Solucion de problemas con integrales relacionas con la realidad

1. 1
3.2. SEGUNDA ETAPA: ESTUDIO DE CASOS
3.2.1. Caso1
Monitoreo Satelital del Mar Peruano.
El Instituto de Mar del Perú – IMARPE- es un organismo técnico
especializado del Ministerio de la Producción, orientado a la investigación
científica, así como al estudio y conocimiento del mar peruano y sus
recursos, para asesorar al Estado en la toma de decisiones respecto al
uso racional de los recursos pesqueros y la conservación del ambiente
marino, contribuyendo activamente con el desarrollo del país. Este
organismo cuenta con el área funcional de sensoramiento remoto
encargada del monitoreo satelital diario de parámetros oceanográficos del
mar peruano. En la figura adjunta se muestran las curvas de nivel para la
temperatura superficial del mar peruano peruano (𝑥, 𝑦), llamadas
isotermas, desde Huacho hasta Marcona, donde indica la longitud e la
latitud.
a) Ustedespueden apreciar que en algunas zonasde la figura adjunta
las curvas de nivel están cerca unas de otras y en otras zonas las
curvas de nivel están alejadas entre sí. ¿Qué significa esto en
términos del comportamiento de la temperatura del mar?
Explique y justifique su respuesta.
Podemos hacer una relación entre cambio temperatura y deformación de
un relieve de terreno
Mientras que en las curvas de nivel de un terreno nos indican la altitud del
terreno, y si se observan curvas de nivel juntas eso indica que el lugar
presenta una mayor pendiente mientras que cuando están separadas se
halla una zona sin desnivel ósea zonas planas.
Haciendo esta analogía podemos decir que las curvas de nivel con
relación a la temperatura que se hallan más juntas en el plano mostrado

2. 2
nos dice que hay un cambio brusco de temperatura y en las zonas donde
las curvas están más dispersas la temperatura se mantiene constante.
b) Si una embarcación pesquera se desplaza a lo largo de cualquier
curva de nivel, ¿Se producealgún cambio en la temperatura del mar?
Justifique su respuesta.
No porque sigue en la curva y cada curva nos muestra una temperatura
única para la curva, si la embarcación no sale de la curva la temperatura
del mar siempre se mantendrá constante.
c) Use el mapa de contorno, con una escala apropiada, para estimar el
valor de la derivada direccional de la temperatura del mar frente a
Pisco, para el punto 14°S de latitud y 79°W de longitud, en la
dirección al sur-oeste.
En la posición indicada:
𝑇 = 20° 𝐶
d) Considerandola zonadel mapa, en la Figura 4, limitada entre los 11°S
y 16°S de latitud, y desde los 78°W hasta 82°W de longitud, estime la
temperatura promedio del mar peruano el día 26 de febrero del 2017.
11° 𝑆 𝑦 16° 𝑆
78°𝑊 𝑦 82° 𝑊
Entonces:
13,5° 𝑆 𝑦 80° 𝑊
En esa posición:
𝑇 = 22° 𝐶

3. 3

4. 4
3.2.2. Caso 2
Velocidad del sonido en el agua de mar: ecuación de Coppens
Históricamente, los pescadores han usado muchas técnicas diferentes para
localizar bancos de peces; sin embargo, la tecnología acústica ha sido una de
las fuerzas más importantes tras el desarrollo de los pesqueros comerciales
modernos. Las ondas sonoras viajan de forma diferente a través de los peces
que por aguas limpias debido a que la vejiga natatoria rellena de aire de éstos
tiene una densidad diferente a la del agua marina. Esta diferencia de densidad
permite la detección de bancos de peces usando el sonido reflejado.
Actualmente, los pesqueros comerciales dependen casi completamente de los
equipos acústicos para detectar peces. El sonar, del inglés SONAR, acrónimo
de Sound Navigation And Ranging, ‘navegación por sonido’, es una técnica que
usa la propagación del sonido bajo el agua. El funcionamiento del sonar se ve
afectado por las variaciones en la velocidad del sonido, especialmente en el
plano vertical.
En 1981, A.B. Coppens, publicó el artículo titulado ‘Simple equations for the
speed of sound in Neptunian waters’. En él describe la ecuación para la velocidad
del sonido en el agua de mar, medido en m/s.
siendo
(0; 𝑆; 𝑡)

