La matriz describe los costos de mano de obra y materiales para la producción de zapatos, carteras y correas. Los costos de mano de obra son de $5, $3 y $2 respectivamente para cada producto, mientras que los costos de materiales son de $6, $2 y $1.

1. 1
MATRICES

2. 2
Zapatos Carteras Correas
Mano de obra: 5 3 2
Material 6 2 1
Introducción
En una fábrica se producen zapatos, carteras y correas,
siendo los costos de mano de obra y material los que se
indican en la siguiente tabla:
COSTOS DE FABRICACIÓN (en $)

3. 3
MATRICES
Definición.- Una matriz es un arreglo rectangular de números dispuestos en
filas (líneas horizontales) y columnas (líneas verticales), encerrados entre
corchetes o paréntesis.
Para representar a una matriz se utilizan letras mayúsculas.










−
=
4
1
2
0
5
3
AEjemplo: Es una matriz de 3 filas y 2 columnas
ORDEN DE UNA MATRIZ
El orden de una matriz se representa como: m x n, donde “m” es el
número de filas y “n” el número de columnas.
Para el ejemplo anterior A es una matriz de 3 x 2

4. 4
REPRESENTACIÓN GENERAL DE UNA MATRIZ DE ORDEN m x n
nxmmnmm
n
n
a...aa
.
.
.
.
a...aa
a...aa
A














=
21
22221
11211 Donde:
aij : es el elemento o entrada
general ubicado en la fila “i” ,
columna j
REPRESENTACIÓN ABREVIADA DE UNA MATRIZ DE ORDEN m x n
A = [ aij ]m x n
Donde:
aij : es el elemento o entrada general
i = 1, 2, 3, ….., m
j = 1, 2, 3, ….., n

5. 5
Matriz fila o Vector fila
Es una matriz que tiene sólo una fila
Ejemplo: B = [ 3 -2 5 6 1 ]1 x 4
Matriz columna o Vector columna
Es una matriz que tiene sólo una columna
Ejemplo:
13
1
0
2
x
C









−
=

6. 6
Construcción de una Matriz
Construir una matriz de 2x3 con la siguiente información:
a21 = -6
a12 = 4
a11 = 0
a23 = 1
a13 = -2
a22 = 5






=A
Fila 1
Fila 2
Col. 1 Col. 2 Col. 3
-6
40
1
-2
5
Solución:

7. 7
Construcción de una Matriz
Construir la siguiente matriz:
A = [ aij ]2x3 tal que:





≠
+
=−
=
jiSi,
ji
jiSi,ji
aij
2
2






=A
a11 =
a12 =
a13 =
a21 =
a22 =
a23 =
Solución:
Col. 1 Col. 2 Col. 3
Fila 1
Fila 2
1
3/2
2
3/2
2
5/2
1 3/2 2
3/2 2 5/2

8. 8
IGUALDAD DE MATRICES
Definición.- Las matrices A=[aij] y B=[bij] son iguales si y sólo si tienen
el mismo orden, además aij = bij para cada i y cada j (esto es,
entradas correspondientes iguales)





 −
=





54
31
52
1
y
x 23 =∧−= yx
23
40
31
52
x
A










−=
TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ
Definición.- La transpuesta de una matriz de orden m x n se denota AT
,
es la matriz de orden n x m cuya i-ésima columna es la i-ésima fila de A
32
435
012
x
T
A 




 −
=
PROPIEDAD: (AT
)T
= A
Ejemplo:
Ejemplo:

9. 9
MATRICES ESPECIALES
Matriz Nula o Matriz Cero.- Es una matriz que tiene todos
sus elementos iguales a cero. Se denota por O.
43
0000
0000
0000
x
O










=Ejemplo:
Matriz Cuadrada.- Es una matriz que tiene el mismo
número de filas y columnas,
Es una matriz nula de orden 3x4
se denota así: O 3x4
Ejemplo:










−
−
=
672
014
523
A Es una matriz cuadrada de orden 3
Diagonal principal

10. 10
MATRICES ESPECIALES
Matriz Diagonal.- Una matriz cuadrada A es llamada matriz
diagonal si todos los elementos que se encuentran fuera
de la diagonal principal son cero, es decir: aij = 0 para
todo i ≠ j
Ejemplos:










−=
500
010
002
A Matriz diagonal de orden 3












−
=
7000
0000
0050
0003
B Matriz diagonal de orden 4

11. 11
Matriz Triangular superior.- Una matriz cuadrada A es llamada matriz
triangular superior si todos los elementos que se encuentran debajo de
la diagonal principal son cero, es decir: aij = 0 para todo i > j.
Ejemplo:










−
−
=
300
150
941
A
Matriz Triangular inferior.- Una matriz cuadrada A es llamada matriz
triangular inferior si todos los elementos que se encuentran arriba de
la diagonal principal son cero, es decir: aij = 0 para todo i < j.
Ejemplo:












−
−
=
7863
0129
0057
0003
B

12. 12
OPERACIONES CON MATRICES
Considere que un comerciante de vehículos vende dos modelos: Deluxe y
Super. Cada uno está disponible en dos colores, rojo y azul. Suponga que
las ventas de enero y febrero están representadas por las matrices de
ventas:






=
53
21
E
Deluxe Super
Rojo
Azul 





=
24
13
F
Deluxe Super
Rojo
Azul
Si queremos las ventas totales para cada modelo y color durante los
dos meses, ¿Qué operación debemos hacer y cómo?
Resultado:






=
77
34
V
Deluxe Super
Rojo
Azul

13. 13
SUMA DE MATRICES
Definición.- Si A=[aij] y B=[bij] son matrices de orden m x n, entonces
la suma A+B es la matriz de orden m x n que se obtiene sumando los
correspondientes elementos de A y B, es decir:
A+B =[aij + bij]mxn
Ejemplos:
=










−−
−
−
+










−
−
2x32x3
12
52
87
810
50
32
2x3
712
02
55










−
−










−
−
−
+




 −
89
31
92
43
15 No está definida ya que las
matrices son de diferente orden

14. 14
PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
1. A + B = B + A (propiedad conmutativa)
2. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa)
3. A + O = O + A = A (propiedad del neutro aditivo)
Si A, B y C son matrices del mismo orden, entonces:

15. 15
MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR
Definición.- Si A es una matriz de orden m x n y k es un
número real (también llamado escalar), entonces kA es
una matriz de orden m x n que se obtiene multiplicando
cada elemento de A por k, es decir:
kA =[ kaij ]mxn
Ejemplo: =





−
−
−
704
153
2 





−
−−
1408
2106

16. 16
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR
1. k(A + B) = kA + kB
2. (k1 + k2)A = k1A + k2A
3. k1(k2A) = (k1k2)A
4. 0A = O
5. kO = O
PROPIEDADES DE LA MATRIZ TRANSPUESTA
1. (A + B)T
= AT
+ BT
2. (kA)T
= kAT