Libro de ingeniería

1. Contenido
Prefacio
Lista de simboios
CAP~TULOONCE C~NEMATICADE PARTICULAS
11.1 Intrduccion a la dinamica
Movimiento rectilineo de partrculas
11.2 Posicion, velocidad y aceleracion
11.3 Determinacion del movimiento de una particula
11.4 Movimiento rectilineo uniforme
11.5 Movimiento rectilineo uniformemente acelerado
11.6 Movimiento de varias particulas
*11.7 Solucion grafica de problemas de movimiento
rectilineo
*11.8 Otros metdos graficos
Movimiento curvilineo de particulas
11.9 Vector de posicion, velocldad y aceleracion
11.I0 Derivadas de funciones vectoriales
11.11 Componentes rectangulares de la velocidad y la
aceleracion
11.12 Movimiento reiativo a un sistema de referencia
en traslacion
11.13 Componentes tangenciai y normal
11.14 Componentes radial y transversal
Repaso y resumen
Problemas de repaso
CAP~TULODOCE CINETICA DE PARTICULAS:
SEGUNDA LEY DE NEWTON
12.1 Intrduccion
12.2 Segunda ley de Newton del movimiento
12.3 Momento lineal de una particula. Variation del
momento lineal
12.4 Sistemas de unidades
12.5 Ecuaciones de movimiento
12.6 Equilibrio dinamico

2. 12.7 Momento angular de una particula. Conservacion
del momento angular
12.8 Ecuaciones de movimiento expresadas en terminos
de las componentes radial y transversal
12.9 Movimiento bajo la accion de una fuerza central.
Conservacion de la cantidad de movimiento angular
12.10 Ley de la gravitacion de Newton
*12.11 Trayectoria de una particula bajo la accion
de una fuerza central
V2.12 Aplicacion a la mecanica espacial
V2.13 Leyes de Kepler del movimiento planetario
Repaso y resumen
Problemas de repaso
CAP~TULOTRECE CINETICA DE PARTICULAS:
. ~ O D ODE LA ENERG~AY DE LOS MOMENTOS
13.1 Introduction
I 13.2 Trabajo realizado por una fuerza
13.3 Energia cinetlca de una particula. Teorema de las
fuenas vlvas
13.4 Aplicaciones del teorema de las fuerzas vivas
13.5 Potencia y rendimiento
13.6 Energia potenclal
V3.7 Fuerzas conservativas
13.8 Conservacion de la energia
e . 9 Movlmiento bajo la accion de una fuerza central
conservatlva. Aplicacion a la mecinica celeste
13.10 Princlpio del implso y del momento lineal
13.11 Percusiones
13.12 Choques
13.13 Choque central dlrecto
13.14 Choque central oblicuo
13.15 Problemas en 10s que intervienen la energia y el
momento lineal
Repaso y resumen
Problemas de repaso
CAPITULO CATORCE SISTEMAS DE PARTICULAS
14.1 Introduccion
14.2 Aplicacion de las leyes de Newton al movimiento
de un sistema de particulas. Fuerzas lnerciales
o efectivas
14.3 Momento lineal y angular de un sistema de
particulas
14.4 Movimiento del centro de masas de un sistema
de particulas
14.5 Momento angular de un sistema de particulas con
respecto a su centro de masas

3. CAPITULO QUINCE
15.1
15.2
15.3
15.4
Conservacion del momento lineal y angular en un
sistema de particulas
Energia cinetica de un sistema de particulas
Teorema de las fuerzas vivas. Conservacion de la
energia para un sistema de particulas
Principio del impulso y del momento para un
sistema de particulas
Sistemas de masa variable
Corriente estacionaria de particulas
Sistemas que aumentan o disminuyen su masa
Repaso y resumen
Problemas de repaso
CINEMATICA DEL SOLIDO R~GIDO.
Introduccion
Traslacion
Rotacion alrededor de un eje fijo
Ecuaciones que definen la rotacion de un cuerpo
rigido alrededor de un eje fijo
Movimiento plano
Velocidad absoluta y relativa en el movimiento
plano
Centro instantheo de rotacion en el movimiento
plano
Aceleracion absolutaj relativa en el movimiento
plano
Analisis del movimiento plano mediante un
parametro
Velocidad de variacion de un vector con respecto
a un sistema de rotacion
Movimiento plano de una particula con relacion a
un sistema en rotacion. Aceleracion de Coriolis
Movimiento con un punto fijo
Movimiento general
Movimiento tridimensional de una particula
respecto a un sistema en rotacion. Aceleracion de
Coriolis
Sistema de referencia en el movimiento general
Repaso y resumen
Problemas de repaso
CAP~TULODIECISEIS MOVlMlENTO PLAN0 DEL SOLIDO RIGIDO:
FUERZA Y ACELERACIONES
16.1 Introduccion
16.2 Ecuacion del movimiento de un cuerpo rigido
16.3 Momento angular de un solido rigido en movimiento
plano

