Aritmetica-Máximo común divisor y mín.pdf

Colección
Temas Selectos
Máximo común
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Teoría y práctica twitter.com/calapenshko
El ele lyas 01 Lumbreras

| Asociación Fondo de Investigadores y Editores O
|
|
twitter.com/calapenshko |
- Máximo común divisor y
mínimo común múltiplo
UN

Máximo comiin divisor
y mínimo común múltiplo
Autor: Fernando Inga Mendizábal
O Titular de la obra: Asociación Fondo de Investigadores y Editores
Editor: Asociación Fondo de Investigadores y Editores
Diseño
y diagramación: Asociación Fondo de Investigadores y Editores
6 Asociación Fondo de Investigadores y Editores
Av. Alfonso Ugarte N.? 1426, Breña. Lima-Perú. Telefax: 01-332 3786
Para su sello editorial Lumbreras Editores
Página web: www.elumbreras.com.pe
Primera edición: marzo de 2014
Primera reimpresión: mayo de 2016
Segunda reimpresión: mayo de 2018
Tercera reimpresión: junio de 2019
Tiraje: 700 ejemplares
ISBN: 978-612-307-392-3
Registro del proyecto editorial N.? 31501051900007
“Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú” N.* 2019-00117
Prohibida
su reproducción total o parcial, Derechos reservados D. LEG. N.*
Distribución
y ventas al por mayor y menor
Teléfonos: Lima: 01-332 3786 / Provincia: 01-433 0713
= ventas €'elumbreras.com.pe
Esta obra se terminó de imprimir en los talleres gráficos de la Asociación
Fondo de Investigadores y Editores en el mes de junio de 2019.
Calle Las Herramientas N.* 1865 / Av. Altonso Ugarte N.* 1426, Lima-Perú.
Teléfono: 01-336 5889

"Ml MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
1, Máximo común divisor (MOD) co 4
2. Principios relativos al máximo común divisor ...........acommmmmmnmmíms 14
3. Métodos para el cálculo del máximo común divisor ................ccccicioneneiieiacc 17
3.1. Método de divisiones entre factores priMos .............oorocmreeceimess 17
3,2. Método de los factores primos cc cid 19
3.3, Método del algoritmo de Euclides ...............ooccnninncnoormcelenecniiacio 21
4. Propiedades del máximo común divisor .............mumommmnicncnn
ici 24
4,1. Para dos NÚMEeTrOS ...........ocioemsmmer A
e 24
4.2. Para varios NÚMEeroS oca moria RIADA A
AAA DARLA IN 27
5. Mínimo común múltiplo (MOM) coccion IA
6. Principios relativos al mínimo común múltiplo .............acicmmmmsisme IO
7. Métodos para el cálculo del mínimo común múltiplo ...............ccanonsrmanmnere 38
7.1. Método de divisiones entre factores priMos inicios 38
7.2. Método de los factores primos .............cumonmmimmmneeeeecnn 41
8. Propiedades del mínimo común múltiplo .........a.aaanmmmeccseccsemmmss 42
8,2. Para Os MÚMETOS .........ccconacmniecinne cierran ls 42
EL. Para varios ÚMOTOS 2 data alcóis 46

"Mi PROBLEMAS RESUELTOS
Nivel básico .... E HA ona 51
Nivel intermedio .........icncnnnnceemtims a 77
NIVEL MANTA si Ea 94
"Ml PROBLEMAS PROPUESTOS
Nivel básico ... pm a cnc 110
Nivel intermedio asco AA 116
Nivel avanzado... oo cines ds 120
"M CLAVES | A 125
a DORADA cinc a AS OS 126
twitter.com/calapenshko

"ya
PRESENTACIÓN
Y
La Asociación Fondo de Investigadores y Editores - Afined, promotora de
Lumbreras Editores, presenta a la comunidad educativa el texto Máximo
común divisor y mínimo común múltiplo, perteneciente a una nueva serie
de temas escogidos donde se realza el valor analítico y crítico en la ense-
fianza de las ciencias.
La nueva Colección Temas Selectos se caracteriza por brindar a los
alumnos preuniversitarios contenidos dinámicos y precisos que afianzan sus
conocimientos en temas específicos en los cursos de matemáticas, ciencias
naturales y razonamiento matemático. De esta forma, Lumbreras Editores
abre una nueva línea de publicaciones poniendo énfasis en el enfoque
didáctico y cuidadoso en la relación teoría-práctica.
Hay temas principales en cada materia que necesitan de mayor
profundización y análisis para la comprensión y resolución de los ejercicios,
por eso nuestra editorial seguirá publicando nuevos títulos hasta completar
una nutrida colección que permita mantener
el reconocimiento y la confianza
de los estudiantes, al manejar una teoría sucinta, directa, con ejercicios
aplicativos y problemas resueltos y propuestos por niveles.
Lumbreras Editores quiere reconocer el esfuerzo conjunto que ha signi-
ficado esta publicación, en la cual ha participado un grupo de profesionales
de primer nivel, cuyo esfuerzo es un apoyo fundamental a nuestro anhelo de
una educación científica y humanística integral, En este proceso, deseamos
reconocer la labor del profesor Fernando Inga Mendizábal, de la plana de
Aritmética de las academias Aduni y César Vallejo, por su labor en la elabo-
ración del presente material, gracias a su valiosa trayectoria en la ense ñanza
preuniversitaria.
Asociación Fondo de Investigadores y Editores

+ INTRODUCCIÓN
E
Recubrir suelos (y si es preciso paredes o techos) con losetas es un tema
que remonta desde hace miles de años, cuya principal misión es revestir
totalmente el suelo de una sala, un dormitorio o cualquier ambiente. Uno
puede recubrir absolutamente un plano, péro el trabajo de producir y luego
de colocar las losetas Únicas es muy complejo. Así pues, desde la creación
de las losetas, se presta cuidado en la igualdad de su forma y tamaño ya que
serán colocadas a lo largo y a lo ancho de un plano, haciendo uso del mí-
nimo común múltiplo, que nos permitirá seleccionar las losetas adecuadas
para recubrir un determinado plano, así también, del máximo común divisor,
cuando la resolución de ecuaciones debe tener como resultado un número
entero o para calcular las dimensiones adecuadas en las cuales se puede
dividir un terreno para obtener la menor cantidad de lotes.
El presente libro trata sobre el máximo común divisor y el mínimo co-
mún múltiplo, los cuales serán desarrollados a través de un lenguaje sencillo
para explicar sus definiciones y propiedades; también dentro de la teoría hay
ejemplos y aplicaciones que reforzarán lo estudiado. Para complementar la
parte teórica, se presentan problemas resueltos en forma didáctica, brindan-
do en cada resolución un análisis adecuado; además incluye problemas pro-
puestos, que permitirán al alumno aplicar lo aprendido. Dichos problemas
han sido ordenados por niveles (básico, intermedio y avanzado).
Agradezco a Afined (Asociación Fondo de Investigadores y Editores) por
la oportunidad de compartir la experiencia en la enseñanza de la matemá-
tica, y al profesor Óscar Mendizábal Aguedo, quien motivó y desarrolló en
mi la pasión por la matemática, que es tan compleja pero que sirve para
solucionar problemas de la vida cotidiana.
Finalmente, espero que este libro aporte y facilite el aprendizaje mo-
tivando al lector a interesarse por el tema; asimismo, sirva de apoyo en las
siguientes publicaciones para contribuir a la educación de la sociedad.

+ MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)
El máximo común divisor de varios números na-
turales es el mayor de los divisores comunes de
dichos números.
Ejemplo
Veamos para los números 18; 24 y 30.
8:00:06: 9;18
4: 10:0: 0): 4; (6); 8; 12; 24
30: D0;(M; 6); 5 ;(6); 10; 15; 30
divisores Z'
Se observa que los divisores comunes de 18; 24
y 30 son 1; 2; 3 y 6. De estos, 6 es el mayor di-
visor común.
MCD(18; 24; 30)=6
Ahora analizaremos los divisores del MCD de
18; 24 y 30; es decir, de 6.
6:1:;2:3:6
a
divisores Z*
Se observa que los divisores de 6 son a la vez los
divisores comunes de 18; 24 y 30.
Ejemplo
Veamos ahora para los números 20 y 50.
2: 0;0; 4:60; (0); 20
so: (1; (E) O); (0; 25; 50
divisores Z'
Se observa que los divisores comunes de 20 y
50 son 1; 2; 5 y 10. De estos, 10 es el mayor
divisor común.
MCD(20; 50)=10
Ahora analizaremos los divisores del MCD de 20
y 50; es decir, de 10.
10: 1:;2:5; 10ol
divisores 2*
Se observa que los divisores de 10 son a la vez
divisores comunes de 20 y 50.
11

LUMBRERAS EDITORES
%
Nota
APLICACIÓN 1
Si el MCD(48; 72; 96; 120)=24; ¿cuántos divi-
sores comunes tienen los números 48; 72; 96
y 1207
Resolución
De acuerdo a la observación se sabe que los
divisores comunes de un conjunto de números
son a la vez los divisores del MCD de dichos nú-
meros.
Por dato se tiene que MCD(48; 72; 96; 120)=24,
Ahora determinamos los divisores de 24.
24:
1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24
24 tiene
8 divisores.
También podemos aplicar la regla práctica que
se utiliza para determinar los divisores de un
número.
Asi se tiene
24=2*x3
A
DC
¡Pearaco =(3+1)x(1+1)=4x2=8
12
Por lo tanto, los números 48; 72; 96 y 120 tienen
8 divisores comunes.
APLICACIÓN 2
Si el MCD(A; B; C)=90, calcule la suma de los
divisores comunes de A; B y C.
Resolución
Por dato se tiene que el máximo común divisor
de A; B y Ces 90. También se sabe que los divi-
sores de 90 son
90: 1; 2; 3; 5; 6; 9; 10; 15; 18; 30; 45; 90
90 tiene 12 divisores.
Ahora calculamos la suma de divisores de 90
suma de
divisores de 5% =14+243454+6+9+104+15+
+184+304+45+90=234
También podemos calcular dicha suma aplican-
do la regla práctica que se utiliza para calcular la
suma de divisores de cualquier número.
Primero obtenemos la descomposición canónica
(DC) del número
90=2x3*x5
—
DC
sumade Y _2%-1 3%-1 5%-1
divisores
de 90 | 2-1 3-1" 5-1
suma de
divisores de 30 )-3:13-6=234

Moon MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
Por lo tanto, como la suma de divisores del MCD
de A; B y Ces 234, entonces la suma de divisores
comunes de A; B y € también será 234.
Cada uno de los números es múltiplo de su
máximo común divisor.
Ejemplo
Veamos para los números 36 y 60.
36:0:0:0:0:6) 9; (2;18;36
60100:0/0;s;¡0O;10;(2);15; 20; 30; 60
divisores Z*
Se tiene que el MCD(36; 60)=12.
También observamos que
pat
36=12x3=12
o
60=12x5=12
Por lo tanto, 36 y 60 son múltiplos de su
máximo común divisor, es decir, de 12.
APLICACIÓN 3
Si se sabe que el MCDÍa0; [a+2)b)=25,
calcule axb.
Resolución
Se sabe que el mcoÍa0; (a+2)]b)=25. Entonces
se cumple que
70=25=25x2 A ardb=25
a0=50 E725=25
> a=5 7b=25x3 .
7b=75
=> b=5
axb=5x5=25
APLICACIÓN
4
Si el mcola52; 7bac)=11, calcule a+b+c.
Resolución
Como el máximo común divisor de a52 y 7bac
es 11, entonces se cumple que ambos numera-
les son múltiplos de 11.
: 2
Por lo cual planteamos que a52=11. Aplicando
el criterio de divisibilidad por 11 se tiene que
o
o052=11
+-+
o
a+2-5=11 => a=3
Del mismo modo aplicamos el criterio por 11
para el otro numeral
7bac=11
4-4
z
b+c-7-a=11
Reemplazamos el valor de a
AA
(b+c)-10=11 => b+c=10
e o+b+c=3+10=13
13

LUMBRERAS EDITORES
A |
PRINCIPIOS RELATIVOS AL MÁXIMO COMÚN DIVISOR
Ejemplo
De los números 8 y 24, se observa que 8 es
divisor de 24. Por lo tanto, 8 que es el menor
número (24 > 8) es el común divisor de dichos
números; además es el mayor de los divisores
de 8 y 24, ya que no existe número mayor que 8
que pueda ser divisor de 8.
MCD(8; 24)=8
APLICACIÓN 1
Si el MCDÍab0; 2b)=42, calcule axb.
Resolución
Se sabe que ab0 es múltiplo de ab o también
podemos decir que abO es divisible por ab, ya
que ab0=0abx10.
Por este principio se tiene que MCOÍab0; ab)=ab,
dado que ab es el menor, y por dato se tiene que
ab=42
y
axb=4x2=8
APLICACIÓN 2
Si el MCD(8N; 40N)=120, calcule la suma de di-
visores no primos de N.
14
Resolución
Dados los números 8N
y 40N, se observa que 40N
es múltiplo de 8N/ o que 8N es divisor de 40N.
Por el principio mencionado se tiene que
MCD(8N; 40N)=8N
Pero por dato se sabe que el máximo común di-
visor de 8N y 40N es 120, entonces se cumple
que 8N=120, donde N=15.
Ahora determinamos todos los divisores de N;
es decir, de 15,
15:18) 6); 15
ME:
divisores primos
Por lo tanto, la suma de divisores no primos de
15 será 1+15=16.
APLICACIÓN 3
Calcule el máximo común divisor de 6! y 4).
Resolución
Sabemos que
61=6x5x4x3x2x1=720
4l=4x3x2x1=24
Se observa que 4! está contenido en 6!; es decir,
4! es un divisor de 6!.
Por lo tanto; se cumple que el máximo común
divisor de 6! y 4! es 41; es decir, 24.

MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
Sean A y B dos números no divisibles entre sí.
Además A > B, y res el residuo que se obtiene
al dividir A entre B. Entonces se cumple que
MCD(A; B)=MCDIB; r).
Ejemplo
Calculamos el MCD(20; 8). Sabemos que
20: 0:0:(); 5; 10; 20
000: 8
Los divisores comunes
son 1;2y4.
MCD(20; 8)=4
Ahora si dividimos 20 entre 8, se obtiene un re-
siduo r=4. Luego calculamos el MCD(8; 4).
Sabemos que
: 000; 3
000
Los divisores comunes
sonl; 2y4.
MCD(8; 4) =4
De estos dos cálculos, concluimos que
MCDI[20; 8)= MCD(8; 4)=4
u Recuerde
A a A E a
APLICACIÓN 4
Si al dividir 120 entre ab se obtiene como resi-
duo 45, calcule el MCDÍAS; ab).
Resolución
Se sabe que
120: (1); 2; G);4; (5); 6; 8; 10; 12; 45); 20; 24;
30; 40; 60; 120
(106); 9; 15); 45
Los divisores comunes son
1:35 y 15.
MCD(120; 45)=15
Ahora por el segundo principio se sabe que se
cumple
mcol120; ab)=mcoÍ(ab; 45)=15
donde 45 es el residuo de dividir 120 entre ab.
-, mcolas; ab)=15
15

LUMBRERAS EDITORES
Ejemplo
Sabemos que
:0:0: 4:06): 00; 20
30: (10;(); 3 ¡6); 6 ;(10; 15; 30
0:90:00: 25; 50
Los divisores comunes son 1; 2; 5 y 10.
MCD(20; 30; 50)=10
5e sabe que 20 es el menor de los tres números
(20; 30 y 50). Entonces se cumple que el máxi-
mo común divisor de dichos números es menor
que el menor de dichos números (10 < 20).
Ejemplo
Veamos para los números 54, 18, 90 y 36.
Se observa que 18 es el menor de dichos nú-
meros, además 18 es divisor de 54; 18; 90 y
36, ya que 54=18X3; 18=18x1; 90=18Xx5 y
36=18x2.
Entonces se cumple que 18 es el máximo co-
mún divisor de 54; 18; 90 y 36.
16
Ejemplo
Se sabe que 8 y 15 son primos entre sí, ya que el
único divisor común que poseen es 1, así;
8: (1) 2; 4,8
15: (1); 3; 5; 15
A
El único divisor
común es 1.
Jresreicamas
z. MCD(8; 15)=1
APLICACIÓN
5
Calcule el máximo común divisor de abc; ca y
cla+1).
Resolución
Del grupo de números abc: ca y cla+1), se
observa que ca y cla+1) son dos números
consecutivos. Entonces podemos afirmar que ca
y c[a+1) son primos entre sí: en consecuencia,
los números abc; ca y cla+1) también serán
primos entre sí.
Mco(abc; ca; cla+1))=1

e MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
MÉTODOS PARA EL CÁLCULO DEL MÁXIMO COMÚN DIVISOR
3.1. MÉTODO DE DIVISIONES ENTRE FACTORES
PRIMOS
Para calcular el máximo común divisor de dos
o más números se siguen los siguientes pasos:
a. Escriba los números en una columna.
b. Divida cada uno de los números entre un
primo divisor en común.
Cc. Divida los cocientes entre un primo divisor
en común hasta que ningún primo divida a
todos los cocientes.
d. Elproducto de los primos de los pasos b y e
es el máximo común divisor de dichos nú-
meros.
Ejemplo
Calcule el máximo común divisor de 12; 18 y 24.
Escriba los números en una columna y divida
entre 2
12 18 24] 2
|
(50 01 tor primo
t 1 | común
cocientes al
dividir entre 2
Los números 6; 9 y 12 no son divisibles entre 2,
pero sí son divisibles entre 3.
12 18 24
O a
¡OJOMO
t
1 1]
PESI
2
Jia primo común
3
Ningún primo divide a los números 2; 3 y 4. Por
lo tanto, el máximo común divisor de los núme-
ros 12; 18 y 24 está dado por el producto de los
primos 2 y 3.
MCD(12; 18; 24)=2x3=6
APLICACIÓN 1
Tres cables de alta tensión miden 180; 135 y
270 m, y se dividen en el menor número de
trozos de igual longitud. ¿Cuál es la longitud
de cada trozo si este es un número entero
de metros?
Resolución
Se tienen tres cables de alta tensión
H/K—
180 m— 2135 m3 H—— 270 m ———
De cada uno de ellos se quiere obtener trozos,
cuya medida es un número entero de metros.
Sea ( la longitud de dicho trozo.
0 ( 0 ( 0 0
MAA AAA AAA AAA A AA
Por condición
e (esun divisor de 180, porque se debe ob-
tener un número entero de trozos,
e (es divisor común, porque también debe
dividir a 135 y 270.
e (es máximo, porque nos piden el menor
número de trozos.
Entonces (=MCD(180; 135; 270)
17

LUMBRERAS EDITORES A La]
Calculamos el máximo común divisor
180 135 270|3
60 45 590 /3
20 15 305
oaOS
t1]
PESI
factores primos comunes
Setiene que el MCD(180; 135;270)=3x3x5=45.
Por lo tanto, la longitud de cada trozo es 45 m.
APLICACIÓN 2
Se desea cuadricular un pliego de papel cuyas
dimensiones son 240 cm y 315 cm, de manera
que se forme la menor cantidad de cuadrados
posibles, cuyo lado debe medir un número en-
tero en centimetros. Calcule la medida en centí-
metros que debe tener cada cuadrado.
Resolución
Se tiene un pliego de papel
240 cm
ea
Ld
Sea l el lado del cuadrado, entonces
e [es divisor común de 315 y 240, ya que el
lado del cuadrado debe ser un número en-
tero de centimetros.
+ (es máximo, ya que se pide el menor nú-
mero de cuadrados.
18
Entonces (= MCD(315; 240)
Calculamos el máximo común divisor
factores primos
comunes
315 240]/3
105 80 |5
e) ús
t3
PESI
Se tiene MCD(315; 240)=3x5=15
Por lo tanto, el lado cada cuadrado es 15 cm.
APLICACIÓN 3
Un comerciante de vino tiene tres barriles de
vino de 540; 360 y 378 L de capacidad; todos
están llenos. Si desea vender este vino en reci-
pientes todos iguales, cuya capacidad está com-
prendida entre 6 y 15 L, además están conte-
nidos exactamente en cada uno de los barriles,
calcule la cantidad de recipientes que utilizará.
Resolución
Se tienen tres barriles con vino
540 L 360 L 378L
recipientes iguales para la venta

cocos MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
Sea a la capacidad de los recipientes para la
venta.
a: divisor común, ya que de cada barril se debe
obtener un número entero de recipientes.
Se sabe que para conocer los divisores comunes
es necesario conocer el máximo común divisor de
los números. Calculamos el MCD(540; 360; 378).
540 360 378 |2
factores primos
comunes
270 180 189/3
90 60 63|3
69 (9 e)
113]
PESI
Se tiene que el MCD(540; 360; 378)=2x3x3=18,
divisores comunes: 1; 2; 3; 6; 9; 18 y la capacidad
de 0=9L (6<a< 15).
Ahora, para determinar el número de recipien-
tes que se obtiene del primer barril, dividimos
540 entre 9, así:
pes de | _540 _
del primer barril | gy 2
Pero si queremos calcular el total de recipien-
tes, se tendrá que dividir el total de litros de
vino entre la capacidad de cada recipiente, así:
n.* total de 540+360+37/8
E > 2 =142
recipientes 9
Por lo tanto, el total de recipientes necesarios
es 142.
3.2, MÉTODO DE LOS FACTORES PRIMOS
Para calcular el máximo común divisor de dos o
más números se siguen los siguiente pasos:
a. Escriba cada numeral en función de sus fac-
tores primos y sus respectivos exponentes
(descomposición canónica).
b. Seleccione todos los factores primos que
tienen en común con cada primo elevado
al menor exponente que aparece en la des-
composición canónica.
c. Forme el producto de todos los números
del paso b, Este producto es el máximo co-
mún divisor.
Ejemplos
1. Determinamos el máximo común divisor de
360 y 540. Primero descomponemos canó-
nicamente los numerales; se sabe que
360=2*x3%x5 y 540=2*x3*x5
Ahora seleccionamos los factores primos que
tienen en común con cada primo elevado al
menor exponente de los productos: 2? 32: 5.
Luego forme el producto de estos números.
. MCD(360; 540)=2*x3*x5=180
2. Determinamos el máximo común divisor
de 5500 y 2400. Al descomponer canónica-
mente los números se tiene
5500=2*x57x11
2400=2%x3x5?
Ahora seleccionamos los factores primos
con cada primo elevado al menor exponente
de cada producto, estos son 2?x5?. Luego
formamos el producto.
", MCD(5500; 2400)=2?x5*=100
19

LUMBRERAS EDITORES
3, Determine el máximo común divisor de los
números 1440; 7000 y 19 800.
Primero determinamos los factores primos
de cada número; es decir, su descomposi-
ción canónica
1440=2*x32x5; 7000=2*x5%x7 y
19800=2*x3%x5*x11
En cada primo común utilizamos el que tie-
ne menor exponente. Estos son 2: 5.
Se observa que el primo 3, así como los pri-
mos 7 y 11, no son comunes para los tres
números.
. MCD(1440; 7000; 19 800)=2*x5=40
APLICACIÓN 4
Sean A=24”x90 y B=24x90”. Calcule el valor
de n si el MCD de Ay B tiene 84 divisores.
Resolución
Expresamos A y B en función de sus factores
primos
A=24"x90=(22x3)"x(232x5)=230-3".2.32.5
=3980+1 na ¿5
ag=24x090"=(2x3)x(2x32x5)'=23.3.21.
320.51
27304 , gent 5er
Ahora determinamos el máximo común divisor
teniendo en cuenta los factores primos comu-
nes elevados a su menor exponente
MCO(A; B)=2"*x3"+*x5
Por dato, se sabe que CDiycp¡=84
20
Aplicamos la regla práctica para la determina-
ción del número de divisores
(n+4)(n+3) -2=84=7x6x2
(n+4) (n+3)=7x6
n=3
APLICACIÓN 5
Ssia=2 xt 7 PH y
_2a5+1,.p3In+1, n+1
B=2"""x5 > y A
además A y B tienen 120 divisores comunes,
¿cuántos divisores tiene nan?
Resolución
Se sabe que el número de divisores comunes de
A y8 es igual a los divisores que tiene el MCD
de A y B.
Los números son
A=2"1x 51 ant
g=2"*1)yg0+1,30+1
MCD(A; B)=2""*x5*x7"+1
Por dato
CDimco)=€Dicomunes) =120
nx 8 x(n+2)=
120
n(n+2)=4x6=24
n=4
Luego
ann=444=4x111=2*x3x37
CD =3x2x2=12
(nan)
APLICACIÓN 6
Si el MCD de A=18"X30 y B=18X30" tiene 56
divisores compuestos, calcule la suma de diviso-
res comunes de A y B.

Y"
Resolución
Primero expresamos Á y B como el producto de
sus factores primos, así se tiene que
ñ
A=18"x 30=(2 x32) x2x3x5=2"*1. g2n+1.
B=18x30"=2x32x2"x3"x5"=2"*1.30*2.51
Ahora determinamos el MCD de A y B
MCD(A; B)=2"*2x3"*2x5
Se observa que el MCD de
A y B tiene tres divi-
sores primos (2; 3 y 5) y también podemos decir
que tiene cuatro divisores simples (1; 2; 3 y 5).
Por lo tanto, el MCD de A yB tiene 80 divisores,
ya que
CDimco)= CDisimples) + CDicompuestos)
——
60 4 56
Aplicando la regla para determinar el número
de divisores tenemos
CDimco)= (n+ 2)in+ 3)x 2=60
(n+2)](n+3)=30=5x6
n=3
Reemplazamos
MCD(A; B)=2%x3*x5
Ahora calculamos la suma de divisores co-
munes, que a la vez es la suma de divisores
del MCD
comunes 2-1 3-1 5-1
suma de
divisores |=31x 364 x6=67704
comunes
AA
3.3, MÉTODO DEL ALGORITMO DE EUCLIDES
Para determinar el máximo común divisor de
dos números, divida el número mayor entre
el menor. Anote el residuo y divida el divisor
anterior entre este residuo. Continúe el proceso
hasta que obtenga el residuo O. El máximo
común divisor es el último residuo positivo
obtenido en este proceso.
Ejemplo
Determinamos el máximo común divisor de
150 y 66 utilizando el método del algoritmo de
Euclides.
Paso 1: Comience por dividir el número mayor,
150, entre el número menor, 66. Haga caso
omiso al cociente, pero anote el residuo,
150 [66
18 2
Paso 2: Divida el menor de los números entre el
residuo obtenido en el paso 1. De nuevo, anote
el residuo.
66 [18
12 3
Paso 3: Continúe dividiendo los sucesivos resi-
duos, tantas veces como se requiera hasta ob-
tener un residuo 0.
18 (12
6 1
Paso 4: El último residuo positivo en este pro-
ceso es el máximo común divisor de 150 y 66.
En nuestro ejemplo se puede observar que su
máximo común divisor es 6, ya que
12 |6
0 2
EIA KA
división exacta
2 MCD(150; 66)=6
21

LUMBRERAS EDITORES
% Observació
APLICACIÓN 7
Si al calcular el máximo común divisor de be
y a31 por el algoritmo de Euclides se obtuvo
como cocientes 3; 1 y 2, calcule a+b+c.
Resolución
Ordenamos el número mayor (231) y el número
menor (bc)
31 ]|2
bc + MCD
0
Proponemos que el MCDÍ(224; ab) sea d
Los cocientes que son datos se colocarán de iz-
quierda a derecha, así:
—— ee
Ahora reconstruimos el algoritmo
3 1 2
bc=3d |,2d + MCD
29 1d 0
22
e
Se observa que
o
031=11id=11 a bec=3d
o
>3 a31=11 > be=3x21
++
o
0+1-3=11 bc=63
2 E
oa-2=11
a=2
Reemplazamos
231=11d
d=21
a+b+c=2+64+3=11
APLICACIÓN 8
Al calcular el máximo común divisor de dos nú-
meros por el algoritmo de Euclides, se obtuvie-
ron como primer y segundo residuo 132 y 39,
además la suma de cocientes es 12. Calcule la
menor diferencia de dichos números.
Resolución
Reconstruimos el algoritmo a partir del primer y
segundo residuo.
Proponemos el algoritmo así:
La suma es 12
Suman 3 Suman 9
32 39/15/|9/6|13
ZA RT]
132| 39 |15|9/6|3]/0
MÁ A e
ye 30
residuo residuo
Se tienen dos opciones.

Opción 1
Suman 3
303 | 132
132 | 39
Se observa que
303=(2)x132+39
435=(1)x303+132
Notamos que los números son 435 y 303, donde
la diferencia es 435-303=132
Opción 2
Suman 3
171 | 132
132 | 39
Se observa que
171=(0)x132+39
47442) x171+132
Notamos que los números son 474 y 171, donde
la diferencia es 474-171=301
Por lo tanto, la menor diferencia es 132.
APLICACIÓN 9
meros mediante el algoritmo de Euclides, se
obtuvieron los cocientes sucesivos 7; 5; 3 y 4.
Si la diferencia de los números es 1281, calcule
la suma de dichos números.
Resolución
Proponemos que los números sean A y B, y el
MCD(A; B)=d.
Colocamos los cocientes de izquierda a derecha
y reconstruimos; así tenemos
Y 5 3 4
B=69d | 134 |,ad --MCD
13d "| 44 | d [0
Se observa que los números son
A=496d y B=69d
Además se sabe que
A-B=496d-691/=1281
427d=1281
d=3
Entonces
A=496x3=1488 y B=69x3=207
Por lo tanto, el número mayor es 1488.
E Recuerde
Ñ
23

LUMBRERAS EDITORES
a PROPIEDADES DEL MÁXIMO COMÚN DIVISOR
Ejemplo
Determinamos los divisores comunes de 36 y 48.
36 ; 48
EA AAA RÁ
divisor común
divisor común
divisor común
divisor común
1
2
3
4
6 divisor común
(12) divisor común
t
máximo común divisor
Se observa que 1; 2; 3; 4 y 6 son divisores de 12,
que son a la vez divisores del máximo común
divisor de 36 y 48,
APLICACIÓN 1
¿Cuántos divisores comunes impares tendrán
los números 40x60"” y 60x40” si n es mayor-
que 1 y el mayor de los números tiene 360 di-
visores?
Resolución
Sean A y B los números, entonces
A=40x60"=(22x5)x(22x3x5) =2x5x2Mx
x3"x5"=320+3, 30, gn+1
g=60x40"=(22x3x5)x
(2x5) "=2x3x52Mx
x5"=71+23550+1
24
Se observa que A > B. Ahora por dato se tiene
que el mayor número tiene 360 divisores, en-
tonces planteamos
(2n+4)(n+1)(n+2)=360
2(n+2)(n+1)(n+2)=360
(n+2)?-(n+1)=180=6*x5
n=4
Reemplazamos el valor de n=4 y obtenemos los
números
a=21. 3.5% y p=21.3.5%
donde MCD(A; 8)=2*x3x5*
Se sabe que los divisores impares del MCD se
obtendrán eliminando al primo par (2). Así se
tiene
MCD(4;8)=
M x3x5*
( n.* de divisores
impares del de! =2x6=12
Por lo tanto, la cantidad de divisores comunes
impares que tienen los números
A y B es 12.
Ejemplo
Sean 30 y 48 dos números cuyo máximo común
divisor es 6.
Se tiene que 30=6x(5) ; 48=6x(8)
5 y 8 son primos entre si (PESI).