5. 5
donde
es la temperatura del agua en grados Celsius
es la salinidad en partes por millar
es la profundidad bajo la superficie oceánica en metros.
Tal expresión matemática tiene el siguiente rango de variabilidad: temperatura
de 0 a 35°C, salinidad de 0 a 45 ppm y profundidad de 0 a 4000 m.
𝑇 ∈ [0;35]
𝑆 ∈ [0;45]
𝐷 ∈ [0;4000
a) Determine y explique el significado físico de cada una de las derivadas
parciales de primer orden de la función ( ; ; ) para = 28° ; = 35
partes por millar y = 1250 m.
1. Derivadas parciales
a) La derivada parcial de la velocidad del sonido con respecto a la
profundidad bajo la superficie oceánica expresa el ratio de cuánto varía la
velocidad del sonido ante un aumento marginal (el aumento de un
diferencial) de la profundidad bajo la superficie oceánica.
Como (0; 𝑆; 𝑡) no depende de D, su derivada parcial es 0 y lo demás es:
𝜕
Reemplazando con: = 28° ; = 35 y = 1250 m, entonces t = 2,8 ° .

6. 6
Esto quiere decir que un mínimo aumento en la profundidad del mar hará
disminuir la velocidad del sonido en 150.56 m/s. (Lo cual implica mayor cantidad
de peces).
b) La derivada parcial de la velocidad del sonido con respecto a la
salinidad del mar expresa el ratio de cuánto varía la velocidad del sonido
ante un aumento marginal (el aumento de un diferencial) de la salinidad
del mar.
𝜕𝑪
𝜕𝑆
=
𝜕𝑐(0; 𝑆; 𝑡)
𝜕𝑆
+
𝜕(0,213 − 0,1𝑡) 𝐷2
𝜕𝑆
+
𝜕[0,016 + 0,0002( 𝑆 − 35)]( 𝑆 − 35) 𝑡𝐷
𝜕𝑆
+
𝜕(16,23 + 0,253𝑡)𝐷
𝜕𝑆
𝜕𝑐(0; 𝑆; 𝑡)
𝜕𝑆
= (1,333 − 0,126𝑡 + 0,009𝑡2
)
𝜕𝑪
𝜕𝑆
= (1,333 − 0,126𝑡 + 0,009𝑡2
) + 0 + (0,016) 𝑡𝐷 + (0,0002) 𝑡𝐷 × 2( 𝑆 − 35) + 0
Reemplazando:
𝜕𝑪
𝜕𝑆
= (1,333 − 0,126(2,8)+ 0,009(2,8)2)+ 0 + (0,016)(2,8)(1250)
+ (0,0002)(2,8)(1250)× 2(35 − 35) + 0
𝜕𝑪
𝜕𝑆
= 57.76
Esto quiere decir que un mínimo aumento en la salinidad del mar hará aumentar
la velocidad del sonido en 57.76 m/s. (Lo cual implica una menor cantidad de
peces).
c) La derivada parcial de la velocidad del sonido con respecto a la
décima parte de la temperatura del mar expresa el ratio de cuánto varía
la velocidad del sonido ante un aumento marginal (el aumento de un
diferencial) de la décima parte de la temperatura.

