1. Cap´
ıtulo 4
La integral definida
4.1. Motivaci´n de la integral definida
o
I) El problema del ´rea. Para medir ´reas de recintos planos, previamen-
a a
te hemos de escoger una unidad de medida. Tomaremos un cuadrado cuyo
lado sea la unidad. Entonces medir el ´rea de un recinto plano consiste en
a
determinar cu´ntos cuadrados unidad contiene el recinto. As´ en el caso del
a ı
rect´ngulo de la figura, vemos que su ´rea es 2 · 4 unidades cuadradas. Para
a a
un rect´ngulo general de lados a y b, el ´rea se obtiene multiplicando a por
a a
b.
b
a
Es muy f´cil calcular el ´rea de un pol´
a a ıgono cualquiera. En primer lugar,
se determina el ´rea de un tri´ngulo rect´ngulo de base b y altura h. Para
a a a
102

2. ello, podemos construir un rect´ngulo cuya diagonal sea la hipotenusa del
a
tri´ngulo; el ´rea del rect´ngulo es el doble de la del tri´ngulo de partida e
a a a a
igual a b · h. Por tanto, el ´rea del tri´ngulo es 2 b · h.
a a 1
h h
b1 b2
b b
Para un tri´ngulo cualquiera de base b y altura h, bastar´ sumar las ´reas
a ıa a
de los tri´ngulos rect´ngulos que se indican, resultando A = 1 b1 · h + 1 b2 · h =
a a 2 2
1
2
b · h, ya que b = b1 + b2 .
Ahora se puede abordar el c´lculo del ´rea de cualquier recinto poligonal
a a
descomponi´ndolo convenientemente. Estos resultados elementales eran co-
e
nocidos desde los albores de las matem´ticas. Sin embargo, el problema de
a
encontrar el ´rea de un recinto plano no poligonal (limitado por l´
a ıneas curvas)
no se resuelve, de un modo general, hasta Newton y Leibniz en el siglo XVII.
Con anterioridad, se sab´ la forma de calcular el ´rea de algunos recintos no
ıa a
poligonales particulares como un c´ ırculo, un segmento parab´lico, etc. Arqu´
o ı-
medes ide´ un m´todo para determinar ´reas de recintos curvil´
o e a ıneos, por el
que se le considera un precursor del c´lculo integral. Sin embargo, su m´todo
a e
ten´ una limitaci´n importante, que explica lo mucho que se retras´ la crea-
ıa o o
ci´n del c´lculo integral (alrededor de 2000 a˜os). En lugar de un m´todo
o a n e
general, Arqu´ ımedes segu´ una estrategia espec´
ıa ıfica para cada figura.
103

3. A t´ıtulo de ejemplo, vamos a explicar
sucintamente c´mo Arqu´
o ımedes calcu-
laba el ´rea de un semic´
a ırculo. En pri-
C mer lugar, calcula el ´rea del tri´ngu-
a a
lo inscrito ABC. A continuaci´n con-
o
A1 B
1 sidera el pol´ıgono inscrito que se ob-
tiene al a˜adir los tri´ngulos AA1 C y
n a
B BB1 C. Continuando de esta forma, las
A
´reas de los pol´
a ıgonos inscritos que se
van considerando se aproximan cada
vez m´s al ´rea buscada. El razona-
a a
miento termina con un paso al l´ ımite
encubierto.
El objetivo inicial del c´lculo integral consiste en encontrar un m´todo
a e
general para determinar el ´rea de una figura plana como la que se indica en
a
la figura siguiente.
Y
y = f(x)
X
O a b
Se trata del ´rea bajo la curva de ecuaci´n y = f (x) entre x = a y
a o
x = b, siendo f : [a, b] → R una funci´n no negativa. La idea fundamental
o
del m´todo que seguiremos consiste en subdividir el intervalo [a, b] en otros
e
m´s peque˜os y calcular el ´rea en cuesti´n como la suma de las ´reas de los
a n a o a
rect´ngulos curvil´
a ıneos que se indican en la figura.
104

