5 teoría relatividad

TEORÍA DE LA RELATIVIDAD
Fuente: Sears Zemansky
Contenido:
1. Sistemas de referencia
2. Invariabilidad de las leyes físicas (postulados de Einstein)
3. Relatividad de la simultaneidad
4. Relatividad de los intervalos de tiempo
5. Tiempo propio
6. La paradoja de los gemelos
7. Relatividad de la longitud
8. Transformaciones de coordenadas de Lorentz
9. Transformaciones de velocidades de Lorentz
10. Efecto Doppler en ondas electromagnéticas
11. Cantidad de movimiento relativista
12. Trabajo y energía relativista
13. Mecánica ondulatoria y relatividad
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Cátedra de Física III Facultad de Ingeniería U.N.A.
Prof. Ing. Ricardo Giménez Tarrés

Sistemas de referencia
Un sistema de referencia inercial es aquel en el que las leyes del
movimiento cumplen las leyes de Newton.
Características de un sistema de referencia inercial
- El punto de referencia es arbitrario, dado un sistema de referencia
inercial, cualquier otro sistema desplazado respecto al primero a una
distancia fija sigue siendo inercial
- La orientación de los ejes es arbitraria, dado un sistema de referencia
inercial, cualquier otro sistema de referencia con otra orientación
distinta del primero, sigue siendo inercial.
- Desplazamiento a velocidad lineal constante, dado un sistema de
referencia inercial, cualquier otro que se desplace con velocidad lineal
y constante, sigue siendo inercial
Características de un sistema de referencia no inercial
- Dado un sistema de referencia inercial, cualquier otro que se mueva
con aceleración lineal respecto al primero es no inercial
- Dado un sistema de referencia inercial, cualquier otro cuyos ejes roten,
con velocidad de rotación constante o variable, respecto a los del
primero, no es inercial.
Invariabilidad de las leyes físicas
Los postulados de la “teoría especial de la relatividad” de Einstein describe
lo que ve un observador que se halla en un marco inercial de referencia:
Primer Postulado de Einstein
“Principio de relatividad”: las leyes de la física son las mismas en todos los
marcos inerciales de referencia.
Si las leyes fuesen diferentes, esa diferencia permitiría distinguir un marco
inercial de los otros, o haría que un marco fuese más correcto que otro.
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Segundo postulado de Einstein
La rapidez de la luz en un vacío es la misma en todos los marcos inerciales
de referencia y es independiente del movimiento de la fuente.
Supóngase que dos observadores miden la rapidez de la luz en el vacío.
Uno de ellos está en reposo respecto de la fuente de luz y el otro se aleja de
ella. Ambos están en marcos inerciales de referencia. Los dos observadores
deben obtener el mismo resultado aún cuando uno de ellos se desplaza
respecto al otro.
Ejemplos:
Una nave espacial (S’) se desplaza con una rapidez de 1.000 m/s respecto a
un observador situado en la tierra (S). Se dispara un misil con una rapidez
de 2.000 m/s respecto a la nave espacial.
De acuerdo a la mecánica newtoniana, el misil de desplaza con una rapidez
de 3.000 m/s respecto al observador que está en la Tierra, lo cual es
correcto
La nave espacial (S’) que se desplaza con una rapidez de 1.000 m/s
respecto al observador situado en la tierra (S), emite un haz luminoso que
viaja a la velocidad de la luz (c).
De acuerdo a la mecánica newtoniana, el haz luminoso se desplaza con
mayor rapidez que “c” respecto a la Tierra. Esto es incorrecto porque
contradice el segundo postulado de Einstein.
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Efectos
El segundo postulado de Einstein implica el siguiente resultado: “es
imposible que un observador inercial viaje a la velocidad de la luz en el
vacío”.
Supóngase que la nave espacial (S’) se desplaza con la velocidad de la luz
(c) respecto a un observador que se encuentra en la Tierra. Si la nave
espacial enciende un faro, el segundo postulado afirma que el observador
terrestre (S) encuentra que el haz del faro también se desplaza a “c”. Las
mediciones de este observador le indican que el haz del faro y la nave
espacial se desplazan juntos y siempre están en el mismo punto del espacio.
Pero el segundo postulado también afirma que el haz del faro se desplaza
con una rapidez “c” respecto a la nave espacial, de modo que no pueden
hallarse en el mismo punto del espacio. Este resultado contradictorio solo
se evita si es imposible que un observador inercial, como el pasajero de la
nave espacial, se desplace a “c”.
En la figura, un marco de referencia inercial (S’) se desplaza respecto al
marco (S) con una velocidad constante (u) a lo largo del eje común (x-x’).
