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UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
VICERRECTORADO ACADÉMICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
INGENIERÍA EN COMPUTACIÓN
Sistema de
Coordenadas Polares
Autor: Alexander Torres
C.I.: 25.461.792
Cabudare, mayo 2018
Las Coordenadas Polares son un sistema que
permiten definir la posición de un punto en un espacio
bidimensional, es decir, de dos dimensiones
consistente en un ángulo y una distancia. Sirve para
definir una función en el plano o en el espacio.
Según la Enciclopedia
Wikipedia (2018), el Sistema de
Coordenadas Polares es el que:
“utiliza uno o más números
(coordenadas) para determinar
la posición de un punto o de
otro objeto geométrico”.
Este término se comenzó a utilizar durante el siglo XVII, tras
ser inventada la geometría analítica. Grégoire de Saint-
Vincent y BonaventuraCavalieri, lo utilizaron para resolver
problemas geométricos. El primero, escribió sobre el sistema
polar en 1625, publicó sus trabajos en 1647. El segundo, los
utilizó para resolver un problema relacionado con el área
dentro de una espiral de Arquímedes.
Sir Isaac Newton, introdujo
ocho nuevos sistemas de
coordenadas para resolver
problemas relativos a
tangentes y curvas. Sin
embargo; el término actual
de Sistema de Coordenadas
Polares se atribuye a
Gregorio Fontana y fue
utilizado durante el siglo
XVIII.
La principal diferencia que existe entre el Sistema de
Coordenadas Cartesianas y el Sistema de Coordenadas Polares,
es que en el último de estos existe un único punto del plano, el
cual puede representarse con un número infinito de coordenadas
diferentes. En el Sistema de Coordenadas Polares, no hay una
correspondencia biunívoca entre los puntos del plano.
El centro de coordenadas está definido por una distancia nula,
independientemente de los ángulos que se especifiquen.
Otra forma de definir el Sistema de Coordenadas Polares, es
como el que está conformado por un eje que pasa por el origen
siendo la primera coordenada la distancia que existe entre el
origen y el punto.
CARACTERÍSTICAS
Si se elige en el plano un punto
O (polo) y una recta o eje polar,
que tiene su origen en el punto
O. La posición de un punto en el
plano se representa por dos
números p y φ
Para calcular el ángulo φ se considera positiva la dirección
contraria a las manecillas del reloj. Los números p y φ se
denominan coordenadas polares del punto M. El radio vector p
se considera siempre no negativo, si el ángulo polar φ en los
límites de 0 ≤φ≤ 2π, a cada punto del plano a acepción del
Polo le corresponde un par de valores ρ y φ. En el polo ρ = 0 y
φ puede tener cualquier valor.
FÓRMULAS
Con el Sistema de
Coordenadas Cartesianas, se
señala un punto indicando la
distancia de lado y la distancia
vertical tal como se muestra
en la imagen.
Con Coordenadas Polares, se
señala un punto indicando la
distancia y el ángulo tal como
se muestra en la imagen.
Para convertir de un sistema a otro se hace
de la siguiente manera:
Las fórmulas para convertir de Polares a Cartesianas son:
r = √ (x2
+ y2
)
θ = atan( y / x )
Las fórmulas para convertir de Polares a Cartesianas
son:
x = r × cos( θ )
y = r × sin( θ )
Aplicaciones
Existen casos donde se pueden utilizar las Coordenadas
Cartesianas para definir la posición de un punto en un espacio
bidimensional.
El Sistema de Coordenadas Cartesianas, representa un
punto en el plano por medio de un par ordenado de números,
llamados coordenadas.
Las coordenadas polares son un sistema de dos
dimensiones, cuya función principal es la de encontrar puntos
en un plano a los cuales se les conoce como plano polar,
cuando se trabaja con coordenadas polares.
Cada punto está definido por un radio y un ángulo.
Las coordenadas polares son empleadas para realizar
vuelos en los aviones, para trazar áreas de búsqueda cuando
se accidentan al igual que los barcos.
Sirven para moldear los sistemas asimétricos.
