PRACTICA

1. PÁCTICA 3.
Modelos De Colas
Realizar: En cada de los problemas asignados se tiene que analizar el contexto, identificar
características de los 5 elementos de sistema de colas, definir el modelo apropiado y realizar el
cálculo de las medidas de rendimiento necesarias para obtener las respuestas a las cuestiones que se
formulan en el problema.
1. Una línea de la cafetería universitaria en el centro de estudiantes es una instalación de autoservicio
donde el estudiante selecciona los artículos alimenticios que desea, luego hace una sola línea para
pagar al cajero. Los estudiantes llegan a una tasa de aproximadamente cuatro por minuto, de
acuerdo con una distribución Poisson. El único cajero toma de 12 segundos por cliente, siguiendo
una distribución exponencial.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de dos estudiantes en el sistema? ¿Más de tres
estudiantes? ¿Más de cuatro?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema esté vacío?
c) ¿Cuánto tiempo tendrá que esperar el estudiante promedio antes de llegar al cajero?
d) ¿Cuál es el número esperado de estudiantes en la cola?
e) ¿Cuál es el número promedio?
f) Si se añade un segundo cajero (que trabaja al mismo ritmo), ¿cómo cambiarán las características
de operación calculadas en (b), (c), y (e)? Suponga que los clientes esperan en una sola línea y se
dirigen al primer cajero disponible.
Características
Población:infinita
Proceso de llegada:poisson λ=4*60 =240 clientes/hora
Proceso de Colas:
a) Una sola línea de espera
b) Número de espacios en esperainfinito
c) Tipo de atenciónFIFO (PEPS) (primero en entrar, primero en salir)
Proceso de Servicio:
a) Un servidor
b) Tiempos de servicio:exponencial μ=3600/12 =300 clientes/hora
c) Número de clientes atendidos simultáneamente uno
d) No se permite prioridad

2. Modelo M/M/1
Verificar condición estado estable: µ> λ
300>240 si
ρ= λ/ µ=240/300=0,8- intensidad de tráfico
a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de dos estudiantes en el sistema? ¿Más de tres
estudiantes? ¿Más de cuatro?
Para esto calculamos 𝑃0 𝑃1 𝑃2 𝑃3 𝑃4
𝑃0 = 1 − 𝜌 = 1 − 0,8 = 0,2
𝑃𝑛 = 𝜌 𝑛
∗ 𝑃0
𝑛 = 0 ∶ 𝑃0 = 0,2
𝑛 = 1 ∶ 𝑃1 = 0,16
𝑛 = 2 ∶ 𝑃2 = 0,128
𝑛 = 3 ∶ 𝑃3 = 0,1024
𝑛 = 4: 𝑃4 = 0,08192
𝑃>2 = 1 − ∑ =
2
𝑘=0
1 − 0,488 = 0,512
𝑃>3 = 1 − ∑ 𝑃 𝑘 =3
𝑘=0 1 − 0,5904 = 0,4096
𝑃>4 = 1 − ∑ 𝑃 𝑘 =4
𝑘=0 1 − 0,67232 = 0,32768
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema esté vacío?
𝑃0 = 1 − 𝜌 = 1 − 0,8 = 0,2
c) ¿Cuánto tiempo tendrá que esperar el estudiante promedio antes de llegar al cajero?
𝐿 𝑞 =
𝛒2
1−𝛒
= 3,2 ≈ 3 personas en la fila en promedio
𝑊𝑞 =
𝐿 𝑞
𝛌
= 0,01333 0,01333∗ 60 = 0,8min un estudiante espera el servicio
d) ¿Cuál es el número esperado de estudiantes en la cola?
𝐿 𝑞 =
𝛒2
1−𝛒
= 3,2 ≈ 3 personas en la fila en promedio
e) ¿Cuál es el número promedio?
𝑊 = 𝑊𝑞 +
1
𝜇
= 0,01333 +
1
300
= 0,01666
𝐿 = 𝜆 ∗ 𝑊 = 240 ∗ 0,01666 = 3,9984
f) Si se añade un segundo cajero (que trabaja al mismo ritmo), ¿cómo cambiarán las
características de operación calculadas en (b), (c), y (e)? Suponga que los clientes esperan en
una sola línea y se dirigen al primer cajero disponible.
Características
Población:infinita
Proceso de llegada: poisson λ=240 clientes/hora