4. Y
y = f(x)
X
O a b
Si los subintervalos son muy peque˜os, el ´rea de cada uno de ´stos rec-
n a e
t´ngulos curvil´
a ıneos se puede aproximar bien por la de un rect´ngulo que
a
tiene la misma base y cuya altura es el valor que toma f en alg´n punto que
u
escojamos en cada subintervalo. De esta forma se obtiene un valor aproxima-
do del ´rea buscada, aproximaci´n que es tanto m´s precisa en cuanto que
a o a
las longitudes de los subintervalos sea m´s peque˜a. En la figura siguiente
a n
aparecen reflejados dos casos especialmente importantes que producen apro-
ximaciones por defecto y por exceso al ´rea buscada. La aproximaci´n por
a o
defecto se consigue tomando para cada subintervalo el menor valor de f (x)
y la aproximaci´n por exceso tomando el mayor valor de f (x) en cada subin-
o
tervalo.
Y
y = f(x)
X
a b
105

5. Para facilitar el desarrollo de la teor´ se dividir´ el intervalo [a, b] en
ıa, a
n partes iguales de longitud ∆x = (b − a)/n. Obviamente, ∆x se hace m´s a
peque˜o a medida que n aumenta.
n
II) Momentos de inercia. Vamos a calcular el momento de inercia de una
l´mina circular delgada respecto de su centro, sabiendo que su radio es R y
a
su masa M . En la figura siguiente vemos la l´mina en la que se ha trazado
a
un radio. Al dividir este radio en n partes iguales de longitud ∆r = R/n se
producen una serie de anillos conc´n-
e
tricos Ak de espesor ∆r. El momen-
to de inercia total es la suma de los
momentos de inercia de cada anillo:
P
I = k Ik . Si Mk denota la masa del
anillo Ak , entonces es f´cil compro-
a
2
bar que Ik = Mk rk . Para determinar
O
rk R Mk , necesitamos manejar la densidad
superficial de la l´mina, ρ. Entonces
a
Mk = ρ · Sk , donde Sk denota la su-
perficie del anillo Ak , que puede apro-
ximarse por Sk = 2πrk ∆r.
3
Luego un valor aproximado de Ik es 2πρrk ∆r. Por tanto, obtenemos una
aproximaci´n del momento de inercia I haciendo la suma para todo k:
o
X
3
2πρrk ∆r.
k
En el apartado siguiente una suma de este tipo se dir´ que es una suma de
a
Riemann para la integral Z R
2πρr3 dr.
0
Como la integral se va a definir como el l´ Z de las sumas de Riemann
ımite
R
cuando ∆r tiende a cero, el valor de la integral 2πρr3 dr se toma como el
0
momento de inercia de la l´mina respecto de su centro.
a
106

6. 4.2. Sumas de Riemann.
Dado un n´mero natural cualquiera n, dividimos el intervalo [a, b] en n
u
partes iguales (cada una de longitud ∆x = (b − a)/n) y denotamos por
xk (k = 0, ..n) los puntos de subdivisi´n. Estos puntos tienen la forma
o
(b − a)
xk = a + k (k = 0, 1, ..., n).
n
a b
En cada subintervalo [xk−1 , xk ] escogemos un valor intermedio tk . Las
n
X
sumas Sn (f, (tk )) = f (tk )∆x reciben el nombre de sumas de Riemann
k=1
de f . Para simplificar, muchas veces escribiremos Sn (f ), siempre que no exista
peligro de confusi´n. Estas sumas pueden interpretarse como aproximaciones
o
al ´rea bajo la curva, especialmente si n es suficientemente grande.
a
R 2
Ejemplo 4.2.1. Consideramos la integral definida 01 ex dx.En la figura
siguiente aparecen sombreados los rect´ngulos cuyas ´reas (la suma de to-
a a
das) constituyen la suma de Riemann S10 (f, (tk )); los tk son los puntos medios
de cada subintervalo. En la ultima figura se ha dividido [0, 1] en 15 partes
´
iguales.
107