Los orígenes (O) y (O’) coinciden en el tiempo (t = t’ = 0)
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La posición de una partícula (P) se puede describir mediante las
coordenadas (x , y , z) en el marco de referencia (S) o mediante (x’ , y’ , z’)
en el marco (S’).
La relación entre ellas es la “transformación galileana de coordenadas”:
x = x’ + u t
y = y’
z = z’
Si la partícula (P) se desplaza en la dirección (x), su velocidad instantánea
(vx) medida por un observador inmóvil en (S) es: vx = dx / dt
De igual modo, su velocidad (v’x) medida por un observador inmóvil en
(S’) es: v’x = dx’ / dt
Derivando la transformación galileana de coordenadas resulta la
“transformación galileana de velocidades” correspondiente a un
movimiento unidimensional:
dx / dt = dx’ / dt + u
vx = v’x + u
Si aplicamos la transformación galileana de velocidades a la rapidez de la
luz en un vacío, resulta la ecuación:
c = c’ + u
El segundo postulado de Einstein afirma que la velocidad de la luz es la
misma en todos los marcos inerciales de referencia, es decir:
c = c’
Esto es una incongruencia. Si aceptamos el segundo postulado de Einstein
concluimos que las transformaciones galileanas no son exactamente
correctas, y es necesario modificarlas para adecuarlas a este principio. La
resolución implica modificaciones de carácter fundamental a los conceptos
cinemáticas.
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Relatividad de la simultaneidad
La medición de tiempos e intervalos de tiempo implica el concepto de
“simultaneidad”. En un marco de referencia dado, un suceso es un
acontecimiento con una posición y un tiempo definidos. En general, dos
sucesos que son simultáneos en un marco de referencia no lo son en un
segundo marco que se desplaza respecto al primero, aún cuando ambos son
marcos inerciales.
Un tren se desplaza con una velocidad uniforme comparable a “c”. Caen
dos rayos en un vagón de pasajeros, uno cerca de cada extremo. Cada rayo
deja una marca en el vagón (puntos A’ y B’) y otra en el suelo (puntos A y
B) en el instante en que cae. El observador en el marco S llamado Sergio,
se encuentra inmóvil en el suelo en O, equidistante de A y B. El observador
en el marco S’ llamada Magda se mueve junto con el tren en O’, a la mitad
del vagón de pasajeros, equidistante de A’ y B’. Tanto Sergio como Magda
ven los destellos luminosos emitidos desde los puntos donde cayeron los
rayos.
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Los dos frentes de onda generados por la caída de los rayos llegan a Sergio
en O simultáneamente, y como está a la misma distancia de A y de B,
concluye que ambos rayos cayeron simultáneamente en A y en B.
Magda coincide en que los dos frentes de onda llegaron a Sergio al mismo
tiempo, pero no está de acuerdo en que los destellos fueron emitidos
simultáneamente.
Sergio y Magda coinciden en que los dos frentes de onda no llegan a
Magda al mismo tiempo.
Magda en O’ se desplaza hacia la derecha junto con el tren y se encuentra
con el frente de onda proveniente de B’ antes que el frente de onda
proveniente de A’. Sin embargo, como Magda está en la mitad de vagón a
la misma distancia de A’ y B’, observa que ambos frentes de onda tardaron
el mismo tiempo en llegar a ella porque ambos recorrieron la misma
distancia con la misma velocidad “c”, y concluye que el rayo de B’ cayó
antes que el rayo de A’.
Sergio en O encuentra que los dos sucesos son simultáneos, en cambio
Magda en O’ concluye que no son simultáneos. El hecho que dos sucesos
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en diferentes ubicaciones del eje de las “x” sean simultáneos o no depende
del estado de movimiento del observador.
De acuerdo con el principio de relatividad, ningún marco inercial de
referencia es más correcto que otro para la formulación de leyes físicas.
Cada observador está en lo correcto en su propio marco de referencia.
La simultaneidad no es un concepto absoluto. El que dos sucesos sean
simultáneos depende del marco de referencia. El intervalo de tiempo entre
dos sucesos puede ser diferente en distintos marcos de referencia.
Relatividad de los intervalos de tiempo
Un marco de referencia S’ de desplaza a lo largo de un eje común x-x’ con
rapidez constante “u” respecto a un marco S (u debe ser menor que c).
Magda, que viaja junto con el marco S’, mide el intervalo de tiempo entre
dos sucesos que ocurren en el mismo punto del espacio: el suceso (1)
correspondiente al momento en que parte de O’ un destello de luz de una
fuente luminosa y el suceso (2) cuando el destello regresa a O’ luego de
hacerse reflejado en un espejo situado a una distancia “d”, como se muestra
en la figura.