7. 7
𝜕𝑪
𝜕𝑡
=
𝜕𝑐(0; 𝑆; 𝑡)
𝜕𝑡
+
𝜕(0,213 − 0,1𝑡) 𝐷2
𝜕𝑡
+
𝜕[0,016 + 0,0002( 𝑆 − 35)]( 𝑆 − 35) 𝑡𝐷
𝜕𝑡
+
𝜕(16,23 + 0,253𝑡)𝐷
𝜕𝑡
𝜕𝑪
𝜕𝑡
=
𝜕𝑐(0; 𝑆; 𝑡)
𝜕𝑡
+
𝜕(0,213 − 0,1𝑡) 𝐷2
𝜕𝑡
+
𝜕[0,016 + 0,0002( 𝑆 − 35)]( 𝑆 − 35) 𝑡𝐷
𝜕𝑡
+
𝜕(16,23 + 0,253𝑡)𝐷
𝜕𝑡
Pero, como:
𝜕𝑐(0; 𝑆; 𝑡)
𝜕𝑡
= 45,7 − 5,21𝑡 + 3(0,23)𝑡2
+ (𝑆 − 35)(0,126) + 2(0,009)(𝑆 − 35)𝑡
El cual reemplazado con los valores resultaría:
𝜕𝑐(0; 𝑆; 𝑡)
𝜕𝑡
= 36.52
Entonces:
𝜕𝑪
𝜕𝑡
= 36,52 − (0,1)12502
+ [0,016 + 0,0002(35 − 35)](35 − 35) 𝐷
+ (0,253)(1250)
𝜕𝑪
𝜕𝑡
= −141,32
Esto quiere decir que un mínimo aumento en la décima parte de la temperatura
del mar hará disminuir la velocidad del sonido en 141.32 m/s. (Lo cual implica
una mayor cantidad de peces).
a) Suponga que una embarcación pesquera ancla en un punto del mar
peruano frente a cerro azul, cuyas coordenadas son 13°S de latitud y
81°W de longitud (ver Figura 4) a una profundidad bajo la superficie
oceánica de 130m y una salinidad de 15 partes por millar. El capitán
advierte que el sonar no detecta banco de peces debido a que la
salinidad y la temperatura no son las más adecuadas. Usted y su grupo
son tripulantes de la embarcación y se les ha pedido que determinen la
zona a la debe dirigirse la embarcación a fin de que hayan mejores
condiciones para que el sonar detecte los bancos de peces. ¿Qué
dirección recomendarían al capitán? Justifique su respuesta.

8. 8
A 13°S de latitud y 81°W de longitud la temperatura es de 21°C lo cual es un T
de 2,1°C D = 130m.
S = 15.
Cada lugar que se mueva hará que la temperatura del agua varíe mientras las
otras variables se mantienen constantes, por lo tanto, se tendrá que hallar la
derivada parcial en función de t.
Y como:
Reemplazando con t = 2,1°C, D = 130m. y S = 15:
Entonces:

9. 9
Lo cual quiere decir que si aumenta la temperatura en ese punto, la velocidad
del sonido disminuiría lo cual implica hay mayor cantidad de peces, pues, la
vejiga natatoria tiene aire el cual reduce la velocidad del sonido.
Eso quiere decir que debe dirigirse a zonas con mayor temperatura y eso sería
en esta dirección:
Lo cual es aproximadamente 45°S 45°W o en un plano cartesiano: −𝟏𝒊̂ − 𝟏𝒋.
c) Si actualmente una embarcación pesquera ancla en un punto del mar
peruano frente al Callao, cuyas coordenadas son 12°S de latitud y 80°W
de longitud (ver Figura 4), la salinidad es de 12 partes por millar y la
profundidad bajo el casco del barco es de 80 m, calcule la variación
aproximada de la velocidad del sonido que resultará de trasladar el barco
a otro punto del océano cuyas coordenadas son 15°S de latitud y 77°W de
longitud (ver Figura 4), la salinidad es de 25 partes por millar y la
profundidad bajo el casco del barco es de 70 m.