Micra MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
Multiplicamos estas dos igualdades por 10
30x(10)=6x5x(10)=(6x10)x5
48x(10)=6x8x(10)=(6x10)x8
Se observa que
300=60x(5)=—
PES!
480=60x(8)—-
Por lo tanto, el MCD(300; 480)=60. Se nota que
los números han sido multiplicados por 10; del
mismo modo, el máximo común divisor tam-
bién quedó multiplicado por 10.
APLICACIÓN 2
si el McDlab; cde)=24, calcule el número de
divisores propios del máximo común divisor de
abO0 y cde00.
Resolución
Se conoce el máximo común divisor de ab y cde.
Ahora debemos hallar el máximo común divisor
de ab00 y cde00, donde notamos que
ab00= 100 xab Se observa
que los números
iniciales han sido multipli-
cdeDO= 100 xede | cados por 100,
Por la segunda propiedad se cumple que
mco(100-ab; 100 -2de)=100x24=2400
Convenientemente expresamos
2400=2x3x5*
DC
donde
n.* de .
divisores |=(5+1)x(14+1)x(2+1)=6x2x3=36
de 2400
Además se sabe que el número de divisores
propios es uno menos que el total de divisores.
Por lo tanto, el número de divisores propios del
MCD de ab00 y cde00 es 36-1=35.
s Nota
A AA
ama
APLICACIÓN 3
Si el máximo común divisor de 124 y 308 es 48,
calcule la suma de los divisores comunes no
primos de 24 y 58.
Resolución
un divisor común, así también 1; 2; 3 son diviso-
res comunes.
Convenientemente dividimos a los números
entre su divisor común 6 para obtener del pri-
mero 24, ya que 124+6=2A, y del segundo 58,
ya que 308+6=5B.
Del dato
MCD(124; 304)=48
25

LUMBRERAS EDITORES
12A 308 1 48
Luego meo 22; 22)
6 6 6
MCD(24; 58)=8
Se sabe que los divisores del MCD de 24 y 58
(de 8) son 1; (2) ; 44; 8.
oritno
Por lo tanto, la suma de divisores no primos es
14+4+4+8=13,
Al dividir dos números entre su máximo
común divisor, los cocientes obtenidos son
primos entre sí,
Ejemplo
Se sabe que MCD(260; 80)=20.,
Observamos que
PESI
APLICACIÓN 4
Si se cumple que el MCD(90; (4a)( 2b)) =30,
calcule a?+0+1.
Resolución
Se sabe que (4a)(2b)=2x(2a)b. Luego en el dato,
mco(9o; [4aN2b))=McoD(2x45; 2x[2a)b)=2x15;
Entonces
mco(4s; (2a)b)=15
26
donde se cumple
45 CT
mco(45;(2a)b) 15 9
(2a)o (2a)
mco(as;
(20) 15 0
Se observa que (2a)b=15xp, donde los valores
de p: 1; 2; 4 y 5 son PESI con 3.
Pero
* Sip=1 =3 (20)b=15x1=15
* Sip=2 => (20)b=15x2=30
+ 5ip=5 => (20)b=15x5=75
* Sip=4 => [2a)b=15x5=60 |Sicumple.
TF
¡€——
o=3.4 b=0
No cumplen,
porque la cifra
de las decenas
es par.
a+a+1=324+3+1=13
Ejemplo
Siendo 8 primo entre sí con 15, los divisores
comunes de los pares de números (20; 8) y
(2015; 8) son los mismos.
20; 8 300;8
— >
1 1
divisores | 2 2 divisores
comunes O O comunes
des el mayor
divisor común.
Se observa que
MCD(20x15; 8)=MCD(300; 8) =4
MCD(20; 8) =MCD(20x(15); 8)

a
APLICACIÓN 5
Si se cumple que MCDÍ(aÉ; 3c)=McDlabx21; 3c),
calcule la suma de valores de c.
Resolución
Se observa que al multiplicar al número ab por
21, el MCD sigue siendo igual
mcolab; 3c)=mcolabx(21); 3c)
Entonces de acuerdo a la tercera propiedad, 21
es PESI con 3c, y como 21=3xX7, entonces 3c es
a o
un número que no es 3 tampoco 7
> 30:31:32; 34; 37; 38
TEA A AAA
valores
de c:1;23;4;7y8
Por lo tanto, la suma de los valores de c es
14+2+44+74+8=22.
4.2. PARA VARIOS NÚMEROS
1 MCDÍA; B; C; D; E)=MCD[MCO(A;
B); €; D; El |
un e
«(=$
" E 7
ne q a 5 sd an
a E > 1 Mt
Ejemplo
Veamos para los números 120; 180; 36; 24 y 48.
Se sabe que MCD(120; 180; 36; 24; 48)=12
Además MCD(120; 180)=60
Luego MCD(60; 36; 24; 48)=12
MCD(120; 180)
MCD(120; 180; 6; 24; 48)=
=MCD[MCD(120; 180); 36; 24; 48]
APLICACIÓN 6
Si el MCD[6A; 158; 30k)=120y MCD(2A; 5B)=8k,
calcule 2-k-1.
Resolución
Si MCD(2A; 58)=8k, entonces
MCD(24x 3; 58x3)=8kx3
MCD(6A; 158)=24k
Además se tiene MCD(6A; 158; 30k)=120
Por propiedad
MCD[MCD(64; 158); 30k]=120
MCD[24k; 30k]=120
6k=120
k=20
k?-k-1=20?-20-1=379
APLICACIÓN 7
Si MCD(34; 28)=6 y MCD(6B; C)=45,
halle MCD(9A; 68; C).
Resolución
Por dato se tiene que MCD(34; 28)=6.
Entonces también se cumple que
MCD(34x3; 28x3)=6x3
MCD(9A; 68)=18
Además MCD(6B; €) =45
Por propiedad se cumple que
MCD(9A; 68; C)=MCD[MCD(9A; 68); MCD(6B; C)]
MCD(9A; 68; C)=MCD[ — 18; 45 ]
24 MCD(9A; 68; C)=9
27

LUMBRERAS EDITORES
Ejemplo
Veamos para los números 90; 150; 120 y 60.
Se sabe que
30: (); Q); E) ¡O (6) 3; (10); 45; 18; 60); 45; 90
150: (1); Q) 6; (5) (6) 0); 45); 60); 25; 50; 75; 150
120: (1); O) O de (5) (5); 8;(0) 12; 15); 20; 24; 30); 40; 60; 120
ss 1000000; 121; 6) s
Los divisores comunes de estos números son
1; 2; 3; 5;6; 10; 15; 30
Estos divisores comunes son también los divisores del máximo común divisor de 90; 150; 120 y 60.
APLICACIÓN 8
La suma de los divisores comunes de abc; defg y hijk es 2418, Calcule el número de divisores pares
que tiene el máximo común divisor de dichos números si se sabe que la suma de sus divisores com-
puestos es 2407.
Resolución
Se sabe que
pa de rai (uma de es) y de a |
, =1+ +
de un número primos compuestos
a 18 2407
Se tiene que la suma de los divisores primos es 10 y uno de ellos es 2. Como debemos calcular el
número de divisores pares, entonces
2+(primo impar) + (primo impar) = 10
i |
3 5
Como 2; 3 y 5 son divisores comunes, son también los divisores del MCD de dichos números
MCDÍabc; defg; hijk)=2%x3Px5*
28

m0 MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
Como se conoce la suma de divisores comunes, planteamos
7a+1 + 3p+1 -1 gy+ iS
SDimeni = x x =2418
a) 3-1 5-1
P+1 _ Y
(5) : 1) - losniax
Se observa que
A. YH_
29+1_1=31; 3 13 y 2
2 4
o.=4 B=2 y=1
Luego MCDÍabc; defa; hik)=2*x3?x5
CDimco)=(4+ 1)(2+ 1)(1+1)=5 x3x2=30
Si MCD(A; B; C)=d, entonces
MCD(nxA; nxB; nxC)=nxd
mco(£; a, =)=£, siendo
K un divisor de d.
KR K
Ejemplo
Se sabe que MCD(24; 16; 40; 60)=4. Ahora, si a cada número lo multiplicamos por 10, se tiene
24x10=240=(4x10)x(6)
16x10=160=(410)x(4)
40x10=400=(4x10)x(10)
60x10=600=(4x10)x(5)
AA
factor PESI
común
Por lo tanto, se tiene que si los números se NE por 10, su MCD también queda multiplicado
por 10. Asítenemos que
MCD([240; 160; 400; 600)=4x10=40
1
29

APLICACIÓN 9
Si el MCDlab; 2d; afg)=mn y el Mco (0600;
cd00; efg00!=p(3p)(p—3)(q—1), calcule mxn.
Resolución
En los datos se observa que los números ab; cd
y efg han sido multiplicados por 100. Por la pro-
piedad mencionada, entonces el MCD también
queda multiplicado por 100; por lo tanto, plan-
teamos que
mnx100= p(3p)lp-3)q=1)
0 0
Se observa que p=3 y q=1, además
mn=p(3p)=39
mxn=3x9=27
O E edo
RR po LP ad
Ó0s cocientes de dlvicihr varic
E A AN
AA
A A
Si MCDIA; B; C)=d, entonces
+ ia
É PEA
7 ¡AE :
(25d mu A
Ejemplo
Veamos para los números 45; 60 y 90, 5e sabe
que MCD(45; 60; 90) =15.
Entonces se cumple que
30
a y
Además
45=15x(3), 60=15x (4) 90=15x(6)
APLICACIÓN 10
S mco| 2, abc. a =10,
3 6 3
calcule 0?+b*+e?,
Resolución
Se tiene que mco| 2, eos. e )50
4 6 3
Convenientemente multiplicamos a todos los
números por 12, entonces su MCD también
quedará multiplicado por 12, asi:
meo 12%, 173 2%, 17,2%) 12,00
mco((3)xabc; (2)xabc; (4)xabc)=120
LE 3
PESI
Se observa que 3xabe; 2xabc y 4xabe tienen
como factor común al numeral abc. Entonces
mMCDÍ(3xabc; 2xabc; 4xabc)=0bc=120
a+bid=1*4+224+0%14+440=5
APLICACIÓN 11
Si se cumple que
MCD(364; 488)=144n y MCD(108; 35C)=25n,
además MCD(9A; 128; 42C)=96, calcule n.

"a
>
a
Resolución
* Si MCD(364; 488)=144n,
entonces MCD(34; 48) =12n.
+ SiMCD(10B; 35C)=25n, entonces
MCD(28B; 7C)=5n y MCD(48; 14C)=10n.
« SiMCD(9A; 128; 42C)=96,
entonces MCD(3A4; 48; 14C)=32.
Además se cumple que
MCD(3A; 48; 14C)=
=MCD[MCD(3A; 48); MCD(48;14C)]
=32
MCD( 12n ; 10n )=32
2n=32
n=16
n=16
APLICACIÓN
12
si el Mco(ab; 48)=12, calcule la suma de los
- valores de ab.
Resolución
Se tiene que MCOÍ(ab; 48)=12. Entonces
12 12
También ab=12x(p) ; 48=12x(4)
Eo
PESI
Se observa que los valores de p son
p:1;3;5;7 (p<9, porque ab tiene dos cifras)
Reemplazando los valores de p se tienen los va-
lores de ab.
ab: 12x1 ; 12x3 ; 12x5 ; 12x7
OK A — AAA AA
12 36 60 34
Por lo tanto, la suma de valores de ab es
ab=12+36+60+84=192.
APLICACIÓN 13
Se cumple que MCD(aZa; ab; c(b +4))= 13.
Halle a+b+c.
Resolución
Si mcoÍada; ab; clb+4)) =13, entonces
aña=13x(p) ;ab=13x(9) ; e(b+4)=13x (1)
t 1 1
PESI
o
Como ada=13xp, entonces ada=13
Aplicando los principios fundamentales de divi-
sibilidad, se tiene
a
aña=a-107+4-10+0=1010+40=13
o
(3 + 10)o+ (13 + 1)-33
boi
0 o
o
13+100+13+1=13
o
100+1=13
;
9
A
o=9
También se cumple que ab=13xq
9b=13xq
: y
1 Y
b=1 q=7
31

LUMBRERAS EDITORES
Por último c(b+4)=13xr
Reemplazamos b=1
c5=13xr
; /
6 5
—— ——
c=6 r=5
Ejemplo
Veamos para los números A y B sabiendo que
se _ gl
A=777...7,=8% -1
18 cifras
= ala
B=777...7,=8%-1
24 cifras
Entonces
MCD(A; 8)=8MP08:24)_4
MCD(A; B)=8ó-1=7777774
APLICACIÓN 14
Dados los números
A=222..2, y B=888...8.,
48 cifras 30 cifras
calcule la suma de cifras del MCD(A; B) al ser
expresado en base 81.
32
Resolución
5e tiene que
ss an A
A=222...2,=3%8 -1=(31)” -1=812-1
48 cifras
E _ 0 4 (a 9 15
8=888...8,=9% -1=(9?)”-1=815-1
30 cifras
Convenientemente cambiamos 3% -4 por 812-1,
del mismo modo 9-1 por et, dado que
se quiere calcular el MCD en base 81.
Entonces
MCD(A; B)=McC0(81” -1; 8125 —1)
=81M0D(12; 15)_ 1
MCD(A; B)=81*-1=(80)(80480),,
AAA KÉÁ
suma de cifras=240
Por lo tanto, la suma de cifras del MCD de di-
chos números es 240.
APLICACIÓN 15
Calcule el complemento aritmético en base 7 del
MCD de tres números sabiendo que están expre-
sados en base 7 y son los menores posibles; ade-
más la suma de sus cifras son 72; 96 y 120.
Resolución
Sean A, B y Clos números que están expresados
en base 7.
La suma de
cifras es 72
=7*-1
.. 7
12 cifras
Para que el numeral sea el menor y la suma de
cifras sea 72, es conveniente que las cifras sean
máximas en dicho sistema de numeración (en
base 7, la cifra máxima es 6). Ahora para deter-
minar el número de cifras necesarias, dividimos
72 entre 6 esto es 12.

—
AK—Á
A
AA
A
o
Del mismo modo se hacen los cálculos para los
otros números, asi se tiene
La suma de Lasuma de
cifras es 96, cifras es 120.
16 ¿20
B= 666...6 .=7"-1 C= 666.6 .=3-1
|«ebccicniedatal e | y]
16 cifras 20 cifras
Aplicando la propiedad se tiene
MCD(A; B; C)=6666,
Ahora calculamos el complemento aritmético
CA(6666,)=10000,-—6666,=1
CA(6666,)=1
Si MCD(A; B; C)=d, entonces
mcoÍ(4”; 8"; C")=df"
Ejemplo
Se sabe que
108=2*x3*x3=36x 97
PESI
180=2*x3*x5=36x (5)
donde MCD(108; 180)=36
Ahora calculamos el MCD de 108? y 180?.
5e sabe que
2
1082=(2?x2* x3)
Ex 3?=36%x9=216x
(9)
180%=(2? x 32 x5) PES!
Qu 51=36x25=216x(3)
donde Mco(108?; 180?)=36?
APLICACIÓN 16
Si mola; Va -1)=a-1,
calcule la suma de cifras de la suma de todos los
valores de ab.
Resolución
Se sabe que mcolab; vab' -1)=0-1 |
Por propiedad, meol +, (yab - 1 J). la— 1?
mcolab”; ab -1)=1a-1)
mcolab”; (25+1)(26-1))=(0-1)
Es JO
5e observan dos factores consecutivos que son
PESI. Por lo tanto, el MCD de dos números que
son PES! es 1.
En el problema se cumple (a-1)=1
a=2
Observación
b puede tomar cualquier valor corno cifra.
Entonces los valores de ab serán
ab: 20; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 28; 29
sumade | (20+29
valores de ab |
Jx10 =245
Por lo tanto, la suma de cifras de la suma de
valores de ab es 2+4+5=11.