El destello de luz recorre una distancia total “2 d”, y el intervalo de tiempo
“t0” (aparato en reposo en el marco S’) es:
t0 = 2 d / c
Sergio en el marco S observa los dos sucesos, y el tiempo de recorrido de
ida y vuelta es un intervalo “t” diferente porque en su marco de referencia
los dos sucesos ocurren en puntos diferentes del espacio.
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Durante el tiempo “t” que mide Sergio la fuente se desplaza respecto a S
una distancia “u t” y la distancia de recorrido de ida y vuelta de la luz es
una distancia más grande “2 l”.
l =  d2 + (u t / 2)2 1/2
t = 2 l / c
t = (2 / c)  d2 + (u t / 2)2 1/2
t = (2 / c)  (c t0 / 2)2 + (u t / 2)2 1/2
t2 = (2 / c)2  (c t0 / 2)2 + (u t / 2)2 
t2 = (4 / c2)  (c2 t0
2 / 4) + (u2 t2 / 4) 
t2 = t0
2 + u2 t2 / c2
t2 – t2 u2 / c2 = t0
2
t2 ( 1 – u2 / c2) = t0
2
t = t0 / ( 1 – u2 / c2) 1/2
Conclusión: si en un marco de referencia ocurren dos sucesos en un mismo
punto del espacio, el intervalo de tiempo entre estos sucesos, medido por
un observador en reposo en este marco llamado “marco en reposo” es
“t0”. Un observador en un segundo marco que se desplaza con rapidez
constante “u” respecto al marco en reposo, medirá un intervalo de tiempo
“t”, siendo:
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O bien:
t = t0 / ( 1 – u2 / c2) ½ ... dilatación del tiempo
t =  t0 ... dilatación del tiempo
 = 1 / ( 1 – u2 / c2) ½
En la figura se muestra una gráfica de ”” en función de “u”.
Cuando “u” es muy pequeña en comparación con “c” el valor de “” se
acerca a 1. En el límite, la ecuación de dilatación del tiempo tiende a la
relación newtoniana: t = t0.
Tiempo propio
Se utiliza el término “tiempo propio” para describir el intervalo de tiempo
“t0” entre dos sucesos que ocurren en el mismo punto en un determinado
marco inercial de referencia denominado “marco en reposo”.
La paradoja de los gemelos
La ecuación de la dilatación del tiempo sugiere una paradoja aparente
llamada “paradoja de los gemelos”.
Considérese dos gemelas idénticas llamadas Teresa y Estrella. Teresa
permanece en la Tierra mientras su gemela Estrella viaja a gran velocidad a
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través de la galaxia. Debido a la dilatación del tiempo Teresa observa que
los procesos vitales de Estrella se llevan a cabo más lentamente que los
suyos, por tanto, para Teresa, Estrella envejece más despacio, y cuando
regrese a la Tierra Estrella será más joven que Teresa.
Todos los marcos inerciales de referencia son equivalentes, por tanto,
Estrella puede emplear los mismos argumentos para concluir que Teresa
será la más joven.
Las mediciones de cada gemela indican que la otra es más joven cuando se
reúnan de nuevo, y esto constituye una paradoja.
Relatividad de la longitud
No solo el intervalo de tiempo entre dos sucesos depende del marco de
referencia del observador, también la distancia entre dos puntos puede
depender del marco de referencia del observador. En esta definición
también interviene el concepto de simultaneidad.
Longitudes paralelas al movimiento relativo
Una fuente de luz está fijada en el extremo de una regla y un espejo al otro
extremo. La regla está en reposo en el marco de referencia S’, y su longitud
en este marco es “l0”.
En estas condiciones el tiempo “t0” que requiere la pulsación luminosa
para el recorrido de la fuente al espejo y viceversa es:
t0 = 2 l0 / c
Este tiempo “t0” es un intervalo de tiempo propio, porque la partida y el
regreso ocurren en el mismo punto en S’.
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En el marco de referencia S la regla se desplaza hacia la derecha con
rapidez “u” durante el recorrido de la pulsación luminosa, como se ve en la
figura. La longitud de la regla en S es “l” y el tiempo de recorrido de la
fuente al espejo medido en S es “t1”.
