DINAMICA ROTACIONAL: BACHILLERATO

DINÁMICA
ROTACIONAL

PROFESOR: FLORENCIO PINELA

FLORENCIO PINELA - ESPOL 1 Junio de 2010

TORQUE Y BRAZO DE PALANCA
La distancia perpendicular r┴ medida desde el eje de
rotación a la línea de acción de la fuerza es llamada
brazo de palanca y es igual a r sin θ. El torque, o fuerza
de torsión, que produce movimiento rotacional, se define
como el producto de la fuerza y el brazo de palanca.

 rF
  rFsen


Solo la fuerza perpendicular a la
“palanca” produce un torque.

  ( Fsen )r

  F (rsen )


Q10.1

The three forces shown all
have the same magnitude:
Fa = Fb = Fc.
Which force produces the
greatest torque about the
point O (marked by the red
dot)?
1. the force Fa
2. the force Fb
3. the force Fc
4. not enough information
given to decide


Q10.2

In which of the
situation(s) shown
here does the force
produce a torque
about O that is
directed into the
plane of the
drawing?
1. situation (i)
2. situation (ii)
3. situation (iii)
4. situation (iv)
5. more than one of the above

Q10.3

A plumber pushes
straight down on the
end of a long wrench
as shown.
What is the
magnitude of the
torque he applies
about point O?
1. (0.80 m)(900 N)sin 19°
2. (0.80 m)(900 N)cos 19°
3. (0.80 m)(900 N)tan 19°
4. none of the above


EL TORQUE: COMO CANTIDAD
VECTORIAL


EQUILIBRIO
Se dice que un cuerpo rígido se encuentra en equilibrio
mecánico si se cumplen las dos condiciones:

 
EQUILIBRIO TRASLACIONAL
Fneta  F  0

 
EQUILIBRIO ROTACIONAL  neto    0


Q11.2
A massless rod of length L is
suspended from the ceiling by a
string attached to the center of the
rod. A sphere of mass M is
suspended from the left-hand end
of the rod. Where should a
second sphere of mass 2M be
suspended so that the rod
remains horizontal?

1. at x = 2L/3
2. at x = 3L/4
3. at x = 4L/5
4. at x = 3L/5

Q11.3
A metal advertising sign (weight
w) is suspended from the end of a
massless rod of length L. The rod
is supported at one end by a hinge
at point P and at the other end by
a cable at an angle  from the
horizontal.
What is the tension in the cable?

1. T = w sin 
2. T = w cos 
3. T = w/(sin )
4. T = w/(cos )

Q11.4
When an airplane is flying at
a constant altitude, three
vertical forces act on it —
the weight w, an upward lift
force L exerted by the wing,
and a downward force T
exerted by the tail.
In equilibrium, what are the
magnitudes L and T?
1. L = w, T = 0
2. L = w(1 + a/b), T = w(a/b)
3. L = w(1 – a/b), T = w(a/b)
4. L = w(a/b), T = w(1 + a/b)
5. L = w(a/b), T = w(1 – a/b)

Torque Example and ACT
A person raises one leg to an angle of 30 degrees. An ankle
weight (89 N) attached a distance of 0.84 m from her
hip. What is the torque due to this weight?

1) Draw Diagram
2)  = F r sin   F r
30
F=89 N

 F r cos(30) = 65 N m

If she raises her leg higher, the torque due to the weight will

A) Increase
B) Same
C) Decrease

Equilibrium Acts

 A rod is lying on a table and has two equal but
opposite forces acting on it. What is the net force on
the rod?
A) Up B) Down C) Zero

 Will the rod move? A) Yes B) No y
F
x

F


Equilibrium
 Conditions for Equilibrium
 F=0 Translational EQ (Center of Mass)
 =0 Rotational EQ
 Can choose any axis of rotation…. Choose Wisely!
 A meter stick is suspended at the center. If a 1 kg weight is
placed at x=0. Where do you need to place a 2 kg weight to
balance it?
A) x = 25 B) x=50 C) x=75 D) x=100
E) 1 kg can’t balance a 2 kg weight.

50 cm d =0
9.8 (0.5) – (19.6)d = 0
19.6 N d = 25
9.8 N


Static Equilibrium and
Center of Mass
 Gravitational Force Weight = mg
 Acts as force at center of mass

 Torque about pivot due to gravity  = mgd

 Object not in static equilibrium

pivot

rcm   ri mi d
Center of mass

 mi W=mg


Static Equilibrium

Not in equilibrium Equilibrium
pivot

pivot
d
Center of mass

W=mg
Center of mass

Torque about pivot = 0
Torque about pivot  0
A method to find center of mass of an irregular object

Pre-VUELO
The picture below shows two people lifting a heavy log.
Which of the two people is supporting the greatest weight?