LUMBRERAS EDITORES de A
En el caso de factoriales, el MCD de un con-
junto de factoriales siempre es el menor de
ellos.
Ejemplo
Veamos para los factoriales 61; 8! y 5).
Se sabe que
6l=6x[5x4x3x2x1
8l=8x7x6x(5x4x3x2x1
5l=(5x4x3x2x1
Se observa que 5! está contenido en los
otros factoriales. Entonces
MCD(6!; 81; 51)=51
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)
APLICACIÓN 17
¿En cuántos ceros termina el máximo común
divisor de abl; 101; bal?
Resolución
Se sabe que el MCD(ab!; 101; ha!)=101
_—_
101 es el menor factorial,
Ahora determinamos en cuántos ceros termina
101. Esto será dependiendo de los exponentes
de los factores 2 y 5.
Pero 10/=10x9x8x7x6x5x4x3x2x1
=2x3452x7=28x34x7x(22x5?)
10/=25x30x7x(10%)
di
100
Por lo tanto, el MCD de dichos números termina
en dos ceros.
El mínimo común múltiplo de varios números
naturales es el menor múltiplo común de dichos
números.
Ejemplo
4: 4; 8;42; 16; 20;24) 28; 32,66) 40; ...
B: 6:42; 18,(3; 30,69; 47; 48; 54; 60: ...
múltiplos positivos
Se observa que los múltiplos comunes de 4 y 6.
son
12; 24; 36; 48; ...
34
De estos, 12 es el menor múltiplo común po-
sitivo.
MCM(4; 6)=12
Ahora analizaremos los múltiplos del MCM de 4
y 6, es decir, de 12.
12; 12; 24, 36; 43; ...
e.

e
o
A
e
5e observa que los múltiplos de 12 son a la vez
los múltiplos comunes de 4 y 6.
Ñ Observación
o et
sin
a as q
e RO
APLICACIÓN 1
¿Cuántos múltiplos comunes de 4; 5 y 10 son
menores que 2407
Resolución
Determinamos los múltiplos de 4; 5 y 10
4: 4;8;12;16;(0; 24; 28; 32; 66) 40; ...
5: 6;10;15;(40; 25; 30; 35,(40) 45; 50; ...
10: 10;40; 30;40);
50; 60; 70; 80; 90; 100; ...
A
Se tiene que el MCM[4; 5; 10)=20
Por lo tanto, hay 11 números que son múltiplos
comunes de 4; 5 y 10, además son menores
que 240.
El MCM es un número que contiene a cada
uno de los números, además es el múltiplo
de cada uno de dichos números.
Ejemplo
5: 5; 10; 15; 20; 25;(30) 35; ...
6: 6;12; 18; 24;60); 36; 42; ...
Se tiene que el MCM(5; 6)=30.
Además se observa que
30=(5)x6 El número 5 está contenido en 30.
30=(6)x5) El número 6 está contenido en 30.
Ahora determinamos los múltiplos positivos de También podemos decir que
20 menores que 240. 30 es múltiplo de 5.
30 es múltiplo de 6.
20: 20; 40; 60; 80; 100; 120;140; 160; 180; 200; 220
Hay 11 múltiplos de 20 menores que 240.
APLICACIÓN 2
También podemos plantear
n.? de múltiplos comunes. Ñ
las 4; 5 y 10 menores que 2 =20k<240
Se tiene que
k:12:3...;10;11
IóAA
_—————
11 valores
Halle el menor número que contiene a seis nú-
meros enteros positivos diferentes.
Resolución
Nos piden el menor número que contiene a seis
números enteros diferentes, esto es el MCM de
seis números; dicho MCM debe tener 6 divisores.

LUMBRERAS EDITORES
ceros] ”%
Caso 1
CDimem) =b= ¡O +1)
LALA AAA
4
á
”
Se tiene que MCM(de 6 números)= O =32
+
porque buscamos
al menor
32 tiene 6 divisores (1; 2; 4; 8; 16; 32),
además es un número que contiene á
6 números diferentes.
Caso 2
CD; MCM) 63 7= (2)+1 1D+ 1)
Se tiene MCM(de 6 números)=(2*x(3)'=12
23, porque
buscamos al menor
12 tiene 6 divisores (1; 2; 3; 4; 6; 12),
12 contiene a 6 números diferentes
Por lo tanto, el menor número que contiene a
seis alumnos diferentes es 12, además notamos
que tiene 6 divisores.
a PRINCIPIOS RELATIVOS AL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
Ejemplo
Veamos para los números 7 y 21,
divisible por 7, y 21 es un número que contiene
a 7. Por lo tanto, 21 es el mayor, además es el
mínimo común múltiplo de 7 y 21.
MCM(7; 21)=21
APLICACIÓN 1
si el MCMÍ(48xab; 16 0b)=1680,
calcule la suma de los divisores de ab.
Resolución
Dados los números 48xab y 16xab, se observa
que 48xab es múltiplo de 16xab o que 16xab
es un divisor de 48xab. Por el principio mencio-
nado se tiene que
McmÍ48xab; 16x0b)=48x ab
36
Pero por dato se sabe que el minimo común
múltiplo de dichos números es 1680; entonces
se cumple que
48x0b=1680
ab=35
Determinamos todos los divisores de 35
A: LAS
Por lo tanto, la suma de divisores de 35 es
1+5+7+35=48,.
APLICACIÓN 2
Calcule el minimo común múltiplo de 5! y 7!,
Resolución
Sabemos que
7l=7x6x5x4x3x2k1=5040
51=5x4x3x2x1=120

E
A MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
5e observa que 7! contiene a 5!, es decir, 7! es
un múltiplo de S!,
Por lo tanto, el mínimo común múltiplo de 71 y
5les7!,
Ejemplo
Veamos para los números 4; 6 y B.
Sabemos que
4: 4;8;12; 16; 20;(24) ...
6: 6;12;18; 24;(60) 36; ...
8: 8;16;(24) 32; 40; 48; ...
El menor múltiplo común es 24.
MCM(4; 6; 8)=24
Se sabe que 8 es el mayor de los números (4; 6
y 8). Entonces se cumple que el mínimo común
múltiplo de dichos números es mayor que el ma-
yor de dichos números (8 < 24).
Ejemplo
Se observa que 60 es el mayor de dichos núme:
ros, además 60 es múltiplo de 15; 20 y 30, ya que
60=15x4; 60=20x3; 60=30xZ2, ]
Por lo tanto, se cumple que 60 es el mínimo co-
mún múltiplo de 15; 20; 30 y 60.
Ejemplo
Se sabe que 4 y 15 son primos entre sí, ya que el
único divisor común que poseen es 1, asi:
>) D;2;4 |aesresconas
15: (D;3;5;15
HA A 0 A A AÁAÁ
El único divisor
común
es 1.
. MEM(4; 15)=4x15=60
Si tres o más números son PESI dos a dos,
entonces el mínimo común múltiplo es el
producto de dichos números.
Ejemplo
De los números se observa que
ñ con 15.
15: (D;3;5; 15 ás En
con 49,
49: (1); 7; 49
8; 15 y 49 son
PESI dos a dos,
/. MCM(8; 15; 49)=8x15x49=5880
37

LUMBRERAS EDITORES
APLICACIÓN 3
SiMCM([a+3)2; 4b; 3a)=4bx3a x(a+3)2,
calcule el máximo valor de ox b.
Resolución
Se observa que el MCM de [a+3)2; 4b y 3a es el
producto de dichos números, esto quiere decir
que los números son PES| dos a dos.
(a+3)2; 4b; 3a | se observa que a también puede
| i ser 1;3
y 5, pero piden el mayor
7 5| valor. Por lo tanto a=5 y b=7.
Reemplazamos
PESI
82 ; 47 ; 35
A _A =_ 7 Por lo tanto, el máximo
PESI PESI
valor de 0xb es 35.
Son PESI dos a dos.
MÉTODOS PARA EL CÁLCULO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
7.1. MÉTODO DE DIVISIONES ENTRE FACTORES
PRIMOS
Para calcular el mínimo común múltiplo de dos
a. Escriba los números en una columna,
b. Divida cada uno de los números entre un
primo divisor en común.
€. Divida los cocientes entre un primo divisor
en común hasta que ningún primo divida a
todos los cocientes; pero si un primo divide
a algunos de ellos, entonces divida los que
sean posible hacerlo y bajamos los cocien-
tes que no sean divisibles y continúe hasta
que ningún primo divida a los cocientes.
d. El producto de todos los divisores primos de
los pasos by c, así como todos los cocientes
restantes, es el mínimo común múltiplo,
Ejemplo
Calculamos el mínimo común múltiplo de 12;
18 y 24.
Escriba los números en una columna y divida
entre 2
38
12 - 18 - 24 2
Lio primo
OROND
t t común
cocientes al dividir entre 2
Se observa que los cocientes son divisibles
entre 3,
12 - 18 - 24 | 2
6 9 $443
2 3 4
| factores primos comunes
Ahora los cocientes ya no tienen un factor co-
mún, pero 2 y 4 tienen al factor 2 en común,
entonces dividimos entre 2 y el 3 se baja; así
continuamos hasta que ningún primo divida a
todos los cocientes. Esto significa obtener uno
en cada caso.
12-18-24 |2 | .
factores primos comunes
6 9 12/3
2 3 4]2
1 3; 212 factores primos no comunes
IP) 113
1 1 1

_ Máximo COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
=y
+
e
Por lo tanto, el mínimo común múltiplo de 12; — Asíse tiene que
18 y 24 está dado por el producto de los facto- 30 1812
, res primos comunes y no comunes. Asi: 15 9 5 factor primo común
- 18: 3.3?
MCM(12; 18; der pee 3*=72 2 , 4 a
no comunes
: 1 1
E
APLICACIÓN 1 MCM(30; 18)=2x3x3x5=2x3?x5=90
Dos barcos de una misma compañía salen el Por lo tanto, el menor número de días que de-
¿ mismo día con rumbos diferentes sabiendo que ben transcurrir para que los dos barcos puedan
: uno sale del puerto cada 30 días y el otro cada salir juntos es 90 días.
; 18 días. ¿Cuál es la cantidad de días que deben
transcurrir, como mínimo, para que estos dos APLICACIÓN 2
; arcos vuelvan a salir juntos?
' Ñ n ] ¿Cuál es el menor volumen que debe tener
' una caja cúbica en la que se colocarán barras
, Resolución de jabón, cuyas dimensiones son 9 cm, 12 cm y
a
O
Sea t el número de días que deben transcurrir
para que vuelvan a salir juntos.
4 18 dias 18 días 18 días
Se observa que
* tesmúltiplo de 30
| t: múltiplo común
* tesmúltiplo de 18
. fesel menor
Entonces t es el MCM de 30 y 18.
Calculamos el MCM de 30 y 18 por el método de
divisiones entre factores primos.
15 cm? No debe sobrar espacio.
Resolución
Se quiere obtener una caja cúbica con a de arista.
Sobre el valor de la arista
+ 0: debe ser múltiplo de 9 | e: múltiplo común de
a » 9,15 y 12, porque no
* a: debe ser múltiplo de 15 e sabrir ds
+ a: debe ser múltiplo
de 12 en ningún caso.
a toma el menor valor, porque querernos formar
el menor volumen.
Para poder cumplir estas condiciones
o=MCM(9; 12; 15)

LUMBRERAS EDITORES
es A *
Determinamos el MCM por el método de divi-
siones entre factores primos; así se tiene que
9 - 12 - 15 | 3 jfactor primo común
34 512
e me factores primos no comunes
32 sa
lt 3 5ls
1% 1
MCM(9; 12; 18)=3x2x2x3x5=2*x3*x5=180
=3 a=180 cm
Ahora calculamos el volumen de la caja
volumen |_ 3.0.3 q 3
( la caja J=a =180”=5832000 cm”=5832 m
Por lo tanto, el menor volumen que tiene la caja
es 5832 mí,
Dbservación
5i se quiere conocer el número de jabones ne-
cesarios para llenar la caja, se desarrollaria de la
siguiente manera:
E .> de jabones ns
necesarios para
completar la caja (volumen del jabón)
_ 180x 180x180
— 9x12x15
=3600
APLICACIÓN 3
La distancia entre dos lineas de una vereda es
1,50 cm. Si se empieza a caminar pisando la raya
con velocidad de 5 m/s y 60 cm de longitud de
paso, ¿cuánto tiempo se debe caminar hasta pi-
sar la raya por 27.* vez si empezó a caminar con
el pie izquierdo?
40
Resolución
Según los datos se tiene
556
2,8,8 (longitud del paso que da la peroo
PETITE
4150 cma+-150 cm 150 cm [distancia entre
dos lineas)
A
1,5m=150 cm
La distancia que recorrerá la persona para que
pise raya será una longitud que contiene a la
longitud del paso y la longitud de separación de
las líneas, esto es
MCM(60; 150)=300
ya que
60 - 150 | 2
30 75 5 ¿factores primos comunes
6 15 3 -
E : : ) factores primos no comunes
1 1
Se observa que MCM(60; 150)=2x5x3x2x5
=22x3x5?=300
Ahora calculamos el tiempo necesario para que
pueda pisar raya
pues al q distancia recorrida
300 cm velocidad
=2=60 s=1 min
Nos piden el tiempo que debe transcurrir para
pisar por 27.* vez; pero como al inicio ya pisó
raya, entonces faltaría calcular el tiempo para
pisar solo 26 veces. Esto es 26x1=26 min.
Por lo tanto, debe transcurrir 26 min para que
pise raya por 27.* vez.

7.2. MÉTODO DE LOS FACTORES PRIMOS
Para calcular el mínimo común múltiplo de dos
a. Escriba cada numeral en función de sus fac-
tores primos y sus respectivos exponentes
(descomposición canónica).
b. Seleccione todos los factores primos comu-
nes y no comunes, con cada primo elevado
al mayor exponente que aparece en la des-
composición canónica.
c. Forme el producto de todos los números
del paso b. Este producto es el mínimo co-
mún múltiplo.
Ejemplo
Determinamos el minimo común múltiplo de
480 y 3300.
Primero descomponemos canónicamente los
números
480=2*x3x5 y 3300=2*x3x5*x11
Ahora seleccionamos los factores primos comu-
nes y no comunes, con cada primo que tenga
el mayor exponente: 29; 3; 5? y el 11 como el
primo no común.
Luego formamos el producto de estos números
MCM(480; 3300)=2*x3x5*x11=26 400
APLICACIÓN 4
Si el MCM de 247” y 900" tiene 490 divisores,
calcule el número de divisores del MCM de n?!;
6n? y nn”.
Resolución
Primero determinamos la descomposición ca-
nónica de los números; así se tiene
Selecci los
20 23 LP factores primos co-
munes y no comu-
PR NS ld
mayor exponente.
de donde se tiene que
mMcmÍ(24”: 9007) =23"x 320x520
Además se sabe que el MCM de dichos números
tiene 490 divisores
CD¡mem)=(3n+1)(2n+1)(2n+1)=490
(3n+1)(2n+1)*=10x7?
=(3x3+1/2x3+1)*
Se observa que n=3
Reemplazamos el valor de n y determinamos la
descomposición canónica de
Mi=3%1=91=9xBx7x6x5x4x3x2x1
LL ZA,
32? 2x3 2?
DABA
6 =632=[32x7) 347
an"=33=(3x11)=3
41)
Luego mem n?l; 6n*; nn )=2*x34x72x118x5
Por lo tanto, la cantidad de divisores del MCM
de n?1; 6n* y nn" será 8x5x3X4X2=960.
APLICACIÓN 5
Sean A=4"x5" y B=4"x5"x3?, Además A y B
tienen 15 divisores comunes. Halle el MCM de
CvobDsi
C=12x12*x12x...x12%
p=18?x18x18x...x187
41

