Este documento presenta información sobre las coordenadas polares y las integrales triples. Explica que las coordenadas polares describen un punto usando la magnitud (r) y el ángulo (θ) desde el origen, en lugar de coordenadas cartesianas. También cubre cómo calcular volúmenes usando integrales triples en coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas. Finalmente, proporciona un ejemplo numérico para ilustrar el cálculo de una integral triple.

1. COORDENADAS
POLARES
ALGEBRA VECTORIAL
BERRIEL MARTINEZ VALERIA ALEJANDRA
DE JESUS CAMACHO JOSE ERNESTO
DIAZ OROPEZA VANIA AIMEÉ
HERNANDEZ OLVERA STHEPHANIE BETSABEL
MERINO AGUILAR HECTOR BARUC
MORALES ROSAS DIEGO URIEL
TISCAREÑO SAUCEDO GERSON R.
GRUPO. 2FM1
PROFESOR: ROSAS MENDOZA JORGE
LUIS

2. EL SISTEMA POLAR
O El plano cartesiano es un sistema rectangular, debido a que las
coordenadas de un punto geométricamente describen un rectángulo. Si
hacemos que este punto represente un vector de magnitud r que parte
desde el origen y que tiene ángulo de giro θ, se tendrá otra forma de definir
un punto.

3. O Seria suficiente, para denotar al punto de esta manera,
mencionar el valor de r y el valor de θ. Esto se lo va a
hacer indicando el par ordenado (r, θ. En este caso se
dice que son las coordenadas polares de este punto.
O Se deducen las siguientes ecuaciones:

4. O Un plano con estas características se le llama sistema polar o plano
polar. Consiste de circunferencias concéntricas al origen y rectas
concurrentes al origen con diferentes ángulos de inclinación.
O Al eje horizontal se le llama eje polar, al eje vertical se le llama π/2.
O El punto de intersección de estos dos ejes se le llama polo.

5. Ejemplo 1 : Trazar la grafica de la ecuación polar r=4sen𝜃
O Solución : La sig. Tabla muestra algunas soluciones de la ecuación.
El tercer renglón da aproximaciones de r con una precisión de una
cifra decimal
O En coordenadas rectangulares, la grafica de la ec. Consta de una
onda senoidal de amplitud 4 y periodo 2𝜋. Sin embargo, si se usan
coordenadas polares, entonces los puntos correspondientes a los
pares en la tabla parecen estar en una circunferencia de radio 2 y se
traza la grafica de acuerdo con esto :

6. Grafica de la ecuación r=4sen𝜃

7. O Los puntos que e obtienen cuando 𝜃 varia de
𝜋 𝑎 2𝜋 están en la misma circunferencia.
O Por ejemplo, la solución de
O Da el mismo punto que
El punto correspondiente a
Es el mismo que se obtiene para

8. OSi 𝜃 recorre todos los números reales,
obtenemos los mismos puntos una y
otra vez debido a la periodicidad del la
función

9. Encontrar una ecuación en x, y, z, que tenga la
misma grafica que la ecuación polar r=4sen𝜃
En el ejemplo anterior se considero la ecuación r=4sen𝜃 .
Multiplicando ambos lados por r llegamos a
Aplicando el teorema, obtenemos
Que es equivalente a
Entonces la grafica es una circunferencia de radio 2 en el
punto (0,2) del plano x, y

10. INTEGRALES TRIPLES:
O UN POCO DE TEORIA.
O APLICACIÓN.
O UN PROBLEMA.
O UN PROBLEMA DE APLICACIÓN.

11. INTEGRALES TRIPLES

12. DEFINICION

13. Aplicación:
O Generalmente se utilizan para el cálculo de
volúmenes de curvas espaciales cerradas o
de cuerpos espaciales tales como esferas,
elipsoides, cubos, tetraedros o
combinaciones de estas superficies.

14. O Cálculo de la integral triple:
O en coordenadas rectangulares , etc. tomando los
límites de integración de forma que cubran la
región R.
O en coordenadas cilíndricas tomando los limites de
integración de forma que cubran la región R.
O en coordenadas esféricas tomando los limites de
integración de forma que cubran la región R.

15. EJEMPLO

16. Aplicaciones de las
integrales triples.
O La principal aplicación de las integrales triples es en
la determinación de volúmenes.
Correspondientemente, si se conoce la función de la
densidad de un cuerpo en función de las
coordenadas, es posible hallar la masa de una
porción del cuerpo acotada por determinadas
funciones. Esto permite a su vez el cálculo de
momentos de inercia, etc.

19. BIBLIOGRAFIA
• Análisis matemático, Norman B. Haaser-
Joseph P. LaSalle, ed. Trillas
• Algebra Y Trigonometria Con Geometria
Analitica 9na Edicion Swokowski Cole