Este documento presenta los conceptos básicos de la programación lineal. Explica que la programación lineal resuelve problemas de optimización donde las relaciones entre variables son lineales. Define la estructura matemática general de un problema de programación lineal, incluyendo la función objetivo y las restricciones lineales. También describe las características y supuestos de la programación lineal. Finalmente, incluye un ejemplo de problema de producción para ilustrar cómo formular un modelo de programación lineal.

1. Formulación
Capítulo 2
Formulación
Max ó Min Z = C X
C.S.R.
AX<B
XJ > 0 ; j = 1, 2, ..., n
Objetivo
El presente trabajo es una recopilación de algunos problemas representativos de
programación lineal, en donde se muestra al lector la solución a diferentes modelos,
buscando desarrollar la capacidad inventiva para formular problemas de optimización de
recursos.
Programación Lineal - Problema General
La Programación Lineal resuelve un tipo muy especial de problema, uno en el cual todas las
relaciones entre las variables son lineales, tanto en las restricciones como en la Función
Objetivo.
Definición: Dado un conjunto de m desigualdades lineales ó ecuaciones lineales, con n
variables, se requiere hallar valores no negativos de éstas variables que satisfagan las
restricciones y maximicen ó minimicen alguna función lineal de las variables llamada Función
Objetivo.
Matemáticamente:
Hallar XJ , J = 1, 2, . . . . . n Para:
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2. Formulación
Maximizar
......
ó Z = C1X1 + C2X2 + + CnXn
Minimizar
Con las siguientes restricciones:
. .
a11X1 + ..... + a1jXj + ..... + a1nXn ó b1
. . . . .
. . . . .
.
ai1X1 + ..... + aijXj + ..... + ainXn ó bi
. . . . .
. . . . .
. .
am1X1 + ..... + amjXj+ ..... + amnXn ó bm
Xj 0 ; j = 1, 2, . . . . . . n
Características de la Programación Lineal
1. Linealidad asume que no pueden haber términos así:
X1X2 X32 a14Log X4
2. Asume las propiedades aditivas y multiplicativas.
Si una unidad tipo 1 necesita 2 horas en la Máquina A y una unidad tipo 2 necesita 2½
horas, entonces ambas necesitan 4½ horas.
Si una unidad tipo 3 necesita 1 hora en la máquina B, entonces 10 unidades necesitan
10 horas.
3. La función que se va a optimizar (maximizar ó minimizar) se llama función objetiva,
fíjese que no aparece ningún término independiente ó constante. Los valores de las Xj
son independientes de cualquier constante.
4. Cuando se dice que hay m restricciones, no están incluidas las condiciones Xj 0
(condición de no negatividad).
5. a) Cualquier conjunto de Xj que satisface las m restricciones se llama una solución al
problema.
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3. Formulación
b) Si la solución satisface la condición de no negatividad Xj 0 , se llama una solución
factible
c) Una solución factible que optimiza la función objetiva se llama una solución factible
óptima
Usualmente hay un número infinito de soluciones factibles al problema, de todas estas,
tiene que hallarse una óptima
Pautas y comentarios para la formulación de modelos
En la conversión de modelos verbales a modelos formales, será muy útil describir primero
con palabras un modelo que corresponda al problema dado. Es decir, se puede proceder de la
siguiente forma:
1. Exprese cada restricción en palabras; al hacer esto, ponga cuidadosa atención en si la
restricción es un requerimiento de la forma (mayor ó igual que, al menos, por lo menos,
como mínimo), una limitación de la forma (menor ó igual que, no mayor que, como
máximo), ó = (igual a, exactamente igual a).
2. Después expresar el objetivo en palabras.
3. Identificar verbalmente las variables de decisión: Con frecuencia, una cuidadosa lectura
del contenido del problema le revelará que las variables de decisión y el objetivo se le
dan en la forma exacta que necesita. Es imperativo e importante que estén definidas en
forma correcta sus variables de decisión. En ocasiones encontrará que hay varias
elecciones posibles. Una guía útil es hacerse a si mismo la pregunta: Qué decisión debe
tomarse para optimizar la función objetivo ? . La respuesta a esta pregunta le ayudará
a llegar a identificar correctamente las variables de decisión.
4. Expresar la función objetivo mediante símbolos, es decir en términos de las variables de
decisión.
5. Expresar las restricciones mediante símbolos, es decir, en términos de las variables de
decisión.
En esta etapa es necesario e imperativo comprobar si las unidades son consistentes. Por
ejemplo, si los coeficientes de una función objetivo están dados por pesos por libra, las
variables de decisión que aparezcan en la función objetivo deben resultar en libras, no
en toneladas ni onzas. De manera análoga, compruebe que para cada restricción las
unidades del lado derecho son las mismas que las del lado izquierdo. Por ejemplo, si una
de las restricciones es una limitante de la forma de horas de trabajo, el lado derecho
debe ser de horas de trabajo. Dicho de otra forma más simple, no puede tener unidades
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4. Formulación
de horas en el lado izquierdo de la restricción y en el otro lado minutos ó segundos ó
libras ó toneladas.
Es conveniente comentar que las restricciones en programación lineal no pueden tener
una desigualdad estricta, con los signos < ó > . La razón de esto es de naturaleza
matemática para que asegure que un problema bien formulado tenga solución ya que
cualquier situación del mundo real que uno pueda imaginar y que implique desigualdades
de restricción es casi seguro que la representación con los signos o captará por
completo el significado del mundo real.
Aprendiendo a Formular Modelos
Este capitulo contiene ejemplos de formulación que le servirán para cimentar su habilidad al
traducir problemas del mundo real a modelos matemáticos. Esta transición, o modo en que
se ha de elaborar el modelo, la forma en que se definirá las variables y se formularán las
restricciones y la función objetivo es de primordial importancia.
Intente resolver los siguientes problemas por si mismo. Formúlelos con la rapidez que le
sea posible y no lea en un problema más de lo que se le da. Por ejemplo, no introduzca
restricciones adicionales o matices lógicos o datos imaginarios que en su opinión podrían
hacer más realista el modelo. Por ejemplo, no se preocupe por lo que ocurra la semana
siguiente si el problema nunca se refiere a la semana siguiente. Los problemas que se
muestran han sido escogidos para facilitarle el desarrollo del aprendizaje de la formulación.
Para lograr esto y que pueda comprobar su trabajo y calibrar su progreso dentro del
contexto descrito, la formulación correcta, debe carecer por completo de ambigüedad. En
otras palabras, que haya una respuesta correcta. Más tarde, cuando tenga experiencia, la
amplitud de las dudas en la interpretación y las sutilezas del mundo real serán mayores.
Debido a que el tema de la formulación es tan importante y como la práctica es el único
camino para dominarlo, se recomienda hacer un número de problemas grande. Como último
consejo: No lea simplemente el problema y después vaya de inmediato a la solución. Esa
sería la mejor forma de engañarse a si mismo sobre lo que ha comprendido. No lea la
solución hasta que esté seguro de haber solucionado en forma correcta el problema por si
mismo o esté totalmente convencido que se encuentra en un callejón sin salida.
1. Problema de producción
Un taller tiene tres (3) tipos de máquinas A, B y C; puede fabricar dos (2) productos 1 y 2,
todos los productos tienen que ir a cada máquina y cada uno va en el mismo orden: Primero a
la máquina A, luego a la B y luego a la C. La tabla siguiente muestra:
1. Las horas requeridas en cada máquina, por unidad de producto
2. Las horas totales disponibles para cada máquina, por semana
3. La ganancia por unidad vendida de cada producto
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