LUMBRERAS EDITORES
AAA A
Resolución
Determinamos la descomposición canónica de
AyB
A=4"x5"= (22) x O)
B=4"x5"x3292(22)" 5032075321
Se sabe que el MCD(A; B)=2?"x5". Determina-
mos el número de divisores del MCD.
Por dato se sabe que A y B tienen 15 divisores
comunes; entonces la cantidad de divisores del
MCD también es 15, asi:
(2n+1)](n+1)=15
(2n+1)(n+1)=5x3=(2x2+1)(2+1)
Se observa que n=2
Reemplazamos n=2 para determinar la des-
composición canónica de C y D
C=12x122x12%x12%x12*x12%=12%=(22%3]9
D=18x18%x18*18%x1818%18%=(2x332
92 x69)
Se observa que 2 y 3 son los factores primos y
2* y 3% son los primos con su mayor exponente.
MCM(C; D)=2%x38=6*%
a PROPIEDADES DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
8.1. PARA DOS NÚMEROS
tér mito de su ménio común it
-tiplo, y recíp ite, todo múltiplo:
del mínimo común nn
delos dos números.
Ejemplo
Se sabe que el MCM(12; 18)=36 y 108 es un
múltiplo del MCM de dichos números, entonces
108 también es múltiplo de 12 y de 18, ya que
108=12x9y 108=18x6,
42
APLICACIÓN 1
Si 1080 es un múltiplo de 2a y ba, además el
MCMÍ2a; ba)= (2x0: 2), calcule axb.
Resolución
Por propiedad se sabe que si 1080 es múltiplo
de 2a y bo; entonces 1080 es múltiplo del MCM
de dichos números. Asi se tiene que
(9)10+2 x K=1080; Ke Z*
Se observa que hay dos cifras: (2) y (a+2); en-
tonces o puede ser 2;406,

PP.
e Ae MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
; Sia=2 => 114xK=1080 (no cumple) APLICACIÓN 2
Sio=4 => 216xK=1080 — (sí cumple) Si se cumple que
) MCD(2A; B)=15 y MCM(24; B)=90,
| 5 calcule el número de divisores de 4xB.
; Sia=6 => 318xK=1080 (no cumple) Resolución
Reemplazando el valor de a=4 se tiene Por propiedad se cumple que
tua MCD(24; B) x MCM(24; B)=(24)x<B
mcm(24; 54)=216 CREAR RN IA
15 x sÓ = ZAxB
p donde se cumple que 15 x 45 =4xB
' 216=24x9 | |
: Ei 3x5x3x3x5=AXxB
, 216=b4x4=54x4 —> b=5 3.2
' 5 CDiaxa=(3+1)(2+1)=4x3=12
' “ axb=4x5=20
APLICACIÓN 3
|
BNDES
Ejemplo
Se tiene que
MCD(24; 30)=6 y MCM(24; 30)=120
Entonces
MCD(24; 30) x MCM(24; 30)=2430
A RÁ
B 120 730
Si MCM(A; B)=4? y MCD(A; B)=21, calcule la
suma de cifras de B.
Resolución
MCD(A; B) x MCD(A; B)=4xB
MA ox 21 =AXB
Ax21=B Como MCD(4; B)=21
¿ 4 — Á=0:p
PESI
21-px21 =21xq| %21:0
21xp=q
Como
p y q son PESI, entonces p=1 y q=21.
Se tiene que
A=21x1 y B=21x21=441
Por lo tanto, la suma de cifras de B es 44+4+1=9

LUMBRERAS EDITORES
A
Ejemplo
Se sabe que MCM(6; 9)=18.
Ahora, si multiplicamos a los números por 10,
se tienen los nuevos números 60 y 90, respec-
tivamente.
Luego el MCM(60; 90)=180=18x10.
Se observa que al multiplicar a los números por
10, el MCM de dichos números también queda
multiplicado por 10.
APLICACIÓN
4
Si el MCMÍab; ¿de)=675, además
A=2xab+4xab+6xab+...+20xab y
B=cde0+cde0+...+cde0,
fOfÍ, Veces
calcule el MCM(A; B).
Resolución
Calculamos el valor de A y B.
A=2xab+4xab+6xab+...+20xab=
=10x11xab=110xab
B=cde0+ede0+...+cde0= cdeD <11=
A ¿q A
fOff, =1011,=11
f=1
cdex10
=cdex10x11=110xcde
Se observa que tanto ab y cde, por propiedad,
se han multiplicado por 110,
44
ÓN a 4
Si MCM(ab; cde)=675, entonces
MCM(110xab; 110xcde)=110x675=74 250
MCM(A; B)=74 250
Observación
5i dos números se dividen por un factor co-
mún, su MCM queda dividido por dicho factor,
APLICACIÓN 5
Calcule 4xB si el MCM(304; 188)=1080 y el
MCD(54; 38)=15.
Resolución
Se sabe que MCM(304; 188) =1080
MCM(6x5A; 6x38)=6x180
Por propiedad, MCM(5A4; 38)=180
Además, MCD(5A; 38)=15
Reemplazamos estos valores en
MCM(SA; 38)xMCD(5A; 38)=(54)x(38)
MB BAxXÍA
1380 = 4AxB
180 x
AxB=180
- INCUDE ATREA entonces Ap
m m El pets] *
PESI A
Además Ha

FAA
AAA
A
AA
A
A
A
"y
bat
Ejemplo
Se sabe que el MCM(30; 24)=120; entonces
Se observa que 4 y 5 son PESI.
APLICACIÓN 6
La suma de dos números es 231, y el mínimo
común múltiplo de los mismos es 588. Calcule
la diferencia de dichos números.
Resolución eds
Sean A y B los números; además el 2
MCMÍ(A; B)=588 >
Por propiedad se cumple que >
588 588 S
ETT Y -—=8
A t B a
PESI o
o
de donde $
88 588 pe
= 388 y B=—— um
q J
x=
Por dato o
A+B=231
Reemplazamos
588 ,588_731 >, 588 + =)- 231
p q p q
50 Er » 231
pxq
p+g _ 231_11_7+4
pxq 588 28 7x4
Se observa que p=7 y q=4
588
588
Luego A==2=84 y B==—=147
uego > y a
B-A=147-84=63
APLICACIÓN 7
si mcm(ab; ba)=168, calcule MCMÍaaa; hbb).
Resolución
168 _ 168
a OY Y
PES!
2X2x2X3)x7_ 2x2x(2x3x7)
_
ab ba
Siab=24 y ba=42, se tiene
39 PESI
Se observa que a=2 y b=4
McCMÍ(aaa; bbb)=MCM(222; 444)=444
Ejemplo
Se sabe que el MCM(99; 45) =495.
Ahora calculamos el MCM de 99 y 135. Se tiene
que MCM(99; 195)=MCM(99; 3<45)=495
MCM(99; 45)=MCM(99; 3<45)=495
o
porque 99=3

LUMBRERAS EDITORES
APLICACIÓN 8
Si se cumple que el
MCMÍ(a6; c5)=Mcm(3xa6; 25),
calcule la suma de todos los valores de c5.
Resolución
Por propiedad se sabe que si se cumple que
MCM(a6; c5) = MCMÍ(3xa6; c5),
—. O
entonces c5=3=3k
5e observa que los valores de k: 5; 15; 25
pa o
Como c5 termina en 5, entonces k=5
Luego c5: 3x5; 3X15; 3x25
15 45 75
Por lo tanto, la suma de los valores de c5 es
15+45+75=135,
APLICACIÓN 9
siMCM(abb; 4ba)=MCMÍ(3xA4ba; 5xabb),
calcule el máximo valor de ab.
Resolución
Se cumple que
MCMÍabb; 4ba)=MCM(5xabb; 3x4ba)
Se observa que a pesar de que se ha multipli-
cado por 5 al numeral abb y por 3 al numeral
4ba, el mínimo común múltiplo no varía, sigue
siendo el mismo.
46
e cel a
Entonces debe cumplirse que
_— —_ Y
abb=3 y 4bo=5
Aplicando el criterio por 5
4ba=
Ln
0
A a=0 y
No cumple, porque
o es primera cifra
en el otro numeral.
Reemplazando el valor de a=5 y aplicando el
criterio de divisibilidad por 3, se tiene
A o
obb=3
mo ¿0 o
S5bb=3 => 5+b+b=3
o
5+2b=3
Se observa que b puede ser 2; 5 0 8, donde 8 es
el máximo valor de b.
Por lo tanto, el máximo valor de ob será 58.
8.2. PARA VARIOS NÚMEROS
Ejemplo
Se sabe que el MCM(6; 8; 12)=24. Los múltiplos
del MCM son 24; 48; 72; 96; 120; ...
Se observa, por ejemplo, que 72 es múltiplo de
6; 8 y 12, del mismo modo 120 es múltiplo de 6;
8 y 12, y así sucesivamente.
Por lo tanto, todo múltiplo de 24 es múltiplo de
los números 6; 12 y 24.

mm
y
—
e
a
o
A AR PF
APLICACIÓN 10
Si el MCMÍA; B; C)=240, calcule la suma de los
múltiplos comunes de A; B y C de cuatro cifras.
Resolución
Si el MCM(A; 8; C)=240, entonces los múltiplos
de 240 son los múltiplos comunes de A, B y C.
Ahora calculamos la suma de todos los múltiplos
comunes de A, B y € que tienen cuatro cifras.
( múltiplos comunes
de cuatro cifras de A, B yc)- 240k =abcd
5e observa que
k:5:6:7:8;...; 41 (hay 37 valores)
E ma de los múltiplos
comunes de A, B y € )> 240(5+6+7+...+41)
200% (3142) >37 |=200x851=204 240
Por lo tanto, la suma de los múltiplos comunes
de cuatro cifras de A, B y Ces 204 240.
LA Ea
¿E sí MCMÍA; B; C; D)=m, entonces pa
| MOM(kxA; kxB;kxC; kxD;)=kxm [32
NS ee
qu ABC0Dj] om des
e men 2; Ec 2). a
p- tor6r or F a
MET AAA AN
Ejemplo
Se sabe que el MCM(18; 24; 30; 48)=720
Si multiplicamos a cada uno de los números por
10, se tiene 180; 240; 300 y 480,
MCM(180; 240; 300; 480)=7200
Y si dividimos a cada número original entre 6, se
tiene 3; 4; 5 y 8.
MCM(3; 4; 5; 8)=120
APLICACIÓN 11
Calcule ab si se cumple que
men 22, 140b. 2), 1080
5 10" 15
Resolución
Se sabe que 140b _7ab 54ab _180b
10. 5%15 5
Reemplazando se tiene que
42xab 7xab_ 1492)
mon 252, =630
5 5 5
Multiplicamos a cada uno de los números por 5.
Por propiedad se tiene
mcm(42xab; 7xab; 18x0b) =630x5=3150
126 xab =3150
tad
MCM(42; 7; 18)
ab=25
14]
Se observa que a=2 y b=5
2 ab=25

Lum BRERAS EDITORES |
APLICACIÓN 12
Siel ic" Y. 2) 1440,
2135
ÑN
calcule el Mem,
— .L »)
6" 8' 15
Resolución
Multiplicamos por 30 a cada uno de los números
mem» z, %)=1400
23'5
Se tiene
mem 30x"; 30x-; ¡30x > 30x1440
MCM(15N; 10N; 6) =30x1440
_—
JÓxN = 30 x 1440
cs ii
MCM(15; 10; 6)
N =1440
Reemplazando el valor de N, se tiene
mem»; N. 2). mem 2, 1440, =E
6" 8'15 6 B 15
A A
240 180 36
MCM(240; 180; 96)=1440
moa(
1, 2100
6 8 15
Sean A, B y Clos números y
MCM(A; B; C)=m. Entonces
Ejemplo
Se sabe que el MCM(40; 60; 90)=360, Se ob-
serva que
E 4 4
PESI
APLICACIÓN
13
Si el MCMÍmn; 45; 60)=360, calcule la suma de
valores de mn.
Resolución
Se tiene que el MCMÍmn; 45; 60)=360, entonces
360= 60x6= 60x(3x2)
360= 45x8= sx (4x2) y,
360 = mnxp= mnXx Pp
o
Se observa que p es impar, no debe ser 2; además
mn es un divisor de 360 (mn tiene dos cifras).
Los divisores de 360 son
1 4 8
3 12 | (24)
divisores de 360
3 18 36 (d+ que tenen dos cifras
s|10 20 (49)
15 30 60| 120
45 90 | 180 360
Se sabe que 360=mnxp
-— )
24 15
TY5
40 3
Por
lo tanto, la suma de los valores de mn será
24+72+40=136.

MCM[MCMÍ(A; 8); MCM(C; D)]=m
Esso B; C); D]=m
o E a y
ta E
Ejemplo
' Veamos para los números 40; 60; 45 y 120.
5e sabe que el MCM(40; 60; 45; 120)=360
También se cumple que
MCM[MCM(40; 60); MCM(45; 120)] =360
: 120 360
É MCM(120; 360)=360
'
: Además
J MCM[MCM(40; 60; 120); 45] =360
h ———
1 120
; MCM(120; 45)=360
APLICACIÓN 14
Si MCM(8A4; 128)=720 y MCM(98; 15€: 30)=2700,
be calcule el MCM(24; 38; 5C; D).
Resolución
Por dato se tiene que MCM(84; 128)=720
Por propiedad, MCM(24; 38)=180
Además, se tiene que MCM(98; 15€; 3D) =2700
A
-+
ma
q
q
nm
Por propiedad, MCM(3B; 5C; D)=900
Nos piden calcular MCM(24; 38; 5€: D)
MCM(24; 38; 5C; D)=
=MCM[MCM(24; 38); MCM(38; 5C; D)]
—e eS == ,
MCM(24; 38; 5C; D) =MCM(180; 900) =900
MCMI(24; 38; 5C; D)=900
APLICACIÓN 15
Si MCM(A; B)=3k,
MCM(C; B)=4k y
MCM(A; B; C)=180,
calcule MCM(9k; 16k).
Resolución
Se sabe que el MCM(A; B; C)=180.
MCMÍ(A; B; C)=MCM[MCM(A; B); MCM(C; B)]
180 3k ak
180= 12k
MCM(3; 4)
Se observa que k=15
Reemplazando k, se tiene
MCM(9k; 16k)=9x16xk=144x15=2160
a
MCM(S; 16)
ut
PES!
7. MCM(9k; 16k)=2160
49

LUMBRERAS EDITORES
Si MCM(A; 8; C)=m, entonces
MCMÍA”; B” CU) =mf.
Ejemplo
Veamos para los números 4; 8 y 12,
Se sabe que MCM(4; 8; 12) =24, de donde
24=4x6 > 24*=(4x6)?=4*x
60)
24=8x3 > 24?=(8x3)*=8*x(9) -—pesi
24=12x2 > 24%=(12x2)=12%x()
mcmÍ4?; 8?; 122) =24?
APLICACIÓN 16
simMcMÍabes; 144) =420*, calcule axbxc.
Resolución
Se cumple que el MCMÍabc5; 144) =420*,
=2
de donde se tiene meml Vabes : 122)-420?
mcmÍVabes; 12)=420
Se observa que abeS =35
abe5=35*=1225
de donde 0=1; b=2 y c=2
axbxc=1x2x2=4
50
En el caso de factoriales, el mínimo común
múltiplo de un conjunto de factoriales
siempre es el mayor de ellos.
Ejemplo
Veamos para los números 7!; 51 y 101,
Se sabe que
71=7x6x5x4x3x2x1
51=5x4x3x2x1
101=10x9x8x7x6x5x4x3x2x1
Se observa que 10! contiene a 7! y 51. Enton-
ces se cumple que
MCM(7!; 51; 101)=10!
APLICACIÓN 17
¿En cuántos ceros termina el
MCMÍ(a(a +8)! b(5b)!; 201)?
Resolución
Se sabe que, en el numeral o(a+8), el valor de
a=1; del mismo modo, en el numeral b(5b), el
valor de b=1. Reemplazando se tiene
MCMÍa(a+8)!; b(Sb)!; 2a!)=MCM(191;
151; 211)=211
Ahora determinamos el exponente del primo 5
en la descomposición canónica de 21!; solo de-
penderá del 5 ya que hay más factores 2, por-
que se sabe que para formar el número 10 es
necesario un 5 y un 2,
Entonces
211=1x2x3x4x0)x...x10)x...x(1Dx...x(20x21
5x1 3x2 5x3 5x4
211=5*x(otros factores)=...0000
Por lo tanto, el MCM de dichos números termina
en cuatro ceros.

