CAPITULO 4 ANODIZADO DE ALUMINIO ,OBTENCION Y PROCESO
Tema teoria de lineas de espera
1. Ensenada, B. C., agosto a diciembre, 2015
Unidad IV:
Teoría y Aplicación de
Líneas de Espera – Teoría
de Colas
2. Estructura de modelos de colas
Papel de la distribución Exponencial y
Poisson
El proceso de nacimiento y muerte
Modelos básicos de líneas de espera
Aplicaciones de modelos de líneas de
espera
3. Unidad III:
Teoría y Aplicación de
Líneas de Espera –
Teoría de Colas
El estudiante será capaz de:
1. Identificar los elementos de un
sistema de colas y las medidas
eficiencia del sistema.
2. Aplicaciones de la distribución
Exponencial y de Poisson
relacionadas a la teoría de colas.
3. Elaborar diagramas de tasas y
ecuaciones de equilibrio, basados
en los principios del proceso de
nacimiento y muerte.
4. Unidad III:
Teoría y Aplicación de
Líneas de Espera – Teoría
de Colas
….. será capaz de:
4. Construir modelos de
costos para la toma de
decisiones óptima.
5. Comprobar si algunas
distribuciones de tasas de
llegadas o de salidas se
ajustan a distribuciones
conocidas.
5. Teoría de
Colas o Líneas
de Espera
Hillier & Lieberman. (2010 ). Investigación de
Operaciones. México: Mc. Graw – Hill.
“Es el estudio de la espera en las
distintas modalidades, utilizando
los modelos de colas para
representar los tipos de sistemas
de líneas de espera que surgen en
la práctica”.
6. Utilidad de los modelos de colas
El tiempo de espera influye
en: la calidad de la vida de
los individuos, la eficiencia
de la empresa y la
eficiencia de la economía
de los países
Recursos y los
tiempos
destinados a
atención a
clientes
óptimos.
Las colas son
sistemas de la vida
cotidiana, equilibrar
los costos vs.
Capacidad de
servicio
8. Procesos básico de líneas de espera
Fuente de
Entrada
Cola
Mecanismo
de Servicio
clientes
servicios
Sistema de Colas
clientes
9. Proceso básico de modelos de colas
Fuentes de entrada
• Número potencial
de clientes
distintos
• Población de
entrada
• Fuente entrada
ilimitada o finita
• Patrón estadístico
• Comportamientos
especiales
Clientes
• Población bajo
estudio
• Comportamientos
especiales: dejo la
cola si es muy
larga, entre otros.
• Van generándose
a través del
tiempo en la
fuente
• Cuando es
atendido sale del
sistema de colas
Cola
• Lugar donde los
clientes esperan a
ser atendidos
• Número máximo
permisible de
clientes que
pueden admitir
• Trabaja con
modelo de cola
ilimitada
• Cola finita en
casos en que el
valor máximo sea
muy pequeño
Servicio
• Mecanismo de
servicio o regla
que establece el
orden en que los
los miembros se
seleccionan
• Disciplina de la
cola:
• Primero en entrar,
primero en salir
• En forma aleatoria
• Ponderación
especial
• Procedimiento de
prioridad
• Número de
servidores
Fuente de Salida
• Numero real de
clientes que
pueden salir del
sistema en cierta
unidad del tiempo
10. Mecanismo elemental de servicio
Fuente de
Entrada
Cola
Mecanismo
de Servicio
clientes
servicios
Los tiempos de llegada y los tiempos de servicio son independientes e identicamente
distribuidos
clientes
__ / __ / __
Distribución de tiempos de servicio
Distribución de tiempos de llegadas
Distribucion de tiempos de servicio
Número de servidores
Donde:
M = distribución exponencial (markoviana)
D = distribución degenarada (tiempos constantes)
Ek = distribución Erlang, con parámetro K
G = distribución arbitraria (cualesquiera)
11. Términos comunes
COLA
•Estado del sistema =
numero de clientes en
el sistema
•Longitud de la cola =
Número de clientes
que esperan el
servicio
• LC = estado del
sistema – número de
clientes a quienes se
esta sirviendo
CLIENTES
•N(t) = número
de clientes en
el sistema de
colas en el
tiempo t (t > 0)
•P(t) =
probabilidad
de que
exactamente n
clientes estén
en el sistema
en el tiempo t,
dado el
número en el
tiempo 0.
PARAMETROS
•S = número de servidores (canales de servicio
en paralelo) en el sistema de colas
• λ = tasa media de llegadas (número esperado
de llegadas por unidad de tiempo) de nuevos
clientes cuando hay n clientes en el sistema
•μ= tasa media de servicio para todo el sistema
(número esperado de clientes que
complementan sus servicio) cuando hay n
clientes en el sistema. Es la tasa combinada a
la que todos los clientes ocupados logran
terminar sus servicios
•P = λ/μs = es el factor de utilización para la
instalación de servicio, es decir, la fracción
esperada de tiempo que los servidores
individuales están ocupados
12. Condiciones de un Sistema de Colas
• Transitoria:
o El sistema de colas apenas inicia su
operación.
o Se presenta una situación especial.
• Estado estable:
o El sistema se vuelve independiente
del estado inicial y del tiempo
transcurrido.
o La distribución de probabilidad del
estado del sistema se conserva.
