Este documento contiene la solución a 7 preguntas sobre flujo de fluidos. La primera pregunta calcula el caudal a través de una superficie cilíndrica. La segunda calcula diferencias de presión y presión máxima en un campo de flujo. La tercera determina la velocidad de un avión usando un tubo de Pitot. La cuarta halla densidad y velocidad en una tobera. La quinta calcula velocidades sobre una colina. La sexta determina velocidad y caudal en un tubo. La séptima halla

1. PREGUNTA 1
En un flujo bidimensional se da el campo de velocidades: 𝑉⃗ = −4𝑦𝑖 − 4𝑥𝑗 .Calcular el
caudal (por unidad de ancho normal al dibujo) que fluye a través de la superficie ABC
(un cuarto de cilindro) indicada en la Fig.N° 1
SOLUCION
De: 𝑥2
+ 𝑦2
= 1 −→ 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧) = 𝑥2
+ 𝑦2
− 1
Si: 𝑉⃗ = (−4𝑦; −4𝑥) , 𝑛⃗ = (𝑥; 𝑦) , sec 𝜃 =
√(𝑓𝑥)2+(𝑓𝑦)2+(𝑓𝑧)2
𝑓𝑦
Entonces:
𝑓𝑥 = 2𝑥 ; 𝑓𝑦 = 2𝑦 ; 𝑓𝑧 = 0
De donde: sec 𝜃 =
√(2𝑥)2+(2𝑦)2+(0)2
2𝑦
=
1
𝑦
Nosotros sabemos:
𝑄 = ∬ 𝑉⃗ . 𝑑𝑆
1
0
= ∬ 𝑉⃗ . 𝑛⃗ ∗ sec 𝜃 𝑑𝐴
1
0
Entonces reemplazando:
𝑄 = ∬ (−4𝑦; −4𝑥).(𝑥; 𝑦) ∗
1
𝑦
𝑑𝑥
1
0
. 𝑑𝑧
𝑄 = ∬ −8𝑥𝑦 ∗
1
𝑦
𝑑𝑥
1
0
. 𝑑𝑧 = ∫−4𝑑𝑧 =
1
0
− 4
𝑚3
𝑠
El caudal por unidad de ancho normal al dibujo es: 4 m3/s

2. PREGUNTA 2
Un campo de flujo incompresible es descrito por la siguiente expresión del potencial e
velocidades
𝝋 = 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐
a) Calcular la diferencia de presiones entre los puntos (3,6,5) y (5,-3,8)
b) Si la presión es cero en el punto (2,1,3), calcular la máxima presión en este
campo de flujo.
SOLUCION:
Si:
𝑑𝜑
𝑑𝑥
= 𝑉𝑥 = 2𝑥 ;
𝑑𝜑
𝑑𝑦
= 𝑉𝑦 = −4𝑦 ;
𝑑𝜑
𝑑𝑧
= 𝑉𝑧 = 2𝑧
Además por Bernoulli:
𝑃1
𝛾
+
𝑉12
2𝑔
+ 𝑍1 =
𝑃2
𝛾
+
𝑉22
2𝑔
+ 𝑍2
a) Para el punto A=(3,6,5) :
𝑑𝜑
𝑑𝑥
= 𝑉𝑥 = 6 ;
𝑑𝜑
𝑑𝑦
= 𝑉𝑦 = −24 ;
𝑑𝜑
𝑑𝑧
= 𝑉𝑧 = 10
|𝑉1| = |(𝑉𝑥; 𝑉𝑦; 𝑉𝑧)| = |(6;−24; 10)| = 26.683
𝑚
𝑠2
… … … … … … … .. (1)
Para el punto B =(5;-3;8)
𝑑𝜑
𝑑𝑥
= 𝑉𝑥 = 10 ;
𝑑𝜑
𝑑𝑦
= 𝑉𝑦 = 12 ;
𝑑𝜑
𝑑𝑧
= 𝑉𝑧 = 16
|𝑉2| = |(𝑉𝑥; 𝑉𝑦; 𝑉𝑧)| = |(10;12; 16)| = 22.361
𝑚
𝑠2
… … … … … … … .. (2)
Para los Z1=5; Z2=8 reemplazamos en la ecuación de Bernoulli :
𝑃1
𝛾
+
(26.683)2
2 ∗ 9.81
+ 5 =
𝑃2
𝛾
+
(22.361)2
2 ∗ 9.81
+ 8
7.8037 =
∆P
𝛾
→ ∆𝑷 = 𝟕. 𝟖𝟎𝟑𝟕 ∗ 𝜸 ; si el 𝛾 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝛾 = 9810
Entonces ∆𝑷 = 𝟕𝟔𝟓𝟓𝟒. 𝟎𝟖𝟒
b) La presión en el punto (2;1;3) y la presión máxima se dará en el punto
(0,0;;0)donde obtendremos una velocidad 𝑉2 = 0; 𝑍2 = 0
Para el punto (2,1,3):

