Matematicas i 09101 2012

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Actividad integradora 1
Instrucciones:

I. Revisa la explicación del módulo, observa el video que se incluye en la misma y
contesta las siguientes preguntas (10 puntos):

1. ¿Cómo sabemos cuál es la variable independiente y cuál es la variable
dependiente en una relación? Dentro de la explicación del video, ¿qué representa
la variable independiente y qué la variable dependiente?
2. De acuerdo al ejemplo mostrado en el video, ¿se muestra una función o una
relación? Justifica tu respuesta.
3. Realiza la gráfica para y=mx+b, para m <0
4. Según el ejemplo de las manzanas del video de apoyo, ¿cuál es el valor de la
pendiente?

II. Resuelve cada uno de los siguientes problemas, para ello es necesario que revises y
comprendas los ejemplos explicados en el material. No olvides incluir todo el
procedimiento necesario para llegar a la respuesta. (90 puntos, 10 c/ejercicio).

1. Dados los siguientes conjuntos, utiliza Diagramas de Venn para realizar las
operaciones correspondientes y expresar la solución en lenguaje común:

a.
b.
c.
d.

2. Don Ramón decidió encuestar a los clientes de su fonda para saber qué platillo
prefieren de entre 3 guisos de pollo; preguntó a 25 personas, las cuales 16
seleccionaron pollo en mole; 13 pollo a la jardinera; 10 pollo empanizado; 5
preferían pollo en mole y pollo a la jardinera pero no pollo empanizado; 2
prefirieron pollo en mole y pollo empanizado; 3 preferían pollo empanizado y pollo
a la jardinera y 7 sólo prefirieron el pollo en mole.

Usando diagramas de Venn, encuentra:
a. La cantidad de personas que gustaban de las 3 comidas.
b. La cantidad de personas que gustaban de comer únicamente pollo empanizado.
c. La cantidad de personas que gustaban de comer únicamente pollo a la
jardinera.

3. Coloca correctamente en cada renglón los números que corresponden a cada
conjunto, de los números que se te presentan a continuación.



Conjunto
Números reales
Números racionales
Números irracionales
Enteros
Fraccionarios no enteros
Positivos o Naturales
Cero
Negativos

4. Desarrolla las siguientes expresiones algebraicas, aplicando productos notables:

a.

b.
c.
d.

5. Simplifica las siguientes expresiones algebraicas:

a.

b.

c.

d.

e.

6. Resuelve las siguientes ecuaciones, utilizando los conceptos estudiados sobre
ecuaciones lineales, cuadráticas y sistemas de ecuaciones lineales:

a.



b.

c.

7. Investiga en fuentes electrónicas confiables o textos, lo siguiente: ¿Cuándo se
dice que un sistema de ecuaciones es inconsistente? Define cada concepto y
represéntalo gráficamente.

8. Determina si las siguientes relaciones representan una función; si lo hacen, indica
su dominio y rango y si las variables son discretas o continuas.

a.

T 1 3 6 9
C 10 15 20 25

b.
c.

X 2 4 6 8
P 2 4 8 16

d.
9. Determina ¿cuáles de las siguientes gráficas representan una función? Justifica tu
respuesta y encuentra su dominio e imagen.

a.

b.



Instrucciones:


1. ¿Con qué función puede confundirse la inversa de y=f-1?
2. ¿Cómo es la gráfica de la inversa de una función original?
3. En base a los logaritmos, ¿qué significa 100?
4. Es una aplicación de los logaritmos naturales.
5. ¿Cómo se representa la función compuesta f(g(x))?

II. Resuelve cada uno de los siguientes problemas, para ello es necesario que
revises y comprendas los ejemplos explicados en el material. No olvides incluir
todo el procedimiento necesario para llegar a la respuesta. (10 puntos cada
ejercicio).