13. Términos comunes
• Las características operativas de los sistemas de colas se determinan
por dos probabilidades estadísticas:
• La distribución de probabilidad de los tiempos entre llegadas
• La distribución de probabilidad de los tiempos de servicio
• En la modelación de colas, la llegada de los clientes, se hace en forma
totalmente aleatoria, sin estar afectados por el tiempo transcurrido desde
la ocurrencia del evento anterior.
14. Términos comunes
• Se aplica la Distribución Exponencial a los tiempos
de llegadas, por proporcionar predicciones
razonables, realistas, sencillas y matemáticamente
manejables.
• Función de densidad:
• f(t) = λ (e)-λt para t > 0
• Donde la esperanza matemática es: E(t) = 1 / λ
• Donde la varianza matemática es: V(t) = 1 / λ2
15. Propiedad 1: F(t) es una función estrictamente
decreciente de t, para t > 0.
Propiedad 2: Falta de memoria, ya que es
independiente de la ocurrencia del ultimo
evento
Propiedad 3: el minino de varias variables
aleatorias exponenciales independientes tiene
una distribución exponencial.
• Los tiempos entre llegadas de n tipos diferentes
de clientes siguen comportándose
exponencialmente.
• Los tiempos de disponibilidad de cada estación
de servicio siguen una distribución exponencial,
independientemente de las otras.
Propiedades
de la
Distribución
Exponencial
Walpole, Myers, Myers & Ye. (2007).
Probabilidad y Estadística para Ingeniería y
Ciencias. México: Pearson & Prentice Hall.
16. Propiedad 4: su relación con la distribución
Poisson, es que puede considerar los
tiempos de llegada con una media λ y una
distribución Poisson.
Propiedad 5: para todos los valores positivos
de t, P{T < t + t / T > t] –λ t para
pequeños.
Propiedad 6: No afecta agregar o desagregar,
se aplica para los procesos de entrada, los
cuales se consideran con distribución
Poisson.
Propiedades
de la
distribución
exponencial
Walpole, Myers, Myers & Ye. (2007).
Probabilidad y Estadística para Ingeniería y
Ciencias. México: Pearson & Prentice Hall.
17. Términos comunes
• Se aplica la Distribución Poisson a los tiempos de
servicio, ya que representa el número de resultados
que ocurren en un intervalo y representan el
numero de clientes atendidos en dicha unidad de
tiempo.
• Función de densidad:
o = es el número promedio de resultados por unidad de
tiempo
o K = número de resultados que ocurren en el intervalo
analizado
18. 1. El número de resultados que ocurren en un
intervalo o región específica es independiente
del número que ocurre en cualquier otro
intervalo o región del espacio disjunto.
2. El experimento Poisson no tiene memoria.
3. La probabilidad de que ocurra un solo resultado
durante un intervalo corto es proporcional a la
longitud del intervalo, sin depender del número
de resultados que ocurren fuera.
4. La probabilidad de que ocurra más de un
resultado en dicho intervalo es despreciable.
Propiedades
de la
Distribución
Poisson
Walpole, Myers, Myers & Ye. (2007).
Probabilidad y Estadística para Ingeniería y
Ciencias. México: Pearson & Prentice Hall.
19. Términos de referencia
• Nacimiento.- se refiere a la llegada de un nuevo cliente al
sistema de colas.
• Muerte.- es el termino que describe la salida de un cliente
servido.
• Estado del sistema en el tiempo (t > 0).- denotado por N(t), es
el número de clientes que existe en el sistema de colas en el
tiempo t.
• Proceso de nacimiento y muerte.- describe en términos
probabilísticos como cambia N(t) al aumentar t.
20. Términos de referencia
• Los nacimientos y muertes individuales, ocurren de manera
aleatoria donde sus tasa medias de ocurrencia dependen del
estado actual del sistema.
0 1 2 n3 N - 2 N - 1 N + 1…….
λ1 λnλ2 λn-1λ3 λn+1
μ1 μn-1 μn μn+1μ2 μ3
21. Términos comunes
• Pn = probabilidad de que haya exactamente n clientes en el sistema
• L =número esperado de clientes en el sistema = n Pn = λ W
• Lq = longitud esperada de la cola (excluye los clientes que están en
servicio
• Lq = λ Wq = (n – s) Pn cuando (n – s) > 0
• ω = tiempo de espera en el sistema (incluye tiempo de servicio) para cada
cliente
• W = E(ω) = Wq + 1 / μ
• ωq = tiempo de espera en la cola (excluye el tiempo de servicio) para cada
cliente
• Wq = E(ωq)
22. Referencias Bibliográficas
• Walpole, Myers, Myers & Ye. (2007). Probabilidad y Estadística para
Ingeniería y Ciencias. México: Pearson & Prentice Hall.
• Hillier & Lieberman. (2010 ). Investigación de Operaciones. México: Mc.
Graw – Hill.
• Taha, H. ((2011). Investigación de Operaciones. México: Pearson & Always
Learning.
• Imágenes recuperadas de www.googleimagenes.com
Videos sugeridos:
• https://www.youtube.com/watch?v=fCr6SKWlpAk
• https://www.youtube.com/watch?v=uKSjzQ9djuw
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