El documento explica los logaritmos, incluyendo su definición, propiedades y aplicaciones. Primero define la función logaritmo como la función inversa de la función exponencial, luego describe propiedades clave como que logaritmos de números multiplicados suman y de números divididos restan. Finalmente, menciona que los logaritmos se usan para resolver ecuaciones exponenciales y da ejemplos de aplicaciones como la escala Richter.

1. Logaritmos
A través del siguiente recurso educativo podrás estudiar los logaritmos, sus propiedades y
ecuaciones, entre otras cosas.
Logaritmos
FUNCIÓN EXPONENCIAL Y FUNCIÓN LOGARITMO
La función exponencial es una función de la forma f(x) = ax , donde la base a es un
número real positivo fijo y el exponente x es la variable independiente o pre imagen de la
función.
El dominio de esta función es el conjunto ℝ (números reales) y su recorrido es el conjunto
ℝ+ (números reales positivos). Para hacernos una idea de su gráfico, podemos darnos
algunos valores para a (por ejemplo y a = 2) y luego determinar un número
suficiente de valores de f(x) (por ejemplo f(-3), f(-1), f(0), f(1), f(2), f(3), etc.).
De esta manera y generalizando para todo a válido, llegamos a lo siguiente:
Notemos en el gráfico que en el eje de las abscisas (eje X) se ubican los exponentes de las
potencias y en el eje de las ordenadas (eje Y) se ubican los valores de las potencias de
base a.
Bajo las condiciones enunciadas en el primer párrafo, la función exponencial es una
función biyectiva lo que nos permite determinar la función inversa, es decir, dado el valor
de una potencia de base conocida, determinar el valor del exponente que la satisface.
Este exponente se denomina logaritmo (log) y se define como
y = log a x Û x = a y
o sea, el logaritmo de un número x corresponde al exponente al que hay que elevar una
base a (conocida) y cuyo resultado sea igual a x. El valor x se denomina argumento y a es
la base.
Entonces, la función logaritmo, como función inversa de la función exponencial, se define
como f(x) = log a x, con a > 0 y a ≠ 1. Gráficamente, podemos relacionar los elementos de
la función exponencial determinados en la figura anterior, pero “al revés”, o sea en el eje X
vamos a situar los valores de las potencias de base a y en el eje Y los exponentes que las
satisfacen.

2. El dominio de la función logaritmo es el conjunto ℝ+ (reales positivos) y su recorrido es ℝ
(los números reales).
Ejemplos:
1. Dados f(x) = ax y a = 3, determinar f(-4), f(-1), f(0) y f(2).
Solución.
2. Dados f(x) = ax y a = , determinar f(-3), f(-2), f(0) y f(1).
Solución.
3. Sea f(x) = ax , con a > 1. ¿Es correcto afirmar que, si x1 < x2, entonces f(x1) < f(x2)?
Solución. La respuesta a la pregunta es SÍ, y para corroborarlo, asociamos las condiciones
de la pregunta al gráfico de la función exponencial con a > 1.

3. 4. Dados f(x) = log a x y a = 3, determinar , f(1), f(3) y f(27).
Solución. , es decir, si designamos por y a , entonces 3 elevado
a y debe dar y como , entonces y = -2. O sea, .
, pues .
, pues 30 = 1.
5. Si f(x) = log 0,5 x, determinar f(16), , f(-2), f(0) y f(1).
Solución. Como , entonces , pues .
.
f(-2) y f(0) no existen ya que -2 y 0 no pertenecen al dominio de la función logaritmo. La
variable x sólo toma valores reales positivos.
6. Si 0 < a < 1, entonces ¿cuál es el orden de mayor a menor entre los números log a 5,
log a 1 y log a 0,5?
Solución. Para determinar el orden entre los tres números dados, podemos utilizar el
gráfico de la función logaritmo cuando 0 < a < 1.

4. De la interpretación gráfica, se concluye que log a 0,5 > log a 1 > log a 5
LOGARITMOS
Si nos preguntamos: ¿A cuánto hay que elevar el número 2 para obtener 3?, la respuesta
es un número irracional entre 1 y 2. Este número, por definición, se denomina el “logaritmo
en base 2 de 3”, lo que se anota log23.
En la expresión loga b, a se denomina base del logaritmo y b se llama argumento,
con a>0, b>0 y a ¹1.
Por lo tanto la definición de logaritmo es:
loga b = n Û an = b (a>0, b>0, a ¹1)
A partir de esta definición, se pueden deducir las siguientes propiedades básicas.
1. Propiedades de logaritmos
Las siguientes igualdades son válidas sólo para aquellos valores donde esté definido el
logaritmo, es decir: a>0
i.- loga a = 1
ii.- loga1 = 0
iii.- loga an = n
iv.-
Las tres primeras propiedades las puedes verificar inmediatamente a partir de la definición,
pero la última requiere un poco más de elaboración. Supongamos que ab = n (con a>0).
A partir de la definición de logaritmo, lo anterior es equivalente a: loga n = b. Si
reemplazamos este valor de b en la igualdad anterior, obtenemos:
.
Aparte de las cuatro propiedades básicas anteriores, tenemos las siguientes:
v.- logc (ab) = logc a + logc b

5. vi.-
vii.- logc an = nlogc a
vii.- Si logc a = logc b Þ a = b
Para que se cumplan estas propiedades, es necesario que a>0, m>0 y n>0.
A continuación demostraremos sólo una de estas propiedades. Las demás se pueden
demostrar de forma similar.
Demostración de propiedad (v)
Sean:
logc (mn) =X (1) logc m=y (2) y logc n=z (3)
Aplicando la definición de logaritmo de (1), (2) y (3) se tienen:
az= mn ay=m y az=n.
Entonces:
mn=ay·az
mn= ay+z.
pero mn=az, luego
Hemos efectuado esta demostración sólo con el objetivo de que entiendas el por qué de
ella, pero lo más importante es que la apliques bien
Ejemplo: log28 = log2(4·2) = log24 + log22
Comprobación: log28 = 3 Û 23=8; log24 Û 22 =4; log22 = 1Û 21 =2
entonces:
log28 = log24 + log22
3=2+1
3=3
2. Logaritmos comunes o de Briggs
Cuando la base del logaritmo es 10, el logaritmo se llama “logaritmo común” o “de Briggs”,
y su base no se anota:
log a = log10 a
A partir de esta base tenemos que:
log 10 = 1 ; log 100 = 2 ; log 1000 = 3; etc.
Si graficamos la función y = logx (base 10), tenemos lo siguiente:

6. La gráfica corresponde a una función creciente, es decir, si x > y, entonces log x > log y.
Por otro lado, la curva se acerca indefinidamente al eje y en la medida que x se acerca a 0.
Por ejemplo, log 10-5 =-5; log 10-8 =-8, etc.
Observa en la gráfica que cuando calculamos el logaritmo de un número comprendido
entre 0 y 1 resulta un número negativo, es decir:
log (0,5) < 0; log (2/3) < 0, etc. Por el contrario, al calcular el logaritmo de un número
mayor que 1, el resultado siempre es positivo:
log (1,2) > 0 ; log (1,03) > 0, etc.
Ejercicios resueltos:
1) Calcular log4 8
Si log4 8 = x, entonces 4x = 8, luego:
2) Desarrollar la expresión:
Para desarrollar esta expresión, podemos aplicar las propiedades v,vi y vii:
3) Reducir la expresión: 2log a – log b – 3log c.
En este ejercicio debemos aplicar el proceso inversos al aplicado en el ejercicio anterior:

7. 4) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I. log (0,2) + log (0,3) < 0.
II. log 3 – log (0,2) < 0.
III. log 3 · log (0,1) < 0.
Por la propiedad v:
log (0,2) + log (0,3) = log (0,2 · 0,3) = log (0,06) < 0
Luego, I es verdadera.
Por la propiedad vi:
log 3 – log (0,2) = > 0
Por lo tanto, II es falsa.
III log 3 > 0 y log (0,1) < 0, por lo tanto: log 3 · log (0,1) < 0
La proposición III es verdadera.
3. Ecuaciones exponenciales
Cuando no podemos igualar las bases en una ecuación exponencial aplicamos logaritmos
a ambos lados de la ecuación, tal como lo ilustra el siguiente ejemplo:
Ejemplo: Resolver la ecuación: 2 x+1 = 3
Solución: Aplicamos logaritmo (en base 10 u otra base) a ambos lados de la ecuación:
2 x+1 = 3 / log ( )
log (2 x+1 ) = log 3
(x+1) log 2 = log 3
x log 2 + log 2 = log 3
En las ecuaciones exponenciales generalmente se ocupa la base 10, puesto que este
logaritmo aparece en las calculadoras científicas. También se puede ocupar logaritmo
natural, que se anota ln y corresponde a un logaritmo que tiene como base al número
irracional
e = 2,71828....
Ejemplo:

8. Una población de bacterias crece según el modelo: P(t) = 2 . 3t, donde t es la cantidad de
minutos transcurridos desde el inicio de la medición. ¿Cuántos minutos habrá que esperar
para que el número de bacterias sea 1.000?
Según el enunciado, debe cumplirse que: P(t) = 2 . 3t = 1000.
Aplicando logaritmo a ambos lados:
log (2 . 3t) = log (1000)
log 2 + t log 3 = 3
4. Aplicaciones de los logaritmos
Los logaritmos tienen variadas aplicaciones en modelos de fenómenos naturales y sociales:
una de ellas es la escala Richter.
Escala Richter
Una escala habitualmente utilizada en la medición de la intensidad de los sismos es la
escala Richter. Los grados de intensidad se calculan mediante la expresión
R = ,
donde A es la amplitud medida en micrómetros (1 micrómetro = 10-4 cm) y p es el período
medido en segundos.
Ejemplo:
¿Cuál es la magnitud de un sismo en la escala Richter si la amplitud es 10-2 cm y su
período es de 1 segundo?
Solución: Como 1 micrómetro = 10-4 cm, entonces 10-2 cm equivalen a 102 micrómetros.
Entonces la cantidad de grados Richter R es:
grados.
PROGRESIONES E INTERÉS COMPUESTO
1. Sucesión.
Las sucesiones son series o cadenas finitas o infinitas de números reales ordenados. Cada
uno de los elementos de una sucesión recibe el nombre de término y se designan, en
general, como a1 (el primer término), a2 (el segundo término), a3 (el tercer término) y así
sucesivamente, hasta el término general de orden n o n-ésimo término, an. En general,
una sucesión de números reales se escribe
a1, a2, a3, … , an, …
donde el subíndice indica la posición que ocupa el término en la sucesión.

9. En general, una sucesión tiene una regla o fórmula mediante la cual es posible generar
cualquiera de sus términos.
Ejemplo 1. Dada la sucesión: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, … , que corresponde a la serie de los
números impares, el término de orden 1 es a1 = 1, el de orden 2 es a2 = 3, el de orden 5
es a5 = 9 y el término general de orden n es an = 2n + 1. Con esta fórmula podemos
calcular cualquier término de la serie reemplazando la variable n por el valor deseado.
a12 = 2 • 12 + 1 = 25 ; a255 = 2 • 255 + 1 = 511
Ejemplo 2. Dada la sucesión: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, … , se trata de las
potencias de base 2 y el término general de la sucesión es an= 2n
2. Progresión aritmética
Una progresión aritmética es una sucesión infinita de números reales a1, a2, a3, … , ak - 1,
ak, ak + 1, … , an , … , tal que cada término se obtiene a partir del anterior sumándole un
número fijo d llamado diferencia. Es decir, en una progresión aritmética, la diferencia entre
dos términos consecutivos cualesquiera siempre es d.
ak = ak - 1 + d , o bien, ak – ak - 1 = d
Ejemplo. La sucesión 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, … es una progresión aritmética de
diferencia d = 4.
En una progresión aritmética de primer término a1 y diferencia d, el n-ésimo término o
término general an se obtiene por la fórmula
Ejemplo. Dada la progresión aritmética: 7 , 12 , 17 , 22 , 27 , 32 , 37, … , el primer término
es a1 = 7 y la diferencia es d = 5. Entonces, el n-ésimo término o término general
será
3. Progresión geométrica
Una progresión geométrica es una sucesión infinita de números reales a1, a2, a3, … , ak -
1, ak, ak + 1, … , an , … , tal que cada término se obtiene a partir del anterior
multiplicándolo por un número fijo r llamado razón. Es decir, en una progresión geométrica,
la razón entre dos términos consecutivos cualesquiera siempre es r.
ak = ak - 1 • r , o bien,
Ejemplo. La sucesión: 2, 6, 18, 54, 162, 486, 1.458, … es una progresión geométrica de
razón r = 3.
En una progresión geométrica de primer término a1 y razón r, el n-ésimo término o término
general an se obtiene por la fórmula .
Ejemplo. Dada la progresión geométrica: 4 , 12 , 36 , 108 , 324 , 972 , 2.916, … , el primer
término es a1 = 4 y la razón es r = 3. Entonces, el n-ésimo término o término general
será .
4. Interés compuesto

10. Se define el interés compuesto como una fórmula de interés simple aplicada a un capital
durante períodos sucesivos, de manera que los intereses generados en un período se
acumulan al capital resultando un nuevo monto inicial para el período siguiente. Es decir, si
se tiene un capital de $10.000 y se invierte al 10% compuesto durante 2 períodos, primero
calculamos el interés simple del primer período ($1.000) y se lo agregamos al capital
($10.000 + $1.000 = $11.000), siendo este nuevo valor el capital inicial del segundo
período, por lo tanto, el interés generado en este segundo período es el 10% pero de
$11.000, lo que arroja una utilidad de $1.100, acumulando un capital final de $12.100.
Si llamamos C al capital inicial de una inversión, r % es el interés arrojado por período
y t es el número de períodos de capitalización, entonces el capital final Cf estará dado por
la fórmula
Ejemplo 1. Se invierten $500.000 en una financiera que otorga un 5% de interés mensual.
¿Cuál es el capital acumulado al cabo de 1 año?
Solución. C = 500.000, r = 5% y t = 12. Entonces,
El capital final es, aproximadamente, $898.000.
Ejemplo 2. Un capital P se invierte al 12% trimestral durante 2 años. ¿Cuál es el capital
final?
Solución. Como los períodos de capitalización son trimestrales y en un año hay 4
trimestres entonces t = 8 trimestres. Luego,
Ejemplo 3. Una población Q crece a una tasa del 2% anual durante 5 años y luego crece al
3% anual durante 3 años más. ¿Cuál es la población final al cabo de los 8 años?
Solución. La población al cabo de los 5 primeros años es de Q • 1,025. Esta cantidad
representa al capital inicial de la segunda etapa de 3 años, por lo tanto, la población final
es de