1. Obtén la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2, -3) y (3, 6)
2. Una casa tiene un valor actual de $1,200,000; si su valor aumenta en forma
constante cada año en 2% del valor original:
a. Obtén una fórmula para el valor de la casa en función del tiempo.
b. Utiliza la fórmula para determinar dentro de cuántos años el valor de
la casa será de $1’500,000.
3. Basándote en la gráfica, contesta lo que se te pide:



a. ¿Cuál es el grado de esta función
polinomial?_____________________________.
b. ¿Cuántos ceros tiene la función?
_______________________________________.
c. ¿Cuántas vueltas (cretas) tiene la función?
_______________________________.
d. ¿Cuáles son sus raíces?
_____________________________________________.
e. ¿Cuáles son sus factores?
____________________________________________.
f. Escribe una posible fórmula para la
gráfica________________________________.

4. Grafica las siguientes funciones, para ello analiza el signo de la pendiente y
la intersección con el eje de las y, además, determina su dominio e imagen:

1.

2.

3.

5. La población de México expresada en millones de habitantes crece
exponencialmente a razón de 2.2 % por año. Si en 1990 había 102 millones de
habitantes.
. Plantea una fórmula para la población como función del tiempo.
a. Utiliza la fórmula para determinar la población en 10 años.
b. ¿En qué año la población sería de 120 millones de habitantes?

6. Una población de bacterias decrece exponencialmente a razón continua cada



día. Si en 2 días disminuyo 10% de la que originalmente había.
. Plantea una fórmula para la población en función del tiempo.
a. Utiliza la fórmula para determinar en qué porcentaje disminuyo la
población en 5 días.

7. Resuelve la siguiente ecuación exponencial utilizando las propiedades de los
logaritmos

8. Encuentra el límite de las siguientes funciones, si existe:

.

a.

b.
9. Determina si las siguientes funciones son continuas en x= a, si no lo son,
especifica el tipo de discontinuidad. Traza la gráfica de las siguientes
funciones, para ello te puedes apoyar en el software:

GRAPHMATICA http://graphmatica.com
GRAPH http://www.padowan.dk/graph/

a.

b.

Instrucciones:


1. Nombre de la recta que toca dos puntos de una curva.
2. Si la pendiente de una función decrece, entonces la derivada de la función
con respecto al eje x se encuentra:
3. Si tenemos un polinomio de grado cuarto, cómo es el grado de la pendiente.



4. Explica la razón por la que la derivada π es igual a cero.

II. Resuelve cada uno de los siguientes problemas, para ello es necesario que
revises y comprendas los ejemplos explicados en el material. No olvides incluir
todo el procedimiento necesario para llegar a la respuesta.

1. Encuentra el límite de las siguientes funciones, si existe: (10 puntos)

a.

b.

c.

d.

2. Encuentra las asíntotas verticales y horizontales de las siguientes
funciones. Además, traza la gráfica de cada una de estas funciones, para ello
te puedes apoyar con el software: (15 puntos)


3.

a.

b.

c.

4. Un terreno aumenta de acuerdo a la siguiente función
donde representa el valor del terreno, en miles de pesos, y el tiempo,
en años, a partir de su compra. (10 puntos)

a. ¿Con qué rapidez cambia el valor del terreno 5 años después de



haberse comprado?
b. ¿Con qué rapidez cambia el valor del terreno 7 años después de
haberse comprado?

5. Encuentra la ecuación de la recta tangente en el valor indicado. Además,
traza la gráfica de la función y la ecuación de la recta tangente en el punto de
tangencia. Para ello te puedes apoyar con el software. (15 puntos)


6.
a.

b.

7. Utiliza fórmulas y propiedades para obtener la derivada de las siguientes
funciones: (10 puntos)

a.

b.

c.

d.

e.
8. Investiga en la Biblioteca digital, en otras fuentes electrónicas confiables o
textos, las derivadas de las siguientes funciones trigonométricas: (10
puntos)

Función Derivada
f(y)= Coty
f(y)= Secy
f(y)= Cscy

9.
10. Utiliza fórmulas y propiedades para obtener la derivada de las siguientes
funciones: (10 puntos)

a.



b.