7. exp(x.^2) : 1.460393
2
1.5
1
0.5
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
10
exp(x.^2) : 1.461646
2.5
2
1.5 y=exp(x2)
1
0.5
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
15
108

8. 4.3. La integral definida
Diremos que f es integrable en [a, b] si existe y es finito el l´
ımite siguiente
l´ Sn (f ),
ım
n→∞
Z b
en cuyo caso su valor se denota por f (x) dx y recibe el nombre de integral
a
definida de f en [a, b]. La interpretaci´n geom´trica es obvia, a la vista de las
o e
Z b
ideas anteriores: si f es no negativa en [a, b], entonces f (x) dx representa
a
el ´rea bajo la curva y = f (x) entre x = a y x = b.
a
Definici´n 4.3.1. La igualdad ℓ = l´ Sn (f ) significa que, por peque˜o que
o ım n
n→∞
sea ϵ > 0, puede encontrarse n0 de modo que
|Sn (f, (tk )) − ℓ| < ϵ,
para cualquier n > n0 y toda elecci´n de los puntos (tk ).
o
Terminamos esta secci´n haciendo una relaci´n de las propiedades de la
o o
integral definida que m´s usaremos:
a
(1) Condici´n suficiente de integrabilidad . Si f est´ acotada en [a, b] y es
o a
continua salvo, a lo sumo, en un n´mero finito de puntos de discontinuidad,
u
entonces f es integrable.
(2) Aditividad de la integral. Si f es integrable en [a, b] y c ∈ (a, b),
entonces f es integrable en los intervalos [a, c] y [c, b], y se verifica
Z b Z c Z b
f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx.
a a c
Rec´ıprocamente, si existen las dos integrales del segundo miembro de la
igualdad anterior, entoces f es integrable en [a, b] y se verifica la igualdad.
(3) Linealidad respecto del integrando. (a) Si f y g son integrables en [a, b],
entonces lo es f + g y se verifica
Z b Z b Z b
(f + g)dx = f dx + gdx.
a a a
109

9. b) Si f es integrable y α una constante arbitraria, entonces αf es inte-
grable y se verifica Z Z
b b
αf dx = α f dx.
a a
(4) Si f es integrable en [a, b], entonces tambi´n lo es |f | y se verifica
e

10. Z

11. Z b

12. b

15. f (x)dx ≤

17. |f (x)|dx. (4.1)
a a
La desigualdad anterior se deduce f´cilmente a partir de la siguiente rela-
a
ci´n obvia |Sn (f )| ≤ Sn (|f |), pues tomando l´
o ımite en ambos miembros, re-
sulta (3.1).
4.4. La regla de Barrow.
Sean f, F : [a, b] → R, tales que F ′ (x) = f (x), para cada x ∈ [a, b]. El
siguiente resultado nos ofrece un m´todo muy util para calcular una integral
e ´
definida, siempre que podamos encontrar una primitiva del integrando.
Teorema 4.4.1. (Regla de Barrow). Si f es integrable en [a, b] y F es una
Z b
primitiva de f , entonces f (x)dx = F (b) − F (a).
a
´
DEMOSTRACION: Dado cualquier n´mero natural n, dividimos el inter-
u
valo [a, b] en n partes iguales. Como es habitual, denotamos los puntos de
subdivisi´n por {xk }n . Vamos a probar la igualdad la igualdad
o 0
n  ‹
X
F (b) − F (a) = F (xk ) − F (xk−1 ) . (4.2)
k=1
Para ello, basta observar que se cancelan los t´rminos dos a dos
e
F (x1 ) − F (x0 ) + F (x2 ) − F (x1 ) + F (x3 ) − F (x2 ) + · · · + F (xn−1 ) − F (xn−2 )+
+F (xn ) − F (xn−1 ) = F (xn ) − F (x0 ) = F (b) − F (a).
110