3. Proceso de Colas:
a) Una sola línea de espera
b) Número de espacios en esperainfinito
c) Tipo de atenciónFIFO (PEPS) (primero en entrar, primero en salir)
Proceso de Servicio:
a) dos servidores
b) Tiempos de servicio :exponencial μ=300 clientes/hora
c) Número de clientes atendidos simultáneamente: uno
d) No se permite prioridad
Modelo M/M/2
Verificar condición estado estable: µ*c> λ
300*2>240 si
ρ= λ/ µ=240/300=0,8 - intensidad de tráfico
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema esté vacío?
Para esto necesitamos 𝑝0 =
1
(∑
𝜌 𝑛
𝑛!
𝑐−1
𝑛=0 )+ (
𝜌 𝑐
𝑐!
) ∗ (
𝑐
𝑐−𝜌
)
= 0.42857
c) ¿Cuánto tiempo tendrá que esperar el estudiante promedio antes de llegar al cajero?
Para esto necesitamos 𝐿 𝑞 =
𝜌 𝑐+1
( 𝑐−1)!
∗
1
( 𝑐−𝜌)2 ∗ 𝑃0 = 0,15238
𝑊𝑞 =
𝐿 𝑞
𝛌
= 0,0006349 0,0006349 ∗ 60 = 0,03809min un estudiante espera el servicio
e) ¿Cuál es el número promedio?
𝑊 = 𝑊𝑞 +
1
𝜇
= 0,0006349 +
1
300
= 0,00396
𝐿 = 𝜆 ∗ 𝑊 = 240 ∗ 0,00396 = 0,95238 Aproximadamente en el servicio de cafetería hay un
estudiante

4. 2. El administrador de una sala de emergencia de un gran hospital encara el problema de ofrecer
tratamiento a los pacientes que llegan a diferentes tasas durante el día. Hay cuatro médicos disponibles
para tratar a los pacientes cuando se necesita. Si no se necesita, ellos pueden estar asignados a otras
responsabilidades (por ejemplo, pruebas de laboratorios, reportes, diagnósticos de rayos-x) o de otra forma
reprogramados para trabajar a otras horas.
Es importante otorgar un tratamiento rápido y responsable, y el administrador siente, que como promedio,
los pacientes no deben estar sentados en el área de espera por más de cinco minutos antes de ser vistos por
un médico. Los pacientes son tratados sobre la base de primera entrada, primer servicio, y consultar al
primer médico disponible después de esperar en la cola. El patrón de llegada para un día típico es:
Tiempo Tasa de llegada
9 A.M.-3 F.M.
3F.M.-8P.M.
8 pm-medianoche
6 pacientes/hora
4 pacientes/hora
12 pacientes/hora
Estas llegadas siguen una distribución de Poisson, y los tiempos de tratamiento, 12 minutos en promedio,
siguen el patrón exponencial.
¿Cuántos médicos debe haber de guardia durante cada periodo con el fin de mantener el nivel esperado de
cuidado de los pacientes?
Características
Población: infinita
Proceso de llegada: Poisson
9 A.M.-3 F.M.λ=6 pacientes/hora
3F.M.-8P.M. λ =4 pacientes/hora
8 pm-medianoche λ = 12 pacientes/hora
Proceso de Colas:
a) Una sola línea de espera
b) Número de espacios en esperainfinito
c) Tipo de atenciónFIFO (PEPS) (primero en entrar, primero en salir)
Proceso de Servicio:
a) 4servidores
b) Tiempos de servicio:exponencial μ=60/12 =5 pacientes/hora
c) Número de clientes atendidos simultáneamente:1 paciente
d) No se permite prioridad