4. 16.4 Movimiento plano de un solido rigido. Principio
de d'Alembert
*16.5 Una observation acerca de 10s axiomas de la
mecanica de 10s solidos rigidos
16.6 Solucion de problemas relacionados con el
movimiento de un solido rigido
16.7 Sistemas de solidos rigidos
16.8 Movimiento plano vinculado
Repaso y resumen
Problemas de repaso
CAP~TULODlEClSlETE MOVlMlENTO PLAN0 DEL SOLIDO RIGIDO:
METODOS DE LA ENERG~AY DEL MOMENT0
Introduccion
Teorema de las fuerzas vivas para el solido rigido
Trabajo realizado por las fuerzas que actuan
sobre un solido rigido
Energia cinetica de un solido rigido en
movimiento plano
Sistemas de solidos rigidos
Conservacion de la energia
Potencia
Principio del impulso y del momento para el
movimiento plano de un solido ngido
Sistemas de solidos rigidos
Conservaciondel momento angular
Percusiones +
Cheque excentrico
Repaso y resumen
Problemas de repaso
CAPITULO DlEClOCHO CINETICA DEL SOLIDO RIGIDO
EN TRES DiMENSlONES
*18.1 Introduccion
*18.2 Momento angular de un solido rigido en tres
dimensiones
*18.3 Aplicacion del princlpio del impulso y del momento
al movimiento tridimensional de un solido rigido
*18.4 Energia cinetica de un solido rigido en tres
dimensiones
V8.5 Movimiento de un solido rigido en tres dimensiones
*18.6 Ecuaciones de Euler del movimiento. Extension
del principio de d'Alembert al movimiento de un
solido rigido en tres dimensiones
*18.7 Movimiento de un solido rigido alrededor de un
punto fijo
*18.8 Rotacion de un solido rigido alrededor de un eje
fijo

5. *18.9 Movimiento de un giroscopo. ~ngulosde Euler
*18.10 Precesion uniforme de un giroscopo
*18.11 Movimiento de un solido de revolution no sujeto
a ninguna fuerza
Repaso y resumen
Problemas de repaso
Vibraciones sin amortiguamiento
19.2 Vibraciones libres de particulas. Movimiento
armonico simple
19.3 Pendulo simple (solucion aproximada)
*19.4 Pendulo simple (solucion exacta)
19.5 Vibraciones libres de solidos rigidos
19.6 Aplicacion del principio de la conservation de la
energia
19.7 Vibraciones forzadas
Vibraciones amortiguadas
*19.8 Vibraciones libres amortiguadas
*19.9 Vibraciones forzadas amortiguadas
*lg.lO Analogias elktricas
Repaso y resumen
Problemas de repaso
Apendice A Algunas definiciones x propiedades utiles
del algebra vectorial
Apendice B Momentos de inercia de masas
INDICE
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS DE NUMERO
PAR

6. Fotografiade la portada
Tren de alta velocidad (TGV, Train a Grande Vitesse) diseiiado
y construido por 10s Ferrocarriles Nacionales Franceses. Cada tren consta
de ocho vagones de pasajeros y dos locomotoras de 3.150 k W de
potencia que funciona con corriente alterna de 25 kV. Alcanzan velo-
cidades superiores a 10s 270 km/h (168 mi/h) por una via especial
entre Paris y Lyon; estos trenes pueden circular por vias normales a
velocidad reducida y proporcionan conexiones rapidas y directas entre
mas de 40 ciudades francesas y suizas. (Fotografia de Richard Kalvar,
Magnum.}

7. Prefacio
El objetivo principal de un primer curso de mecanica debe ser
desarrollar en el estudiante de ingenieria la capacidad de analizar
cualquier problema en una forma I6gica y simple, y aplicar principios
bbicos bien conocidos en su soluci6n. Se espera que este texto, junto
con el volumen anterior Mecanica veciorialpara ingenieros: esiaiica,
ayudarh al profesor a alcanzar este objetivo. i
El Algebra vectorial se introdujo al principio del primer tomo y
se us6 en la presentaci6n de 10s principios basicos de la esthtica y en
la soluci6n de muchos problemas, especialmente de casos en tres di-
mensiones. En forma similar se introducirh el concept0 de la diferen-
ciaci6n de vectores a1 principio de este volumen; en la exposici6n de
la dinhmica se usarh el anhlisis vectorial. Este enfoque conduce a la
deducci6n mas concisa de 10s principios fundamentales y hace po-
sible analizar muchos problemas de cinemhtica y cinetica que no
podrian resolverse usando metodos escalares; no obstante, como en
este texto se hace hincapie en la correcta comprensi6n de 10s princi-
pios de la mecanica y sus aplicaciones a la soluci6n de problemas en
ingenieria, el anhlisis vectorial se presenta s6lo como una herramien-
la suplementaria.t
Una de las caracteristicas del enfoque usado en estos volumenes
es que se diferencia claramente entre la mecanica de laspariiculas y la
mecanica de 10s sblidos rigidos, lo que permite considerar aplicaciones
practicas sencillas desde el principio y posponer la introducci6n de
conceptos mas dificiles. En el libro de esthtica se trat6 primero la es-
thtica de las particulas y se aplic6 inmediatamente el principio del
equilibria a situaciones practicas en las que intervienen s6lo fuerzas
concurrentes; despues se consider6 la estatica de 10s solidos rigidos;
fue entonces cuando se introdujeron 10s productos vectorial y escalar
de dos vectores y se emplearon para definir el momento de una fuer-
za con respecto a un punto y con respecto a un eje. En este volumen
se sigue la misma divisi6n: se introducen 10s conceptos basicos de
fuerza, masa y aceleraci6n. 10s de trabajo y energia y 10s de impulso y
momento lineal, y se aplican primero a problemas solo con par-
ticulas. Asi 10s estudiantes pueden familiarizarse con 10s tres metodos
basicos usados en la dinamica, y aprender sus respectivas ventajas
antes de enfrentarse a las dificultades asociadas con el movimiento de
10s solidos rigidos.
f Ambm textos eslan disponibles en un solo volumen, Mecanica vecrorralpara in-
Renreros: esra/rca .v drnamica, cuarta edici6n.

