Competencias matemàticas

1. PROBLEMA 1
Una señora al extraer de una bolsa y repartir a cada uno de sus hijos igual número de
caramelos, advierte que sobran 4. Si los repartiera sólo entre los 3 varones, le
sobrarían 2 y si en cambio lo hiciera entre las dos mujeres sobraría 1. ¿Cuántos
caramelos debe contener la bolsa, sabiendo que no son más de 50?
PROBLEMA 2
Encontrar un número de dos dígitos x e y que cumpla (xy + 1):2 = yx. Es decir, tenés
que encontrar un número de dos dígitos que al sumarle 1 y dividir al resultado por 2
quede el mismo número pero invertido.
PROBLEMA 3
En un hexágono ABCDEF se trazan las diagonales AE y BD, el hexágono queda
partido en un rectángulo y dos triángulos iguales. Si cada uno de esos triángulos es
rectángulo e isósceles, ¿cuánto mide cada ángulo interior de hexágono?
PROBLEMA 4
El frutero del barrio compra en el mercado central 120 cajas de frutilla a $ 3,50 cada
una. El primer día de venta, vende los 5/8 del total de las cajas a $ 6,25 cada una. Al
día siguiente pone al resto de las cajas como oferta del día, vendiendo todas las cajas
rápidamente. Si la ganancia obtenida es $264,75, ¿A cuánto vende cada caja el
segundo día de venta?
PROBLEMA 5
En el rectángulo ABCD de la figura, elegí un punto cualquiera sobre el lado AB y unilo
con los vértices C y D
a) ¿Qué parte del área del rectángulo representa el área del triángulo?
b) Si se cambia la posición del punto que se eligió sobre el lado AB, ¿qué sucede con
el área del triángulo que se obtiene?
c) ¿Es posible responder esta pregunta para cualquier punto elegido?
1

2. PROBLEMA 6
Ana escribe un número de 4 cifras distintas. Micaela escribe el siguiente del número
que escribió Ana.
La suma de los dígitos del número que escribió Ana es 25. La suma de los dígitos del
número que escribió Micaela es 17.
¿Qué número pudo haber escrito Ana? Dar 5 posibilidades.
PROBLEMA 7
Un jugador empedernido ha descubierto en un casino de las Vegas una máquina que
colocando una ficha de 1,6 dólares y una cierta cantidad de dinero, duplica la cantidad
de dinero colocada.
Feliz con su hallazgo, se decide a jugar; compra una ficha e introduce el dinero
restante en la máquina, que se lo retorna duplicado.
Así continúa jugando, comprando las siguientes fichas (una por vez ) con la ganancia
obtenida.
Después de haber jugado 4 veces la máquina le retorna 1,6 dólares, lo necesario para
comprar la próxima ficha,… pero no tiene con qué seguir jugando. ¿Con cuánto dinero
empezó (antes de comprar la primera ficha)?
PROBLEMA 8
En la siguiente configuración de nueve círculos hay seis maneras de elegir cuatro
círculos de modo que los centros de los cuatro círculos sean los vértices de un
cuadrado.
Distribuir los números 1,2,3,4,5,6,7,8 y 9, uno en cada circulo, de modo que para cada
uno de los seis cuadrados mencionados, la suma de los cuatro números escritos en
los cuatro círculos correspondientes a sus vértices sea siempre la misma.
PROBLEMA 9
Juan, el herrero, construye una reja con forma de semicircunferencia y barrotes cada
10 cm. como muestra la figura. ¿Cuál es la longitud de cada barrote?
2

