El documento describe los métodos de Kuhn-Tucker y Lagrange para resolver problemas de optimización con restricciones. El método de Kuhn-Tucker proporciona condiciones necesarias y suficientes para que una solución sea óptima mediante el uso de multiplicadores de Lagrange. Se presenta un ejemplo de aplicación del método de Kuhn-Tucker para encontrar los valores máximos y mínimos de una función sujetos a restricciones.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSIÓN PORLAMAR
ESCUELA ING DE SISTEMSAS
METODOS KUHN TUCKER Y LAGRANGE
MAGNIELYS MATA

2. DEFINICION DEL METODO KUHN TUCKER
En programación matemática, las condiciones
de KarushKuhn-Tucker (también conocidas
como las condiciones KKT o Kuhn-Tucker) son
condiciones necesarias y suficientes para que la
solución de un problema de programación
matemática sea óptima. Es una generalización
los Multiplicadores de Lagrange.
Las condiciones de Kuhn-Tucker para el problema máximo x f (x) en g j (x) ≤ c j
para j= 1, ..., m
se L i '(x) = 0 para i = 1 ,..., n 0 λ ≥ j, j g (x) y c ≤ λ j j [j g (x) - c j] = 0 para j = 1, ..., m,
donde L (x) = f (x) - Σ j = 1 λ m j (j g (x) - c j).

3. APLICACIÓN DEL METODO KUHN TUCKER
Básicamente el procedimiento consiste
en resolver el problema no lineal como uno sin
restricciones, luego si la solución óptima de dicho
problema no cumple la totalidad o parte de las
restricciones del problema se activan dichas
restricciones (en conjunto y/o secuencialmente) y
se resuelve nuevamente.
EJEMPLO:
Encuentre los valores mínimo y máximo de la Función f(x1, x2) = 3−x1−x2
sujeta a las Restricciones 0≤x1, 0≤ x2 y 2x1 + x2≤ 2.
Solución:
Primero cambiemos las restricciones a la forma
gi ≤0: 0 ≤ x 1→ g1 = − x1 ≤ 0 0≤x2→g2=−x2≤0 x1+x2≤2→g3=2x1+x2−2≤0

4. Opt f(xi) s.a. g(xi) ≤ ci
para cualquier i =1, … n.
Dependiendo de si queremos maximizar o minimizar la función objetivo
elegiremos unos multiplicadores de Lagrange positivos o negativos
Si queremos Max f(xi) Si Min f(xi)
λ > 0 λ < 0
Teniendo en cuenta que Max f(xi) = - Min f(xi)
Podremos construir la función lagranjiana de la forma:
L (xi , λi)= f(xi) - ∑λi( g(xi) – ci )

5. A b
CONDICIONES DE PRIMER
ORDEN
∂ L (xi , λi)
∂ xi
= 0
CONDICIONES DE HOLGURA
COMPLEMENTARIA
λi( g(xi) – ci ) = 0

6. c d
En todos los casos
debemos comprobar
que se cumple:
g(xi) ≤ ci
Los multiplicadores de
Lagrange deben coincidir
con el problema de
optimización:
Si maximizamos, es λ > 0 ?
Si minimizamos, es λ < 0 ?

7. Ejercicio Condiciones Kuhn-Tucker
El método de solución procede de la siguiente manera. Cambiemos cada
restricción de desigualdad gi≤0 a una restricción de igualdad introduciendo
una variable Si de la siguiente manera:

9. Método Multiplicadores de Lagrange
Los multiplicadores de Lagrange, son un
método para trabajar con funciones de varias variables
que nos interesa maximizar o minimizar, y está sujeta a
ciertas restricciones.

10. Aplicaciones

11. Ejemplo #1 :Con Una Restricción
La función de producción de Cobb- Douglas para un cierto
fabricante viene dada por donde denota las unidades de trabajo (Q. 150.00
unidades) e las unidades de capital (Q 250.00 la unidad) Hallar el máximo
nivel de producción admisible para este fabricante, si tiene el coste
conjunto de trabajo y capital limitado a Q50000.00

12. Ejemplo # 2: Con Dos Restricciones