Durante este intervalo de tiempo la regla, junto con la fuente y el espejo, se
desplaza una distancia “u t1”. La longitud total de la trayectoria de la
fuente al espejo no es “l” sino “d”.
d = l + u t1
La pulsación luminosa se propaga con una rapidez “c”, por tanto también
se cumple que:
d = c t1
c t1 = l + u t1
t1 = l / (c – u)
De igual modo se puede demostrar que el tiempo “t2” del recorrido de
regreso del espejo a la fuente es:
t2 = l / (c + u)
El tiempo total “t” del recorrido de ida y vuelta medido en S es:
t = t1 + t2
t = l / (c – u) + l / (c + u)
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t = (l c + l u + l c – l u) / (c2 – c u + c u – u2)
t = 2 l c / (c2 – u2)
t = 2 l / c (1 - u2 / c2)
La ecuación de dilatación del tiempo establece:
t = t0 / ( 1 – u2 / c2) 1/2
2 l / c (1 - u2 / c2) = 2 l0 / c (1 - u2 / c2)1/2
O bien:
l = l0 (1 - u2 / c2)1/2 … contracción de la longitud
l = l0 /  … contracción de la longitud
 = 1 / (1 - u2 / c2)1/2
La longitud “l” medida en S, donde la regla está en movimiento, es más
corta que la longitud “l0” medida en su marco en reposo S’.
La longitud “l0” medida en el marco en el que el cuerpo está en reposo
recibe el nombre de “longitud propia”.
Cuando “u” es muy pequeña en comparación con “c” el valor de “” se
acerca a 1. En el límite, la ecuación de contracción de longitud tiende a la
relación newtoniana: l = l0.
Longitudes perpendiculares al movimiento relativo
Considérese dos piezas de madera idénticas de un metro cada uno. Un
metro está en reposo en el marco S a lo largo del eje de las “y” positivas,
con un extremo en el origen O. El otro metro está en reposo en el marco S’
a lo largo del eje de las “y’ ” positivas, con un extremo en el origen O’. El
marco S’ se desplaza en la dirección “x” positiva respecto al marco S.
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Los observadores Sergio y Magda, en reposo en sus marcos S y S’
respectivamente, se sitúan en la marca de 50 cm de sus metros. En el
instante en que los dos orígenes coinciden, los dos metros están a lo largo
de la misma línea. En ese instante, Magda hace una marca en el metro de
Sergio en el punto que coincide con su propia marca de 50 cm. Sergio hace
lo mismo en el metro de Magda.
Supongamos que Sergio ve el metro de Magda más largo que el suyo. La
marca que Sergio hizo en el metro de Magda estará debajo de su centro.
Magda pensará que el metro de Sergio se ha acortado, porque la mitad de
su longitud coincide con menos de la mitad de la longitud del metro de ella.
Por tanto, Magda ve que los metros en movimiento se acortan y Sergio ve
que se alargan. Esto implica una asimetría entre los dos marcos que
contradice el postulado de la relatividad, que todos los marcos inerciales
son equivalentes.
Se concluye que la congruencia con los postulados de la relatividad exige
que ambos observadores vean las reglas de una misma longitud, no
obstante que para cada observador uno de ellos está inmóvil y el otro en
movimiento.
Por tanto, no hay contracción de longitud perpendicularmente a la dirección
del movimiento relativo de los sistemas de coordenadas.
Longitudes oblicuas al movimiento relativo
Supóngase una varilla en movimiento, de longitud “l0” y formando un
ángulo “0” con la dirección del movimiento relativo (eje x), medido en su
marco en reposo. Su componente de longitud en ese marco paralela al
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movimiento es “l0 cos 0” y su componente de longitud perpendicular al
movimiento es “l0 sen 0”.
Para un observador que se encuentra en otro marco en movimiento respecto
al marco en reposo, la componente de longitud paralela al movimiento se
contrae a “l0 cos 0 / ”, y la componente de longitud perpendicular al
movimiento no cambia.
Transformaciones de coordenadas de Lorentz
Un suceso ocurre en un punto “P” de coordenadas (x, y, z) y en el tiempo
“t” observado en un marco de referencia S. En un marco de referencia S’,
que se desplaza respecto a S con una rapidez constante “u” en la dirección
“x”, el suceso ocurre en el tiempo “t’ ” en las coordenadas (x’, y’, z’).
Los orígenes de los marcos de referencia S y S’ coinciden en el tiempo
inicial: t = t’ = 0. En el marco S la distancia de O a O’ en el tiempo “t” es
“u t”. La coordenada (x’) es una longitud propia en S’, y en S se ha
contraído por el factor “1 / ”.