18. Usando (3.2) vamos a probar que la diferencia F (b) − F (a) es igual a la
suma de Riemann Sn (f ), para cierta elecci´n (tk ) de los puntos intermedios.
o
En efecto, por el Teorema del valor medio del c´lculo diferencial, para cada
a
k = 1, 2, ..., n, existe tk ∈ [xk−1 , xk ] de modo que
F (xk ) − F (xk−1 ) = F ′ (tk )(xk − xk−1 ) = f (tk )∆x.
Reuniendo estas ideas, obtenemos
n  ‹ n
X X
F (b) − F (a) = F (xk ) − F (xk−1 ) = f (tk )∆x = Sn (f, (tk )).
k=1 k=1
Ahora basta tener en cuenta que, a medida que aumenta n, la suma de
Z b
Riemann Sn (f, (tk )) se aproxima tanto como queramos a f (x)dx, y esto
a
obliga a que la cantidad F (b) − F (a) coincida con la integral.
4.5. Teorema de la media integral.
Necesitamos la siguiente propiedad de la integral definida:
Monoton´a de la integral. Si f y g son integrables en [a, b], y tales que
ı
Z b Z b
f (x) ≤ g(x), para cada x ∈ [a, b], entonces f (x)dx ≤ g(x)dx.
a a
Para cada n, se verifica Sn (f, (tk )) ≤ Sn (g, (tk )), cualquiera que sea la
elecci´n de los puntos intermedios (tk ), ya que f ≤ g. Tomando l´
o ımite en
la desigualdad, cuando n → ∞, resulta l´ n Sn (f, (tk )) ≤ l´ n Sn (g, (tk )), es
ım ım
decir, Z Z
b b
f (x)dx ≤ g(x)dx.
a a
Recordemos que la integral definida s´lo tiene sentido para funciones aco-
o
tadas y que denotamos por m y M el ´ ınfimo y el supremo, respectivamente,
de los valores de f (x) en el intervalo [a, b].
111

19. Teorema 4.5.1. (De la media integral). Si f es integrable en [a, b], existe
Z b
c ∈ [m, M ] tal que f (x)dx = c(b − a). Si, adem´s, f es continua en [a, b],
a
a Z b
entonces existe x0 ∈ [a, b] de modo que f (x)dx = f (x0 )(b − a).
a
DEMOSTRACION: Para cada x ∈ [a, b], se verifica m ≤ f (x) ≤ M . Por
´
Z b Z b
tanto, la monoton´ de la integral nos dice que
ıa mdx ≤ f (x)dx ≤
Z b Z b Z b
a a
M dx. Pero mdx = m(b − a) y M dx = M (b − a), luego
a a a
Z b
m(b − a) ≤ f (x)dx ≤ M (b − a).
a
Dividiendo por (b − a), resulta
1 Zb
m≤ f (x)dx ≤ M.
b−a a
Z b
1
Ahora basta tomar c = f (x)dx. Finalmente, en el caso particular de
b−a
a
que el integrando f es continuo, basta recordar el Teorema de los valores
intermedios para funciones definidas y continuas en un intervalo cerrado y
acotado, que nos asegura que el valor c obtenido anteriormente es alcanzado
por f , es decir, c = f (x0 ), para alg´n x0 perteneciente al intervalo [a, b].
u
Z b
1
La cantidad (b−a)
f (x)dx se conoce con el nombre de valor medio de
a
f en el intervalo [a, b].
Vamos a mostrar que viene a representar la media aritm´tica de los valores
e
que toma f , es decir, la media aritm´tica del conjunto {f (x) : x ∈ [a, b]}.
e
Para justificar esta afirmaci´n, tomamos una suma de Riemann cualquiera
o
Z b
f (x)
de la integral dx y vemos qu´ representa. Sean {xk }n los puntos
e
a b−a
0
resultantes de dividir el intervalo [a, b] en n partes iguales y (tk ) cualquier
elecci´n de los puntos intermedios; entonces
o
n
f X f (t )
k
Sn ( , (tk )) = ∆x.
b−a k=1 b − a
112