Son utilizadas en la ingeniería civil, para levantamientos
topográficos.
Se extiende en tres dimensiones con dos sistemas de
coordenadas diferentes, el cilíndrico y los sistemas de
coordenadas esféricas.
Foto: Levantamiento Topográfico
Área en Coordenadas Polares
Región encerrada por la gráfica de una función en
coordenadas polares. Se diferencia del sistema de
coordenadas cartesianas en que no se utilizan
rectángulos sino sectores circulares. Se habla de un
eje polar OA a partir del cual se van teniendo todos los
ángulos desde cero hasta 360.
Graficar Coordenadas Polares
Las funciones polares son de
la forma r=f(θ). Las
coordenadas de las
ecuaciones polares se
expresan de la forma (r,θ)
donde r representa al radio y
θ representa al ángulo.
Marcar en el gráfico los distintos puntos (r,θ) que están en la
tabla. Se unen con una curva suave los puntos marcados, y
listo. Hay que asegurarse de que el ángulo está expresado
en radianes. Para realizar la curva en coordenadas polares,
r= rθ se debe determinar el período de la función, encontrar
los intervalos de existencia, su dominio.
Realizar un estudio de las posibles simetrías, hallar algunas
rectas tangentes notables, por ejemplo, las horizontales y las
verticales. Realizar una tabla de valores para aquellos ángulos
significativos. Estudio del comportamiento de r frente a θ.
En el sistema de coordenadas cartesianas, también
conocido como sistema de coordenadas rectangulares las
gráficas se representan como colecciones de puntos (x,y), las
ecuaciones correspondientes a estas gráficas se han dado de
manera rectangular o en forma paramétrica.
El ángulo polar θ se mide en Trigonometría
considerando el eje polar como lado inicial y el radio
vector como lado final del ángulo, es decir, partiendo del
eje polar hacia el radio vector.
Un par de coordenadas polares, determina uno y
solamente un punto en el plano coordenado.
Las circunferencias tienen su centro común en el polo, y
sus radios son múltiplos enteros del radio más pequeño
tomado como unidad de medida.
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  • 1. UNIVERSIDAD FERMÍN TORO VICERRECTORADO ACADÉMICO FACULTAD DE INGENIERÍA INGENIERÍA EN COMPUTACIÓN Sistema de Coordenadas Polares Autor: Alexander Torres C.I.: 25.461.792 Cabudare, mayo 2018
  • 2. Las Coordenadas Polares son un sistema que permiten definir la posición de un punto en un espacio bidimensional, es decir, de dos dimensiones consistente en un ángulo y una distancia. Sirve para definir una función en el plano o en el espacio.
  • 3. Según la Enciclopedia Wikipedia (2018), el Sistema de Coordenadas Polares es el que: “utiliza uno o más números (coordenadas) para determinar la posición de un punto o de otro objeto geométrico”. Este término se comenzó a utilizar durante el siglo XVII, tras ser inventada la geometría analítica. Grégoire de Saint- Vincent y BonaventuraCavalieri, lo utilizaron para resolver problemas geométricos. El primero, escribió sobre el sistema polar en 1625, publicó sus trabajos en 1647. El segundo, los utilizó para resolver un problema relacionado con el área dentro de una espiral de Arquímedes.
  • 4. Sir Isaac Newton, introdujo ocho nuevos sistemas de coordenadas para resolver problemas relativos a tangentes y curvas. Sin embargo; el término actual de Sistema de Coordenadas Polares se atribuye a Gregorio Fontana y fue utilizado durante el siglo XVIII. La principal diferencia que existe entre el Sistema de Coordenadas Cartesianas y el Sistema de Coordenadas Polares, es que en el último de estos existe un único punto del plano, el cual puede representarse con un número infinito de coordenadas diferentes. En el Sistema de Coordenadas Polares, no hay una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano.
  • 5. El centro de coordenadas está definido por una distancia nula, independientemente de los ángulos que se especifiquen. Otra forma de definir el Sistema de Coordenadas Polares, es como el que está conformado por un eje que pasa por el origen siendo la primera coordenada la distancia que existe entre el origen y el punto.