11. Investiga en la Biblioteca digital, en otras fuentes electrónicas confiables o
textos, las derivadas de las siguientes funciones trigonométricas. Considere
que “u” es una función derivable de x. (10 puntos)

Función Derivada
f(x)= Cotu
f(x)= Secu
f(x)= Cscu
f(x)= Logau

Instrucciones:


1. Cuando hay un cambio de signo algebraico de más a menos, podemos observar
que en la gráfica …
2. En el ejemplo del video, de la concentración del medicamento en el torrente
sanguíneo del paciente, ¿cuándo se tiene la mínima cantidad de medicamento
transportándose a través del cuerpo del paciente?
3. Decimos que en una gráfica hay un Punto de inflexión cuando …

II. Resuelve cada uno de los siguientes problemas, para ello es necesario que revises y
comprendas los ejemplos explicados en el material. No olvides incluir todo el
procedimiento necesario para llegar a la respuesta. (20 puntos cada uno).

1. Encuentra la segunda derivada para las siguientes funciones:

a.
b.
c.
d.

e.

2. Obtén los puntos críticos de la función y utiliza el criterio de la primera derivada
para determinar si son máximos, mínimos o ninguno. Indica los intervalos en lo
que es creciente y en los que es decreciente:
a.



b.
c.

3. Una empresa estima que el costo (en pesos) por producir “x” artículos es
de: . Determinar el costo marginal y el costo
mínimo en pesos para la función de costo medio que está dada

por .
4. Utiliza el criterio de la segunda derivada para determinar los puntos críticos de la
función, y los intervalos en los que la función es cóncava hacia arriba y en los que
es cóncava hacia abajo.

a.
b.

c.

Instrucciones
Resuelve los siguientes problemas y justifica cada una de tus respuestas.

1. En una de las preparatorias de la Universidad TecMilenio se obtuvieron los
siguientes datos de 400 estudiantes:

200 alumnos aprobaron la materia de matemáticas
150 estudiantes aprobaron física;
190, aprobaron historia;
115, aprobaron matemáticas e historia;
90 aprobaron física e historia;
80 aprobaron matemáticas, física e historia.

Determina cuántos de estos 400 alumnos aprobaron:
a. Sólo una materia
b. Exactamente 2 materias
c. Al menos una materia

2. Simplifica las siguientes expresiones algebraicas:

a.
b.
c.



d.
3. Resuelve las siguientes ecuaciones o sistemas de ecuaciones lineales:
1.
2.

3.
4. Determina si las siguientes relaciones representan una función; si lo hacen, indica
su dominio y rango y si las variables son discretas o continuas.
. A cada persona le corresponde un vehículo.
a.

X -2 1 2 6
y 5 10 15 20

c. Escribe una posible fórmula para la gráfica.

5. El valor de un carro es de $270,000; si su valor se deprecia linealmente 20% del
valor inicial por año, encuentra:
a. La ecuación que exprese el valor del vehículo después de t años de uso.
b. ¿Cuál es el valor del vehículo después de 7 años?

6. Un virus crece exponencialmente a razón continua cada día. Si en 5 días aumentó
5% de la que originalmente había:
a. Plantea una fórmula para la población en función del tiempo.
b. Utiliza la fórmula para determinar en qué porcentaje aumentó la población



en 15 días.

7. Encuentra las asíntotas verticales y horizontales de las siguientes funciones.
Además, traza la gráfica de cada una de estas funciones:

a.

b.

8. Determina para las siguientes funciones:
a.
b.

c.
9. Una partícula se mueve conforme a la función ,
donde se expresa en metros y “ ” en segundos. Determina:
a. Su posición inicial
b. Su velocidad al inicio de su movimiento
c. La velocidad que alcanza al transcurrir 5 segundos
d. Su aceleración en 5 segundos
e. Traza las gráficas de la función distancia, velocidad y aceleración

10. Obtén los intervalos en lo que la función creciente, decreciente, cóncava hacia
arriba, cóncava hacia abajo; máximos y mínimos locales; y puntos de inflexión.
Después, traza la gráfica de la curva:
a.

b.


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