3. PROBLEMA 10
Sean p y q enteros positivos, p > q, y además ( p + q )2
– ( p – q )2
> 29.
Hallar el menor valor posible de p.
PROBLEMA 11
Se considera un cuadrado ABCD de lados AB, BC, CD y DA, y un punto P exterior al
cuadrado tal que el triángulo ABP es isósceles con
AP = AB y .ADP = 10°. Calcular la medida del ángulo .APB
PROBLEMA 12
Para alambrar un campo cuadrado de 100m2
se gastan $100 de material. ¿Cuánto se
gastará de material para alambrar (con el mismo tipo de alambre) un campo cuadrado
de 400m2
de superficie?
PROBLEMA 13
Una escuela tiene 688 alumnos de los cuales exactamente la mitad son mujeres. El
día del primer partido de Argentina en el mundial de fútbol muchos alumnos faltaron a
la escuela. Si la diferencia entre el número de varones que faltaron y el número de
mujeres que fueron a la escuela es 123, calcular la cantidad de alumnos que faltaron
ese día.
PROBLEMA 14
Dora, Flavia y Matilde conversan sobre sus edades y durante su charla afirman:
Dora: tengo 22 años. Tengo dos años menos que Flavia. Tengo un año más que
Matilde.
Flavia: no soy la mas joven. Entre Matilde y yo hay tres años de diferencia. Matilde
tiene 25 años.
Matilde: Soy mas joven que Dora. Dora tiene 23 años. Flavia tiene tres años más que
Dora.
Si cada una mintió exactamente una vez, ¿cuáles son las edades de las damas?
PROBLEMA 15
La figura está formada por un rectángulo, dos triángulos equiláteros y dos triángulos
isósceles. El perímetro del triángulo equilátero es de 12 cm.
El área del rectángulo es de 6 2
cm .
El perímetro de la figura sombreada es 51 cm.
¿Cuál es el perímetro del triángulo isósceles?
3

4. PROBLEMA 16
Criptograma: Intenta determinar el valor de cada una de las letras:
PROBLEMA 17
Un tren que avanza a una velocidad de 40 km por hora se adentra en un túnel de 1 ¼
km de largo. La longitud del tren es de ¼ km. Averiguar cuánto tarda el tren en
atravesar el túnel desde el momento en que entra la cabeza hasta que sale la cola.
PROBLEMA 18
Sea ABCD un rectángulo de lados AB= 16 y BC= 20. Sea E el punto medio del lado
AB y F el punto en el que la perpendicular a EC trazada por E corta al lado DA.
Calcular la medida del segmento FD.
PROBLEMA 19
Un rectángulo de 16 por 9 se corta como en la figura. Los pedazos se reacomodan
para formar un cuadrado. ¿Cuál es su perímetro?
PROBLEMA 20
Los alumnos de un curso deciden donar una estufa para una escuela de frontera. Lo
que necesitan recaudar es $ 85, esto lo logran poniendo cada alumno $ 2,50. Como el
día de la recaudación faltaron algunos de los compañeros, los presentes agregaron $
0,90 cada uno. ¿Cuántos alumnos faltaron?
PROBLEMA 21
La suma de seis números es par. Si el último de esos seis es par y el producto de los
cuatro primeros es impar.¿El quinto número es par o impar?
4

5. PROBLEMA 22
Teniendo en cuenta la figura, hallar el radio del círculo, sabiendo que cmAD 3= y
cmAC 8=
PROBLEMA 23
¿Cuántos números de 5 dígitos y capicúas pueden formarse con los números 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8?
PROBLEMA 24
Un rey dejó a sus hijas cierto número de perlas y determinó que la división se hiciera
del siguiente modo: la hija mayor sacaría 1 perla y 1/7 de lo que restase; vendría
después la segunda y tomaría para sí dos perlas y 1/7 del resto, a continuación la
tercera joven tomaría 3 perlas y 1/7 de lo que quedara y así sucesivamente.
Las hijas más jóvenes se quejaron al juez alegando que mediante este sistema
complicado de reparto se verían fatalmente perjudicadas.
El juez-dice la tradición-, que era hábil en la resolución de problemas, respondió de
inmediato que los reclamos eran infundados, la división propuesta por el viejo rey era
justa y perfecta.
Y tenía razón. Hecho el reparto, cada una de las herederas recibió el mismo número
de perlas.
La pregunta es: ¿cuántas perlas había y cuántas hijas tenía el rey?
PROBLEMA 25
El trapecio ADEF se partió en un rectángulo y dos triángulos rectángulos iguales,
como muestra la figura. El triángulo CDE tiene 78 cm2
de área. Además CE =13cm y
AD = 4EF.
¿Cuál es el área del trapecio ADEF?
5