La distancia “x” de O a P en el marco S no es la transformación galileana
“x = u t + x’ ”, sino:
x = u t + x’ (1 - u2 / c2)1/2
x’ = (x – u t) / (1 - u2 / c2)1/2
El principio de relatividad exige que la transformación de S a S’ sea
idéntica en cuanto a forma a la transformación de S’ a S. La única
diferencia es un cambio en el signo de la componente de la velocidad
relativa “u”. Por tanto:
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x’ = – u t’ + x (1 - u2 / c2)1/2
(x – u t) / (1 - u2 / c2)1/2 = – u t’ + x (1 - u2 / c2)1/2
x / (1 - u2 / c2)1/2 – u t / (1 - u2 / c2)1/2 = – u t’ + x (1 - u2 / c2)1/2
u t’ = u t / (1 - u2 / c2)1/2 – x / (1 - u2 / c2)1/2 + x (1 - u2 / c2)1/2
u t’ = u t / (1 - u2 / c2)1/2 – x / (1 - u2 / c2)1/2 + x (1 - u2 / c2) / (1 - u2 / c2)1/2
u t’ = ( u t – x + x (1 - u2 / c2)) / (1 - u2 / c2)1/2
u t’ = (u t – x (1 – 1 + u2 / c2)) / (1 - u2 / c2)1/2
u t’ = (u t – x u2 / c2) / (1 - u2 / c2)1/2
t’ = (t – x u / c2) / (1 - u2 / c2)1/2
El movimiento no influye en las longitudes perpendiculares a la dirección
del movimiento relativo, por tanto, “y’ = y” y “z’ = z”.
Transformaciones de coordenadas de Lorentz
x’ = (x – u t) / (1 - u2 / c2)1/2 =  (x – u t)
y’ = y
z’ = z
t’ = (t – x u / c2) / (1 - u2 / c2)1/2 =  (t – x u / c2)
El espacio y el tiempo han quedado ligados, ya no se puede afirmar que la
longitud y el tiempo tienen significados absolutos independientes del marco
de referencia. Por ello, el tiempo y las tres dimensiones del espacio es una
entidad tetradimensional llamada “espaciotiempo”, siendo (x, y, z, t) las
“coordenadas del espaciotiempo” de un suceso.
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Transformación de velocidades de Lorentz
Una partícula se desplaza una distancia “dx” en un tiempo “dt” en un
marco de referencia S. La distancia y el tiempo en un marco S’ serán:
dx’ =  (dx – u dt)
dt’ =  (dt – dx u /c2)
dx’ / dt’ = (dx – u dt) / (dt – dx u / c2)
dx’ / dt’ = (dx / dt – u) / (1 – (u / c2) dx / dt)
Siendo “dx / dt” la velocidad “vx” en el marco S, y “dx’ / dt’ ” la velocidad
“v’x” en el marco S’, se obtiene la generalización relativista.
v’x = (vx – u) / (1 – vx u / c2)
Si “u ” y “vx” son mucho menores que “c” la ecuación se transformación de
velocidades de Lorentz se aproxima al resultado no relativista: v’x = vx – u
Si “vx = c” la transformación de velocidades de Lorentz da por resultado:
v’x = (c – u) / (1 – c u / c2)
v’x = (c – u) / (1 – u / c)
v’x = c (c – u) / (c – u)
v’x = c
Este resultado es congruente con el postulado de Einstein de que la rapidez
de la luz en el vacío es la misma en todos los marcos inerciales de
referencia.
La expresión de “vx” en términos de “v’x” debe tener la misma forma y con
el signo de “u” invertido.
vx = (v’x + u) / (1 + v’x u / c2)
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Las transformaciones de velocidades de Lorentz demuestran que un cuerpo
que se desplaza con rapidez menor que “c” en un marco de referencia
siempre tiene una rapidez menor que “c” en cualquier otro marco de
referencia. Esta es una de las razones por las que se concluye que ningún
cuerpo material puede viajar con una rapidez igual o mayor que la de la luz
en el vacío.
Efecto Doppler en ondas electromagnéticas
Una fuente de luz que se desplaza con rapidez “u” respecto a un
observador, emite una cresta de onda. Cuando recorre una distancia “u T”
hacia el observador emite la siguiente cresta.
En el marco de referencia S del observador, la segunda cresta se halla a una
distancia “” atrás de la primera.
Medida en su marco en reposo, la fuente emite ondas luminosas de
frecuencia “f0” y período “T0 = 1 / f0”.
“T” es el intervalo de tiempo entre la emisión de crestas de onda observado
en el marco de referencia del observador. Durante ese tiempo, las crestas
que van delante de la fuente recorren una distancia “c T”, y la fuente de
desplaza una distancia más corta “u T” en la misma dirección.
Para el observador la longitud de onda “” es la distancia entre crestas
sucesivas, y la frecuencia que mide es “c / ”.
 = c T – u T
 = (c – u) T
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f = c / 
f = c / (c – u) T
T = c / (c – u) f
1 / T = (c – u) f / c
Desde el punto de vista relativista, debido a la dilatación del tiempo “T” no
es igual a “T0”. El tiempo “T0” se mide en el marco en reposo de la fuente,
por lo que es un tiempo propio.