5. Para 9 A.M.-3 F.M.
Para 1médico de guardia
Verificar condición estado estable: µ> λ
5>6 no se cumple
Con solo un médico no se puede cubrir la demanda de los pacientes.
Para 2 médicos de guardia
Verificar condición estado estable: µ> λ
5*2>6 se cumple
ρ= λ/ µ=6/5=1,2- intensidaddetráfico
𝑊𝑞 =
𝐿 𝑞
𝜆
⁄
Para esto necesitamos 𝐿 𝑞 =
𝜌 𝑐+1
( 𝑐−1)!
∗
1
( 𝑐−𝜌)2 ∗ 𝑃0 = 0,675
Para esto necesitamos 𝑝0 =
1
(∑
𝜌 𝑛
𝑛!
𝑐−1
𝑛=0 )+ (
𝜌 𝑐
𝑐!
) ∗ (
𝑐
𝑐−𝜌
)
= 0,25
𝑊𝑞 =
𝐿 𝑞
𝜆
⁄ = 0,675
6⁄ = 0,1125 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 6,75 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
Para 3 médicos de guardia
Verificar condición estado estable: µ> λ
5*3>6 si
ρ= λ/ µ=6/5=1,2 - intensidadde tráfico
𝑊𝑞 =
𝐿 𝑞
𝜆
⁄
Para esto necesitamos 𝐿 𝑞 =
𝜌 𝑐+1
( 𝑐−1)!
∗
1
( 𝑐−𝜌)2 ∗ 𝑃0 = 0,09411
Para esto necesitamos 𝑝0 =
1
(∑
𝜌 𝑛
𝑛!
𝑐−1
𝑛=0 )+ (
𝜌 𝑐
𝑐!
) ∗ (
𝑐
𝑐−𝜌
)
= 0,29411
𝑊𝑞 =
𝐿 𝑞
𝜆
⁄ = 0,09411
6⁄ = 0.01568
Para 4 médicos de guardia
Verificar condición estado estable: µ> λ
5*4>6 si
ρ= λ/ µ=6/5=1,2 - intensidadde tráfico
𝑊𝑞 =
𝐿 𝑞
𝜆
⁄
Para esto necesitamos 𝐿 𝑞 =
𝜌 𝑐+1
( 𝑐−1)!
∗
1
( 𝑐−𝜌)2 ∗ 𝑃0 = 0,01587

6. Para esto necesitamos 𝑝0 =
1
(∑
𝜌 𝑛
𝑛!
𝑐−1
𝑛=0 )+ (
𝜌 𝑐
𝑐!
) ∗ (
𝑐
𝑐−𝜌
)
= 0,30017
𝑊𝑞 =
𝐿 𝑞
𝜆
⁄ = 0,01587
6⁄ = 0,00264
9 A.M.-3 F.M.
c 1 2 3 4
𝑾 𝒒 Condición no estable 0,1125 ∗ 60 = 6.75 0.01568 ∗ 60 = 0,9411 0,00264 ∗ 60 = 0,1584
Para 3F.M.-8P.M.
Para 1 médico de guardia
Verificar condición estado estable: µ> λ
5>4 si
ρ= λ/ µ=4/5=0,8 - intensidadde tráfico
𝐿 𝑞 =
𝛒2
1 − 𝛒
= 3,2
𝑊𝑞 =
𝐿 𝑞
𝛌
= 0,8
Para 2 médicos de guardia
Verificar condición estado estable: µ> λ
5*2>4 si
ρ= λ/ µ=4/5=0,8 - intensidadde tráfico
𝑊𝑞 =
𝐿 𝑞
𝜆
⁄
Para esto necesitamos 𝐿 𝑞 =
𝜌 𝑐+1
( 𝑐−1)!
∗
1
( 𝑐−𝜌)2 ∗ 𝑃0 = 0,15238
Para esto necesitamos 𝑝0 =
1
(∑
𝜌 𝑛
𝑛!
𝑐−1
𝑛=0 )+ (
𝜌 𝑐
𝑐!
) ∗ (
𝑐
𝑐−𝜌
)
= 0.42857
𝑊𝑞 =
𝐿 𝑞
𝜆
⁄ = 0,15238
4⁄ = 0,03809
Para 3 médicos de guardia
Verificar condición estado estable: µ> λ
5*3>6 si
ρ= λ/ µ=4/5=0,8 - intensidadde tráfico
𝑊𝑞 =
𝐿 𝑞
𝜆
⁄
Para esto necesitamos 𝐿 𝑞 =
𝜌 𝑐+1
( 𝑐−1)!
∗
1
( 𝑐−𝜌)2 ∗ 𝑃0 = 0,01892
Para esto necesitamos 𝑝0 =
1
(∑
𝜌 𝑛
𝑛!
𝑐−1
𝑛=0 )+ (
𝜌 𝑐
𝑐!
) ∗ (
𝑐
𝑐−𝜌
)
= 0,44715
𝑊𝑞 =
𝐿 𝑞
𝜆
⁄ = 0,01892
4⁄ = 0.00473
Para 4 médicos de guardia