3. 𝑑𝜑
𝑑𝑥
= 𝑉𝑥 = 4 ;
𝑑𝜑
𝑑𝑦
= 𝑉𝑦 = −4 ;
𝑑𝜑
𝑑𝑧
= 𝑉𝑧 = 6
|𝑉1| = |(𝑉𝑥; 𝑉𝑦; 𝑉𝑧)| = |(4;−4; 6)| = 8.24
𝑚
𝑠2
; 𝑍1 = 3
Aplicamos Bernoulli :
0
𝛾
+
(8.24)2
2 ∗ 9.81
+ 3 =
𝑃𝑚𝑎𝑥
𝛾
+
02
2 ∗ 9.81
+ 0
𝑷𝒎𝒂𝒙 = 𝟔𝟑𝟑𝟕𝟖. 𝟖
PREGUNTA 3
Se emplea un tubo de Pitot para medir la velocidad de un avión pequeño viaja a una
altitud de 1 000 m.s.n.m. Calcular la velocidad si el tubo de Pitot marca 6 Kpa
SOLUCION:
Deacuerdo va aumentando la altitud la densidad varia al igual que la temperatura ;por
lo tanto guiándonos de la tabla :
𝜌 𝑎 1000𝑚. 𝑠. 𝑛. 𝑚 → 𝜌 = 1.112
𝑘𝑔
𝑚3
→ 𝛾 = 1.112 ∗ 9810 = 1098.72
Entonces a partir de ello aplicamos:
𝑃1
𝛾
+
𝑉12
2𝑔
=
𝑃2
𝛾
𝑉2
2𝑔
=
∆P
𝛾
→
𝑉2
2 ∗ 9.81
=
6000
1098.72
→ 𝑉 = 10.351
𝑚
𝑠
Por lo tanto, la velocidad del avión pequeño viajando a esa altitud es de 𝑽 =
𝟏𝟎. 𝟑𝟓𝟏
𝒎
𝒔
PREGUNTA 4
Fluye aire en régimen permanente por una tobera convergente. Según la Fig N° 2, Se
dan las condiciones del flujo en las secciones (1) y (2). 𝜌1 = 1,50
𝑘𝑔
𝑚3
; P1= 1,3 bar; V1 =
100 m/s; A1 = 0,06 m2; P2= 1,1 bar; A2 = 0,035 m2, determinar la densidad y la
velocidad en la sección 2 sabiendo que el flujo es isotérmico.