8. xii Como este texto esth estructurado para un primer curso de dina-
mica, 10s conceptos nuevos se presentan en tkrminos sencillos y cada
paso se explica detalladamente. Por otra parte, el estudiar 10s aspec-
tos mas amplios de 10s problemas considerados y hacer hincapie en
10s metodos de aplicacibn general, se logrb plena madurez del plan-
teamiento. Por ejemplo, el concept0 de la energia potencial se anali-
za en el caso general de una fuerza conservativa; asi mismo tambien
se organizb el estudio del movimiento plano de 10s cuerpos rigidos,
de mod0 que condujera en forma Ibgica al estudio de su movimiento
general en el espacio. Esto es valido tambien tanto en cinematica co-
mo en cinetica, donde el principio de equivalencia de las fuerzas ex-
ternas y las fuerzas inerciales se aplica directamente a1 analisis del
movimiento en un plano, con lo cud se facilita la transicibn al estudio
del movimiento tridimensional.
Se resaltb el hecho de que la mechnica es esencialmente una cien-
cia deducfivaque se basa en unos cuantos principios fundamentales.
Las derivaciones se presentan en su orden Ibgico y con todo el rigor
necesario a este nivel. Pero como el proceso de aprendizaje es alta-
mente inducfivo, se consideraron primero aplicaciones sencillas; en
esta forma la dinhmica de las particulas precede a la dinamica de 10s
solidos rigidos y, respecto de estos, 10s principios fundamentales de
la cinetica se aplican primero a la solucibn de 10s problemas de casos
bidimensionales que el estudiante puede conceptuar m b facilmente
(Caps. 16 y 17), mientras que 10s problemas de casos tridimensiona-
les se dejan para el capitulo 18.
La cuarta edicibn de Mecanica veclorial para ingenieros mantiene
unificada la presentacibn de 10s principios de la cinittica que caracteriza-
ron a las dos ediciones anteriores. Los conceptos de momento lineal^
y angular se introducen en el capitulo 12, de mod0 que la segunda
ley de Newton de movimiento puede presentarse no solo en su forma I
convencional F = ma, sino tambien como una ley que relaciona la
suma de fuerzas que actuan sobre una particula y la suma de sus mo-
mentos con la derivada temporal del momento lineal y angular de
la particula. Esto permite una introduccion adelantada del principio
de conservacion del momento lineal y una exposicion mas compren-
sible del movimiento de una particula sujeta a una fuerza central
(Sec. 12.9). Dos caracteristicas mas importantes aun: que esta pre-
sentacion puede ampliarse inmediatamente para abarcar el estudio
del movimiento de un sistema de particulas (Cap. 14), y conduce a
un anlilisis mlis conciso y unificado de la cinetica de 10s solidos ri-
gidos en dos y tres dimensiones (Caps. 16 al 18).
Los diagramas de solido libre se introdujeron a1 principio en es-
ri~icay e usaron no sblo para resolver problemas de equilibrio, sino
tambien para representar la equivalencia de dos sistemas de fuerzas
o, en fornia mas general, de dos sisternas de vectores. La ventaja de .
esre plantearniento se rnanifiesta en el estudio de la dinarnica de 10s
solidos rigidos, donde se usa para resolver problemas de casos tridi-
mensionales y bidimensionales. Haciendo hincapit. en "las ecuaciones de
diagrama de solido libre" y no en las ecuaciones algebraicas de rno-
i~nienronorrnalcs, puede lograrse una cornprensi6n mas cornplera e
inruitin dc los principios fundamentales de la dinamica. Esta presenra-
cihn, clue bc in~rodi~jopm primera vez en 1962 en la prirnera edici6n de
Mecanica veclorial para ingen~eros,ha ganado amplia aceptacihn