T = T0 / (1 - u2 / c2)1/2
T = c T0 / (c2 – u2)1/2
1 / T = (c2 – u2)1/2 / (c T0)
1 / T = f0 (c2 – u2)1/2 / c
(c – u) f / c = f0 (c2 – u2)1/2 / c
f = f0 (c2 – u2)1/2 / (c – u)
f = f0 (c + u)1/2 (c – u)1/2 / (c – u)
La ecuación de efecto Doppler para las ondas electromagnéticas es
f = f0 (c + u)1/2 / (c – u)1/2
En la ecuación la velocidad relativa “u” tiene el siguiente signo:
“u” es (+) si la fuente se acerca al observador
“u” es (-) si la fuente se aleja del observador
En el caso de la luz, a diferencia del sonido, no existe distinción alguna
entre el movimiento de la fuente y el movimiento del observador, solo
importa la velocidad relativa entre ellos.
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Cantidad de movimiento relativista
El principio de conservación de la cantidad de movimiento afirma que
“cuando dos cuerpos interactúan, la cantidad de movimiento total es
constante, siempre y cuando la fuerza externa neta que actúa sobre los
cuerpos en un marco inercial de referencia sea cero” (sistema aislado en el
que interactúan solo uno con otro).
Si la conservación de la cantidad de movimiento es una ley física válida,
debe ser válida en todos los marcos inerciales de referencia.
Observamos una colisión en un sistema inercial de coordenadas S y
encontramos que se conserva la cantidad de movimiento. Aplicamos la
transformación de Lorentz para obtener las velocidades en un segundo
sistema inercial S’ y encontramos que al aplicar la definición newtoniana
de cantidad de movimiento “p = m v”, la cantidad de movimiento no se
conserva en el segundo sistema.
Si el principio de relatividad y la transformación de Lorentz son correctos,
la única forma de seguir conservando la cantidad de movimiento es
generalizar la definición de cantidad de movimiento.
Sin deducir la generalización relativista de la cantidad de movimiento,
aplicaremos directamente el siguiente resultado:
masa en reposo: masa “m” medida de una partícula cuando está en reposo
partícula material: partícula cuya masa en reposo es diferente de cero
v: velocidad de la partícula material
p: cantidad de movimiento relativista
p = m v / (1 – v2 / c2)1/2
Cuando la rapidez “v” de la partícula es mucho menor que “c” la expresión
de la cantidad de movimiento relativista es aproximadamente igual a la
expresión newtoniana “p = m v”. En general, la magnitud de la cantidad de
movimiento es mayor que “m v”, y conforme “v” tiende a “c” la cantidad
de movimiento tiende a infinito.
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Segunda Ley de Newton
En la mecánica newtoniana la forma más general de la segunda ley de
Newton es:
F = dp / dt
Este resultado conserva su validez en la mecánica relativista, siempre y
cuando se utilice la cantidad de movimiento relativista.
F = d/dt m v / (1 – v2 / c2)1/2
Debido a que la cantidad de movimiento ya no es directamente
proporcional a la velocidad, la rapidez del cambio de la cantidad de
movimiento ha dejado de ser directamente proporcional a la aceleración.
En consecuencia, una fuerza constante no produce una aceleración
constante.
Si la fuerza neta y la velocidad están dirigidas a lo largo del eje “x”, la
derivada da por resultado:
F = m a / (1 – v2 / c2)3/2 …… “F” y “v” a lo largo de la misma línea
En este caso, la aceleración “a” también está a lo largo del eje de las “x”.
a = (F / m) (1 – v2 / c2)3/2
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A medida que la rapidez de una partícula aumenta, la aceleración
provocada por la fuerza disminuye constantemente. Cuando la rapidez
tiende a “c” la aceleración tiende a cero, sin importar el valor de la fuerza.
Algunos físicos interpretan la ecuación de la cantidad de movimiento
relativista en el sentido de que una partícula que se desplaza con rapidez
sufre un aumento de masa. Si la masa a velocidad nula (masa en reposo) es
“m”, la masa relativista “mrel” es:
mrel = m / (1 – v2 / c2)1/2
De hecho, cuando se considera el movimiento de un sistema de partículas,
como por ejemplo las moléculas en rápido movimiento de un gas ideal en
un recipiente inmóvil, la masa total en reposo del sistema es la suma de las
masas relativistas de las partículas y no la suma de sus masas en reposo.
Sin embargo, la aplicación a ciegas del concepto de masa relativista
presenta inconvenientes. En la generalización relativista de la segunda ley
de Newton puede verificarse que:
F  mrel a
En la mayor parte de los casos trataremos con partículas individuales y
utilizaremos la definición generalizada de la cantidad de movimiento, con
“m” como una constante de cada partícula independientemente de su estado
de movimiento.
