Transformación de coordenadas

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
I.U.P. Santiago Mariño – Porlamar
Realizado por:
Br. Dalbeth Lunar.
C.I: 24.766.508
Ing. Electrónica
PORLAMAR, MAYO DEL 2015

2. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
En Geometría Analítica, al igual que Física. Es muy importante tener un
sistema de coordenadas, o una referencia, adecuado con el objeto de
simplificación al máximo las ecuaciones. Esto se realiza mediante unas
transformaciones ejes coordenados, cuyo proceso se considera reducido a
dos movimientos.
 Traslación
 Rotación
Una transformación es una operación por la cual una relación, expresión
o figura se cambia por otra siguiendo una ley dada. Analíticamente la ley se
expresa mediante una o más ecuaciones llamadas "ecuaciones de
transformación". Es importante elegir un sistema de coordenadas, o
referencia, adecuado con el objetivo que el proceso de resolución sea lo más
rápido posible. Ello se realiza mediante la transformación de ejes
coordenados cuyo proceso está en dos movimientos, rotación y traslación.
Tenemos la ecuación de la circunferencia en la forma ordinaria. (x-h)² +
(y-k)² = r² El centro 0´ de coordenadas (h, k) Se la coloca en el origen (0, 0) y
nos quedaría de la forma canónica x² + y² = r²

3. En vez de llevar a la circunferencia a su centro también podemos
mover los ejes de manera que el origen 0 coincida con el centro 0´ (h, k). Las
coordenadas del punto P serian (x´, y´) La ecuación de la circunferencia esta
dada en la forma canónica x´² + y´² = r²

4. Traslación de ejes de coordenadas
Si se trasladan los ejes coordenados a un nuevo origen, O’ es el punto
(h, k), y si las coordenadas de cualquier punto antes y después de la
traslación son (x, y) y (x’, y’) respectivamente, las ecuaciones de
transformación del sistema primitivo al nuevo sistema de coordenadas son:
x = x’ + h
y = y’+ k
Ecuaciones de traslación
El conocimiento de las formulas de translación nos ayudan a simplificar
muchos problemas de la geometría analítica. Usaremos la Figura que
observamos para ver cómo se pueden trasladar las ecuaciones de las curvas
de un sistema cartesiano x o y, hasta ocupar una posición x’ ó y’ de ejes
paralelos a los primeros

5. Designamos el nuevo origen por o’(h, k), referidos al sistema x, y, por el
punto o’ trazamos rectas paralelas al eje x y al eje y, las que tomaremos
como los nuevos ejes x’ y y’. Todo punto P(x, y) referidos al nuevo sistema
de ejes, según la figura: MP= x, NP=y Que son las coordenadas originales
del punto P(X, Y)Así mismo, tenemos: M’P = x’, N’P = y Que son las nuevas
coordenadas del punto P’(x’, y’).De la figura también se deduce que: MP =
M’P + MM’ = x’ + hNP = N’P + N’B = Y’ + K
Sustituyendo tenemos: X= x’ + h (1) Y= y’ + k (2) O también: X’ = x – h
(3) Y’ = y – k (4) Que son las ecuaciones de translación, mediante las cuales
se puede hacer una traslación paralela de los ejes de coordenadas. Su
conocimiento nos ayuda a simplificar muchos problemas de la geometría
analítica, y se emplearan en la deducción de algunas formulas en los temas
correspondientes a la parábola, elipse e hipérbole.
Rotación de ejes de coordenadas.
Si los ejes coordenados giran un ángulo q en torno de su origen como
centro de rotación y las coordenadas de un punto cualquiera P antes y
después de la rotación son (x, y) y (x’, y’) respectivamente, las ecuaciones de
transformación del sistema original al nuevo sistema están dadas por:
x = x’cos(q) – y’sen(q); y = x’sen(q) + y’cos(q)

6. Transformar la ecuación 2x²+√3 xy + y² = 4 girando los ejes
coordenados un ángulo de 30°. Obtenemos las siguientes ecuaciones x = x’
cos 30° - y sen 30° = √3/2 x’ – ½ y’ y = y’ sen 30° + y’ cos 30° = ½ x’ + √3/2 y’
Sustituimos los valores en la ecuación original y obtenemos la ecuación
transformada 5x’² + y’² = 8 Ejemplo:
Simplificación de ecuaciones por transformación de coordenadas
Se puede usar ambos métodos para transformar las ecuaciones de
una manera mas fácil y lógica. Por el primer método obtenemos las
ecuaciones x = x’+ h y = y’+ k Por el segundo obtenemos x’=x’’ cos ѳ - y’’ sen
ѳ y’=y’’ sen ѳ + y’’ cos ѳ Si sustituimos los valores de x’ y y’ obtenemos las
ecuaciones buscadas x = x’’ cos ѳ – y’’ sen ѳ + h y = y’’ sen ѳ + y’’ cos ѳ + k