9. entre 10s maestros de rnechnica en Estados Unidos. Por ello, en la re- xiii
soluci6n de todos 10s problemas resueltos, en esta edici6n se prefiri6 3 - ~ * ~ - ~-$a**ae--~a**a*~~aaxa~-~m + d ~ l
ese metodo y no el del equilibrio dinarnico y las ecuaciones de rnovi- Prefac~o
miento.
Se emplean tambikn flechas de color para distinguir entre las
fuerzas y 10s otros elernentos de 10s diagrarnas de solido libre. Esto
facilita a 10s estudiantes la identificaci6n de las fuerzas que actuan
sobre una cierta particula o un solido rigido, y seguir el desarrollo de
10s problernas resueltos y otros ejernplos dados en el texto.
Por la tendencia actual entre 10s ingenieros estadounidenses de
adoptar el sistema international de unidades (unidades metricas del
SI), las unidades del SI que se usan con mayor frecuencia en la meca-
nica se introdujeron en el capitulo 1 de Est6tica, se estudian en el
capitulo 12 de este volurnen y se usan en todo el texto. Los datos de
aproximadamente la rnitad de 10s problernas resueltos y de 60% de 10s
problernas que el estudiante realizara corno tareas se han planteado
en estas unidades, mientras que el resto se enuncia en unidades del
sisterna inglks; 10s autores consideran que esta presentacibn satisfara
mejor las necesidades de 10s estudiantes que ingresen a la carrera de
ingenieria durante el periodo de transicibn de un sistema de unidades
a1 otro. Tambien debe reconocerse que este paso vincula mas elernentos
que el uso de factores de conversi6n. Como el sistema de unidades
del SI es un sistema absoluto basado en las unidades de tiernpo, longitud
y masa, mientras que el sistema inglks es un sistema gravitational que
se basa en las unidades de tiernpo, longitud y foerza, se requieren di-
ferentes planteamientos para la soluci6n de muchos problernas. Por
ejernplo, cuando se usan unidades del St, un solido se especifica ge-
neralmente por su masa expresada en kilogramos; en la mayor parte
de 10s problemas de la estatica fue necesario deterrninar el peso del
cuerpo en newtons y se requiri6 un chlculo adicionsl para este propo-
sito. Por otra parte, cuando se usan las unidades del sistema ingles,
un solido se especifica por su peso en libras y en problernas de dina-
mica se requiere un calculo adicional para determinar su rnasa en
slugs (o Ib-s2/ft).Es por esto que 10s autores estiman que 10s proble-
mas de tarea deben incluir ambos sisternas de unidades, pero, la dis-
tribuci6n real de estos problemas entre 10s dos sistemas de unidades,
ha de quedar a criterio del profesor, quien proporcionara un numero
suficiente de problernas de cada tipo a fin que puedan integrarse
cuatro listas cornpletas de problernas de tarea, en 10s cuales haya de
50% a 75% de problernas en unidades del SI.
Si se desea, pueden seleccionarse tarnbien dos listas cornpletas de
problernas de tarea a partir de 10s problernas que usan unidades del SI
unicarnente, asi corno otras dos listas de problernas con unidades del
sistema ingles.
Se han incluido varias secciones opcionales, indicadas con asre-
riscos para que el estudiante las distinga con facilidad de las que for-
man la parte principal del curso basico de dinamica; talev secciones
pueden ornitirse sin perjudicar la cornprensibn del resto del tesro.
Los temas tratados en estas secciones adicionales incluyen rnetodos
graficos para la soluci6n de problemas de rnovirniento rectilineo, la
trayectoria de una particula bajo la accibn de una fuerza central, la de-
teccibn de corrientes de fluido, problemas en 10s que intervienen la
propulsion a chorro y de cohetes. la cinernlitica y cinetica de solidos

10. X ~ V rigidos en Ires dimensiones, vibraciones mechnicas amortiguadas y
i r *..,?*-b%?m*---i' -i$r **s4;aie- sw '+w3"i*6gS99*>
analogias elkctricas. Estos temas pueden ser de especial interes en un
Prefacio curso universitario de dinhmica de segundo aRo.
El material y la mayor parte de 10s problemas presentados en este
volumen no requieren conocimientos matemhticos previos d s comple-
jos que 10s del dgebra, trigonometria, cdculo elemental y 10s elementos
del algebra vectorial presentadosen 10scapitulos2 y 3 del volumen de es-
tatica. t Sin embargo, 10s problemas especiales incluidos y ciertas
secciones (como las 19.8 y 19.9acerca de vibraciones amortiguadas)
que exigen un conocimiento mas avanzado del calculo, s61o deberan
asignarse si el estudiante-posee conocimientos matemhticos ade-
cuados.
Cada capitulo comienza con una secci6n de introduccibn que fi-
ja el prop6sito y 10s objetivos del mismo y que describe en terminos
sencillos el material por estudiar y su aplicaci6n a la soluci6n de
problemas de ingenieria. La parte principal del texto se divide en uni-
dades, cada una de las cuales consta de una o varias secciones de
teoria, uno o varios problemas resueltos y gran numero de problemas
para dejarse de tarea. Cada unidad corresponde a un tema bien defi-
nido y generalmente puede desarrollarse en una lecci6n; no obstante,
es posible que en algunos casos el profesor decida dedicar mhs de una
lecci6n a algun tema especifico. Los problemas resueltos esthn pre-
sentados de la misma manera en que 10s estudiantes resolverhn 10s
problemas que les asignen; por ello tienen el doble prop6sito de
ampliar el texto y demostrar el tipo de trabajo limpio y ordenado que
deben cultivar 10s estudiantes en sus propias soluciones. La mayor
parte de 10s problemas para tarea son practices y atractivos a 10s es-
tudiantes de ingenieria; sin embargo, se idearon principalmente para
ejemplificar la aplicaci6n de la teoria presentada en el texto y ayudar
a que 10s estudiantes comprendan 10s principios basicos de la mechica.
Los problemas estan agrupados de acuerdo con 10s elementos te6ricos
que ilustran y se presentan en orden de dificultad creciente; 10s que
requieren atenci6n especial esthn indicados con asteriscos. A1 final ,
del libro se dan las respuestas a todos 10s problemas listados con nu-
mero par.
Los autores agradecen 10s numerosos comentarios y sugerencias
propuestos por quienes han usado las ediciones anteriores de Meca-
nica para ingenieros y de Mecanica vectorial para ingenieros.
Ferdinand P. Beer
E. Ru$sell John51on. J r .
t Para cornodidad del lccror c han rewrnido en el Apendice A, al final dc csre i o -
lunicn, alguna dcfinicionc y propicdadc i~lilcdcl algebra dc veclore. Ade~rii,c11cI
apendice H c han rcproducido la elcccio~icdc la 9.1 I a la 9.17 dcl . o i u ~ ~ i c ~ idc E.I~II-
ca, quc ctudian lo rnorncnrw dc ~nerciadc niaa.