1. The person on the left is supporting
the greatest weight
2. The person on the right is supporting
the greatest weight
3. They are supporting the same weight


Equilibrium Example
A 75 kg painter stands at the center of a 50 kg 3 meter plank.
The supports are 1 meter in from each edge. Calculate the
force on support A.
1 meter 1 meter

A B

1) Draw FBD
FA FB
1 meter
2) F = 0
FA + FB – mg – Mg = 0
3) Choose pivot
0.5meter
4)  = 0 mg Mg
-FA (1) sin(90)+ FB (0) sin(90) + mg (0.5)sin(90) + Mg(0.5) sin(90) = 0
FA = 0.5 mg + 0.5 Mg = 612.5 Newtons


Equilibrium Example
If the painter moves to the right, the force exerted by
support A

A) Increases B) Unchanged C) Decreases
1 meter 1 meter

A B


Equilibrium Example
How far to the right of support B can the painter stand
before the plank tips?
1 meter 1 meter

A B

Just before board tips, force from A becomes zero
1) Draw FBD FB

2) F = 0 FB – mg – Mg = 0

3) Choose pivot Mg
mg 0.5meter x
4)  = 0
FB (0) sin(90) + mg (0.5)sin(90) – Mg(x) sin(90) = 0
0.5 m = x M

Equilibrium Example
A 50 kg diver stands at the end of a 4.6 m diving board.
Neglecting the weight of the board, what is the force on the
pivot 1.2 meters from the end?

1) Draw FBD
2) Choose Axis of rotation
3)   = 0 Rotational EQ
F1 (1.2) – mg (4.6) = 0
F1 = 4.6 (50 *9.8) / 1.2
F1 = 1880 N
4)  F = 0 Translational EQ
F1
F1 – F2 – mg = 0
F2
F2 = F1 – mg = 1390 N
mg


Una escalera de 15 kg descansa contra una pared lisa. Un
hombre con una masa de 78 kg está parado en la escalera
como se muestra en la figura. ¿Qué fuerza de fricción debe
actuar sobre la base de la escalera para que no resbale.


Una escalera de 15 kg
descansa contra una pared
lisa. Un hombre con una
masa de 78 Kg. sube por la
escalera, inclinada 50
grados, como se muestra en
la figura. ¿Cuál es la altura
máxima que puede subir el
hombre en la escalera sin
que esta resbale?, el
coeficiente de rozamiento
estático entre la escalera y el
piso es de 0,3


Estabilidad y centro de gravedad
(a) Cuando un objeto se encuentra en equilibrio estable,
cualquier desplazamiento desde su posición de equilibrio
resulta en una fuerza o torque que lo retorna a su
posición de equilibrio estable


CUANDO EL CENTRO DE GRAVEDAD ESTÁ ARRIBA DEL ÁREA
DE SOPORTE DE UN OBJETO Y DENTRO DE ELLA, EL OBJETO
ESTÁ EN EQUILIBRIO ESTABLE.


DINÁMICA ROTACIONAL
MOMENTO DE INERCIA (I)

 Al actuar una fuerza neta sobre un
cuerpo, la inercia es la propiedad Fneta
de la materia que determina la a
aceleración que experimentará. m

 Al actuar un torque neto sobre un
cuerpo, la propiedad de la materia
que determina la aceleración  neto
angular que experimentará, se 
denomina Momento de Inercia I


CANTIDADES LINEALES Y
ANGULARES Y SUS RELACIONES

s  r
s 
r
t t

v  r
vt (r ) 
atan   r  r
t t t
2
v
arad  r  2

r

EL TORQUE, LA VELOCIDAD ANGULAR (ω)
Y LA ACELERACIÓN ANGULAR ()

Si la velocidad angular es

 constante, el torque neto y 

 valen cero!

t
 neto   Fr  0


Si la velocidad angular varía,
existe un torque neto y  es
 diferente de cero!
t
 neto   Fr  I

Analogías entre cantidades lineales
(traslación) y angulares (rotación)

Denominación representación Denominación Representación
distancia s ángulo 
Velocidad lineal v Velocidad 
angular
Aceleración a Aceleración 
lineal angular
Fuerza F Torque 
Masa m Momento de I
inercia


Linear and Angular: Relation
Linear Angular
Displacement x 

Velocity v 
Acceleration a 
Inertia m I
KE ½ m v2 ½ I 2
2Da Newton. F=ma  = I

Momentum p = mv L = I


Tension…..

T1 T2 F
m1 m2 m3

Compare the tension T1 and T2 as the blocks are accelerated to
the right.
A) T1 < T2 B) T1 = T2 C) T1 > T2

T1 < T2 since T2 – T1 = m2 a. It takes force to accelerate block 2.
T1
m2 m1
T2
Compare the tension T1 and T2 as block 3 falls
m3
A) T1 < T2 B) T1 = T2 C) T1 > T2

T1 < T2 since RT2 – RT1 = I2 . It takes force (torque) to accelerate the
pulley.