Si una partícula tiene un movimiento circular uniforme con rapidez
constante “v”, la fuerza total y la velocidad son perpendiculares, por tanto,
la fuerza no puede realizar trabajo sobre la partícula, y la energía cinética y
la rapidez permanecen constantes. En este caso la derivada con respecto al
tiempo de la cantidad de movimiento relativista da por resultado:
F = m a / (1 – v2 / c2)1/2 …… “F” y “v” perpendiculares
Si la partícula se mueve en círculo, la fuerza neta y la aceleración están
dirigidas hacia adentro a lo largo del radio.
Haciendo:  = 1 / (1 – v2 / c2)1/2
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p =  m v …… cantidad de movimiento relativista
F = 3 m a …… “F” y “v” a lo largo de la misma línea
F =  m a …… “F” y “v” perpendiculares
 = 1 / (1 – v2 / c2)1/2
Si la fuerza “F” y la rapidez “v” no están a lo largo de una misma línea ni
tampoco son perpendiculares, la fuerza total “F” en cualquier instante se
resuelve en sus componentes paralela y perpendicular a “v”. La aceleración
resultante tendrá componentes para cada fuerza (paralela y perpendicular).
Debido a que los factores “3” y “” son diferentes, las componentes de la
aceleración no serán proporcionales a las componentes de la fuerza neta, es
decir: “a menos que la fuerza neta sobre una partícula relativista esté a lo
largo de la misma línea que la velocidad de la partícula o bien sea
perpendicular a ella, los vectores de fuerza total y de aceleración no son
paralelos”.
Trabajo y energía relativistas
Cuando la fuerza neta y el desplazamiento tienen la misma dirección, el
trabajo efectuado por la fuerza es:
W =  F dx
Sustituyendo “F” por su ecuación relativista y al desplazar una partícula de
masa en reposo “m” desde el punto “x1” al punto “x2”, el trabajo es:
La energía cinética de una partícula es igual al trabajo total realizado sobre
ella al llevarla del reposo a la rapidez “v”. Fijemos la rapidez en cero en el
punto “x1” y en “vx” en el punto “x2”, siendo “vx” la componente en “x” de
la velocidad de la partícula cuando la fuerza neta la acelera del reposo a
una rapidez “v”.
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a = dvx / dt
a dx = (dvx / dt) dx
a dx = dx dvx / dt
a dx = (dx / dt) dvx
a dx = vx dvx
El resultado de la integral es:
Energía cinética relativista
K = m c2 / (1 – v2 / c2)1/2 – m c2
K = ( - 1) m c2
 = 1 / (1 – v2 / c2)1/2
Conforme “v” tiene a “c”, la energía cinética tiende a ser infinita.
Si la ecuación de energía cinética relativista es correcta, debe tender a la
expresión newtoniana “K = ½ m v2” cuando “v” es mucho más pequeña
que “c”.
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Para verificar expandimos el radical mediante el teorema del binomio en la
forma:
(1 + x)n = 1 + n x + n (n – 1) x2 / 2 + …
En este caso: n = -1/2
x = - v2 / c2
 = (1 - v2 / c2)-1/2 = 1 + 1/2 v2 / c2 + 3/8 v4 / c4 + …
K = (1 + 1/2 v2 / c2 + 3/8 v4 / c4 + … – 1) m c2
K = 1/2 m v2 + 3/8 m v4 / c2 + …
Cuando “v” es mucho más pequeña que “c”, todos los términos de la serie,
salvo el primero, son insignificantemente pequeños, u obtenemos la
expresión newtoniana.
Energía en reposo
La ecuación de energía cinética incluye un primer término de energía que
depende del movimiento “m c2 / (1 – v2 / c2)1/2” y un segundo término que
es independiente del movimiento “m c2”.
Se puede reformular la ecuación haciendo que la energía cinética de una
partícula es la diferencia entre cierta energía total “E” y una energía “m c2”
que tiene incluso cuando está en reposo.
Energía total de una partícula
E = K + m c2
E = m c2 / (1 – v2 / c2)1/2 =  m c2
 = 1 / (1 – v2 / c2)1/2
Si: K = 0 (partícula en reposo): E = m c2
La energía “m c2” asociada con la masa en reposo “m” y no con el
movimiento, se llama “energía en reposo” de la partícula.
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Existen pruebas experimentales que demuestran la existencia de la energía
en reposo. Un ejemplo es la desintegración del pión neutro, que se trata de
una partícula subatómica de masa en reposo “m”. Cuando el pión neutro se
desintegra, desaparece, y en su lugar aparece radiación electromagnética. Si
un pión neutro no tiene energía cinética antes de desintegrarse, la energía
total de la radiación una vez que se ha desintegrado resulta exactamente
igual a “m c2”
Principio de conservación de masa y energía
Los principios de conservación de la masa y de la energía se descubrieron
de modo independiente. La teoría de la relatividad muestra que se en
realidad se trata de dos casos especiales de un solo principio de
conservación más amplio, llamada “principio de conservación de la masa y
la energía”.