11. Lista de simbolos
Aceleracion
Constante; radio; distancia; semieje mayor de una elipse
Aceleraci6n del centro de masa
Aceleraci6n de B relativa a un sistema en translacion
con A
Aceleracion de P relativa a un sistema 5 en rotaci6n
Aceleracion de Coriolis
Reacciones en 10s soportes y uniones
Puntos
Area
Ancho; distancia; semieje menor de una elipse
Constante; coeficiente de amortiguamiento viscoso
Centro instantaneo de rotacion; capacitancia
Distancia
Vectores unitarios a lo largo de la normal y de la
tangente
Vectores unitarios en las direcciones radial y transversal
Coeficiente de restitution; base de 10s logaritn~os
naturales
Energia mecanica total; voltaje o tensi6n
Frecuencia, funcion escalar
Fuerza; fuerza de rozamiento
Aceleracion de la gravedad
Centro de gravedad; centro de masa; constante de
gravitation
Momento angular por unidad de masa
Momento angular con respecto al punto 0
Derivada temporal del momento angular H, con
respecto a un sistema de referencia de orientacion
fija
Derivada temporal del momento angular H, con
respecto a un sistema de referencia giratorio Gxyz
Vectores unitarios a lo largo de 10s ejes de coordenadas
Corriente
Mornento de inercia
Momento de inercia central
Producto de inercia
Momento polar de inercia

12. xvi Radio de giro
Radio de giro central
Longit ud
Momento lineal
Longitud; inductancia
Masa
Masa por unidad de longitud
Par; momento-
Momento respecto al punto 0
Momento resultante respecto al punto 0
Modulo de un par o momento; masa de la Tierra
Momento con respecto a1 eje OL
Direccion normal
Componente normal de la reaccion
Origen de coordenadas
Frecuencia circular
Fuerza; vector
Derivada temporal del vector P con respecto a un
sistema de coordenadas de orientation fija
Carga electrica
Fuerza; vector
Derivada temporal del vector Q con respecto a un
sistema de orientacibn tija
Derivada temporal del vector Q con respecto a1 sis-
tema Oxyz
Vector de posicibn
Vector de posicion de B relativo a A
Radio; distancia; coordenada polar
Fuerza resultante; vector resultante; reaccibn
Radio de la Tierra, resistencia
Vector de posicion
Longitud del arco
Tiempo; espesor; direccihn tangcncial
Fuerm
Tension; energia cinetica
Velocidad
variable
Trabajo
Velocidad
Velocidad del centro de gravedad
Velocidad dc B rclativa a un sitcma de referencia en
traslacibn con ..I
Velocidad de P rclali~aa un sislema giratorio ;7
Producto vectorial
Volumcn, crwrgia poccll~,inl
C'arga pnr u~liclaclclc lorlgir ud
Peso; carga
Coordenadas rectangulares; distancias
Derivadas de las coordenadas x, y, z respecto a1 tiempo

13. Coordenadas rectangulares del centro de gravedad, xvii
o centro de masa
Aceleracibn angular Lista de simbolos
Angulos
Peso especifico
Elongacibn
Excentricidad de una seccion conica o de una orbita
Vector unitario a lo largo de una linea
Eficiencia
Coordenada angular; angulo de Euler; angulo;
coordenada polar
Coeficiente de rozamiento
Densidad; radio de curvatura
Periodo; period0 orbita
Angulo de rozamiento; Angulo de Euler; angulo
de fase; angulo
Diferencia de fase
Angulo de Euler
Velocidad angular
Frecuencia circular de la vibracion forzada
Velocidad angular de un sistema de referencia

