítmicasFunciones Logarítmicas
Cuando la base utilizada en una función
logarítmica es la base 10, llamamos a la
función la función de logarítmo común.
log x = log10 x, para x > 0
Si la base es e, llamamos a dicha función la
funcion de logarítmo natural.
ln x = loge x, para x >0

27. Si b > 1
-4.0 -3.0 -2.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.
-3.0
-2.0
-1.0
1.0
2.0
3.0
y = 10^x
y = Log(x)
y = x

28. Funciones LogarítmicasFunciones Logarítmicas
En resumen, si b > 1
– logbx es creciente
– logbx es positiva si x >1, y negativa si 0 < x < 1
– logbx se va a infinito negativo segun x se acerca
a cero por la derecha

29. Si 0 < b < 1
-4.0 -3.0 -2.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
-3.0
-2.0
-1.0
1.0
2.0
3.0
y = (1/10)^x
y = x
reflect{y = (1/10)^x} in y=x

30. Funciones LogarítmicasFunciones Logarítmicas
En resumen, si 0 < b < 1
– logbx es decreciente
– logbx es negativa si x >1, y positiva si 0 < x < 1
– logbx se va a infinito positivo segun x se acerca
a cero por la derecha

31. Funciones LogarítmicasFunciones Logarítmicas
Propiedades de Logaritmos : Sean M, N,
b, números positivos, b diferente de 1.
Entonces:
logb (MN) = logbM + logb N
logb (M/N) = logbM - logb N
logb Ny
= y logb N
logb (1/N) = - logb N

32. Funciones LogarítmicasFunciones Logarítmicas
Verificación Prop. de Logarítmos:
Verificamos la primera propiedad para
ilustrar la idea. Sea x = logb M, y = logb N,
Entonces M = bx
, N = by
. Sustituimos:
logb (MN) = logb(bx
by
) = logb(bx+y
) = x + y
= logbM + logb N

33. Funciones LogarítmicasFunciones Logarítmicas
Fórmula de Cambio de Bases: La
siguiente fórmula es válida para valores de
a > 0, b > 0, c > 0, a & b diferentes de 1.
alog
clog
clog
b
b
a =

34. Funciones LogarítmicasFunciones Logarítmicas
Ejemplo #14: Halle el dominio de las
siguientes funciones:
a) h(x) = log2 (x + 1)
b) g(x) = log x2

35. Funciones LogarítmicasFunciones Logarítmicas
Solución Ej#14:
a) log2 (x + 1) está definida sólo para
x + 1 > 0, así que el dominio son los valores
reales tales que x > -1.
b) g(x) = log x2
está definida sólo para x2
>0, o sea
su dominio son los reales excepto x = 0.

36. Funciones LogarítmicasFunciones Logarítmicas
Ejemplo #15: Trace la gráfica de la
función
)x(log)x(H 3 −=