—
a
ae
—
--
o»
——
e
a
RARA RARA
NIVEL BÁSICO
PROBLEMA N.” |
Si el mcoDlab; 180)=15, calcule la suma de va-
lores de ab.
A) 60 B) 75 C) 80
D) 90 Ej 120
Resolución
Si el Mco(ab; 180)=15, entonces se cumple que
180=15x (42 —
P es PESI con 12,
ab=15x(P) —)
valores que
— (:15-1:15-5
puede tomar ab) ==
Por lo tanto, la suma de los valores de ab es
15+75=390.
_cuave
Y)
PROBLEMA N.” 2
¿Cuántos pares de números naturales cumplen
que la suma de ellos sea 600 y su máximo co-
mún divisor sea 307
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E)
6
++ PROBLEMAS RESUELTOS
daras E
*
Resolución
Sean A y 8 los números, además MCD(A; B)=30,
Entonces
A=30p y B=30q
===
PES!
Además
A+B=600
30p + 30q=600
p+ q=20
/ '
1 19
3 17 Hay 4 pares de valores
7 13 para p y q.
9 11 7
Por lo tanto, existen 4 pares de números que
cumplen dicha condición.
_Cuave (E)
PROBLEMA N.” 3
Determine el menor de dos enteros sabiendo
que su suma es 330 y que su MCM es 18 veces
su MCD.
A) 27 B) 30 Cc) 40
D) 60 E) 90
51

LUMBRERAS EDITORES
Resolución
Sean A y 8 los números (4>8), MCD(A; B)=d y
MCM(A; B)=m.
Entonces
A=d-p
B=d-q
A
pyqson PESI.
| m=d:p-q
Por dato se sabe que
MCM(A; 8)=18 MCD(A; B)
d-p:q=18:d
p:q=18
HA
18 1 (no cumple)
9 2 [sicumple)
Además A+B=dp+dq=dx(p+q)=330
Hi,
30 3 2
Se observa que
4A=30-9=270 y B=30-2=60
Por lo tanto, el menor número será 60,
_cuave (B)
PROBLEMA N.? 4
¿Cuántos números menores que 300 tienen con
216 un MCD ¡igual a 36?
A) 1
D) 4
B) 2 03
E) 5
52
Resolución
Sean A y 216 los números; además se tiene que
MCO(A; 216)=36. Entonces
216=36x
PESI; A<300
A=36 x(9)
Se observa que los valores que toma q serán
q:1;5;7
Entonces
A: 36; 180 y 252
Por lo tanto, existen 3 números que cumplen
con las condiciones.
_Cuve (E)
PROBLEMA N.? 5
En una fábrica trabajan 200 empleados. De
ellos se selecciona un grupo, notándose que si
se agrupa de 6 en 6, de 10 en 10 y de 15 en 15,
siempre sobran 5. Halle el número de trabaja-
dores no seleccionados si es el menor posible.
A) 12
B) 15
C) 18
D) 20
E) 24

q
—
A
e
A
a
Á
KA
A
e
a
a
A
KA
A
AAA
oa
occ MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
Resolución
Sea ÑN el número de trabajadores que han sido
seleccionados. Entonces se cumple que
o
N=6+5
2
N=10+5[ NS200
N=15+5
En consecuencia
e
N = MCM (6; 10; 15) +5
o
N=30+5 = 30K+5
|
6
Cuando K=b6 —= N=185
Por condición, los seleccionados tienen que ser
máximos ya que piden la menor cantidad de tra-
bajadores no seleccionados.
Por lo tanto, los trabajadores no seleccionados
serán 200-185=15.
_cuaveY)
PROBLEMA N.? 6
¿Cuántos pares de números cumplen que su
suma es 77 y la diferencia de los cocientes obte-
nidos de dividir los números entre el MCD es 5?
A) 2 B) 3 Cc) 4
D) 5 E) 6
Resolución
Sean A y B los números, donde MCD(A; B)=d.
Entonces
A=d'(p) y B=d:(g)
to |
PES!
Se sabe que
A8_5
d d
dp d:q_
y y ie
p-q=5
Además
A + B =77
dp+ dq =77
d -(p+q)=7-11
E
1 41 36
7 8 3 (p-9=5
11 6 1
Por lo tanto, hay 3 pares de números que cum.-
plen la condición.
_Cuave 8)
PROBLEMA N.? 7
Calcule la menor suma de dos números si su
MCD es 18 y su producto es 71 604.
A) 270 B) 350 C) 540
D) 600 E) 720
53

LUMBRERAS EDITORES
Resolución
Sean A y B los números, Se sabe que
MCD(A; B)=18; entonces
A=18-p
PESI.
B=18 5 pyason
Por dato se tiene que
AxB=71 604
18p -1873=71 604
p + q=221=17x13
Lo]
221 1
17 13 (genera la menor suma)
Se observa que 17 y 13 serán los valores ade-
cuados para obtener la menor suma de los nú-
meros, así se tiene que
A=18x17=306
B=18x13=234
A+B=306+234=540
PROBLEMA N.” 8
Calcule la diferencia de dos números enteros
positivos sabiendo que dichos números tienen
como MCM 60 si la suma es 50.
A) 8 B) 9 c) 10
D) 12 E) 15
Resolución
Sean Á y B los números, y su MCM(A; B)=60,
Entonces
A
60 60 PESI
B
Además 44+B=50
Reemplazamos
_Cuave (E)
PROBLEMA N.* 9
Un número N tiene 10 divisores y el
MCDB(N; 450)=18. ¿Cuál es el valor de N?
A) 162 B) 150 Cc) 140
D) 120 E) 90
Resolución
Se sabe que MCD(N; 450)=18. Entonces
450=18 x(25) *—
PESI
N=18 x(0) —
Además CD(N)=10
Entonces
N=2x3*x3)=2x3*=162
Por lo tanto, el valor de N es 162
_Cuave (8)

A mm
PROBLEMA N.? 10
si mco(5a7a; 8bc; 13c)=39, calcule MCM(a; b; c).
A) 12 B) 15 Cc) 18
D) 20 E) 30
Resolución
si mco(5a7a; 8bc; 13c)=9, entonces
O o
5070=9 = 12+20=9
a=3
MCM(3;
5; 5)=15
_Cuave (8)
PROBLEMA N.? 1|
El máximo común divisor de dos enteros posi-
tivos es 17. Halle la diferencia positiva de estos
números sabiendo que la suma de sus cuadra-
dos es 2890.
A) 34 B) 32 C) 28
D) 24 E) 18
Resolución
Sean A y B los números (4>B). Además se sabe
que MCD(A; B)=17.
be
Entonces
A=17p Y B=17g
A
pyaqson PESI.
Además
A?+8*=[17p)+(17q)?=2890
289-p*+289-q*=2890
pi+g?= 10
Luego 4=17x3=51 y B=17x1=17
_Cuave
Y)
A-B=51-17=34
PROBLEMA N.? 12
ZL E
Si A=11+3 y B=11+10,
o
además MCD(A; B) =11+6,
- ¿cuál será el residuo al dividir el MCM(A; B)
entre 117
A) 3 B) 4 CO 5
D) 8 Ej) 10
Resolución
Se sabe que
MCD(A; B)xMCM(A; B)=A xB
Reemplazando los valores se tiene
pa E MEA
(i1+6)xmcmía; B)= 65 añ +10)
2 Z2
11+6-: MCM/(A; B) =11+30
o
£ MCMIA; B)=11+ 30
Ó
MCM(A;B)=11+5
Por lo tanto, el residuo que se obtiene al dividir
el MCM de dichos números entre 11 es 5.
_cuave (8)
55

LUMBRERAS EDITORES
PROBLEMA N.? 13
Calcule A—B si al calcular el máximo común
divisor mediante las divisiones sucesivas se
obtuvo como cocientes q4; q, y 93; además
q1<9,<q3<d, donde d es el MCD de A y B,
también se sabe que d; q,; q, y q3 son primos
absolutos de una cifra.
A) 147 B) 150 C) 160
D) 135 E) 120
Resolución
Se sabe que los números primos absolutos de
una cifra son 2; 3;5 y 7.
De la condición
q1<q,<q3<d
E ,
2.3 5 7
Reemplazando los valores en el algoritmo se
tiene
B=112 1,35 |, 7
353" 23*10
A-B=259-112=147
_Ciave
(Y)
PROBLEMA N.” 14
Calcule la diferencia positiva entre la suma de
los cocientes y la suma de los residuos que se
obtienen al calcular el máximo común divisor
de 78 y 30 mediante el algoritmo de Euclides.
A) 20
D) 45
B) 30 C) 40
E) 70
56
Resolución
Aplicando el método de las divisiones sucesivas
(algoritmo de Euclides), se tiene
2 1 1 2
30 |,18 |,12 L.6
"METIA N
Se observa que
* suma de cocientes: 24+14+1+4+2=6
* suma de residuos: 18+12+6=36
Porlo tanto, la diferencia positiva será 36-6=30,
_Cuave (B)
PROBLEMA N.”* 15
meros primos relativos, mediante el algoritmo de
Euclides, se obtuvieron los cocientes sucesivos
2; 3; 4; 1; 2. Calcule la suma de dichos números.
A) 140 B) 149 C) 165
D) 180 E) 182
Resolución
Sean A y 8 los números, donde A>B,
2 3 á 1 2
AE
11312110
Se sabe que el MCD
de dos números PESI
(primos relativos ) es 1.
_Crave (B)
= A+B=104+45=149

—-—
e
—
———
QÉ—Á
a
y
_—
A
A
A
PROBLEMA N.? 16
Si al calcular el MCD de dos números primos
entre sí se obtienen los cocientes sucesivos 3; 3;
2; 2 y4, calcule la diferencia de dichos números.
A) 160 B) 172 C) 180
D) 185 E) 200
Resolución
Como los números son PESI, entonces su MCD
es 1.
Reconstruimos el algoritmo de Euclides
MCD(A; B)=1
tl
PESI
Se observa que A=247 y B=75
A-B=247-75=172
_Cuave
B)
PROBLEMA N.? 17
Se tiene que
ES
e B=2*x32x8?
-. Cc=2x39x7
Si ab es la cantidad de divisores de MCD(A; B; €) y
ode es la cantidad de divisores del MCMIA; B; C),
calcule el MCDÍab; zde).
MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPL
A) 12 B) 15 C) 18
D) 20 ; E) 24
Resolución
Determinamos el MCD y el MCM de A; B y €.
Asi
se tiene que
MCDÍA; B; ()=25x3?
MCMIA; B; C()=2*x39x5*x7
Por dato se sabe que
ab=CDimco)= 6:-3=18
cde=CDimomy=9 4 '3-2=216
Ahora calculamos
mcolab; cde)=MCD(18; 216)=18
_cuave (E)
mcolab; cde)=18
PROBLEMA N.? 18
Sean los números
A = 3 5n+2 7 y
a=3M+ et?
Si las cantidades de divisores del MCD(4; B)
y MCM(A; B) son 35 y abc, respectivamente,
calcule MCMÍab; ac)+MCDÍab; ac).
A) 471
B) 460
C) 445
-D) 360
E) 365
57

Resolución
Determinamos el MCD y el MCM de
A y B.
Se tiene
MCD(A; 8)=3?".5+1
MCM(A; B)=391*1.51+2.7.112
Ahora determinamos la cantidad de divisores
del MCD y MCM.
CDimco)=(2n+1)(n+2)=35=7x5
n=3
CDimcm)=(3n+2)x(n+3)-2-3=abc
Pero n=3, entonces 11-6-2-3=abe
396=abc
Luego
mcolab; ac)=MCD(39; 36)=3
MCMÍab; ac)=MCM(39; 36)=468
mcmlab+ac)+McCOÍab; ac)=468+3=471
_Cuave (A)
PROBLEMA N.” 19
La diferencia de dos números positivos es 80.
El mínimo común múltiplo de dichos números
es 600. Calcule la suma de los divisores comu-
nes de dichos números.
A) 60 B) 70 C) 380
D) 90 E) 120
Resolución
Sean A y Blos números (A4>B);
además MCMÍ(A; B)=600. Entonces
600 600
A=— B==
(p) 0
==
PES!
58
A AA e 5
Además A-B=80
5000060 — sm)
p q pq
9-P_80_2
pxgq 600 15
Entonces A==>=200 y 8=2=120
También MCD(200; 120)=40=2*x5
suma de dla e
las divisores e =90
comunes 2-1 5-1
_Cuave
(DB)
PROBLEMA N.” 20
Si MCD(104; 6B)=12 y MCM(304; 188)=3240,
calcule 4xB,
A) 200 B) 216 C) 236
D) 240 E) 245
Resolución
De los datos que se tiene
MCD(104; 68)=12
=3 MCD(5A; 38)=6
MCM(304; 188)=3240
=> MCM(5A; 38)=540
También se sabe que
(54)(38)=MCD(5A; 38)xMCM(SA; 38)
54 -38=6540
. AxB=216
CLAVE

——
nn
A
A
ar
PROBLEMA N.? 21
Calcule el mínimo común múltiplo de A y B si el
MCD(A; 8)=12 y el producto de dichos números
es 5760.
A) 320 B) 400 C) 450
D) 480 E) 600
Resolución
Se sabe por propiedad (para dos números)
l AxB=MCD(A; B)xMCMÍA; B) |
Reemplazando se tiene
5760=12+MCM(A; 8)
480=MCMÍ(A; B)
MCMÍA; B)=480
_ciave
PROBLEMA N.* 22
¿Cuántos múltiplos comunes de tres cifras tie-
nen los números 8; 9 y 12?
A) 15 B) 14 co 12
D) 10 E) 8
Resolución
Se sabe que si se quiere conocer a los múltiplos
comunes de un grupo de números es conve-
niente conocer el MCM de dichos números.
Así tenemos que
MCM(8; 9; 12)=72
ios ai ii a A aa li
Luego
ear comunes de
tres cifras de 8; 9y12 ) =JeK
donde
K:2:3,4:...512/13
_— Q o LF —
Hay 12 valores.
múltiplos comunes
de tres cifras de |=144;216 288;...;936
8,9y12 12 valores
Por lo tanto, 8; 9 y 12 tienen 12 múltiplos comu-
nes de tres cifras.
_Ciave (6)
PROBLEMA N.” 23
Si MCD(A; 8)=30 y MCD(B; C)=72,
calcule el MCDÍA; B; C).
A) 2
B) 4
Cc) 6
D) 8
E) 12
Resolución
MCD(A; B; C)=MCD[MCD(A; B); MCD(B; C)]
MCD(A; B; C)=MCD[30; 72]
2 MCDÍA; 8; C)=6
_Cuave (8)
59