14. Cinematica
de particulas
11.l.Introduction a la dinamica. Los capitulos del 1al 10
se dedicaron a la estdtica, es decir, al anidisis de los cuerpos en reposo.
Comenzaremos ahora el estudio de la dindmica, que es la parte de la
meciinica que se encarga del aniilisis de 10s cuerpos en movimiento.
Mientras el estudio de la estiitica se remonta al tiempo de 10s fi-
16sofosgriegos, la primera contribuci6n importante a la diniimica fue
hecha por Galileo (1564-1642). Los experirnentos de Galileo sobre cuer-
pos uniformemente acelerados condujeron a Newton (1642-1727) a
formular sus leyes fundamentales del movimie
La diniimica se divide en dos partes: 1)0,inematica ue es.el es-
tudio de la geometria del movimiento y se ra relacionar el
desplazamiento,la velocidad, la aceleraci6n iempo sin hacer re-
ferencia a la causa del movimiento, y dcinktica ue es el estudio de
la relaci6n existente entre las fuerzas actuando so&e un cuerpo, su
masa y su movimiento; la cinttica se usa para predecirel movimiento
causado por fuerzasconocidas'o para determinar las fuerzas necesa-
rias para producir un cierto movimiento.
En 10s capitulos del 11 al 14 se estudia la dinamica de las par-
ticulasy, en especial, el capitulo 11 se dedica al estudio de la cinema-
tica de lasparticulas. El uso de la palabra particulas no implica que
yayamos a limitar nuestro estudio al de pequefios corpusculos, s610
quiere decir que en estos primeros capitulos estudiaremos el movi-
miento de 10s solidos -posiblemente tan grandes como automovi-
les, cohetes o aviones- sin importarnos su tamafio. Analizando a 10s
solidos como particulas indicamos que solo consideraremos su mo-
vimiento como un todo, despreciandocualquier rotaci6n con respecto
a su propio centro de gravedad. Sin embargo, existen casos en que
tal rotacion no es despreciable y 10s solidos no pueden entonces con-
siderarse como particulas. El analisis de tales movimientos se reali-
zara en capitulos posteriores que se encargan de la dinamica de 10s
solidos rigidos.
En la primera parte del capitulo 11 analizaremosel movimiento

15. tl
1 rn
1, I
Fig. 11.1
rectilineo de una particula, es decir, determinaremos para cada ins-
tante la posicibn, velocidad y aceleracibn de una particula conforrne
ksta se mueve a lo largo de una linea recta. Desputs de haber estu-
diado el movimiento de una particula por 10s rnktodos generales de
anhlisis, consideraremos dos casos particulares importantes, que son
el movimiento uniforme y el movimiento uniformemente acelerado
de una particula (secciones 11.4 y 11.5). Luego estudiarernos en la
seccibn 1I .6 el movimiento simultheo de varias particulas, e introduci-
remos el conceptode movirniento relativo de una particula con respecto
a otra. La primera parte de este capitulo termina con un estudio de
los dtodos grAficosde 6 s i s y susaplicacionesa la solucibnde varios
problemas relacionadoscon el movimiento rectilineo de particulas (sec-
ciones 11.7 y 113).
En la segunda parte de este capitulo analizaremos el movimiento
de una particula cuando se muevea lo largo de una trayectoria curva.
Como la posicibn, la velocidad y la aceleracibnde una particula se defi-
nirh corno cantidades vectoriales, el concepto de la derivada de una
funcibn vectorial se introduciri en la seccibn 11.10 y se agregara a
nuestras herramientas matemiticas. Considerarernos entonces unos
ejernplos en donde el movimiento de una particula se define por las
componentes rectangulares de su velocidad y aceleracibn; en este
punto, se analizarh el movimiento de un proyectil (seccibn 11.11). En
la seccibn 11.12 consideraremos el movimiento de una particula en
relacibn con un sistemade referencia en traslacibn. Finalmente anali-
zaremos el movirniento curvilineo de una particula en terrninos de
componentes distintas a las rectangulares. En la secci6n 11.13 intro-
duciremos las componentes tangencial y normal de la velocidad y la
aceleraci6n de una particula y, en la seccibn 11.14, las cornponentes
radial y transversal de su velocidad y aceleracibn.
11.2. Posici611, velocidad y aceleracibn. Se dice que una
particula que se mueve a lo largo de una linea recta tiene un movi-
mienfo recfiheo. En cualquier instante f, la particula ocupara una
cierta posicibn sobre la linea recta. Para definir la posicibn P de la
particula, escogemosun origen fijo 0sobre la linea recta y una direc-
cibn positiva a lo largo de la linea. Medimos la distancia x de 0a P y
la anornos con un signo m b o con uno de menos, dependendo si P se
alcanza desde0moviendose a lo largo de la linea en la direction positiva
o negativa. La distanciax, con su sip0 apropiado, definecompletarnen-
te la posicibn de la particula y se le Uama coordenada de posicidn de
la particula considerada. Por ejernplo, la coordenada de posicion
correspondiente a Pen la figura 11.l a es x = +5 rn, mientras que la
coordenada correspondiente a P' en la figura 1I .l b es x' = -2 m.
Cuando se conoce la coordenada de posicibn x de una particula
en todo valor del tiempo i, decimos que se conoce el rnovimiento de
la particula. La trayectoria del movimiento puede expresarse'en la
forrna de una ecuacibn en x y f, corno x = 6f2 - f3,o en la forrna de
una grafica de x en funcibn de f corno se rnuestra en la figura 11.6.
Las unidades que se usan mas generalrnente para medir la coordena-
da de posicibn x son el metro (m) en el sistema de unidades SI,* y el