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A 12°S de latitud y 80°W de longitud:
T = 19°C entonces t = 1,9°C, S = 12 y D = 80. Entonces,
el valor de C es:
(80; 12;1,9)
= (0; 12;1,9) + (0,213 − 0,1(1,9))802
+ [0,016 + 0,0002(12 − 35)](12 − 35)(1,9)(80) + (16,23 +
0,253(1,9))(80) Y:
(0; 12;1,9) = 1449,05 + 45,7(1.9) − 5,21(1,9)2 + 0,23(1,9)3 + (1,333 −
0,126(1,9)2)(12 − 35)
El cual es: (0; 12;1,9) = 1498.45
Finalmente
En cambio, en 15°S de latitud y 77°W de longitud:

11. 11
T = 18°C entonces t = 1,8°C, S = 25 y D = 70 Entonces,
el valor de C es:
(70; 25;1,8)
= (0; 25;1,8) + (0,213 − 0,1(1,8))702
+ [0,016 + 0,0002(25 − 35)](25 − 35)(1,8)(70) + (16,23 +
0,253(1,8))(70) Y:
(0; 25;1,8) = 1449,05 + 45,7(1,8) − 5,21(1,8)2 + 0,23(1,8)3 + (1,333 −
0,126(1,8)2)(25 − 35)
El cual es: (0; 25;1,8) = 1506,52
Finalmente
Entonces, la variación de la velocidad del sonido sería de: 𝟐𝟖𝟏𝟖,−
Indicando así una disminución de la velocidad del sonido y por lo tanto una mayor
cantidad de peces.

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3.2.3. Caso 3
Envases de hojalata para conservas de pescado.
Un envase de hojalata se define como un recipiente rígido a base de metal que
se usa para almacenar líquidos y/o sólidos, que puede además cerrarse
herméticamente. Está formado por una delgada capa de acero (dulce) de bajo
contenido de carbono recubierta de estaño. Se caracteriza por tener una buena
estanqueidad y hermeticidad, opacidad a la luz y radiaciones, reciclabilidad,
resistencia mecánica y capacidad de deformación.
El acero dulce, también llamado acero suave, contiene niveles de carbono que
se sitúan entre el 0,15% y el 0,25%, o sea casi hierro puro, que además es muy
dúctil y resistente a la corrosión.
El mineral de hierro y el estaño son dos metales que se utilizan en la fabricación
de estos envases de hojalata. Se ha estimado que la función de demanda para
el mineral de hierro, en toneladas, está dado por
y para el estaño su función de demanda en toneladas es
siendo y los precios en dólares de una tonelada de mineral de hierro y
estaño, respectivamente.
a) De acuerdoal portal http://www.indexmundi.com/es/precios-demercado/,
en el mes de octubre del 2016, los precios en dólares de una tonelada
del mineral de hierro asciende a 𝑝 = 59,25 dólares y una tonelada de
estaño se cotiza en 𝑞 = 25 909,76 dólares. Estudie, la variación de la
cantidad demandada del mineral de hierro y del estaño cuando los
respectivos precios aumentan en 1,04 y 50,45 dólares, respectivamente.
A = 59,25 y = 25 909,76 dólares.
Se desea determinar la variación de la demanda del hierro y el estaño cuando
aumenta en 1,04 y 50,45 dólares el precio del hierro y el estaño respectivamente.
En el caso del Hierro es:
Reemplazando con los valores dados en las variaciones:

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Finalmente, reemplazando p y q con los valores dados, calculamos que:
𝒅𝒙(𝒑,𝒒) = 𝟑, 𝟎𝟗
En el caso del Estaño es:
Finalmente, reemplazando p y q con los valores dados, calculamos que:
𝒅𝒚(𝒑,𝒒) = −𝟓𝟐,𝟎𝟑
b) En el archivo CVV_datos PFM6 pesca.xlsx, ubicado en el Campus Virtual
del curso, se encuentra el historial de precios del mineral de hierro y el
estaño. (Descargue el archivo)
i. Use un software para determinar una expresión polinomial adecuada 𝑝 =
(𝑡) para el precio del mineral de hierro en función del tiempo y 𝑞 = (𝑡)
para el precio del estaño en función del tiempo.
Para el caso del estaño la función polinomial del precio en base al tiempo es:
𝑞 = −1,1575𝑡3 + 81,989𝑡2 − 1263,1𝑡 + 20372