7. Verificar condición estado estable: µ> λ
5*4>6 si
ρ= λ/ µ=4/5=0,8 - intensidadde tráfico
𝑊𝑞 =
𝐿 𝑞
𝜆
⁄
Para esto necesitamos 𝐿 𝑞 =
𝜌 𝑐+1
( 𝑐−1)!
∗
1
( 𝑐−𝜌)2 ∗ 𝑃0 = 0,00239
Para esto necesitamos 𝑝0 =
1
(∑
𝜌 𝑛
𝑛!
𝑐−1
𝑛=0 )+ (
𝜌 𝑐
𝑐!
) ∗ (
𝑐
𝑐−𝜌
)
= 0,44910
𝑊𝑞 =
𝐿 𝑞
𝜆
⁄ = 0,00239
4⁄ = 0,000597
3F.M.-8P.M.
c 1 2 3 4
𝑾 𝒒 0.8*60=48 0,03809 ∗ 60 = 2,285 0.00473 ∗ 60 = 0,2838 0,000597 ∗ 60 = 0,0358
Para 8 pm-medianoche
Para 1 médico de guardia
Verificar condición estado estable: µ> λ
5>12no
Con solo un médico no se puede cubrir la demanda de los pacientes.
Para 2 médicos de guardia
Verificar condición estado estable: µ> λ
5*2>12no
Con dos médicos no se puede cubrir la demanda de los pacientes en este período.
Para 3 médicos de guardia
Verificar condición estado estable: µ> λ
5*3>12 si
ρ= λ/ µ=12/5=2,4- intensidadde tráfico
𝑊𝑞 =
𝐿 𝑞
𝜆
⁄
Para esto necesitamos 𝐿 𝑞 =
𝜌 𝑐+1
( 𝑐−1)!
∗
1
( 𝑐−𝜌)2 ∗ 𝑃0 = 2,588313
Para esto necesitamos 𝑝0 =
1
(∑
𝜌 𝑛
𝑛!
𝑐−1
𝑛=0 )+ (
𝜌 𝑐
𝑐!
) ∗ (
𝑐
𝑐−𝜌
)
= 0,05617
𝑊𝑞 =
𝐿 𝑞
𝜆
⁄ = 2,588313
12⁄ = 0.21526
Para 4 médicos de guardia
Verificar condición estado estable: µ> λ
5*4>6 si

8. ρ= λ/ µ=12/5=2,4 - intensidadde tráfico
𝑊𝑞 =
𝐿 𝑞
𝜆
⁄
Para esto necesitamos 𝐿 𝑞 =
𝜌 𝑐+1
( 𝑐−1)!
∗
1
( 𝑐−𝜌)2 ∗ 𝑃0 = 0,28919
Para esto necesitamos 𝑝0 =
1
(∑
𝜌 𝑛
𝑛!
𝑐−1
𝑛=0 )+ (
𝜌 𝑐
𝑐!
) ∗ (
𝑐
𝑐−𝜌
)
= 0,055787
𝑊𝑞 =
𝐿 𝑞
𝜆
⁄ = 0,28919
12⁄ = 0,02409
8 pm-medianoche
c 1 2 3 4
𝑾 𝒒 Condición no
estable
Condición no
estable
0.21526 ∗ 60 = 12,9156 0,02409 ∗ 60 = 1,44595
Resp.
Período Número de médicos de guardia necesarios
9 A.M.-3 F.M. 2
3F.M.-8P.M. 3
8 pm-medianoche 4