MOMENTO DE INERCIA DE UNA PARTÍCULA
DE MASA m
v
at 
Si sobre la partícula actúa una fuerza
tangencial, ella experimentará una aceleración
tangencial, además de la aceleración centrípeta. t

F v
v  r
r

m
at  r
t

at  r

at  r Ft  mat
Ft  m(r )
F Multipliquemos ambos lados de la
r ecuación por r

m v Ft r  (mr 2 )
  (mr 2 )
Segunda Ley de Newton para Fneta  ma
la traslación

Segunda Ley de Newton para
la rotación  neto  I
I  mr 2
Momento de inercia de una partícula


The Hammer!
You want to balance a hammer on the tip of
your finger, which way is easier
A) Head up
B) Head down
C) Same
R
=I
m g R sin() = mR2  mg

Torque Inertia
increases increases Angular acceleration decreases with
with R as R2 R!, so large R is easier to balance.
g sin() / R = 

AL APLICAR LA SEGUNDA LEY DE NEWTON PARA LA
ROTACION, RECUERDE QUE EL MOMENTO DE INERCIA SE
CALCULA CON RESPECTO AL MISMO PUNTO QUE SE
DETERMINO EL TORQUE NETO.

En cuál de los dos casos el sistema rotará con
mayor aceleración angular?

 neto  I

I  m1 x12  m2 x2
2

I  30(0,5)2  30(0,5)2  15kg.m2

I  m1 x12  m2 x2
2

I  40(0,5)2  10(0,5)2  12,5kg.m2

I  m1 x12  m2 x2
2

I  30(1,5)2  30(1,5) 2  135kg.m2


Para el sistema de masas mostrado, determine el momento de
inercia en torno a:
a) El eje x
b) El eje y
c) Un eje que pasa por el origen y es perpendicular a la página.


I x  m1 y12  m2 y2  m3 y3  m4 y4
2 2 2

I x  2(1,52 )  3(1,52 )  4(1,52 )  1(1,52 )  22,5kgm2

I y  m1 x12  m2 x2  m3 x3  m4 x4
2 2 2

I y  2(2,5) 2  3(2,5) 2  4(2,5) 2  1(2,5) 2  62,5kgm 2

I z  m1 z12  m2 z2  m3 z3  m4 z4
2 2 2

I z  2(2,52  1,52 )  3(2,52  1,52 )  4(2,52  1,52 )  1(2,52  1,52 )  85kgm2

Moments of inertia of some uniform-density objects with
common shapes


Rotation ACT
Two wheels can rotate freely about fixed axles
through their centers. The wheels have the same
mass, but one has twice the radius of the other.
If the same force F is applied to each wheel,
compare their angular accelerations
Recall:  = F d sin , and I = MR2 for the wheel

(A) 1 > 2 (B) 1 = 2 (C) 1 < 2
F
 neto
Fr

F
 2
I MR
1 2

Teorema de los ejes paralelos
El momento de inercia respecto a un eje paralelo a otro que
pasa por el centro de masa del cuerpo es I = ICM + Md2, donde
M es la masa total del cuerpo y d es la distancia entre los ejes.


I extremo  I C .M  Md 2
2
1 L
I extremo  ML  M  
2

12 2
 1 1
I extremo  ML   
2

 12 4 
1
I extremo  ML2
3

Q10.4
A glider of mass m1 slides without friction on a horizontal air track.
It is connected to an object of mass m2 by a massless string. The
string turns the pulley without slipping or stretching.
If the glider and object are released, the glider accelerates to the
right and the object accelerates downward. During this motion,
what is the relationship among T1 (the tension in the horizontal
part of the string), T2 (the tension in the vertical part of the string),
and the weight m2g of the object?
1. m2g = T2 = T1
2. m2g > T2 = T1
3. m2g > T2 > T1
4. m2g = T2 > T1

Q10.5
A string is wrapped several times around
the rim of a small hoop. (The weight of the
string is negligibly small compared to the
weight of the hoop.)
If the free end of the string is held in place and the hoop
is released from rest, the string unwinds and the hoop
descends.
As the hoop descends, how does the tension in the
string (magnitude T) compare to the weight of the hoop
(w)?
1. T = w
2. T > w
3. T < w
4. not enough information given to decide

Q10.6

A solid bowling ball rolls
down a ramp.
Which of the following
forces exerts a torque
on the bowling ball
about its center?

1. the weight of the ball
2. the normal force exerted by the ramp
3. the friction force exerted by the ramp
4. more than one of the above
5. answer depends on whether or not the ball is rolling
without slipping

APLICACIONES DE LA DINÁMICA ROTACIONAL

Polea con inercia

Un bloque de masa m cuelga de
una cuerda que pasa por una
polea, de masa M y radio R,
cuyo eje no presenta fricción. Si
el bloque se suelta desde el
reposo. ¿Qué magnitud tendrá
la aceleración lineal del bloque,
en función de M, m, R?
(desprecie la masa de la
cuerda)


