DOCUMENTO

1. INTEGRAL DEFINIDA Y
APLICACIONES
DEMETRIO CCESA RAYME

3. La letra griega Σ significa "suma".
El índice de la suma k nos dice en
dónde inicia la suma y en dónde
termina

4. Área por medio de Polígonos inscritos
Considérese el rectángulo representativo
con base 𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖 y
altura 𝑓(𝑥𝑖−1) = 𝑥𝑖−1
2
.
El área A(𝑅 𝑛)
puede calcularse al
sumar las áreas de
estos rectángulos, ya
que la suma es el
polígono inscrito.

5. Área por medio de Polígonos circunscritos
Considérese el rectángulo
con base 𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖 y
altura 𝑓(𝑥𝑖) = 𝑥𝑖
2
.
El área A(𝑅 𝑛)
puede calcularse al
sumar las áreas de
estos rectángulos, ya
que la suma es el
polígono circunscrito.

6. Considere una función f definida en un
intervalo cerrado [a, b]. Puede haber valores
tanto positivos como negativos en el intervalo;
incluso, no necesita ser continua.

7. Suponga una partición P del intervalo [a, b] en
n subintervalos. En cada subintervalo 𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖
selecciónese un punto 𝑥𝑖, le llamamos punto
muestra para el i-ésimo subintervalo. Por
ejemplo:
Y mediante la Sumatoria de Riemann,
obtenemos:

8. Sea 𝑓(𝑥) una función definida en un intervalo
cerrado 𝑎, 𝑏 . Decimos que un numero J es la
integral definida de 𝑓 en 𝑎, 𝑏 y que J es el límite
de las sumatorias de Riemann 𝑓(𝑐 𝑘)∆𝑛
𝑘=1 𝑥 𝑘 se
obtiene que:
𝑓(𝑐 𝑘)∆𝑥 𝑘
𝑛
𝑘=1
− 𝐽 <∈.

9. 1) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0
𝑎
𝑎
2) Si 𝑓 𝑥 > 0 en el intervalo = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 > 0
𝑏
𝑎
3) Si 𝑓 𝑥 ≥ 𝑔(𝑥) para cualquier valor x ∈ 𝑎, 𝑏 ,
entonces 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≥ 𝑔 𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
4) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +
𝑐
𝑎
𝑏
𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑐
5) 𝑘 ∗ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘 ∗ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
6) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑎
𝑏
𝑏
𝑎
7) 𝑓 𝑥 ± 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ±
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
𝑔 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎

10.  Teorema 1: Si 𝑓 es continua en 𝑎, 𝑏 entonces
𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡
𝑥
𝑎
es continua en 𝑎, 𝑏 y derivable en
(a,b), entonces:
 Teorema 2: Si 𝑓 es continua en todo punto en 𝑎, 𝑏 y es
cualquier antiderivada de 𝑓 en 𝑎, 𝑏 , entonces

11. Cuando integramos entre limites podemos
evitar el procedimiento de reponer la variable
primitiva , cambiando los límites de manera
de hacerlos corresponder a la nueva variable.
𝑥1/4 𝑑𝑥
1+𝑥1/2
16
0
suponemos: 𝑥 = 𝑧4 entonces d𝑥 = 4𝑧3 𝑑𝑧, 𝑥1/2 = 𝑧2, 𝑥1/4 = 𝑧
los limites; z = 0, 𝑧 = 2 , obtenemos:
𝑧.4𝑧3 𝑑𝑧
1+𝑧2
2
0

12. El valor de esa área
puede determinarse,
aproximadamente,
sumando trapecios, así
obteniendo la Formula:
𝐴𝑟𝑒𝑎 = (
1
2
𝑦0 + 𝑦1 + 𝑦2 + ⋯ + 𝑦 𝑛−1 +
1
2
𝑦𝑛)∆𝑥

13. Para obtener una
mayor aproximación
del área uniendo
arcos de parábolas
y sumando las áreas
bajo los arcos, y así
obtenemos que:
𝐴𝑟𝑒𝑎 =
∆𝑥
3
(𝑦0 + 4𝑦1 + 2𝑦2 + 4𝑦3 + 2𝑦4 + ⋯ + 𝑦𝑛)

14. Se dice que los limites de la integral son
finitos, sin embargo en ocasiones nos
conviene quitar esa restricción y
considerar integrales con limites infinitos.
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim
𝑏→∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
+∞
𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim
𝑎→∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
−∞

16.  Región por arriba de x: Supóngase que
y = 𝑓(𝑥) determina una curva en el plano xy,
Considérese la región R acotada por las
gráficas de𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏, y 𝑦 = 0. Su
área 𝐴(𝑅) está dada por:
𝐴 𝑅 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎

17. Sea S un sólido tal que S está entre dos planos
perpendiculares al eje x en a y b. Si la medida
del área de la sección plana S, perpendicular al
eje x en x, está dada por 𝐴(𝑥), donde A es
continua en 𝑎, 𝑏 , entonces la medida del
volumen de S está dado por:
𝑉 = 𝐴 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎

18.  Método del disco: Cuando una región plana
está por completo en un lado de una recta fija
en su plano y se hace girar alrededor de esa
recta, genera un sólido de revolución. La
recta fija se denomina eje del sólido de
revolución.

19.  Método de las Arandelas: Algunas veces, al
rebanar un sólido de revolución se obtienen
discos con agujeros en medio. Les llamamos
Arandelas.

20.  Cortes Transversales: el método de encontrar
el volumen funciona también para sólidos
cuyas secciones transversales son cuadrados
o triángulos, solo se necesita es que las áreas
de las secciones transversales puedan
determinarse.

21.  Método de Cascarones: O también llamado
envolventes, dice que un cascarón cilíndrico
es un sólido acotado por dos cilindros
circulares rectos concéntricos, entonces su
volumen está dado de la siguiente manera:

22.  La idea es aproximar la curva
por medio del segmento de
línea poligonal, calcular su
longitud total y después
tomar el límite cuando la
partición tiende a cero. En
particular, aproximamos
la longitud ∆𝑠𝑖 del i-ésimo
segmento.

23. • Una Superficie de revolución está engendrada
haciendo girar alrededor del eje de las x el arco
CD de la curva 𝑦 = 𝑓 𝑥 .
𝑑𝑠 = 1 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2 1/2
𝑑𝑥 = 1 +
𝑑𝑥
𝑑𝑦
2 1/2
𝑑𝑦 = 𝑑𝑥2
+ 𝑑𝑦2 ½

24. En mecánica , el trabajo realizado por una
fuerza constante F que causa un
desplazamiento d es el producto F.d y cuando
F es variable, esta definición conduce a una
integral.
Y viene dada por la formula:
𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 = 𝑊. π 𝑦2 𝑥𝑑𝑥
𝑏
𝑎

25. La fuerza ejercida por el fluido sobre un
rectángulo horizontal de área A en la parte
inferior es igual al peso de la columna del
fluido que está directamente por encima de ese
rectángulo esto es 𝐹 = δ𝑕𝐴.

26. Supóngase que dos masas de tamaños m1 y
m2 se colocan en un sube y baja a distancias
respectivas d1 y d2 del punto de apoyo (fulcro)
y en lados opuestos a él. El sube y baja se
equilibrará si y sólo si d1.m1 = d2m2
Y viene dado por la siguiente formula: