Métodos de optimización

1. EJERCICIOS DE MÉTODOS DE OPTIMIZACIÓN
República Bolivariana de Venezuela
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Optimización de Sistemas y Funciones
Profesor: Ing. Diógenes Rodríguez
Realizado por:
Br. Ervin J. La Rosa
C.I. 21.323.331
Porlamar, Junio 2014

2. EJERCICIO MÉTODO DE LAGRANGE
Se Necesita Optimizar la siguiente Función
Optimizar Z = 6x3-3y2
Sujeta a la siguiente restricción
s.a = 4x + 2y = 40
Según el método de LaGrange, se aplica la formula L = Z - λ(s.a)
L = 6x3-3y4– λ (4x + 2y = 40)
Salen las 3 ecuaciones
x = 18x2 - 4 λ = 0
y = 12y3 - 2 λ = 0
4x + 2y – 40 = 0

3. EJERCICIO MÉTODO DE LAGRANGE
De manera que:
λ = 4.5x2 = 6y3
Se descubre el valor de x
4x + 4x – 40 = 0  x* = 5
Se descubre el valor de y
4(5) + 2y = 40
y=(-20+40)/2
y*=10
λ = 22.5
Función Optimizada = F(x) = 450

4. EJERCICIO MATRIZ JACOBIANA
El determinante jacobiano de la función F : R3 → R3 definida como:
F (x, y, z) = (x2 + seny , 5y , 4z2)
Se Construye la matriz jacobiana derivando cada variable
J (x, y, z) = 2x cosy 0
0 5 0
0 0 8Z
SE CALCULA EL DETERMINANTE JACOBIANO ELIMINANDO LA MATRIZ CON MAYOR
CANTIDAD DE CEROS (0)
= 5 . 2X 0 = 10X
0 8Z
{ }
| |

5. EJERCICIO CONDICIONES DE KUHN TUCKER
Minimizar la siguiente función
El problema puede ser graficado con
software tal como “Geobra”
Las condiciones de tucker de primer
orden vienen dadas por:

6. EJERCICIO CONDICIONES DE KUHN TUCKER
Como las condiciones aun no están
restringidas se activa de forma
simultanea:
Al calcular los gradientes respectivos
se obtiene:
Lo cual da origen al siguiente sistema
de ecuaciones:
Reemplazando x1=2 y x2=1 podemos
despejar los valores de los
multiplicadores los cuales cumplen con
las condiciones de no negatividad:


7. EXTREMOS NO RESTRICTOS CON DOS
VARIABLES
Dada la función Z = f(x,y) = 2x2 + 3y2 + 18x – 24y +25
Determinar que tipo de punto critico posee
Primero se derivan las variables y para encontrar los
valores se iguala a 0
F(x)=4x + 18 = 0  F(y)= 3y – 24 = 0
Despejamos para ambas variables para conseguir los
valores (x,y):
4x = -18 3y = 24
X= -18/4 = -4,5 y = 24/3 = 8

8. EXTREMOS NO RESTRICTOS CON DOS
VARIABLES
Ahora se sustituyen los valores encontrados en la
función f(x,y)
F(-4.5 , 8) = 2(-4.5)2 + 3(8)2 + 18(-4.5) – 24(8) +25
F(-4.5 , 8) = 2(20.25) + 3(64) + (-81) – 192 + 25
F(-4.5 , 8) = 40.5 + 192 + (-81) – 192 + 25
F(-4.5 , 8) = -15.5
Quiere decir que el punto critico se localiza en el
punto (-4.5, 8, -15.5)

9. EXTREMOS NO RESTRICTOS CON DOS
VARIABLES
Para determinar la naturaleza del punto se deriva
nuevamente las variables
F(x)=4  F(y)= 3
Se evalúa el para determinar el criterio de punto
critico
D (-4.2, 8) = (4)(2) – [0]2
D (-4.2, 8) = 8 > 0
Como se determina que es mayor a 0, entonces el
punto es un mínimo relativo