16. pie (ft) en el sistema inglks. El tiempo t se medira generalmente en se-
gundos (s).
477
Considerese la posicion P ocupada por la particula en el ins- 11.2. PosIcl6n.velocldady aceleracl6n
tante t y la correspondiente coordenada x (Fig. 11.2).Sea P la posi-
cion ocupada por la particula en un instante posterior t + At; la
coordenada de posicion de P' puede obtenerse agregando a la coor-
denada x de P el pequeiio desplazamiento As, el cual sera positivo o
negativo dependiendo si P esta a la derecha o a la izquierda de P. La
velocidad media de la particula en el intervalo de tiempo At se define
corno el cociente del desplazamiento A x y el intervalo de tiempo At
1, P'
A x
Velocidad media = -
At .prI( t ) ct + at) ,.x
Si se emplean unidades del SI, Ax se expresa en metros y At en segun- Fig. 11.2
dos, de manera que la velocidad media estara expresada en metros
por segundo (m/s). Si se trabaja con las unidades del sistema ingles,
A x se expresa en pies y At en segundos, asi que la velocidad media
estarh dada en pies por segundo (ft/s).
La velocidad instantanea u de la particula en el instante t se ob-
tiene de la velocidad media, escogiendo intervalos de tiempo At
y desplazamientos Ax cada vez mas cortos
AxVelocidad instantanea = u = lim -
At-0 At
La velocidad instantanea se expresara tambikn en m/s o ft/s. Obser-
vando que el limite del cociente es igual, por definicibn, a la derivada
de x con respecto a 1, escribimos
La velocidad v se representa con un numero algebraic0 que puede ser
positivo o negativo. -f Un valor positivo de v indica que x aumenta, es
decir, que la particula se mueve en la direccibn positiva (Fig. 11.3a);un
valor negativo de v indica que x disminuye, es decir, que la particula se
mueve en la direccion negativa (Fig. 1 1.3h).
Considerese la velocidad c de la particula en el instante t y tam-
bien su velocidad + Ac en un instante posterior I + Ar (Fig. 11.4).
La acelerucicitz media de la particula en el intervalo de tiempo At se
define por el cociente de Ar y Ar
Aceleracion media
Cornparese con la seccibn I .3.
b )
Fig. 11.3
I I
- -.K
( t ) ( t + At)
Fig. 11.4
f Corno verernos en la seccibn 11.9, la velocidad es realrnente una canridad vectorial.
Sin embargo, corno aqui esrarnos considerando el rnovirnienro rectilineo de una particuia
donde la velocidad de esra tiene una direccibn conocida y fija. necesirarnos especificar
unicamcnte cl hentido !cl rn0dulo dc la elocidad: esto puede hxerse en h r m a cone-
riienre usando una canridad escalar con un signo + o - . La rnisrna consideraci6n se apli-
cara a la aceleracihn de una parricula en el rnovimiento recrilineo.

17. Si se emplean unidades del SI, Av estarb expresada en m/s y At en se-
gundos, asi que la aceleracion media estara en m/s2. Si se emplean
ClneMcu departicubs unidades del sistema ingles, Av estara en ft/s y At en segundos;
por tanto, la aceleracion media se expresara en ft/s2.
La aceleracion instantanea a de la particula en el instante t se ob-
tiene de la aceleracion media escogiendo valores de At y Au cada
vez mas pequeiios
AuAceleraci6n instantlnea = a = ljm -
A t 4 At
La aceleraci6n instantanea tambitn se expresarl en m/s2 o ft/s2. El
limite del cociente es, por definici6n, la derivada de v con respecto a
t y mide la variaci6n de la velocidad en el tiempo. Escribimos
,i ( 1
4
Fig. 11.5
o sea, sustituyendo u de (11.l),
Q aceleraci6n a se representa por un numero algebraico que puede
ser positivo o negativo. t Un valor positivo de a indica que la veloci-
dad (es decir, el numero algebraico v) aumenta. Esto puede significar
que la particula se esta moviendo m& rlpidaen la direcci6n positiva
(Fig. 11.50) o que se esta moviendo m b despacio en la direcci6n ne-
gativa (Fig. 11.56); en ambos casos Av es positiva. Un valor negativo
de a indica que la velocidad disminuye, ya sea que la particula se
estt moviendo m b lentamente en la direcci6n positiva (Fig. 11.5~)o
que se estk moviendo m b rlpido en la direcci6n negativa (Fig.
11Sd).
El termino deceleracion se emplea algunas veces para referirse
a a cuando la velocidad de la particula (es decir, la magnitud de v) dis-
minuye; entonces la particula se esta moviendo mls lentamente. Por
ejemplo, la particula de la figura 11.5 decelera en las partes b y c,
mientras que en las partes a y d esta realmente acelerada (es decir,
se mueve mas rapido).
Puede obtenerse otra expresi6n para la aceleraci6n eliminando
la diferencial dt en las ecuaciones (I 1.1) y (11.2). Despejandodt en
(11.1) obtenemos dt = dx/v y sustituytndolo en (11.2), escribimos
tVtase la nota a1 pie de la pagina 435.