Traslación del bloque
Fneta  ma
mg  T  ma
Rotación de la polea

 neto   eje  Ieje

TR  I
Relación entre la aceleración lineal y la
aceleración angular: la aceleración del bloque
es igual a la aceleración tangencial de la polea

a R

Tomemos las ecuaciones de traslación,
rotación y su relación:
mg  T  ma
1
TR  I I  MR 2
2
a R Momento de inercia
de la polea (cilindro)
1 2 a
TR  MR
2 R
1
T  Ma
2
1
mg  a(m  M )
2
2mg  mR 2 
a  g
2m  M  mR  I 
2


Falling weight & pulley
 A mass m is hung by a string that is
wrapped around a pulley of radius R
attached to a heavy flywheel. The  I
moment of inertia of the pulley + R
flywheel is I. The string does not
slip on the pulley.
T
Starting at rest, how long does it
take for the mass to fall a distance L. m

a mg
What method should we use to solve this problem
L
A) Conservation of Energy (including rotational)
B)   I and then use kinematics


Falling weight & pulley:
Experimental procedure...
 Using 1-D kinematics we can
solve for the time required
 I
for the weight to fall a
R
distance L:
1 2
y  y0  v0t  at T
2
m
1 2 2L
L at t
2 a a mg

Using this result we can
L
 mR 2  calculate the moment of
where a g
2
 mR  I  inertia of the pulley

A string is wrapped several times
around the rim (weight w) of a small
hoop. (The weight of the string is
negligibly small compared to the
weight of the hoop.)
If the free end of the string is held in place
and the hoop is released from rest, the
string unwinds and the hoop descends. As
the hoop descends, what is the acceleration
of the center of mass of the hoop?


T  F = ma => mg – T = ma

R o
o = I => TR = I 
a=R

a mg TR = I (a/R)

mg – I a/R2 = ma
a(m + I/R2) = mg

mg
a
m I /R 2


Dos masas penden de una polea. La polea tiene una masa de 0,2 Kg.
y un radio de 0,15 m y un momento de fuerza constante (torque) de
0,35 N.m debido a la fricción entre ella y el eje sobre el que gira.
¿Cuál es el valor de la aceleración de las masas? Si m1= 0,4 Kg. y m2
= 0,8 Kg.


F  ma
m2 g  T2  m2 a
T2 R  T1 R   friccion  I 
T1  m1 g  m1a
 eje  I eje
T1  m1 g  m1a
T2 R  T1 R   friccion  I 
1 2 a
T2 R  T1R   friccion  MR
2 R
f1
T2  T1   Ma
R 2
m2 g  T2  m2 a f
g (m2  m1 )  a(m1  m2  M / 2) 
R
g (m2  m1 )   f / R
a
(m2  m1  M / 2)

LOS BLOQUES MOSTRADOS EN LA FIGURA NO
PRESENTAN ROZAMIENTO CON EL PLANO. DETERMINE
LAS TENSIONES EN LA CUERDA Y EL MOMENTO DE
INERCIA DE LA POLEA, SUPONGA QUE LA POLEA TIENE UN
RADIO EFECTIVO DE 20 cm..


T1  m1 gsen30  m1a o
T1  m1 ( gsen30  a )
o

m2 gsen60  T2  m2 a
o

T2  m2 ( gsen60  a )
o
T2 R  T1 R  I 
a
T2  T1  I 2
R


Rolling
Una esfera uniforme de 2 Kg. y 0,15 m de diámetro rueda desde la parte
superior (H= 1m) de un plano inclinado 30 grados como se indica en la
figura.
a) ¿Qué aceleración tiene el centro de masa de la esfera?
b) La velocidad del centro de masa al llegar a la parte inferior del plano.
c) La velocidad angular en la parte inferior del plano.


 punto de cont .  I p.c.

Mgsen (r )  ( I C .M  Mr ) 2

2
Mgsen (r )  ( Mr  Mr )
2 2

5

Mgsen (r )  ( I cm  Mr 2 ) a  r
a
Mgsen (r )  ( I cm  Mr ) 2

r
 Msen r 2 
a  g 2 
 I cm  Mr 

Rolling
 An object with mass M, radius R, and moment of
inertia I rolls without slipping down a plane inclined
at an angle  with respect to horizontal. What is its
acceleration?

 Consider CM motion and rotation about
the CM separately when solving this
problem I
M R




Rolling...
 Static friction f causes rolling. It is an unknown, so
we must solve for it.
 First consider the free body diagram of the object
and use FNET = Macm :
In the x direction:
Mg sin  - f = Macm

 Now consider rotation about the CM M
and use  = I realizing that R f
 = Rf and a = R

 Mg

a a 
Rf  I f I 2
R R


Rolling...
 We have two equations: Mg sin  - f =
Ma
a
f I
R2
 We can combine these to eliminate f:

 MR 2sin  
a  g 
 MR  I 
2
I
For a sphere: A M R
 
 MR sin   5
2
a  g
2   7 gsin 
 MR  MR 
2 2

 5 


ROLLING
EL MOVIMIENTO DE RODADURA COMO LA COMBINACION DE
LOS MOVIMIENTOS DE ROTACION Y TRASLACION

Ejemplo: si una bicicleta de mueve
con velocidad de 5 m/s. la velocidad
del centro de masa de una de las
ruedas será también de 5 m/s