20. Esta ultima suma representa la media aritm´tica de los valores de una funci´n
´ e o
fn que toma sobre cada subintervalo [xk−1 , xk ] el valor constante f (tk ). Parece
f
razonable tomar l´ n Sn ( b−a , (tk )) como la media aritm´tica de los valores que
ım e
toma f en el intervalo [a, b], pero el valor del l´
ımite anterior es precisamente
Z b
1
b−a
f (x)dx.
a
Ejemplo 4.5.2. Calcular el valor medio de f (x) = sen x en [0, π].
1 Zπ 1 1 2
sen xdx = [− cos x]π = (1 + 1) = = 0.63.
π−0 0 π 0
π π
4.6. Teorema Fundamental del C´lculo.
a
Si f es integrable en [a, b], sabemos que tambi´n es integrable en el interva-
e Z x
lo [a, x], cualquiera que sea x ∈ (a, b]. Entonces podemos definir F (x) = f,
a
para x ∈ (a, b] y F (a) = 0.
La funci´n F suele llamarse la integral indefinida de f . El resultado
o
siguiente recibe el nombre de Teorema Fundamental del C´lculo y establece
a
que la derivada de la integral indefinida de f es la propia f (cuando f es
continua). Por tanto, este resultado pone en relaci´n integraci´n y derivaci´n.
o o o
Teorema 4.6.1. (Teorema Fundamental del C´lculo). Si f es continua en
a
[a, b],
entonces F es derivable en [a, b] y se verifica F ′ = f .
´
DEMOSTRACION: N´tese que f es integrable por ser continua. Para probar
o
que F es derivable podemos calcular el cociente incremental
Z x Z x Z x
0
F (x) − F (x0 ) f− f f
a a x0
= = ,
x − x0 x − x0 x − x0
donde hemos supuesto que x > x0 , para simplificar. Ahora usamos el Teorema
de la media integral, en el caso de integrando continuo, que establece que
113

21. existe cx ∈ (x0 , x) de modo que
Z x
f = f (cx )(x − x0 ).
x0
Entonces el cociente incremental adopta la forma
Z x
F (x) − F (x0 ) f
= x0 = f (cx ).
x − x0 x − x0
La prueba termina teniendo en cuenta que f es continua en x0 , por lo que se
tiene l´ f (x) = f (x0 ). En particular, f (cx ) tiende a f (x0 ) cuando x → x0
ım
x→x0
(cx es a´n m´s cercano a x0 que el propio x). Es decir, se verifica
u a
F (x) − F (x0 )
l´
ım = f (x0 ).
x→x0 x − x0
Z x
El teorema siguiente muestra que la funci´n F (x) =
o f es continua en
a
cada punto de [a, b], aunque f s´lo sea integrable.
o
Teorema 4.6.2. (Continuidad de la integral indefinida) Si f es integrable
Z x
en [a, b], entonces F (x) = f es continua en cada punto de [a, b].
a
´
DEMOSTRACION: Sea x0 un punto cualquiera de [a, b]. Para probar que F
es continua en x0 , debemos comprobar que la diferencia F (x) − F (x0 ) tiende
Z x
a cero cuando x → x0 . Ahora bien, la diferencia F (x)−F (x0 ) es igual a f.
x0
Por el Teorema de la media integral, existe cx ∈ [m, M ], tal que
Z x
F (x) − F (x0 ) = f = cx · (x − x0 ).
x0
Por tanto, F (x) − F (x0 ) es el producto de dos factores: el primero ˜acotado y
•
el segundo un infinit´simo en x0 . Entonces l´ x→x0 F (x) − F (x0 ) = 0.
e ım
Z x Z b
En particular, se sigue del resultado anterior que l´ −
ım f= f (x) dx.
x→b a a
114