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Para el caso del Hierro la función polinomial del precio en base al tiempo es:
𝑝 = −0,0009𝑡3 + 0,1523𝑡2 − 3,3111𝑡 + 69,026
ii. Determine la variación de la cantidad demandada del mineral de hierro y
del estaño con respecto al tiempo para el mes de julio del 2016. Redacte
un texto en el que muestre la interpretación de sus resultados.
𝑝 = −0,0009𝑡3
+ 0,1523𝑡2
− 3,3111𝑡 + 69,026
𝑞 = −1,1575𝑡3
+ 81,989𝑡2
− 1263,1𝑡 + 20372
HIERRO:
Entonces:
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
𝜕𝑥
𝜕𝑝
.
𝜕𝑝
𝜕𝑡
+
𝜕𝑥
𝜕𝑞
.
𝜕𝑞
𝜕𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
3,65
2
1
√ 𝑝
𝑙𝑛(8,64𝑞) × [−(3)0,0009𝑡2
+ (2)0,1523𝑡 − 3,3111] + 3,65√ 𝑝
1
𝑞
× [−(3)1,1575𝑡2
+ (2)81,989𝑡 − 1263,1]
Finalmente, reemplazando:

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𝒅𝒙
𝒅𝒕
=
𝟑, 𝟔𝟓
𝟐
𝟏
√ 𝒑
𝒍𝒏( 𝟖, 𝟔𝟒𝒒) × [−(𝟑)𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟗𝒕 𝟐
+ (𝟐)𝟎, 𝟏𝟓𝟐𝟑𝒕 − 𝟑, 𝟑𝟏𝟏𝟏]
+ 𝟑, 𝟔𝟓√−𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟗𝒕 𝟑 + 𝟎, 𝟏𝟓𝟐𝟑𝒕 𝟐 − 𝟑, 𝟑𝟏𝟏𝟏𝒕 + 𝟔𝟗, 𝟎𝟐𝟔
𝟏
−𝟏, 𝟏𝟓𝟕𝟓𝒕 𝟑 + 𝟖𝟏, 𝟗𝟖𝟗𝒕 𝟐 − 𝟏𝟐𝟔𝟑, 𝟏𝒕 + 𝟐𝟎𝟑𝟕𝟐
× [−(𝟑)𝟏, 𝟏𝟓𝟕𝟓𝒕 𝟐
+ (𝟐)𝟖𝟏, 𝟗𝟖𝟗𝒕 − 𝟏𝟐𝟔𝟑, 𝟏]
ESTAÑO:
Entonces:
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=
𝜕𝑦
𝜕𝑝
.
𝜕𝑝
𝜕𝑡
+
𝜕𝑦
𝜕𝑞
.
𝜕𝑞
𝜕𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −
56,25
𝑝𝑞2
× [−(3)0,0009𝑡2
+ (2)0,1523𝑡 − 3,3111] −
56,25
𝑝2 𝑞
× [−(3)1,1575𝑡2
+ (2)81,989𝑡 − 1263,1]
𝒅𝒚
𝒅𝒕
= −
𝟓𝟔, 𝟐𝟓
(−𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟗𝒕 𝟑 + 𝟎, 𝟏𝟓𝟐𝟑𝒕 𝟐 − 𝟑, 𝟑𝟏𝟏𝟏𝒕 + 𝟔𝟗, 𝟎𝟐𝟔)(−𝟏, 𝟏𝟓𝟕𝟓𝒕 𝟑 + 𝟖𝟏, 𝟗𝟖𝟗𝒕 𝟐 − 𝟏𝟐𝟔𝟑, 𝟏𝒕 + 𝟐𝟎𝟑𝟕𝟐) 𝟐
× [−( 𝟑) 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟗𝒕 𝟐
+ ( 𝟐) 𝟎, 𝟏𝟓𝟐𝟑𝒕 − 𝟑, 𝟑𝟏𝟏𝟏]
− −
𝟓𝟔, 𝟐𝟓
(−𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟗𝒕 𝟑 + 𝟎, 𝟏𝟓𝟐𝟑𝒕 𝟐 − 𝟑, 𝟑𝟏𝟏𝟏𝒕 + 𝟔𝟗, 𝟎𝟐𝟔) 𝟐(−𝟏, 𝟏𝟓𝟕𝟓𝒕 𝟑 + 𝟖𝟏, 𝟗𝟖𝟗𝒕 𝟐 − 𝟏𝟐𝟔𝟑, 𝟏𝒕 + 𝟐𝟎𝟑𝟕𝟐)
× [−(𝟑)𝟏, 𝟏𝟓𝟕𝟓𝒕 𝟐
+ (𝟐)𝟖𝟏, 𝟗𝟖𝟗𝒕 − 𝟏𝟐𝟔𝟑, 𝟏]
 Pero en julio de 2016: t = 19, p = 56,57 y q = 17826,23 entonces:
Hierro:
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
3,65
2
1
√56,57
𝑙𝑛(8,64(17826,23))
× [−(3)0,0009(19)2
+ (2)0,1523(19) − 3,3111]
+ 3,65√56,57
1
17826,23
× [−(3)1,1575(19)2
+ (2)81,989(19) − 1263,1]
𝒅𝒙
𝒅𝒕
= 𝟓, 𝟐𝟕
Estaño:

16. 16
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −
56,25
56,57 (17826,23)2
× [−(3)0,0009(19)2
+ (2)0,1523(19) − 3,3111]
−
56,25
(56,57)2(17826,23)
× [−(3)1,1575(19)2
+ (2)81,989(19) − 1263,1]
𝒅𝒚
𝒅𝒕
= −𝟓, 𝟗𝟏 × 𝟏𝟎−𝟒
Esto quiere decir que, en dicho mes, el cambio de la demanda de hierro ante un
aumento del tiempo será positivo en una relación de 5.27 y para el estaño
representará una disminución pero que es casi imperceptible, se podría decir
que es una constante aproximadamente en dicho mes.
c) Estudie en qué dirección se ha de modificar los precios dados en el ítem a)
para elevar al máximo la cantidad demandada tanto del mineral de hierro y
el estaño.
Para maximizar la cantidad demandada tanto de hierro como de estaño, se debe
analizar la función en función de los precios y hallar los extremos relativos. Para
ello haremos uso de las derivadas parciales de ambas funciones y las vamos a
igualar a cero.
Entonces, tenemos las siguientes funciones:
Para el hierro:
Resolviendo la ecuación se tiene que:
𝑞 = 0,12
𝑝 = 0
Sin embargo, se aprecia que en esta solución la cantidad demandada es mínima
mas no máxima, por lo cual se puede deducir que la función no converge
positivamente.
Para el estaño:

17. 17
Resolviendo las ecuaciones tenemos que:
𝑝 = 𝑞
Para estos casos la cantidad demandada de estaño será máxima, sin embargo,
al no tener un valor exacto de ambos, la solución es indeterminada.
d) Considerando que en el mes de octubre del 2016, los precios en dólares de
una tonelada del mineral de hierro asciende a 𝑝 = 58,02 dólares y una
tonelada de estaño se cotiza en 𝑞 = 20099,76 dólares, calcule cómo deberían
variar los precios de ambos minerales para elevar aproximadamente la
demanda del mineral de hierro en 20,30 toneladas y disminuir
aproximadamente la demanda del estaño en 52,35 toneladas.
Al igual que hicimos que en la sección a, vamos a hacer un trabajo análogo:
Reemplazando con los valores dados:
𝑑𝑝 = −1509,63
𝑑𝑞 = 6,33 × 106