En ciertos fenómenos físicos, ni la suma de las masas en reposo de las
partículas ni la energía total distinta de la energía en reposo, se conservan
por separado. Pero hay un principio de conservación más general que
establece: en un sistema aislado cuando la suma de las masas en reposo
cambia, siempre hay un cambio equivalente a “1 / c2” veces la energía total
distinta de la energía en reposo. Este cambio es de la misma magnitud que
el cambio de la suma de las masas en reposo, aunque de signo opuesto.
Esta ley más general de conservación de la masa y la energía es el principio
fundamental en el que se basa la generación de energía por medio de
reacciones nucleares. Cuando un núcleo de uranio sufre fisión es un reactor
nuclear, la suma de las mas en reposo de los fragmentos resultantes en
menor que la masa en reposo del núcleo original. Se libera una cantidad de
energía equivalente al producto de la disminución de la masa por “c2”. La
mayor parte de esta energía se puede utilizar para producir vapor de agua, y
con ello mover turbinas para generar energía eléctrica.
También se puede relacionar la energía total “E” con la cantidad de
movimiento “p” de la siguiente manera:
E = m c2 / (1 – v2 / c2)1/2
E / m c2 = 1 / (1 – v2 / c2)1/2
(E / m c2)2 = 1 / (1 – v2 / c2)
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p = m v / (1 – v2 / c2)1/2
p = m v (c / c) / (1 – v2 / c2)1/2
p / m c = (v / c) / (1 – v2 / c2)1/2
(p / m c)2 = (v2 / c2) / (1 – v2 / c2)
(E / m c2)2 – (p / m c)2 = 1 / (1 – v2 / c2) – (v2 / c2) / (1 – v2 / c2)
(E / m c2)2 – (p / m c)2 = (1 – v2 / c2) / (1 – v2 / c2)
(E / m c2)2 – (p / m c)2 = 1
(E / m c2)2 – (p c / m c2)2 = 1
(E2 – (p c)2) / (m c2)2 = 1
E2 – (p c)2 = (m c2)2
E2 = (m c2)2 + (p c)2
E: energía total
m c2: energía en reposo
p: cantidad de movimiento
Si: p = 0 (partícula en reposo): E = m c2
La ecuación también sugiere que una partícula puede tener energía y
cantidad de movimiento incluso cuando carece de masa en reposo.
Si: m = 0 (cero masa en reposo): E = p c
Existen partículas con masa en reposo nula. Estas partículas siempre viajan
a la rapidez de la luz en el vacío. Un ejemplo es el fotón (radiación
electromagnética).
Mecánica newtoniana y relatividad
El principio de relatividad exige cambios en la mecánica newtoniana, como
los conceptos de longitud y tiempo, las ecuaciones del movimiento y los
principios de conservación. Las leyes de la mecánica newtoniana no son
erróneas sino incompletas, son aproximadamente correctas siempre que la
rapidez sea pequeña en comparación con la rapidez de la luz en el vacío. En
estos casos, los cambios con tan minúsculos que resulta imposible
observarlos. Los principios de la mecánica newtoniana son un caso especial
de la formulación relativista de carácter más general.
Analicemos ahora como se podría ampliar el principio de relatividad para
abarcar también los marcos no inerciales.
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Imaginemos una persona que se lanza al vacío encerrado en una caja.
Durante su caída libre la persona puede flotar en el aire en el interior de la
caja. No cae al piso porque tanto la persona como la caja están en caída
libre con una aceleración de la gravedad hacia abajo. Otra interpretación
tiene la persona en el interior de la caja, es que no cae al piso porque su
interacción gravitatoria con la tierra ha sido suspendida. En tanto
permanezca en la caja y en caída libre, la persona no puede saber si
efectivamente está en caída libre o si la interacción gravitatoria ha
desaparecido.
Estas observaciones constituyen la base de la “teoría general de la
relatividad”. Si no podemos distinguir experimentalmente entre un campo
gravitacional uniforme en un lugar en particular y un marco de referencia
uniformemente acelerado, entonces no puede haber una distinción real
entre los dos.
Se puede tratar de representar cualquier campo gravitacional en términos
de características especiales del sistema de coordenadas, pero resulta que
esto exige revisiones aún más radicales de los conceptos de espacio y
tiempo que la teoría especial de la relatividad. En la teoría general de la
relatividad, las propiedades geométricas del espacio son no euclidianas en
general.
Representación bidimensional del espacio curvo
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