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Plano numerico
- 2. ¡Un cordial saludo amigos!. En este proyecto conoceremos brevemente sobre el tema de Plano Numérico , ya que nos ayudara a expandir las ramas de nuestro conocimiento. Bienvenidos a mi Presentación!
- 3. ¿Qué es un Plano Numérico? El plano numérico es un sistema de referencias que se encuentra conformado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical, que se cortan en un determinado punto. A la horizontal se la llama eje de las abscisas o de las x y al vertical eje de las coordenadas o de las yes, en tanto, el punto en el cual se cortarán se denomina origen. La principal función o finalidad de este plano es el de describir la posición de puntos, los cuales se encontrarán representados por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se formarán asociando un valor del eje x y otro del eje y.
- 4. Distancia •La distancia que separa el lugar desde donde nosotros nos hayamos, hasta por ejemplo el lugar al cual nos queremos dirigir, que, supongamos queda a cuatro cuadras al norte y seis al oeste, puede ser plasmada a través de un plano numérico, tomando como origen del plano aquel en el cual nos encontramos nosotros. La distancia entre dos puntos está vinculada al plano numérico , ya que este permite calcular la distancia que existe entre ambos puntos, a partir de la ubicación de las coordenadas de ambos. Por su parte, cuando ambos puntos pasan del plano a la superficie terrestre, su distancia se calcula de otra manera. De acuerdo con la metodología denominada fórmula del Haversine.
- 5. Punto Medio Punto medio o punto equidistante, es el punto que se encuentra a la misma distancia de cualquiera de los extremos. Si es un segmento acotado, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. •Si los puntos extremos extremos de un segmento son A y B: •Las coordenadas del punto medio del segmento coinciden con la semisuma de las coordenadas de los puntos extremos Ejemplo: •El punto medio del segmento AB es:
- 6. Ecuaciones y Trazado de Circunferencia
- 7. Circunferencias Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo que llamado centro. • No debemos confundir el círculo con el circulo de circunferencia, ya que en realidad una circunferencia es la curva que encierra a un círculo. Elementos básicos Centro: es un punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia Radio: es un segmento que une el centro con un punto de la circunferencia Cuerda:es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. Las cuerdas con mayor longitud que podemos encontrar son los diámetros. Diámetro: es el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia. Corresponde al doble del radio. Recta secante: es una recta que corta la circunferencia en dos puntos Recta tangente: es una recta que toca la circunferencia en un solo punto. Arco: es un segmento curvilíneo de puntos que pertenecen a la circunferencia.
- 8. Ecuaciones de Circunferencias Ecuación general: X² + y² + Ax + By + C= 0 Coordenadas del centro: a= -A/2 b=-B/2 Radio: X²= a² + b² - c La obtendremos aplicando la formula de la distancia entre C (a,b) y un punto cualquiera de la circunferencia P(x,y), resulta: √(x-a)² + (y-b)²=r² : (x-a)² + (y-b)² =r² X² + y² - 2ax – 2by +a² + b² - r² =0 X² + y² =r² • circunferencia con centro de aborigen de coordenadas Ecuación reducida: -A2ª= -2b=B a²+b²-r²=0
- 9. Parábola Queda definida por el conjunto de los puntos del plano que equidistan de una recta fija y un punto fijo: Elementos de la parábola •Foco: Es el punto fijo F. •Directriz: Es la recta fija D. •Parámetro: A la distancia entre el foco y la directriz de una parábola se le llama parámetro P. •Eje: La recta perpendicular a la directriz y que pasa por el foco recibe el nombre de eje. Es el eje de simetría de la parábola. •Vértice: Es el punto medio entre el foco y la directriz. También se puede ver como el punto de intersección del eje con la parábola. •Radio vector: Es el segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.