  • 6. CARACTERÍSTICAS Si se elige en el plano un punto O (polo) y una recta o eje polar, que tiene su origen en el punto O. La posición de un punto en el plano se representa por dos números p y φ Para calcular el ángulo φ se considera positiva la dirección contraria a las manecillas del reloj. Los números p y φ se denominan coordenadas polares del punto M. El radio vector p se considera siempre no negativo, si el ángulo polar φ en los límites de 0 ≤φ≤ 2π, a cada punto del plano a acepción del Polo le corresponde un par de valores ρ y φ. En el polo ρ = 0 y φ puede tener cualquier valor.
  • 7. FÓRMULAS Con el Sistema de Coordenadas Cartesianas, se señala un punto indicando la distancia de lado y la distancia vertical tal como se muestra en la imagen. Con Coordenadas Polares, se señala un punto indicando la distancia y el ángulo tal como se muestra en la imagen.
  • 8. Para convertir de un sistema a otro se hace de la siguiente manera: Las fórmulas para convertir de Polares a Cartesianas son: r = √ (x2 + y2 ) θ = atan( y / x )
  • 9. Las fórmulas para convertir de Polares a Cartesianas son: x = r × cos( θ ) y = r × sin( θ )
  • 10. Aplicaciones Existen casos donde se pueden utilizar las Coordenadas Cartesianas para definir la posición de un punto en un espacio bidimensional. El Sistema de Coordenadas Cartesianas, representa un punto en el plano por medio de un par ordenado de números, llamados coordenadas. Las coordenadas polares son un sistema de dos dimensiones, cuya función principal es la de encontrar puntos en un plano a los cuales se les conoce como plano polar, cuando se trabaja con coordenadas polares. Cada punto está definido por un radio y un ángulo. Las coordenadas polares son empleadas para realizar vuelos en los aviones, para trazar áreas de búsqueda cuando se accidentan al igual que los barcos.
  • 11. Sirven para moldear los sistemas asimétricos. Son utilizadas en la ingeniería civil, para levantamientos topográficos. Se extiende en tres dimensiones con dos sistemas de coordenadas diferentes, el cilíndrico y los sistemas de coordenadas esféricas. Foto: Levantamiento Topográfico
  • 12. Área en Coordenadas Polares Región encerrada por la gráfica de una función en coordenadas polares. Se diferencia del sistema de coordenadas cartesianas en que no se utilizan rectángulos sino sectores circulares. Se habla de un eje polar OA a partir del cual se van teniendo todos los ángulos desde cero hasta 360.
  • 13. Graficar Coordenadas Polares Las funciones polares son de la forma r=f(θ). Las coordenadas de las ecuaciones polares se expresan de la forma (r,θ) donde r representa al radio y θ representa al ángulo. Marcar en el gráfico los distintos puntos (r,θ) que están en la tabla. Se unen con una curva suave los puntos marcados, y listo. Hay que asegurarse de que el ángulo está expresado en radianes. Para realizar la curva en coordenadas polares, r= rθ se debe determinar el período de la función, encontrar los intervalos de existencia, su dominio.
  • 14. Realizar un estudio de las posibles simetrías, hallar algunas rectas tangentes notables, por ejemplo, las horizontales y las verticales. Realizar una tabla de valores para aquellos ángulos significativos. Estudio del comportamiento de r frente a θ. En el sistema de coordenadas cartesianas, también conocido como sistema de coordenadas rectangulares las gráficas se representan como colecciones de puntos (x,y), las ecuaciones correspondientes a estas gráficas se han dado de manera rectangular o en forma paramétrica.
  • 15. El ángulo polar θ se mide en Trigonometría considerando el eje polar como lado inicial y el radio vector como lado final del ángulo, es decir, partiendo del eje polar hacia el radio vector. Un par de coordenadas polares, determina uno y solamente un punto en el plano coordenado. Las circunferencias tienen su centro común en el polo, y sus radios son múltiplos enteros del radio más pequeño tomado como unidad de medida.