EL MOVIMIENTO DE RODADURA COMO LA
COMBINACION DE LOS MOVIMIENTOS DE
ROTACION Y TRASLACION


y
Rolling
A wheel is spinning clockwise such that the speed x
of the outer rim is 2 m/s. 2 m/s
What is the velocity of the top of the wheel
relative to the ground?
What is the velocity of the bottom of the wheel
relative to the ground?
2 m/s

You now carry the spinning wheel to the right at 2 m/s.
What is the velocity of the top of the wheel relative to the ground?
A) -4 m/s B) -2 m/s C) 0 m/s D) +2m/s E) +4 m/s
What is the velocity of the bottom of the wheel relative to the ground?
A) -4 m/s B) -2 m/s C) 0 m/s D) +2m/s E) +4 m/s

Si un objeto rueda sin resbalar, la longitud del arco
entre dos puntos de contacto en la circunferencia es
igual a la distancia lineal recorrida. Esta distancia es

s = rθ. La rapidez del centro de masa es vCM = rω.
Ejemplo: si una bicicleta de mueve
con velocidad de 5 m/s. y las ruedas
tienen un radio de 0,5 m. La
velocidad angular de las ruedas será
de 10 rad/s


Rotational Kinetic Energy
 Consider a mass M on the end of a string being
spun around in a circle with radius r and angular
frequency 

 Mass has speed v =  r
M
 Mass has kinetic energy
 K = ½ M v2
 = ½ M 2 r2
= ½ (M r2) 2 = ½ I 2
K
 Rotational Kinetic Energy is energy due to circular
motion of object.


TRABAJO ROTACIONAL Y ENERGÍA
CINÉTICA
El trabajo realizado por una fuerza tangencial para
hacer rotar un cuerpo se conoce como trabajo
rotacional

W  Fs
W  F ( r )

W  

Teorema trabajo-energía y energía cinética
Utilizando la ecuación del trabajo rotacional:
Wneto    ( I )  I ( )

 2  o2  2( )
  2  o 
2
Wneto I 
 2 
1 2 1 2
Wneto  I   I o
2 2
El trabajo neto es igual al cambio en la
energía cinética rotacional


1 2 1 2
Wneto  I   I o
2 2
Wneto  K  K  K o

1 2 1 2
K  I K  mv
2 2
ENERGÍA CINÉTICA ENERGÍA CINÉTICA
ROTACIONAL TRASLACIONAL


Contest!


Inertia Rods

Two batons have equal mass and length.
Which will be “easier” to spin

A) Mass on ends
B) Same
C) Mass in center


Rolling Race
(Hoop vs Cylinder)
A hoop and a cylinder of equal mass roll down a
ramp with height h. Which has greatest KE at
bottom?
A) Hoop B) Same C) Cylinder


Preflight Rolling Race
(Hoop vs Cylinder)
A hoop and a cylinder of equal mass roll down a
ramp with height h. Which has greatest speed at
the bottom of the ramp?
A) Hoop B) Same C) Cylinder

I = MR2 I = ½ MR2


Merry Go Round
Four kids (mass m) are riding on a (light) merry-go-round rotating
with angular velocity =3 rad/s. In case A the kids are near the
center (r=1.5 m), in case B they are near the edge (r=3 m). Compare
the kinetic energy of the kids on the two rides.

A B

A) KA > KB B) KA = KB C) KA < KB


ENERGÍA CINÉTICA DE UN OBJETO QUE RUEDA SOBRE UNA
SUPERFICIE HORIZONTAL SIN RESBALAR.

1
K  I i 2
2
Ii es el momento de inercia respecto al eje instantáneo de rotación

1
K  I i 2
2
I i  I CM  MR 2
1 1
K  ICM   MR 2 2
2

2 2

1 1
K  ICM   MR 2 2
2 vCM   R
2 2
1 1
K  I CM   MvCM
2 2

2 2
K total  K Rotacion  KTraslacion

Energy Conservation!
 Friction causes object to roll, but if it rolls w/o
slipping friction does NO work!
 W = F d cos  d is zero for point in contact

 No dissipated work, energy is conserved

 Need to include both translation and rotation
kinetic energy.
 K = ½ m v2 + ½ I 2


Translational + Rotational KE
 Consider a cylinder with radius R and mass M,
rolling w/o slipping down a ramp. Determine the
ratio of the translational to rotational KE.
Translational: KT = ½ M v2
Rotational: KR = ½ I 2
1 V
use I  MR 2 and 
2 R
KR = ½ (½ M R2) (V/R)2
= ¼ M v2
= ½ KT
H


Rolling Act
 Two uniform cylinders are machined out of solid
aluminum. One has twice the radius of the other.
 If both are placed at the top of the same ramp and released,
which is moving faster at the bottom?