22. Z b
Tambi´n podemos considerar la funci´n G(x) =
e o f , para x ∈ [a, b],
x
ahora con el extremo inferior variable. Para obtener su derivada, ponemos
Z Z b x
G(x) = f− f , por lo que resulta G′ (x) = 0 − f (x).
a a
Z x
u−1
Ejemplo 4.6.3. Calcular los extremos relativos de F (x) = du.
0 1 + exp(u)
Por el Teorema fundamental del C´lculo, F ′ (x) = 1+ex . Por tanto, s´-
a x−1
o
lo hay un punto cr´ ıtico x = 1. Para ver si es m´ximo o m´
a ınimo relativo,
1+ex −(x−1)ex x −xex
calculamos la derivada segunda F ′′ (x) = (1+ex )2
= 1+2e x )2 . Entonces
(1+e
F ′′ (1) = 1+e > 0, por lo que x = 1 es un m´
1
ınimo relativo.
Terminamos esta secci´n destacando otra consecuencia importante del
o
Teorema Fundamental del C´lculo: toda funci´n continua en [a, b] posee una
a o Z x
primitiva, F , que podemos expresar en la forma F (x) = f.
a
4.7. F´rmula de integraci´n por partes.
o o
Teorema 4.7.1. (F´rmula de integraci´n por partes). Sean f y g dos fun-
o o
ciones derivables en [a, b] y tales que f ′ · g y f · g ′ son integrables, entonces
se verifica
Z b Z b
′
f (x)g(x)dx = f (b) · g(b) − f (a) · g(a) − f (x) · g ′ (x)dx.
a a
´
DEMOSTRACION: Vamos a aplicar la ‹
Regla de Barrow para el c´lculo de
a
Z  b
la integral f ′ (x) · g(x) + f (x) · g ′ (x) dx. Para ello, necesitamos encon-
a
trar una primitiva del integrando, lo que es f´cil a la vista de la igualdad
 ‹
a
′
f ·g = f ′ g + f g ′ . Vemos que la funci´n producto f · g es una primitiva de
o
Z b
f ′ g + f g ′ , por lo que la regla de Barrow permite obtener f ′ (x) · g(x) +
‹ a
f (x) · g ′ (x) dx = f (b) · g(b) − f (a) · g(a). Ahora basta usar la linealidad de
la integral.
115

23. Z π
Ejemplo 4.7.2. Calcular x sen xdx. En este caso conviene tomar g(x) =
0
x y f ′ (x) = sen x. Entonces g ′ (x) = 1 y f (x) = − cos x, por lo que aplicando
la f´rmula de integraci´n por partes, resulta
o o
Z π • ˜π Z π
x sen xdx = − x cos x − (− cos x)dx =
0 0 0
Z π • ˜π
= −π + cos xdx = −π + sen x = −π.
0 0
4.8. Cambio de variables en la integral defi-
nida.
La f´rmula de integraci´n por sustituci´n o de cambio de variables esta-
o o o
blece, bajo determinadas condiciones, la igualdad
Z b Z u(b)
′
f (u(x)) · u (x)dx = f (u)du. (4.3)
a u(a)
La igualdad anterior se usa de izquierda a derecha o al rev´√ seg´n el ca-
es, u
Z π
so concreto. Por ejemplo, si se quiere calcular la integral 2x cos x2 dx,
0
se aplicar´ la igualdad de izquierda a derecha; pero, si se quiere calcular
Z 1√
a
1 − x2 dx, se aplicar´ de derecha a izquierda. De cualquier forma, siem-
a
0
pre es m´s f´cil el primer caso. Como la funci´n u es derivable en [a, b], en
a a o
particular, es continua y, por tanto, el conjunto imagen u([a, b]) es un in-
tervalo. Cuando u es decreciente, dicho intervalo tiene la forma [u(b), u(a)],
ya que u(a) > u(b). Luego, en ese caso, la integral del segundo miembro de
(3.3) tiene un extremo inferior m´s grande que el superior. Si convenimos que
a
Z b Z a
f (x)dx significa − f (x)dx, cuando a > b, se subsana esta dificultad y
a b
se consigue mantener la igualdad (3.3) sin necesidad de considerar versiones
diferentes, seg´n sea u.
u
Teorema 4.8.1. (Cambio de variable en la integral definida). Sea u definida
116