LUMBRERAS EDITORES
PROBLEMA N.”? 24
La señora Mercedes tiene en su tienda recipien-
tes que contienen 108; 90 y 102 L de aceite.
Desea vender el aceite en recipientes pequeños
de igual capacidad que estén contenidos exacta-
mente en cada uno de los tres recipientes. ¿Cuál
es el menor número de recipientes pequeños
que debe usar para no desperdiciar el aceite?
A) 20
B) 30
Cc) 40
D) 45
E) 50
Resolución
Se tienen
as divisor 10 exactamente
capacna . 4 a 108; 90 y 102.
reciplente ) e.
il Debe haber el menor
mibimo número de recipientes.
Entonces
MCD(108; 90: 102)=6
Por lo tanto, el menor número total de recipien-
tes es
108 +90+4+102 _
6
50.
_Cuave (E)
PROBLEMA N.” 25
Se forma un cubo compacto con ladrillos cuyas
dimensiones son 20 cm, 15 cm y B cm. ¿Cuántos
ladrillos son necesarios para formar el cubo más
pequeño?
A) 700 B) 720 C) 600
D) 540 E) 480
Resolución
Sea l la longitud de la arista del cubo compacto.
Condición
— múltiplo
P | Debe ser un número que
(: => común contiene a 8; 15 y 20.
. ) Para obtener el cubo
— mínimo Jj más paueRo
Entonces
(=MCM(8; 15; 20)=120
En consecuencia
cio )
pa de o). del cubo
necesarios ) / volumen
del ladrillo
. (n.2 de ladrillos _120-120:120_..,,
“* [necesarios g.15.20

a
O
o
a
E
A
A
AA
AXÁA
AÑ
-
AAA
KA
A
AAA
A
A
a
o
e
a
a.
o a
PROBLEMA N.”* 26
Se tienen tres listones de madera del mismo
espesor de longitudes 72; 90 y 84 cm. 5e quie-
re obtener listones más pequeños del mismo
espesor, pero de ¡igual longitud en centímetros
enteros. ¿Cuál es el menor número de listones
que se pueden obtener?
A) 21
B) 31
Cc) 41
D) 48
E) 51
Resolución
Se tienen tres listones del mismo espesor
Ú 84 cm
De cada uno de ellos se quiere obtener listones
pequeños, cuyas medidas son un número ente-
ro de centimetros; entonces dicha medida debe
ser un divisor común y máximo.
( longitud del
listón tan =MCD(72; 90; 84) =6 cm
( n.* total de )- 72490484 _
listones pequeños | 6 41
_ciave
QU)
PROBLEMA N.?* 27
Se desea construir un cubo compacto con ladri-
llos cuyas dimensiones son 30; 20 y 18 cm. Si la
medida de la arista está comprendida entre 2
y 4 m, además se sabe que cada ladrillo cues-
ta 5/.2,40, ¿cuánto se invierte en ladrillos para
construir el cubo compacto?
A) S/.10 368
B) 5/.10 468
C) S/.11 444
D) S/.10 444
E) S/.12 124
Resolución
Se tiene que construir un cubo compacto cuya
arista sea 2 m < (arista) < 4 m,
o: múltiplo común
de 18;
20 y 30
200 cm <a < 400 cm
Además MCM(18; 20; 30)=180
múltiplos |.
. Esmas de =180k: 180; 660); 540; ...
18;20 y 30 Cumple la condición,
n.ede | 360-360-360_
. Potes 18-20-30 43900
. bp total
en arios )=4320x2,4 =S/.10368
_cuave (A)
61

LUMBRERAS EDITORES
PROBLEMA N.” 28
Tres ciclistas (4, B y C) parten a la misma hora de
un mismo punto de una pista circular. En cada
vuelta tardan 1265, 725 y 1085, respectiva-
mente. ¿Cuántas vueltas habrá dado el ciclista €
cuando haya pasado nuevamente con los ciclis-
tas A y B por el punto de partida?
A) 12 B) 13 C) 14
D) 15 E) 20
Resolución
Se tienen los ciclistas A, B-y C que recorren
alrededor de una pista circular.
ON
5
E
$ 3% es E z
punto de ¿0 Y
—_+
partida a
Calculamos el tiempo que transcurre desde la
hora de partida hasta que vuelvan a pasar los
tres, a la vez, por el punto de partida
(tiempo) =MCM(126; 72; 108)=1512 s
Por lo tanto, el número de vueltas que da cada
uno en este tiempo es
1512 1512
Us —=125 Y = 2]
A 3426 a y
1512
AP
108
Por lo tanto, el ciclista € ha dado 14 vueltas al
pasar nuevamente junto con A y B por el punto.
de partida.
_cave
E)
62
PROBLEMA N.”* 29
¿Cuál es la menor distancia que se puede medir
exactamente con un listón de madera que mide
40 cm de largo, otro que mide 50 cm y otro de
60 cm de largo?
A) 6m B) 6,5m C) 5m
D) 5,5 m E) 4m
Resolución
Se tienen tres listones de madera
La menor distancia que se puede medir usando
los tres listones será cuando dicha distancia con-
tiene exactamente al primero, segundo y tercer
listán, esto es
MCM(40; 50; 60)=600
Por lo tanto, la menor distancia que se puede
medir de los tres listones es 600 cm o 6 m.
_Cuave (A)
PROBLEMA N.* 30
Se tienen tres depósitos de vino con 180 L,
240 L y 420 L. Si se desea vender vino en en-
vases cuya capacidad se encuentra entre 10 y
15 L, y todos con igual volumen, ¿cuántos enva-
ses serán necesarios para vender el vino de los
tres recipientes?
AI 60
D) 68
B) 62 C) 65
E) 70

—
Resolución
Se tienen tres recipientes de vino
180 L 240 L 420 L
A ATT
AL E]
Le Ll ld
La capacidad del envase es un divisor común.
(800.08
Para conocer los divisores comunes de 180; 240
y 420 es necesario calcular su MCD, asi:
MCD(180; 240; 420)=60
divisores
, 1:2:3;4;5; 6;10,(12) 15;20; 30; 60
comunes
La capacidad del recipiente será 12 L, ya que
cumple la condición.
n.? de ba 180+240+420_.,
recipientes | an
12
_Cuave (8)
PROBLEMA N.? 31
Se tienen tres obras de historia del Perú con
1200; 480 y 720 páginas, las cuales se requiere
editar en fascículos, todos de igual cantidad de
páginas. Asimismo, el número de páginas está
comprendido entre 100 y 200, siendo la produc-
ción a razón de un fascículo cada tres días. ¿En
cuántos días, como mínimo, se terminarán de
publicar las tres obras?
A) 24 B) 48 Cc) 60
D) 70 E) 90
Resolución
Determinamos el número de páginas de cada
fascículo. Según las condiciones es
MCD(480; 1200; 720)=240
Convenientemente el número de páginas será
120, ya que este es el mayor divisor común,
además cumple con 100<120< 200. Ahora de-
terminamos el número de fascículos
fascículos | 20
n.* de ] A
120
Por lo tanto, el número de días necesarios
para terminar de publicar las tres obras será
20x3=60.
_Cuave (8)
PROBLEMA N.” 32
Tres ciclistas compiten en una pista circular. El
primero demora 6 min en dar una vuelta a la
pista; el segundo, 10 min, y el tercero, 15 min.
¿Al cabo de cuántas horas pasarán por cuarta
vez juntos por la línea de partida sabiendo que
todos conservan su misma velocidad?
A) 3 B) 4 C) 6
D) 2 E) 1
Resolución
El tiempo que transcurre para que los tres
ciclistas pasen juntos por el punto de partida
será el MCM de dichos tiempos; así
MCM(6; 10; 15)=30.
Por lo tanto, para que los tres ciclistas pasen por
cuarta vez tardarán 30x4=120 min=2 h,
_Cuave (B)
63

LUMBRERAS EDITORES
PROBLEMA N.* 33
María Alejandra, María Elena, Katiuska y Jazmín
se encuentran en el consultorio del ginecólo-
go. Se sabe que María Alejandra asiste cada 24
dias; María Elena, cada 36 días; Katiuska, cada
72 días, y Jazmín, cada 48 días. ¿En qué fecha
próxima del año se volverán a encontrar si hoy
30 marzo han coincidido en dicho consultorio?
A) 21 de agosto
B) 10 de agosto
C) 12 de julio
D) 30 de mayo
E) 4 de setiembre
Resolución
Se sabe que el número de días que debe trans-
currir es un múltiplo del número de días que
frecuentan cada una de ellas y debe ser el me-
nor posible, porque piden la fecha próxima.
Entonces
MCM(24; 36; 48; 72)=144
144 días
€éqKÁEÁKKÁ_2> >,
E
E
30 21
de marzo de agosto
Por lo tanto, las cuatro damas se volverán a
encontrar en el consultorio el 21 de agosto del
mismo año.
_Cuave (A)
PROBLEMA N.” 34
Se tienen que llenar cuatro barriles con vino.
Las capacidades de dichos barriles son 60; 45;
75 y 90 galones, respectivamente, ¿Cuál es
la capacidad del balde que puede usarse para
llenarlos, exactamente, si dicha capacidad está
comprendida entre 3 y 10 galones?
64
A) 2galones B) 3 galones
D) 5 galones
C) 4 galones
E) 6 galones
Resolución
Se tienen que llenar los siguientes barriles:
60 galones 45 galones
¿bh
vino
ld
75 galones 90 galones
PA
Mila
LE
TE
EE
Para ello se va a utilizar un balde cuya capacidad
debe ser un divisor común de las capacidades
de los barriles.
A : divisor común de
capacidad:
y . pros |
Previamente calculamos el MCD de dichos nú-
meros
MCD(60; 45; 75; 90)=15
divisores
od de 30; 13
Por lo tanto, la capacidad del balde es 5 galones.
_Cuave
(BD)
PROBLEMA N.* 35
Un comerciante tiene tres cajas de galletas suel-
tas de 2448; 2736 y 2160 unidades. Desea ven-
derlas en paquetes pequeños en ¡igual cantidad
de galletas que estén contenidos en cada uno de
las cajas. ¿Cuál es el menor número de paquetes
que se obtienen sin desperdiciar galletas?
A) 21
D) 51
B) 30 C) 34
E) 60

P
P
e
AP
A
A
AAA
_—
A
AAA
ÉS
A
A
A
MÓXMIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
A
Resolución
Se tienen tres cajas de galletas sueltas con
paquetes de galletas
r *
La capacidad de cada
paquete será deter-
minada por el máxi-
mo común divisor
MCD(2448; 2736; 2160)=144
Calculamos el MCD aplicando el método de la
descomposición simultánea
2448 - 2736 - 2160|9
272 304 240 |8
30 |2
34 38
PESI: (17) 49) 45)
Por lo tanto, el menor número de paquetes es
2448 +2736+2160 =51
_CuveY
144
PROBLEMA N.* 36
En una pista circular de 2400 m se encuentran,
sobre un punto A, tres ciclistas. Si parten simultá-
neamente con velocidades de 40; 48 y 60 m/min
cada uno, calcule luego de qué tiempo volverán
a estar sobre el mismo punto Á por segunda vez.
A) 6h 8) 7h Cc) 8h
D) 9h E) 10h
Resolución
Se tiene
5, Punto de partida
A A E
tn a e
Eopr
Longitud de la pista circular: 2400 m
Calculamos el tiempo que necesita cada ciclista
en dar una vuelta completa
2400
t, = ——=
60 min
40
(+= e =S0min
2400
5 0
El tiempo (t) para que vuelvan a estar por pri-
mera vez en el punto
A será el MCM de los tiem-
pos que emplea cada ciclista en dar una vuelta
completa.
Calculamos el MCM de dichos tiempos por el
método de la descomposición simultánea
40 - 48 - 60|4
10 12 15 |5
2 12 312
1 6 313
1 2 112
1 1 1
t=MCM(40; 48; 60)=240 min=4 h
Por lo tanto, para que los ciclistas vuelvan a es-
tar en el punto de partida (punto A) por segun-
da vez, debe transcurrir 8 h. ll
_Cuve
E)
65

LUMBRERAS EDITORES
A an A]
PROBLEMA N.? 37
Se tienen pequeños ladrillos de dimensiones
10; 15 y 24 cm. ¿Cuál es el menor número de
ladrillos que hará falta para poder formar un
cubo compacto?
A) 400 B) 420 C) 450
D) 480 Ej) 600
Resolución
Se quiere formar un cubo compacto con los
ladrillos
Para obtener un cubo compacto no debe haber
espacios entre ladrillo y ladrillo; para esto, los
ladrillos deben colocarse ordenadamente.
La arista del cubo compacto será determinada
por el mínimo común múltiplo.
Se observa que
» Les múltiplo, porque debe contener en
forma exacta a una de las dimensiones del
ladrillo.
+ Les común, porque debe contener a las
tres dimensiones del ladrillo.
= Les mínimo, porque se quiere obtener el
menor cubo compacto.
Entonces les el MCM(10; 15; 24).
66
Calculamos el MCM mediante la descomposi-
ción simultánea
10 - 15 + 24/2
5 15 12 |2
5 15 6/12
5 15 3.13
5 5 1 |5
1 1
Entonces
L=MCM(10; 15; 24)=2-2-2-3-5=120
L=120 cm
Ahora calculamos el número de ladrillos
* (nde |_ (volumen total del cubo)
ladrillos (volumen del ladrillo)
n.*de | 120-120-120
ladrillos) 10-15-24
Por lo tanto, se necesitan 480 ladrillos para for-
mar el menor cubo compacto.
_Cuve
B)
PROBLEMA N.”? 38
Un comerciante de vino tiene tres barriles de
vino de 270; 480 y 630 L cada uno. Si desea
vender este vino en recipientes iguales cuya ca-
pacidad está comprendida entre 10 y 30 L, ade-
más están contenidos exactamente en los tres
barriles, calcule la cantidad de recipientes que
se utilizarán.
A) 60
D) 92
B) 72 C) 75
E) 105

Resolución
Se tienen tres barriles de vino
2701 480 L 630L
recipientes iguales de vino
El y
La capacidad del recipiente será determinada
por uno de los divisores comunes.
Observación
+= La capacidad del recipiente debe ser un
divisor del total de vino que hay en cada
barril.
+ La capacidad es divisor común, porque
también de los otros barriles se debe ob-
tener un número entero de recipientes
para que no sobre ni falte vino,
Se sabe que para conocer los divisores comunes
de un grupo de números es necesario conocer al
MCD de dichos números.
Calculamos el MCD de dichos números aplicando
el método de la descomposición simultánea
270 - 480 - 630/10
27. 48 63|3
O 0 e
tot i¿
PESI
No tienen ningún divisor común
aparte de la unidad.
Entonces
MCD(270; 480; 630) =30
Ahora
divisores divisores
comunes de =( Ja 3:5:6;10; 30
270; 480 y 630 del MCD (5)
Para cumplir la condición, escogemos un divisor
común entre 10 y 30, este es 15. Ahora calcula-
mos el número de recipientes
( n.* de pRAn
recipientes | 15 me
Por lo tanto, se necesitan 92 recipientes.
_cuaveY)
PROBLEMA N.?” 39
La suma de dos números es 96, y el cociente
entre su mínimo común múltiplo y máximo co-
mún divisor de dichos números es 35. Calcule la
suma de divisores simples de la menor diferen-
cia de dichos números.
A) 1 B) 2 c) 3
D) 4 EJ 5
Resolución
Sean A y B los números (4>B), MCD(A; B)=d y
MCM(A; B)=m.
Se sabe que si
A=d Ol acmia;B)=d
; = :p-0=
mm
B=4-Q p:q
PES!
67

LUMBRERAS EDITORES .
Por dato
MCM(A; B) 1 35
MCD(A;B) d
Como d-p-q=m, reemplazamos
d-p-q=35d
p:q=35
H4
35 1
06 (para obtener la menor diferencia)
Además
A+B=7d+5d=96
d=8
Luego
A-B=56-40=16
donde los divisores simples de 16 son 1 y 2
Por lo tanto, la suma de divisores simples de la
menor diferencia de los números es 3.
_Cuave
PROBLEMA N.* 40
Se tienen tres cajas de lapiceros de 360; 432 y
540, respectivamente. Cada una contiene pa-
quetes completos con igual número, compren-
didos entre 12 y 30 lapiceros. ¿Cuántos paque-
tes hay en total?
A) 60 B) 72 Cc) 74
D) 87 E) 90
68
mm %
Resolución
Sea n el número de lapiceros que hay en cada
paquete.
Condición de n: es un divisor común, porque to-
dos deben tener un número entero de paquetes.
Además
MCD(360; 432; 540)=36
Se sabe que
0 divisores
di
(o comunes de ha 2; 3; 4;6;9;12;18;36
360; 432 y 540
Como sabemos que n es un divisor común que
se encuentra entre 12 y 30, entonces n=18.
n.* total de
paquetes de |=360+432+540 =74
lapiceros 18
_ELAVEK
PROBLEMA N.? 41
Jesús cuenta las manzanas que hay en una ca-
nasta. Si cuenta de 5 en 5, sobran 4; de 6 en
6, sobran 5, y si se cuenta de 9 en 9, sobran 8.
¿Cuál es la cantidad de manzanas que hay en la
canasta si esta es la menor posible?
A) 69
B) 48
C) 60
D) 89
E) 98

e
a
Resolución
Se tienen M manzanas en la canasta.
o
M=5+4
o
M=6+5
O
M=3+8
Se sabe que si
o o
M=5+4=5-1
o o Y
M=6+5=6-1/M=MCM
(5; 6; 9)-1
0 o
M=9+8=9-1
E
M=90-1=90k-1 (k =1,minimo)
Por lo tanto, el menor número de manzanas que
hay en la canasta es 89.
_ciave Y)
PROBLEMA N.? 42
El producto de dos números es 5760 y su
máximo común divisor es 12. Calcule la suma
de dichos números si son menores que 100.
A) 150 B) 156 C) 144
D) 160 E) 180
Resolución
Sean A y B los números, donde MCD(A; B)=12.
Además
A=12p
B=12q
——
py q son PESI.
ja xB=5760
Planteamos que
(12 -p)-(12q)=5760
p:q=2:2:2:5
Ls
8 5(p
y q son PES!)
A=12-8=96<100 y B=12-5=60< 100
A+B=12-p+12-q=12(8+5)=156
_Cuave
PROBLEMA N.* 43
En la platea de un cine por concepto de entrada
se ha recaudado en tres días S5/.1845; 5/,1080
y S/.675, respectivamente. Determine cuántas
personas, como mínimo, han asistido los tres
días sabiendo que el precio de la entrada es el
mismo los tres días y está comprendido entre
5/3 y 5/.45.
A) 240
B) 350
C) 330
D) 360
E) 450
Resolución
El precio de una entrada al cine debe ser un di-
visor común del total recaudado cada día, esto
significa que es necesario conocer el MCD de
dichas recaudaciones. Asi se tiene
MCD(1845; 1080; 675)=45
Ahora
divisores | (divisores...
| de 45 )1:3:5:9,15,45
69

LUMBRERAS EDITORES
A int cc ica
De estos valores tomamos 15, ya que debe asis-
tir el menor número de personas
3 080+67
[a de oros). 138511 675 40
que asistieron 15
Por lo tanto, en los tres días asistieron como mí-
nimo 240 personas.
_Cuve
PROBLEMA N.? 44
Si A es diez veces el valor de B, y la suma del
MCM y del MCD de ambos números es 154,
calcule la diferencia entre 4 y B.
A) 18 B) 19 c) 20
D) 22 E) 24
Resolución
Sean MCD(A; 8B)=d y MCMÍ(A; 8)=m.
Pero si
A=d-(p)
B=d-(3)
PESI
— m=d:p-q
Por dato se tiene
MCM(A; B)+IMCD(A; B)=154
dpq + dd =154
d(p:g+1)=2-7-11
y,
2232
Se observa que
A=22-3=66
B=22-2=44
A-B=66-44=22
_Cuave
$)
70
PROBLEMA N.”* 45
El MCM de 1690 y de otro número es 60840.
¿Cuántos valores puede tener dicho número?
A) 18 B) 19 C) 20
DJ] 6 E) 8
Resolución
Si MCM(1690; N)=60 840, entonces
60840 13-13-10-36 a
" 1690 1690 =69) ds
60840 13-13-10-36
N == N =(p)
Se observa que p puede ser 1; 13; 5; 65; 169; 845,
Por lo tanto, N toma 6 valores.
_Cuave (B)
PROBLEMA N.”? 46
Dos números (A y B) tienen seis divisores cada
uno y también tienen los mismos factores pri-
mos. Además se cumple que
MCMIÍ(A; B)=MCM(34; 58).
Calcule MCM(4A; 78).
A) 6300 B) 6500 C) 4500
D) 4000 E) 3600
Resolución
Si MCM(A; B)=MCM(34: 58), entonces los fac-
tores primos que tienen A y B son 3 y 5, ya que
al multiplicar
por 3 al número
A y por 5 al núme-
ro B, su MCM no se alteró.
Proponemos
CA=3%x5 => CD¡q=6=3x2
B=3x5* => CD¡g=6=2x3

-
_——
e
e MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
Ahora calculamos
44=2*.3*.5
78=7-3-5*
Luego
MCM(4A4; 78)=3?-5?-2*.7=6300
MCM(44; 7B)=6300
_cuveY)
PROBLEMA N.? 47
Calcule la diferencia de dos números si la suma
de sus cuadrados es 3204 y su máximo común
divisor es el menor número que tiene cuatro
divisores.
A) 90 B) 108 Cc) 112
D) 145 E) 160
Resolución
Sean A y B los números, donde A > B y
MCD(A; B)=d.
Por dato, d=2x3=6 es el menor número que
tiene cuatro divisores.
Entonces A=6p y B=6q
Además
(6p)?+(69)”=3204
36(p?+g?) =3204
p*+q*=89=8*4+5?
Se observa que p=8 y q=5 (p es PESI con q)
A-B=36:8-36:5=36:'3=108
_cuve
PROBLEMA N.” 48
Se tiene un terreno de forma rectangular de
160 m de largo por 120 m de ancho, el cual
se ha dividido en parcelas cuadradas, todas
iguales. Halle el número de parcelas que se
tiene si se sabe que su área de la parcela está
comprendida entre 60 m? y 100 m?,
A) 200 B) 250 Cc) 300
D) 360 E) 420
Resolución
Se tiene
160 m ——————A
120 m
parcela cuadrada
área=(*
La condición l es un divisor común de 160 y 120.
Se sabe también que MCD(160; 120)=40, y los
divisores comunes de 160 y 120 son 1; 2; 4; 5;
(8); 10; 20; 40. Además se observa que (=8, ya
que cumple con
60 <8*<100
área
parcelas po =300
loz ] 160-120
8-8
_cuave (8)
71

PROBLEMA N.* 49
Jazmín y Samir visitan periódicamente a su tía
Hilda, que radica en Piura, cada 24 y 36 días, res-
pectivamente. Si la última vez que se encontraron
fue el 30 de marzo cuando Samir cumplió años,
¿en qué fecha se encontrarán la próxima vez?
A) 10 de junio
B) 12 de junio
C) 28 de julio
D) 16 de julio
E) 9 de agosto
Resolución
Sea d el número de días que tiene que transcurrir
para que se vuelvan a encontrar Jazmín y Samir.
Entontes
d=MCM(24; 36)=72
5e tiene
72 días
AE
30 de marzo
(último encuentro)
10 de junio
(próximo encuentro)
Por lo tanto, Jazmín y Samir se encontrarán
próximamente el 10 de junio del mismo año.
_Cuave$)
PROBLEMA N.” 50
Al calcular el MCD de dos números, mediante el
algoritmo de Euclides, se obtuvo como cocien-
tes sucesivos 2; 1; 4 y 2. Si la suma del MCD y
del MCM de dichos números es 2052, calcule la
suma de dichos números.
A) 248
D) 280
B) 252 C) 265
E) 360
72
Resolución
Sean A y B los números y el MCD(A; B)=d. Apli-
cando el método del algoritmo de Euclides se
tiene
2 1 4 2
B=110d L, A 2d q d
P E F
9d 2d | d 0
in
Se observa que
MCM(4;B)=31-11-4=
a M(4;8)=31-11-4=341d
Además se sabe que
MCD(A+B)+MCM(A; B)=2052
d+341d=2052
342d=2052
.
6
A+B=31d+11d=42-6=252
_Cuve 8)
PROBLEMA N.? 51
Sean los números
A=2%.30.5% y p=21.38.57.112
Además el máximo común divisor de A y B es
2. 3442.51 Calcule x+y+2,
A) 18 B) 20 C) 24
D) 36 E) 40
Resolución
siA=2%.310.5% y p=21.38.57.112
entonces el MCD(A; B) está determinado por el
producto de los factores primos comunes eleva-
dos a su menor exponente.

A MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
Asi se tiene que
MCD(4;8)=2% .3%.5% =71Y.34+, gr
por dato
Se observa que
. z-1=4 * y+2=8 + x+y=15
7=5 y= x+6=15
x=9
x+y+2=94+64+5=20
_CLAVE|
PROBLEMA N.” 52
¿Cuántos divisores comunes tienen A y B si
A=20x30% y B=20%x30%?
A) 54 366
B) 53 666
C) 72432
D) 38 464
E) 72344
Resolución
Para determinar los divisores comunes, es ne-
cesario conocer el MCD de A y B. Para resolver,
nos conviene aplicar el método de descomposi-
ción canónica.
Asi tenemos
: 10
)
. A=201.30=(22.5) .(2.3.5]%
3 A=2%.390.5%0
20
+ B=20%.30%=(2.5) (2.3.5)
> 8=2%.38.5%
En consecuencia
MCD(A; 8)=2%.32.5%
CDimco)=CDicomunes)=51:26-41=54 366
_CiaveY)
PROBLEMA N.? 53
La diferencia de dos números es 30, siendo su
minimo común múltiplo 880. Calcule la suma de
cifras del mayor de los números.
A) 1 B) 2 c 3
D) 4 E) 5
Resolución
Sean A y B los números, donde A > B, y
MCM(A; B)=880.
Entonces
AE
pesPE5icon q.
g=
q
Además A-B=30
880880 _.,
p q
q=p 30 3
pxgq 880 88
donde p=3 a q=11
? 880 880
A=—-=110 y B==——=80
Luego A==g Y
Por lo tanto, la suma de cifras del mayor número
(110) es 1+1+0=2.
_Cuave (8)
73

LUMBRERAS EDITORES
PROBLEMA N.* 54
si mcolab; b5)=9, calcule el mínimo común
múltiplo de a! y b!,
A) 120 B) 105 C) 90
Dj 80 E) 60
Resolución
si McOlab: b5)=9, entonces
b5=9xp => b5=45
1 13
5 b=4
mE o
ab=9xq=9
a4=9xg — 04=54
t Ei
6 a=5
Luego
al=5l=1x2x3x4x5=120
bl=4l=1x2x3x4=24 *
Se observa que el menor número que contiene
a5!y4l es 5).
MCM(5!; 41)=51=120
_cuave
PROBLEMA N.? 55
¿Cuántos enteros positivos de tres cifras que
no son múltiplos de 27 son múltiplos de 18; 45
y 107?
A)
6
D) 9
B) 7 c)
8
E) 10
74
Resolución
Primero determinamos el MCD de los números;
así tenemos que
MCM(18; 45; 10)=90,
= 90k =9:10-k
ia, a
o
25):4:5:(6):7:8:(8); 10:11
de 18;45,10
Tienentres cifras.
Por condición, dicho número de tres cifras no
debe ser múltiplo de 27. Para cumplir esta
condición, k no puede ser 3; 6 ni 9 ya que en
90 existe un factor 9, y si participa otro factor, 3
sería múltiplo de 27.
Por lo tanto, existen 7 números enteros positi-
vos de tres cifras al reemplazar los valores de k:
2; 4; 5; 7; 8; 10 y 11 en 90k.
_cuave (B)
PROBLEMA N.* 56
Si MCD(4A; 128)=8p y MCD(7A; 218)=140,
calcule p?.
A) 100
B) 49
C) 64
D) 81
E) 144
Resolución
Si
MCD(44; 128)=8p
=> MCD(A; 38)=2p
+

=
A
PP
ek
oe
>
—-=Ñk
También
MCD(7A; 218)=140
> MCD(A; 38)=20
Se cumple que
2p=20 => p=10
p*=100
_CuaveY)
PROBLEMA N.* 57
¿Cuántos números de dos cifras existen tal que
con su complemento aritmético tengan como
máximo común divisor a 107?
A) 3 B) 4 aos
D) 6 E) 7
Resolución
Sea ab el numeral de dos cifras; entonces
CAlab)=100-ub.
Por dato mcolab; 100- ab)=10; entonces
ab=10x(p) —
PESI
100-ob= 10xD) —y
D O
Se observa que p no puede ser 2ni5, porque p
vq son PESI.
Entonces cuando
. p=1 => q=9
e. p=3 => q=7
e. p=7 => q=3
e — p=9 => g=1
Por lo tanto, existen 4 números de dos cifras
que cumplen la condición.
_Ccuve
PROBLEMA N.? 58
Si el MCD(abc; 60)=20, ¿cuántos valores toma
obe?
A) 20 B) 25 C) 28
D) 30 E) 45
Resolución
si MCDÍabc; 60)=20, entonces
50=20x3) —
PES!
abc=20x(k) —
o
k3
Los valores que puede tomar k para que 20k
sea un numeral de tres cifras (abc) son
k: 5:6;7:8:9:10:...;48;49
o
Hay 45 valores.
o
Pero como k 3, se descartan
6;9:;12;...; 48 (e)
32 3 A
Por lo tanto, abc toma 45-15=30 valores.
_cuve
PROBLEMA N.* 59
El MCD de dos números es 34 y su MCM es 408.
Si uno de ellos ál pasarlo al sistema de base 7 la
cifra de unidades es 2, halle la cifra de unidades
del otro número en base 7.
Aj 2 B) 3 Cc) 4
D) 6 E) 5
75

LUMBRERAS EDITORES
Resolución
Sean A y B los números, donde
'MCD(A; B)=34
MCMÍ(A; B)=408
Entonces
A=34 (p) + —-
PESI
B=34-(q) aña
Además
MCD(A; 8)-p:q=MCMÍ(A; B)
34-p-q=408
p-q=12
y,
43
Luego
A=34x4=408=7+2=...2,
o
B=34x3=102=7+5=...5,
Por lo tanto, la última cifra del otro número al
expresarlo en base 7 es 5,
_Cuave (E)
PROBLEMA N.* 60
¿Cuántos valores toma abc, tal que abc al ser
dividido entre 15; 18 y 24 siempre se obtiene el
mismo residuo mayor que 2?
A) 20
D) 28
B) 21 C) 24
E) 33
76
Resolución
Por condición se tiene que
abcl15; abcl18; abc |24
41 q d3
O 0) (0
5e obtiene el mismo
residuo (r > 2).
Se cumple que
abe=15+r ,
abc =MCM(15; 18; 24H r
o
Abi Le
abc ' abc =360+r
= 360k+r
_=
abc=24+r
Sik=1 => abc=360-1+r
donde r: 3; 4;5;...;14
——
máximo valor
(14 < 15)
; /
residuo divisor
Se observa que hay 12 valores.
Sik=2 => abc=360-2+r
donde r: 3;4;5;...; 14
Se observa que hay 12 valores.
Por lo tanto, el total de números que cumplen
con la condición es 24.
_cuave (8)

e
a
sl
NIVEL INTERMEDIO
PROBLEMA N.? 61
Sabiendo que MCMÍlab; ab+17)=204, deter-
mine la suma de los divisores comunes de ab y
ab+17.
A) 12 B) 13 Cc) 15
D) 16 E) 18
Resolución
si el MCMÍab; ab+17)=204, entonces se cum-
ple que
A
204_2:2:-3:17_2-2:3-17_q)
ab ab 51
PESI
204 2:2:3:17 2:2:3:17
ab+17 ab+17 — 51417 Y
Se observa que ab debe ser múltiplo de 17 para
garantizar que la división de ambos casos sea
exacta y los cocientes obtenidos sean primos
entre sí, luego ab=51.
Ahora para determinar los divisores comunes
aplicamos el MCD de dichos números. Asi:
MCD(51; 68)=17
divisores
divisores
Js co) =1v17
comunes
Por lo tanto, la suma de los divisores comunes
de ab y ab+17 es 1+17=13.
_cuave G)
PROBLEMA N.?* 62
Calcule la diferencia de A y B sabiendo que se
cumple
MCD(454;754) _ 21
MCD(508;308) 16'
Además B?*-A?=240.
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
Resolución
Calculamos primero el MCD en cada caso
+ MCD(454; 754)=154
+ MCD(508; 30B)=10B
Reemplazando en la relación se tiene
154 _ 21
108 16
5 A
8 8J8=8k
Además
8?-A?*=280
(8k)?-(7k)?=240
64k*-49/=240
151é=240
k=4
B-A=8K-7k=k=4
_CLAVE|
PROBLEMA MN.* 63
Si MCD(304; 508)=1120 y MCD(50A; 308)=960,
calcule el MCDÍ(A; 8).
AJA B) 14 C) 16
D) 17 E) 18
77

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