(a) bigger one (b) smaller one (c) same
Ki + Ui = Kf + Uf

1 1
MgH  I  2  MV 2
2 2
2
1 1 2 V 1
MgH   MR  2  MV 2
2 2 R 2
4
V gH Independiente dela masa
3

When an object rolls down an inclined
plane, potential energy is converted to
translational and rotational kinetic energy.
This makes the rolling slower than
frictionless sliding.


UN ANILLO DE RADIO R Y MASA M RUEDA POR UN
PLANO INCLINADO COMO SE INDICA EN LA
FIGURA. UTILIZANDO LA LEY DE CONSERVACION
DE LA ENERGIA DETERMINE LA VELOCIDAD DEL
CENTRO DE MASA DEL ANILLO AL LLEGAR A LA
PARTE INFERIOR DEL PLANO.


UN ANILLO DE RADIO R Y MASA M RUEDA POR UN PLANO INCLINADO COMO SE
INDICA EN LA FIGURA. UTILIZANDO LA LEY DE CONSERVACION DE LA ENERGIA
DETERMINE LA VELOCIDAD DEL CENTRO DE MASA DEL ANILLO AL LLEGAR A LA
PARTE INFERIOR DEL PLANO.

Einicial  mgh

1 2 1
E final  mvcm  I  2
2 2

1 2 1  vcm 
2
mgh  mvcm  (mR 2 )  2 
2 2 R 

vcm  gh Comparelo con vcm  2gh


Translational + Rotational KE
 Consider a cylinder with radius R and mass M, rolling w/o
slipping down a ramp. Determine the ratio of the
translational to rotational KE.
Energy conservation: Ki + Ui = Kf + Uf
0+ MgH = ½ I 2 + ½ M v2 + 0
1 1
MgH  I  2  MV 2
2 2
1 V
but I  MR 2 and 
2 R
2
1 1 2 V 1
MgH   MR  2  MV 2
2 2 R 2
1 1 3
MgH  MV 2  MV 2  MV 2
H 4 2 4
4
V gH
3

Massless Pulley Example
Consider the two masses connected by a
pulley as shown. Use conservation of
energy to calculate the speed of the
blocks after m2 has dropped a distance
h. Assume the pulley is massless.

W NC  K  U
U initial  Kinitial  U final  K final
1 1
0  0   m2 gh  m1v  m2v 2 2

2 2
2m2 gh  m1v 2  m2v 2
2m2 gh
v
m1  m2

Massive Pulley Act
Consider the two masses connected by a
pulley as shown. If the pulley is massive,
after m2 drops a distance h, the blocks
will be moving
A) faster than
B) the same speed as
C) slower than Slower because some energy
if it was a massless pulley goes into spinning pulley!

U initial  Kinitial  U final  K final m gh   1 m v 2  1 m v 2  1 Mv 2
2 1 2
2 2 4
1 1 1 2
0  m2 gh  m1v  m2v  I
2 2
2m2 gh
2 2 2 v
2 m1  m2  M / 2
1 1 11 2  v 
m2 gh   m1v  m2v   MR  
2 2

2 2 2 2  R 

Una esfera de acero baja rodando por una pendiente y entra en un rizo de
radio R. A) ¿Qué rapidez mínima debe tener en el cenit del rizo para
mantenerse en su pista. B) A qué altura vertical h en la pendiente, en
términos del radio del rizo, debe soltarse la esfera para que tenga esa
rapidez en el cenit del rizo. (desprecie las pérdidas por fricción)

A) v=gR
B) h=2,7 R


Torque: ACTIDAD
 When a force is applied to the string, the spool
will
1) Roll right 2) Roll Left 3) Depends on angle

F


Spool on a rough surface..: Equilibrio
 Consider all of the forces acting: tension T
and friction f.
 Using FNET = 0 in the x direction:

T cos   f  0 f  T cos 

Using NET = 0 about the CM axis:

aT  bf  0 aT  bf T


Solving:
a
cos   a y
b
b
x
f

Spool on a rough surface...
 There is another (slick) way to see this:
 Consider the torque about the point of contact
between the spool and the ground. We know the
net torque about this (or any other) point is zero.
Since both Mg and f act through this point, they
do not contribute to the net toque.
T
Therefore the torque due to T must
also be zero. 
Therefore T must act
along a line that passes a y
through this point! b Mg
x
f
Physics 101: Lecture 15, Pg 91

Spool on a rough surface...
Giant yo-yo

 Sowe can use geometry to get the same
result.
T
a
cos  
b


a

b


Potencia rotacional
La potencia se define como la relación entre el trabajo
realizado y el tiempo empleado en hacerlo.

