El documento explica las ecuaciones que definen una elipse. Define una elipse como el conjunto de puntos cuya suma de distancias a dos focos es constante. Presenta la ecuación canónica de una elipse y explica cómo derivar la ecuación general de una elipse a partir de la canónica. También cubre casos donde el centro y los radios no están en los ejes principales.

1. Ecuaciones de una elipse
yo

2. Definición de la elipse
Sea ‘d1’ la distancia de un punto
a otro punto llamado FOCO (F1),
Sea ‘d2’ la distancia de un punto
a otro punto llamado FOCO (F2),
Sea ‘a’ la distancia mayor de un
vertice a otro punto llamado
CENTRO. (Radio Mayor)
ENTONCES LA ELIPSE ES EL
LUGAR GEOMETRICO QUE SE
DETERMINA POR TODOS
AQUELLOS PUNTOS CUYA SUMA
DE LAS DISTANCIAS D1 Y D2 ES
CONSTANTES (LA MISMA) E
IGUAL AL EJE MAYOR (EL EJE
MAYOR ES DOS VECES EL RADIO
MAYOR a)
d1 d 2 2a

3. Ecuación canónica de una elipse
a = Radio Mayor
b = Radio Menor
b
a
c = distancia del centro al foco
c
Se debe cumplir que
2 2 2
a b c

4. Ahora si la Ecuación canónica de una
elipse
2 2
x y
2 2
1
b a b
a
c
Ejemplo simple
2 2
x y
2 2
1
5 4
2 2
x y
1
25 16

5. Ejercicio pa’ calentar
Determine la ecuación de la elipse cuyo foco es (-3, 0) y
un vértice en (6,0) 2 2 2
a b c
62 b 2 32
De acuerdo a los datos 6 2 32 b2
se puede determinar 36 9 b 2
que a=6 y c=3 27 b2
2 2
27 b
2 2
x y x y 9 3 b
2 2
1 1
a b 36 27 3 3 b

6. Y la gráfica

7. ¿ Y si el centro de la elipse no es el
origen?
2 2
( x h) ( y k )
2 2
1
a b
Ecuación
canónica
2 2
( x 2) ( y 2)
1
36 16

8. Y como es la ecuación general
2 2
A x B y Cx Dy E 0
Expliquemos con un ejemplo:
A partir de la canónica llegar a
( x 1) 2 ( y 3) 2
1
la general 25 16

9. ( x 1) 2 ( y 3) 2
1 25 16
25 16
2 2
25 16 ( x 1) 25 16 ( y 3)
25 16
25 16
2 2
16 ( x 1) 25 ( y 3) 400
2 2
16 ( x 2 x 1) 25 ( y 6 y 9) 400
2 2
16 x 32 x 16 25 y 150 y 225 400
2 2
16 x 25 y 32 x 150 y 16 225 400 0
2 2
16 x 25 y 32 x 150 y 159 0

10. Que pasa si el radio mayor esta sobre
el eje y
2 2
( x h) ( y k)
2 2
1
b a
a = radio mayor
b = radio menor
h,k = las coordenadas del
centro de la elipse

11. De la figura anterior pasar la ecuación
a la forma general

12. De la figura anterior pasar la ecuación
a la forma general
( x 6) 2 ( y 7) 2
1 25 36
25 36
25 36( x 6) 2 25 36 ( y 7) 2
25 36
25 36
36( x 6) 2 25( y 7) 2 25 36
36( x 2 12 x 36) 25( y 2 14 y 49) 25 36
2 2
36 x 432 x 1296 25 y 350 y 1225 900
36 x 2 25 y 2 432 x 350 y 1296 1225 900 0
36 x 2 25 y 2 432 x 350 y 1621 0

13. Pasar de la forma general a la forma
canónica
36 x 2 25 y 2 432 x 350 y 1621 0
36 x 2 432 x 25 y 2 350 y 1621
36( x 2 12 x ) 25( y 2 14 y ) 1621
36( x 2 12 x 36 ) 25( y 2 14 y 49 ) 1621 36 36 25 49
36( x 6) 2 25( y 7) 2 900
36( x 6) 2 25( y 7) 2 900
900 900 900
( x 6) 2 ( y 7) 2
1
25 36

14. Ecuación de la elipse
2 2
16 x 25 y 32 x 150 y 159 0
2 2
16 x 32 x 25 y 150 y 159
2 2
16 x 32 x 25 y 150 y 159
16( x 2 2 x 1) 25( y 2 6 y 9) 159 16 225
2 2
16( x 2 x 1) 25( y 6 y 9) 400
2 2
16( x 1) 25( y 3) 400
2 2
( x 1) ( y 3)
1
25 16

15. Ejercicio, para trabajar individual en
clase, no se puede parar ni hablar , ni
respirar
Para la ecuación dada,
determine su centro,
coordenadas de cada
uno de los vértices,
focos. Y realice un
bosquejo de la elipse

16. Solución análitica
4 x 2 9 y 2 8 x 90 y 193 0
Ordenar las variables
4 x 2 8 x 9 y 2 90 y 193
4( x 2 2 x ) 9( y 2 10 y ) 193 Sacar factor comun
4( x 2 2 x 1 ) 9( y 2 10 y 25 ) 193 4 1 9 25
Completar el cuadrado y
4( x 1) 2 9( y 5) 2 36 Balancear la ecuación
4( x 1) 2 9( y 5) 2 36
36 36 36
( x 1) 2 ( y 5) 2
1
9 4

17. ( x 1) 2 ( y 5) 2 C (-1,5)
1
9 4
a2 9 b2 4
Comparando la ecuación
a 9 3 b 4 2
a2 b2 c2
a
b 9 4 c2
c 9 4 c2
2
5 c
c 5

19. Ejercicios de tarea, refáciles………
Determinar las ecuaciones (canónica y luego
general) de la elipse para cada uno de los
siguientes casos, No olvide gráficar la solución
1. Vértices en (-3,2) y (5,4)
2. Focos (3,-1) y (10,-1) radio menor =2
3. Centro (-1,-1), radio mayor=4, vértice (-1,1)
4. Foco (6,0) y vértice (0,4)
5. Foco(-4,0) centro (1,0) y radio menor=1

20. Ejercicios para que los hagan de
verdad, si no como aprenden
Para cada uno de los siguientes ejercicios, identifique si es un elipse o
una circunferencia.
Si es una circunferencia, determine su centro y su radio (graficar)
Si es una elipse, determine sus radios, centro, focos y vértices
(graficar)