1. C´tedra de Matem´tica
a a Facultad de Arquitectura
Universidad de la Rep´blica
u
Matem´tica – Curso piloto
a 2012 – Segundo semestre
Hoja 4: cargas, cortantes y momentos
Ejercicio * 46 La pieza de la figura tiene una longitud de 2 m, est´ en equilibrio bajo la acci´n
a o
de una carga distribuida con una densidad lineal constante de 100 daN/m y las dos fuerzas de
1000 daN que act´an a 0,5 m de cada uno de sus extremos.
u
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
6 6
Dibujar los diagramas de cortantes y momentos.
Ejercicio * 47 Hallar los diagramas de cortantes y momentos para la m´nsula de la figura,
e
de 1 m de longitud, bajo las distintas cargas que se muestran. La carga distribuida tiene un
valor de 500 daN/m, y las cargas concentradas son de 500 daN. En todos los casos, hallar las
reacciones en el empotramiento de la m´nsula.
e
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
?
Hallar las reacciones del anclaje y los diagramas de cortantes y momentos cuando sobre la pieza
act´an al mismo tiempo las tres cargas que se representan en las figuras.
u
Ejercicio 48 Mostrar que si dos distribuciones de fuerzas aplicadas sobre una viga tienen la
misma resultante y el mismo momento respecto a un punto cualquiera de la viga, entonces
tienen el mismo momento respecto a todos los puntos de la viga.
1. Mostrar que una carga vertical distribuida sobre un intervalo [a, b] con una densidad de ρ
unidades de fuerza por unidad de longitud tiene la misma resultante y el mismo momento
respecto a cualquier punto que una unica fuerza vertical ρ(b − a) actuando en el punto
´
medio de [a, b].
1

2. 2. Mostrar el resultado an´logo al de la parte 1 para una carga vertical que act´a sobre el
a u
intervalo [a, b] con una densidad
ρ(x) = α(x − a)
y una unica fuerza vertical α(b − a)2 /2 aplicada en a + 2(b − a)/3.
´
3. Hallar qu´ fuerza aplicada en qu´ punto tiene la misma resultante y momentos que una
e e
distribuci´n con densidad
o
ρ(x) = α(x − a) + β
aplicada en el intervalo [a, b].
Ejercicio * 49 En este ejercicio consideraremos piezas de un metro de longitud, con los tres
tipos de apoyo que se muestran en las figuras.
1. Viga simplemente apoyada.
d
d d
d
2. M´nsula con anclaje en su extremo izquierdo.
e
3. M´nsula con anclaje en su extremo derecho.
e
Recibir´n los cuatro siguientes tipos de cargas:
a
1. Carga puntual de 1000 daN en el punto medio.
?
2. Carga uniformemente distribuida con una densidad lineal de 1000 daN/m.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
3. Carga distribuida, con una densidad lineal constante a trozos, de 500 daN/m en el primer
tramo de medio metro de longitud, y de 1500 daN/m en el segundo tramo.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
4. Carga triangular, con una densidad lineal proporcional a la distancia al extremo izquierdo
de la barra, finalizando con un valor de de 2000 daN/m.
2

3. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Para cada tipo de v´ ınculo y tipo de cargas hallar las reacciones en los apoyos y dibujar los
diagramas de cortantes y momentos. Identificar los m´ximos valores de cortante y momento,
a
y los puntos en que se alcanzan. Estudiar adem´s, para los tres tipos de anclaje, el efecto de
a
superponer la carga puntual de 1000 daN con cada uno de los tres perfiles de cargas distribuidas.
Ejercicio 50 La pieza de la figura tiene una longitud de 2 m. Sobre ella act´a una fuerza
u
distribuida con una densidad lineal constante de 1000 daN/m. Los apoyos est´n ubicados en
a
forma sim´trica respecto al punto medio de la viga, a una distancia entre ellos igual a 2a, donde
e
a es un par´metro que puede modificarse.
a
c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c
c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c
d
d d
d
a
Elegir el valor de a modo que el m´ximo del m´dulo del momento flector sea tan peque˜o como
a o n
sea posible. Calcular cu´l es ese valor m´
a ınimo del momento m´ximo y en que puntos se alcanza.
a
3