6. PROBLEMA 26
Los 3 triángulos T1, T2 y T3 presentados tienen igual base y alturas AB, CD y EF
respectivamente.
CD = ½ AB
EF = ½ CD.
La altura de T3 es ¾ de su base. Si la suma de las áreas de los tres triángulos es 1050
cm2
. ¿Cuánto mide la base y la altura de T3?
PROBLEMA 27
En el triángulo PQR: M es el punto medio de QR y 4PN = NQ.
El área del triángulo PNM es 30cm2
.
¿Cuál es el área del cuadrilátero PNMR?
PROBLEMA 28
En un rectángulo ABCD de 126 cm de perímetro, se marcan:
P en CD de manera que CD = 4 PD
Q en AB de manera que AB = 3AQ.
Si PC = AD, ¿cuál es el área de QBCP?
6

7. PROBLEMA 29
Sean a y b números tales que 1a b× = y a + b=1. ¿A qué es igual ( )3 3
a b− + ?
PROBLEMA 30
Ana compró un regalo para cada uno de sus 5 hermanos.
Por los regalos de todos menos el primero gastó $ 108.
Por los regalos de todos menos el segundo gastó $ 110.
Por los regalos de todos menos el tercero gastó $ 112.
Por los regalos de todos menos el cuarto gastó $ 114.
Por los regalos de todos menos el quinto gastó $ 116.
¿Cuánto pagó por cada uno de los regalos?
PROBLEMA 31
A un aficionado a los rompecabezas le preguntaron cuántos años tenía. La
contestación fue compleja:
Tomad tres veces los años que tendré dentro de tres años, restadles tres veces los
años que tenía hace tres años y resultará exactamente los años que tengo ahora.
¿Cuántos años tiene ahora?
PROBLEMA32
ADEF es un rectángulo,
B es el punto medio de AD, BD=DE.
Área del triángulo CDE = 1/3 área del triángulo BCE.
Área del triángulo BCE = 294 cm2
¿Cuál es el perímetro del rectángulo ADEF? ¿Cuál es el área de ACEF?
PROBLEMA33
Diego colecciona estampillas que pone en álbumes. Cada álbum tiene 32 páginas. En
cada página pega igual número de estampillas. Tiene 3 álbumes completos y otro con
sólo 5 páginas llenas. En el álbum incompleto tiene 60 estampillas.
¿Cuántas estampillas tiene en total?
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8. PROBLEMA34
El rectángulo ABCD tiene 48cm de perímetro y está formado por 3 cuadrados iguales.
CE = EF = FD y EM = 2CE
¿Cuál es el perímetro de la figura rayada?
PROBLEMA35
En una plaza circular de R=9 m. se quiere
construir un estanque de forma rómbica,
según la figura.
¿Cuánto mide el lado del rombo?
PROBLEMA36
El árbol genealógico de una familia se inicia en el matrimonio de Eduardo y Cecilia que
tienen tres hijos: Orlando, Luis y Manuel.
De estos tres hijos, Orlando y Luis se casan y Manuel queda soltero.
Para cada uno de los siguientes matrimonios se repite la misma situación(ellos tienen
tres hijos de los cuales dos se casan y uno queda soltero)
Determinar el número de personas incluidas en el árbol genealógico hasta la décima
generación (incluir todos los esposos/esposas)
Aclaración: Orlando, Luis y Manuel son de la primera generación.
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9. PROBLEMA37
Un estudiante ha dado en 5 años 31 exámenes en total. El número de exámenes que
dio cada año supera al del año anterior, y el número de exámenes de quinto triplica al
del primero.Con esta información, para algunos años queda totalmente determinada la
cantidad de exámenes que rindió.
¿Cuáles son esos años y qué cantidad de exámenes rindió en cada uno de ellos?
PROBLEMA38
En el rectángulo ABCD: se traza la diagonal BD
Se marcan el punto P sobre BD y el punto R sobre AB de modo que AP BD , AP =
PR y PAB 68º
¿Cuánto miden los ángulos P C y D R ?
PROBLEMA39
Un ganadero ha conseguido tener un rebaño de ovejas numeroso. Como es aficionado
a los números observa que si las cuenta de dos en dos le sobra una, lo mismo ocurre
si las cuenta de tres en tres, de cuatro en cuatro, de cinco en cinco… y así hasta de
diez en diez.
¿Cuántas ovejas tiene el ganadero como mínimo en su rebaño?
PROBLEMA40
La semicircunferencia de diámetro AC tiene 25 cm de longitud.
4 AC = 5 BC, ABC triángulo rectángulo, ángulo B = 90º. ¿Cuál es el área de la región
no sombreada?
PROBLEMA 41
Tenemos un depósito de agua de 48 m3 de capacidad con dos tuberías de llenado y
una de vaciado.
La primera tubería de llenado abierta sola tardaría 12 horas en llenar el depósito.
La segunda tubería de llenado abierta sola tardaría 6 horas en llenar el depósito.
Con el depósito totalmente lleno y las dos tuberías de llenado cerradas, la tubería de
vaciado tardaría 8 horas en sacar toda el agua y dejar el depósito vacío.
Si partimos del depósito vacío y abrimos las tres tuberías, ¿cuánto tiempo tardaría en
llenarse el depósito?
PROBLEMA42
En un terreno rectangular de 54 m por 72 m, se quiere construir un salón, también
rectangular, de dimensiones enteras.
El salón debe estar ubicado en el centro del terreno y rodeado por un jardín de ancho
constante y de igual área que el salón.
¿Cuáles deben ser las dimensiones del salón y cuál el ancho del jardín?
9