24. y derivable con continuidad en [a, b]. Si f est´ definida y es continua en el
a
conjunto imagen u([a, b]), entonces se verifica la igualdad (3.3).
´
DEMOSTRACION: . En primer lugar, recordamos que el conjunto u([a, b])
es un intervalo, por ser continua u. Por otra parte, como f es continua,
posee primitiva F . La funci´n G(x) = F (u(x)) es, a su vez, una primitiva de
o
f (u(x))u (x), ya que g (x) = F ′ (u(x))u′ (x) = f (u(x))u′ (x). Ahora podemos
′ ′
aplicar la regla de Barrow para el c´lculo de las dos integrales que aparecen
a
en la igualdad (3.3), resultando
Z b Z u(b)
′
f (u(x))u (x)dx = G(b) − G(a), f (u)du = F (u(b)) − F (u(a)).
a u(a)
Como G(b) − G(a) = F (u(b)) − F (u(a)), (3.3) queda probada.
Z √π
Ejemplos 4.8.2. 1. Calcular 2x cos x2 dx.
0
Si ponemos u(x) = x2 , entonces u′ (x) = 2x. Luego
Z √π Z √π Z u(√π)
2 ′
2x cos x dx = u (x) cos u(x)dx = cos udu.
0 0 u(0)
En el ultimo paso se ha hecho uso de (3.3) de izquierda a derecha. Ahora
´
√
como u(0) = 0 y u( π) = π, sigue que
Z √π Z π
2
2x cos x dx = cos udu = [sen u]π = 0.
0
0 0
√
Z 1
2) Calcular 1 − u2 du.
0
Por la forma del integrando, conviene hacer el cambio u = u(x) = sen x.
Entonces u′ (x) = cos x, de modo que haciendo uso de (3.3) (de derecha a
izquierda), resulta
Z 1 √ Z bÈ
1− u2 du = 1 − u2 (x)u′ (x)dx,
0 a
117

25. donde u(a) = 0 y u(b) = 1 Es decir, sen a = 0 y sen b = 1. Podemos tomar
a = 0 y b = π y queda finalmente
2
Z 1 √ Z π È Z π √
u2 (x)u′ (x)dx
2 2
1− u2 du = 1− = 1 − sen2 x cos xdx =
0 0 0
Z π
2
= cos2 xdx.
0
Esta ultima integral se calcula transformando el integrando mediante la iden-
´
È
tidad cos x = 1+cos 2x que nos permite obtener
2
Z 1 √ Z π
2 1 + cos 2x •
x + sen 2x ˜ π
2 π
1 − u2 du = dx = 2
= .
0 0 2 2 0 4
PROBLEMAS PROPUESTOS
Z 1
1. Calcular el valor exacto de x2 dx y compararlo con la suma S6 .
−1
Soluci´n: Valor exacto: 2/3, S6 = 1.03.
o
2. Calcular el valor medio de f (x) = log x en [1, e].
Soluci´n: 1/(e − 1).
o
Z 1/2
dx
3. Encontrar una cota inferior de .
−(1/2) 1 + 8x4
Soluci´n: 2/3 (producto de la longitud del intervalo por el m´
o ınimo del
integrando).
Z x
eu − 1
2
du
4. Calcular l´ 0 x 1 + u
ım .
x→0 e − x − 1
Soluci´n: 1 (puede aplicarse la regla de L’Hˆpital.
o o
Z 1
u sen u
5. Si F (x) = du, encontrar los extremos relativos de F .
x 1 + u2
Soluci´n:Los extremos relativos son nπ, siendo n un entero no nulo (m´-
o a
ximo si n es impar y m´ ınimo si n es par).
118

26. Z 1
6. Calcular arc tg x dx.
0
Soluci´n: π/4 − (1/2) log 2.
o
Z 1
dx
7. Calcular .
0 + e−x
ex
Soluci´n: arc tg e.
o
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