W  
W 
P P 
t t

Rotación P  
Traslación
P  Fv


Linear and Angular

Linear Angular
Displacement x 
Velocity v 
Acceleration a 
Inertia m I
KE ½ m v2 ½ I 2
N2L F=ma  = I
Momentum p = mv L = I

CANTIDAD DE MOVIMIENTO
ANGULAR
 La fuerza es la razón •El torque es la razón de que
de que los cuerpos los cuerpos cambien su
cantidad de movimiento
cambien su momento
angular.
lineal.
 
v
F m
t
 mv 
F
t
 p 
F
t

La cantidad de movimiento angular

 
r
F v p  mv
m
p  m(r )
rp  mr  2

 
L  I
La cantidad de movimiento angular de un cuerpo tiene la
misma dirección que la velocidad angular


EL TORQUE Y LA VARIACION DEL
MOMENTO ANGULAR
 
v
F m p
t F
 mv 
F t
t
 p  (rp)
F Fr 
t t


 L
 
t

Define Angular Momentum
Momentum Angular Momentum
p = mV L = I
conserved if Fext = 0 conserved if ext =0
Vector Vector!

units: kg-m/s units: kg-m2/s


La fuerza y la variación El torque y la variación del
del momento lineal momento angular

  I
F  ma

v  I
F m t
t ( I )
p 
F t
t L

t

Right Hand Rule
 Wrap fingers of right hand around direction of
rotation, thumb gives direction of angular
momentum.

 What
is direction of angular momentum for wheel
A) Up B) Down C) Left D) Right


CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE
MOVIMIENTO ANGULAR
 En ausencia de un momento de fuerza externo
(torque) la cantidad de movimiento angular total
(L) de un sistema se conserva.
L
 neto  0
t
L  0  L  Lo
I   I 0o  0
I   I 0o

I   I oo


Act: Two Disks
 A disk of mass M and radius R rotates around the
z axis with angular velocity i. A second identical
disk, initially not rotating, is dropped on top of
the first. There is friction between the disks, and
eventually they rotate together with angular
velocity f.

A) f = i B) f = ½ i C) f = ¼ i
z z

i f

Act: Two Disks
 First realize that there are no external
torques acting on the two-disk system.
 Angular momentum will be conserved!

1
Li  I1 1  0  MR i
2
L f  I1 1  I 2 2  MR  f
2

2
1
MR i  MR  f
2 2

2 z
z
1
2
i   f
1 2
0 f

Pre-vuelo
You are sitting on a freely rotating bar-stool with your arms
stretched out and a heavy glass mug in each hand. Your friend
gives you a twist and you start rotating around a vertical axis
though the center of the stool. You can assume that the bearing the
stool turns on is frictionless, and that there is no net external
torque present once you have started spinning.
You now pull your arms and hands (and mugs) close to your body.


Bonus Question!

 There are No External forces acting on the
“student+stool” system.
A) True B) False C) What!?


Pre-vuelo
What happens to the angular momentum as you
pull in your arms?
1. it increases
2. it decreases
3. it stays the same L1 L
2


Pre-vuelo
What happens to your kinetic energy as you pull
in your arms? 1 2
1. it increases
2. it decreases I1 I2
3. it stays the same L L
You do work as you pull in your arms!

1 2 2 1 2
1
K  I 2  I   L (using L = I )
2 2I 2I

Si L es constante, al disminuir I aumenta K


What about Energy Conservation?
A) Energy isn’t conserved here

B) Energy comes from weights

C) Gravitational energy is being converted to
rotational kinetic energy

D) Energy comes from “watallarin”.


Turning the bike wheel
A student sits on a barstool holding a bike wheel. The wheel
is initially spinning CCW in the horizontal plane (as viewed
from above) L= 25 kg m2/s She now turns the bike wheel
over. What happens?

A. She starts to spin CCW.
B. She starts to spin CW.
C. Nothing


Turning the bike wheel (more)
She is holding the bike wheel and spinning counter
clockwise. What happens if she turns it the other ½
rotation (so it is basically upside down from how it
started).

A) Spins Faster B) Stays same C) Stops


Turning the bike wheel...
 Since there is no net external torque acting on the student-
stool system, angular momentum is conserved.
 Remenber, L has a direction as well as a magnitude!
Initially: LINI = LW,I = + 25 kg m2/s
Finally: LFIN = LW,F + LS
= -25 kg m2/s + Ls
Ls = 50 kg m2/s
LS

LW,I = LW,F + LS
LW,I

LW,F


Act 2 Rotations
 A puck slides in a circular path on a horizontal frictionless table. It is
held at a constant radius by a string threaded through a frictionless
hole at the center of the table. If you pull on the string such that the
radius decreases by a factor of 2, by what factor does the angular
velocity of the puck increase?

(a) 2 (b) 4 (c) 8




Act 2 Solution
 Since the string is pulled through a hole at the center of
rotation, there is no torque: Angular momentum is
conserved.
2
L1 = I11 = mR21 = L2 = I22 = m  R  2
 
2
1 2
mR21 = m R 2
4
1
1 = 2 2 = 41
4

m
R 1 m 2
R/2


Un bloque de 2000 kg está suspendido en el aire por un cable de acero que
pasa por una polea y acaba en un torno motorizado. El bloque asciende con
velocidad constante de 8 cm/s. El radio del tambor del torno es de 30 cm y la
masa de la polea es despreciable.