10. PROBLEMA 43
Una clínica de un zoológico atiende solo a perros y lobos. De los perros internados,
90% actúan como perros y 10% actúan como lobos. De la misma manera, de los lobos
internados, 90% actúan como lobos y 10% actúan como perros. Se observó que 20%
de todos los animales internados en esa clínica actúan como lobos. Si hay 10 lobos
internados, halle el número de perros internados.
PROBLEMA 44
Sea ABC un triángulo isósceles con AB= AC. Sea D un punto del lado BC tal que
BD=56,
DC=24 y AD=34. Calcular el área del triángulo ABC.
10

11. RESPUESTAS
Problemas Respuestas
1 29
2 73
3 A = B= D = E 135º F= C = 90º
4 4,8
5
a) El área del triángulo representa la mitad del área del rectángulo
b) Es siempre la misma
c) será siempre la misma
6
1789-1790 2689-2690 3589-3590 3679- 3680 2669-2670 3859-3860 4579-
4580 4559-4560 5389-5390 5479-5480 5839-5840 6289-6290 6379-6380
6739-6740 6829-6830 7189-7190 7459-7460 7639-7640 7819-78208179-
81808269-82708359-83608629-8630 8539-8540 8719-8720
7 3,1
8
927
456
381
9 28,28 y 30
10 p=4
11 55º
12 200
13 467
14 D=23 M=22 F=25
15 13,5
16 523, 723, 623
17 2min 15 seg
18 16,8
19 48
20 Faltaron 9
21 Par
22 8 cm
23 512
24 36 perlas, 6 hijas
25 260 cm2
26 base: 5 cm altura: 20 cm
27 180
28 688,5
29 2
30 32º, 30º, 28º, 26º, 24º
31 18 años
32 Perímetro: 168 cm
11

12. Área: 1470 cm2
33 1212 estampillas
34 32 cm.
35 9 cm.
36 5117 personas
37 1ro:3 4to:8 5to:9
38 22º y 134º
12