1. Cálculo Vectorial
15.3 Integrales dobles sobre
regiones más generales
URL
Departamento de Matem´ ticas
a
Universidad de los Andes, Bogot´
a
Integrales Dobles– p. 1/

2. Integral doble
• Integral doble:
f (x, y)dA
R
Integrales Dobles– p. 2/

3. Integral doble
• Integral doble:
f (x, y)dA
R
• El diferencial de área:
dA ≈ ∆Ak = ∆xk ∆yk
El punto (xk , yk ) es cualquiera en el
rectángulo k -ésimo.
Integrales Dobles– p. 2/

4. Integral doble como sumas de Riemann
• Integral doble:
f (x, y)dA
R
Integrales Dobles– p. 3/

5. Integral doble como sumas de Riemann
• Integral doble:
f (x, y)dA
R
• Si f (x, y) es positiva en la región
de integración R, la integral doble
representa el volumen acotado por
arriba por la superficie y por debajo
por R.
Geométricamente es sumar
volúmenes de prismas para
obtener el volumen deseado.
Integrales Dobles– p. 3/

6. Integral iterada en orden dydx
•
f (x, y)dydx
R
a≤x≤b
R=
g1 (x) ≤ y ≤ g2 (x)
Integrales Dobles– p. 4/

7. Integral iterada en orden dydx
•
f (x, y)dydx
R
a≤x≤b
R=
g1 (x) ≤ y ≤ g2 (x)
• Integral interna:
g2 (x)
f (x, y)dy
g1 (x)
Para a ≤ x ≤ b encontramos el área
A(x), y variando x “barremos” todo
el volumen.
Integrales Dobles– p. 4/

8. Integral iterada en orden dxdy
•
f (x, y)dxdy
R
c≤y≤d
R=
h1 (y) ≤ x ≤ h2 (y)
Integrales Dobles– p. 5/

9. Integral iterada en orden dxdy
•
f (x, y)dxdy
R
c≤y≤d
R=
h1 (y) ≤ x ≤ h2 (y)
• Integral interna:
h2 (y)
f (x, y)dx
h1 (y)
Para c ≤ y ≤ d encontramos el área
A(y), y variando y “barremos” todo
el volumen.
Integrales Dobles– p. 5/

10. Ejemplo: Regiones de tipo I (orden dydx)
• Tipo I
0≤x≤1
R= √
1 − x ≤ y ≤ 1 − x2 )
Integrales Dobles– p. 6/

11. Ejemplo: Regiones de tipo I (orden dydx)
• Tipo I
0≤x≤1
R= √
1 − x ≤ y ≤ 1 − x2 )
• Integral iterada:
√
1 1−x2
f (x, y)dydx
0 1−x
Integrales Dobles– p. 6/

12. Ejemplo: Regiones de tipo II (orden dxdy )
• Tipo II
0≤y≤1
R=
1−y ≤x≤ 1 − y2 )
Integrales Dobles– p. 7/

13. Ejemplo: Regiones de tipo II (orden dxdy )
• Tipo II
0≤y≤1
R=
1−y ≤x≤ 1 − y2 )
• Integral iterada:
√
1 1−y 2
f (x, y)dxdy
0 1−y
Integrales Dobles– p. 7/