•¿Cuánto vale el momento que ejerce el cable sobre el tambor del torno?
•¿Cuánto vale la velocidad angular del tambor del torno?


Un bloque de masa m=20 kg, unido mediante una cuerda a una polea sin masa
desliza a lo largo de una mesa horizontal con coeficiente de rozamiento
dinámico =0.1. La polea está conectada mediante otra cuerda al centro de un
carrete cilíndrico de masa M=5 kg, y radio R=0.1 m que rueda sin deslizar a lo
largo de un plano inclinado 30º (véase la figura).

a) Relacionar la aceleración del bloque y del centro de masas del cilindro.
b) Calcular la aceleración del centro de masas del cilindro y las tensiones
de las cuerdas.
c) Calcular la velocidad del centro de masas del cilindro cuando ha
descendido 3 m a lo largo del plano inclinado, partiendo del reposo


Un bloque y un cilindro de 2 y 8 Kg respectivamente, están unidos por un hilo
inextensible y sin peso que pasa por una polea en forma de disco de 0.5 Kg
de masa y 20 cm de radio, situada en la unión de dos planos inclinados de
30º y 60º de inclinación. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre el
bloque y el plano es de 0,2 y que el cilindro rueda sin deslizar. Calcular:

• La(s) tensión(es) de la cuerda y la aceleración del sistema
• La velocidad de los cuerpos cuando se han desplazado 2 m a lo largo de los
planos, sabiendo que parten del reposo. Calcular por dos procedimientos este
apartado comprobando que se obtienen los mismos resultados


Un bloque de 6 kg y una esfera de 10 kg están unidos por un hilo inextensible y
sin peso que pasa a través de una polea en forma de disco de 2 kg de masa.
La esfera rueda sin deslizar a lo largo de un plano inclinado 30º.
Hallar

· La(s) tensión(es) de la cuerda.
· La aceleración del sistema
• La velocidad de la esfera y del bloque cuando se han desplazado 1.5 m
partiendo del reposo (emplear dos procedimientos para el cálculo de este
apartado). Dato, el momento de inercia de la esfera es 2/5 mr2.


En la figura se muestra un cilindro de 4.5 kg de masa que rueda sin deslizar, a
lo largo de un plano inclinado 42º con la horizontal. El centro del cilindro está
unido mediante una cuerda al borde de una polea en forma de disco de 2.2 kg
de masa y 85 mm de radio. Sabiendo que en el eje de la polea existe un
rozamiento cuyo momento es de 1.3 Nm. Calcular:

• La aceleración del cilindro y la tensión de la cuerda.
• La velocidad del bloque una vez que haya descendido 3 m a lo largo del plano
inclinado, partiendo del reposo (emplear los dos procedimientos de cálculo para
este apartado, comprobando que salen los mismos resultados).


Dos discos iguales de masa m y radio R, están dispuestos como se indica en
la figura. Calcular

• La aceleración del c.m. del disco inferior
• La velocidad del c.m. del disco inferior cuando ha descendido x metros
partiendo del reposo (efectuando el balance energético)


Un disco de masa 10 kg y radio 0.5 m está en reposo y puede girar en torno a
un eje perpendicular al disco y que pasa por su centro. En la periferia del disco
hay un dispositivo de masa despreciable, que permite lanzar un objeto de 200
g a una velocidad de 20 m/s, en la dirección y sentido indicado en la figura.
¿Qué principio físico aplicas?. Razona la respuesta

Calcular:
La velocidad angular del disco después del disparo
El sentido en que gira.


Dos esferas iguales de masas 6 kg y 20 cm de radio están montadas como se
indica en la figura, y pueden deslizar a lo largo de una varilla delgada de 3 kg
de masa y 2 m de longitud. El conjunto gira libremente con una velocidad
angular de 120 rpm respecto a un eje vertical que pasa por el centro del
sistema. Inicialmente los centros de las esferas se encuentran fijos a 0.5 m
del eje de giro. Se sueltan las esferas y las esferas deslizan por la barra hasta
que salen por los extremos. Calcular:

a) la velocidad angular de rotación cuando los centros de las esferas se
encuentran en los extremos de la varilla. Qué principio físico aplicas?. Por
qué?.
b) Hallar la energía cinética del sistema en los dos casos.
Datos: momento de inercia de una esfera y de la varilla


Vamos a aplicar el principio de conservación de la
cantidad de movimiento angular
I1

I2

L1  L2  I11  I 22
1  2 l 2 
I1  ml 2   2  Mr 2  M    4,19 kg m 2
12  5 16  

1  2 l 2 
I 2  ml 2   2  Mr 2  M    13,19 kg m2
12  5 4 
 I1   4,19 
2  1    4    3,99 rad / s
 I2   13,19 

(using L = I )
1 2
K L
2I
Como L es constante, podemos calcularlo de la condición inicial: L= I11

K1  330,8 J
K2  105 J


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