4. SOLUCION
Si el flujo es isométrico deacuerdo a la teoría se da una relación entre la presión y la
densidad:
𝜌 =
𝑃
𝑅𝑇
𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑙𝑖 𝑅𝑇 = 𝑐𝑡𝑒
Entonces podemos determinar la densidad en la otra sección (29 ya que tenemos todos
los datos y además que podemos hallar RT:
 Para (1):
𝜌1 =
𝑃1
𝑅𝑇
→ 1.5 =
1.3
𝑅𝑇
→ 𝑅𝑇 = 0.8667
Para (2) allí podemos hallar ya la densidad de la sección(2):
𝜌2 =
𝑃2
𝑅𝑇
→ 𝜌2 =
1.1
0.8667
→ 𝝆 𝟐 = 𝟏. 𝟐𝟔𝟗𝟏
𝒌𝒈
𝒎𝟑
 El el flujo permanente se debe cumplir que el flujo masico que entra y que sale
deben ser iguales por lo tanto:
𝑚1 = 𝜌1 ∗ 𝑉1 ∗ 𝐴1̇
𝑚2 = 𝜌2 ∗ 𝑉2 ∗ 𝐴2̇
Reemplazando:
𝜌1 ∗ 𝑉1 ∗ 𝐴1 = 𝜌2 ∗ 𝑉2 ∗ 𝐴2 → 1.5
𝑘𝑔
𝑚3
∗ 100
𝑚
𝑠
∗ 0.06𝑚2 = 1.2691
𝑘𝑔
𝑚3
∗ 𝑉2 ∗ 0.035𝑚2
𝑽𝟐 = 𝟐𝟎𝟐. 𝟔𝟏𝟖
𝒎
𝒔
Entonces: 𝝆 𝟐 = 𝟏. 𝟐𝟔𝟗𝟏
𝒌𝒈
𝒎𝟑
; 𝑽𝟐 = 𝟐𝟎𝟐. 𝟔𝟏𝟖
𝒎
𝒔
PREGUNTA 5

5. La forma de una colina que asciende desde la llanura, se aproxima a la parte superior
de un semicuerpo como se muestra en la Fig. N° 3. La altura de la colina es de 45 m.
a) Cuando hacia la colina sopla aire a 40 Km./h (aire=1,23 Kg/m3.) ¿Cuál es la
magnitud de la velocidad del aire en el punto 2 sobre la colina, directamente
sobre el origen?
b) Determine la ubicación del punto 2 y la diferencia de presión entre los puntos 1
y 2.
c) ¿Cuánto es la velocidad y presión en la cima de la colina?
SOLUCION
PREGUNTA 6

6. En la Fig. N° 4 se muestra un cilindro muy grande desde el cual fluye agua a través de
un tubo de 2 pulgadas de diámetro. Determinar la velocidad en el ducto y el caudal de
descarga.
SOLUCION
Pa=Pb
P2+0.6*ρ*g=Patm+0.15* ρ(Hg)*g
P2=Patm+g*1440
Por Bernoulli:
𝑃1
𝛾
+
𝑉12
2𝑔
+ 𝑍1 =
𝑃2
𝛾
+
𝑉22
2𝑔
+ 𝑍2
Cilindro muy grande. Entonces V1->0 , Z1=3.6, Z2=0.
𝑃𝑎𝑡𝑚 + 3.6
𝛾
+
(0)2
2𝑔
+ 𝑍1 =
𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝑔 ∗ 1440
𝛾
+
𝑉22
2𝑔
+ 0
𝑉22
2𝑔
= 3.6 −
1440
1000
𝑽𝟐 = 𝟔. 𝟓𝟏
𝒎
𝒔𝟐
𝐴 =
𝜋 ∗ (0.0508)2
4
= 2.027 ∗ 10−3
𝑚2

7. El caudal y la velocidad seran: Q=1.32∗ 𝟏𝟎−𝟐 𝒎 𝟑
𝒔
; 𝑽𝟐 = 𝟔. 𝟓𝟏
𝒎
𝒔𝟐
PREGUNTA 7
En el medidor venturí de la Fig. N° 5 se ha insertado un piezómetro diferencial que marca
h=0,30 m. de mercurio. El líquido que fluye en la tubería es agua. Determine el gasto
que circula Si en lugar de mercurio se utiliza aceite, ¿Que diferencial de nivel se tendría?
SOLUCION:
Pa=Pb:
P1+(Δh+h)*ρ*g= Δh*ρ(Hg)*g+P2
P1+(0.7)*1000*g= P2+(0.3)*13600*g
P2=P1-33157.8
P1-P2=33175.8
𝑘𝑔
𝑚2
Por Bernoulli:

8. 𝑃1
𝛾
+
𝑉12
2𝑔
+ 𝑍1 =
𝑃2
𝛾
+
𝑉22
2𝑔
+ 𝑍2
Z1=0.40, Z2=0(N.R)
𝑃1
𝛾
+ 0.40 +
(𝑉1)2
2𝑔
=
𝑃1
𝛾
−
33157.8
𝛾
+
𝑉22
2𝑔
(𝑉1)2
2𝑔
+ 0.40 = −3.38 +
𝑉22
2𝑔
(𝑉1)2
2𝑔
+ 3.78 =
𝑉22
2𝑔
𝑉22
= (𝑉1)2
+ 7.56𝑔
V2=√(𝑽𝟏) 𝟐 + 𝟕. 𝟓𝟔𝒈
El caudal (Q) es: Q=√(𝑽𝟏) 𝟐 + 𝟕. 𝟓𝟔𝒈 ∗ 𝑨𝟐
𝒎 𝟑
𝒔
El caso si el líquido fuese aceite: ρ(Aceite)=920
𝑘𝑔
𝑚3
P1+(Δh+0.40)*ρ*g=Δh*ρ(Aceite)*g+P2
P1-P2=920*g* Δh-1000*g*( Δh+0.40)
33157.8=g* Δh*(920-1000)-400*g
Δh=
400𝑔+33157.8
(920−1000)𝑔
Δh=47.25 m
En el caso de usar aceite el diferencial de nivel sería: Δh=47.25 m
PREGUNTA 8
La Fig. N° 6 muestra una línea de corriente en un flujo bidimensional, donde fluye agua
sobre un plano horizontal. Las velocidades en los puntos A y C son 1,5 j m/s y 7,5 i m/s,
respectivamente. La magnitud de la velocidad se incrementa linealmente a lo largo de
la curva circular ABC. Determine el gradiente de presión en los puntos A, B y C

9. SOLUCION:
Si 𝑉𝐴 = 1.5 𝑗
𝑚
𝑠
→ |𝑉𝐴| = 1.5 ; 𝑉𝐵 = 7.5 𝑖
𝑚
𝑠
→ |𝑉𝐵| = 7.5
La gradiente de la presión en A, B ,C depende:
𝑃 = 𝑃𝐴 + 𝐹(𝜗) →
𝑑𝑃
𝑑𝜃
=
𝑑𝐹
𝑑𝜃
Si:
𝑑𝑉
𝑑𝑠
= 𝑘𝑠 → ∫ 𝑑𝑉 = ∫ 𝑘𝑠𝑑𝑠 → 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = 𝑘
𝑠2
2
/0
𝜋
2 → 6 = 𝑘
𝜋
2
2
2
→ 𝒌 = 𝟒. 𝟖𝟔𝟑
Por lo tanto:
𝑉(𝑆) = 𝑉𝐴 + 4.863 ∗
𝑠2
2
; 𝑠 = 𝑟 ∗ 𝜃 = 1 ∗ 𝜃 = 𝜃
𝑉(𝑆) = 𝑉𝐴 + 4.863 ∗
𝜃2
2
𝑃𝐴
𝛾
+
𝑉𝐴
2
2𝑔
=
𝑃
𝛾
+
(𝑉𝐴 + 4.863 ∗
𝜃2
2
)2
2𝑔
+ 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑃 = 𝑃𝐴 +
𝑉𝐴
2
2𝑔
∗ 𝛾 −
(𝑉𝐴 + 4.863 ∗
𝜃2
2
)2
2𝑔
∗ 𝛾 − 𝛾 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑑𝑃
𝑑𝜃
= −
(𝑉𝐴 + 4.863 ∗
𝜃2
2
)2
∗ 2 ∗ 4.863 ∗ 𝜃
2𝑔
∗ 𝛾 − 𝛾 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 → 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
Gradiente de presiones en los puntos A , B,C:
 En A (𝜃 = 0) ->
𝐝𝐏
𝐝𝛉
= −𝟗𝟖𝟏𝟎
 En B (𝜃 =
𝜋
4
) ->
𝒅𝑷
𝒅𝜽
= −𝟖𝟒𝟐𝟕𝟎. 𝟓𝟓𝟐𝟖
 En C (𝜃 =
𝜋
2
)->
𝒅𝑷
𝒅𝜽
= −𝟏𝟑𝟗𝟏𝟗𝟓𝟔. 𝟎𝟏𝟏