- 10. Ecuaciones de una Parábola •La ecuación más simple para una parábola es y = x2 Si la giramos de lado nos queda y2 = x (o y = √x para la parte superior) •De forma más general: y2 = 4ax donde a es la distancia desde el origen al foco (y también desde el origen a la directriz)
- 11. x2 = −4ay y2 = 4ax y2 = −4ax x2 = 4ay Las ecuaciones de las parábolas en las distintas orientaciones son:
- 12. Elipse Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Elementos de la elipse: 1. Focos: Son los puntos fijos F y F'. 2. Eje focal: Es la recta que pasa por los focos. 3. Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'. 4. Centro: Es el punto de intersección de los ejes. 5. Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'. 6. Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.
- 13. 7. Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'. 8. Eje mayor: Es el segmento segmento de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor. 9. Eje menor: Es el segmento segmento de longitud 2b, b es el valor del semieje menor. 10. Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor. 11. Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.
- 14. Ecuaciones de un Elipse Ecuación general: •Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general, una ecuación de la forma: •Donde A y B tienen el mismo signo. Ecuación ordinaria: •Existen otras posibilidades. Una sería que el semieje mayor (en consecuencia, los focos F1 y F2) estuviera sobre el eje de las ordenadas OY. •Por simetría con la ecuación del caso normal, suponiendo que el centro de la elipse es el (0,0), la ecuación, en este caso, sería:
- 15. Fácilmente se puede apreciar cual es el semieje mayor, viendo cuál de las incógnitas lleva el denominador mayor. La figura quedaría así:
- 16. Hipérbola Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Elementos de la hipérbola: 1. Focos: Son los puntos fijos F y F'. 2. Eje principal o real: Es la recta que pasa por los focos. 3. Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmento FF'. 4. Centro: Es el punto de intersección de los ejes. 5. Vértices: Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal. Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c.
- 17. 6. Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: PF y PF'. 7. Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c. 8. Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a. 9. Eje menor: Es el segmento de longitud 2b. 10. Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario. 11. Asíntotas: Son las rectas de ecuaciones: 12. Relación entre los semiejes:
- 18. Ecuaciones de una Hipérbola Dada la parábola , calcular su vértice, su foco y la recta directriz.
- 19. Ecuación ordinaria de la parábola Dada la parábola , calcular su vértice, su foco y la recta directriz
- 20. Ecuación reducida de la parábola de eje vertical Dada la parábola , calcular su vértice, su foco y la recta directriz.
- 21. Ecuación de la parábola de eje vertical Dada la parábola , calcular su vértice, su foco y la recta directriz.
- 22. Grafica de una cónica Son curvas planas que cumplen una condición geométrica determinada. Pueden obtenerse como la intersección de un cono circular con un plano que no contenga al vértice del cono. Se conocen 4 curvas cónicas, la circunferencia, la elipse, la parábola y la hipérbola, .que dependen de la inclinación del plano respecto al eje de un cono. •Si el plano es perpendicular a dicho eje produce una circunferencia. El eje forma con el plano 90º=β •si se lo inclina ligeramente, se obtiene una elipse. El ángulo es β<90º sin superar el ángulo que forma el eje y la generatriz el cono = α. •si la inclinación no forma una curva cerrada es una parábola. El ángulo es β>90º pero supera al que forma el eje con la generatriz del cono =α •Cuando es paralelo a una generatriz del cono se tiene una parábola y si corta a ambas ramas del cono la curva es una hipérbola. El ángulo es 0º, paralelo al eje.
- 23. •Superficie: una superficie cónica de revolución está engendrada por la rotación de una recta alrededor de otra recta fija, llamada eje, a la que corta de modo oblicuo. •Generatriz: la generatriz es una cualquiera de las rectas oblicuas. •Vértice: el vértice es el punto central donde se cortan las generatrices. •Hojas: las hojas son las dos partes en las que el vértice divide a la superficie cónica de revolución. •Sección :se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad y la inclinación del plano respecto del eje del cono , pueden obtenerse diferentes secciones cónicas. Elementos de las cónicas Elipse Circunferencia Parábola Hipérbola