18. Ejemplo.
p6ngase que su
ConsidCreseuna particula que se mueve en linea recta y su- 479
posici6n 6th definida por la ecuaci6n
4 4.2. Posici6n.velocldady aceleracl6n
x = fjt' - t3
donde t se expresa en segundos y x en metros. La velocidad v a cualquier
tiempo t se obtiene derivando x con respecto a t
La aceleraci6n o se obtiene derivando otra vez con respecto a t
La coordenada de posicion, la velocidad y la aceleracion se han dibujado en
funci6n de t en la figura 11.6. Las curvas obtenidasse conocen como las cur-
var del movimiento. Debe tenerse presente, sin embargo, que la particula no
se mueve a lo largo de ninguna de estas c u ~ a s ,sin0 en linea recta. Como la
derivada de una funci6n mide la pendiente de la curva correspondiente, la
pendiente de la curva x-t a un cierto tiempoes igual al valor de v en ese tiem-
po y la pendiente de la curva v-t aigual al valor dea. Comoo = 0 para t = 2 s,
la pendiente de la curva de v-t debe ser cero en t = 2 s; la velocidad alcanza
un mhximo en ese instante. TambiCn, como v = 0 en t = 0 y en t = 4 s, la
tangente a la curva x-t debe ser horizontal en esos dos valores de I.
Un estudio de las tres curvas de movimiento de la figura 11.6 muestra
que el movimiento de la particula desde t = 0 hasta t = or, puededividirseen
cuatro etapas:
1. La particula parte del origen, x = 0, desde el reposo y con una acele-
racion pasitiva. Con esta accleracibnla pardculaadquiereurn vdocidad
pasitiva y x m u m en la direcci6npasitiva. Desdc t = 0 hastat = 2 s,x,
v y o son todas positivas.
2. En t = 2 s, la acderaci6n a cero; la velocidad ha alcanzadosu m b h o
valor. Desde t = 2 s hasta t = 4 s, v es positiva per0 o a negativa; la
particulacontinua movihdose en la dircfci6n positiva, per0 cada vez
mas lentarnente: la particula esta decelerando.
3. En t = 4 s, la velocidades cero; la coordenada de posicibnx ha alcan-
zado su mbimo valor. A partir de entoncestanto v como0 son nega-
tivas; la particula 6th acelerada y se mueve en la direcci6n negativa
aumentando su velocidad.
4. En t = 6 s, la particula pasa por el origen; su coordenadax esenton-
ces cero mientras que la distancia total recorrida desde el comienzo
del movimiento es de 64 m. Para valores de t mayores de 6 s, x, v y o
serAn todas negativas. La particula continlia movihdose en la direc-
ci6n negativa. alejandose de 0cada vez m b riipido.
Flg. 11.6
11.3. Deteminacidndel mwimiento de una particula. Vi-
mos en la secci6n anterior que el movimiento de una particula se conoce
cuando se sabe su posicibn para cualquier valor del tiempo I, p r o en
la pdctica muy rararnente se define un movimiento por una relaci6n
entre x y i. Con mayor frecuencia las condiciones del movimiento se es-
pecificaricn por el tipo de aceleraci6n que posee :a particula. Por
ejemplo, un cuerpo en caida libre tendrP una aceleracibn constan-

19. 480 te dirigida hacia abajo e igual a 9.81m/s2, o 32.2 ft/s2; una masa unida
a un rcsorte que ha sidoestirado tendrA una aceleracibn proportional a
C i n e m w do particulas
la elongaci6n instantanea del resorte medida desde la posici6n de
equilibria, etc. En general, la accleraci6nde la particula puede expresar-
se como una funci6n de una o tnAs de las variablesx, v y t. Para de-
terminar la coordenada de posici6n x en tkrminos de t sera necesario
entonces realizar dos integraciones sucesivas.
Consideraremos tres clases comunes de movimiento
1. a = At). La aceleracidn es una funci6n conocida de t. Des-
pejando dv de (11.2)y sustituyendof(t) en lugar de a, escribi-
mos
do = a dt
do =.f ( t )dt
Integrando ambos miembros obtenemos la ecuaci6n
J- tro = J-f ( t )dt
que define a v en funci6n de t. Debe notarse que se introduci-
rh una constante arbitraria como resultado de la integraci6n.
Esto se debe al hecho de que hay muchos movimientos que
corresponden a la aceleracibn dada a = f(t). Para definir
univocamente a1 movimiento de la particula es necesario es-
pecificar las condicionesinicialesdel movimiento, es decir, el
valor v, de la velocidad y el valor x, de la coordenada de po-
sici6n en t = 0. Sustituyendo las integrales indefinidas por
integralesdejnidas con limites inferiores correspondientes a
las condiciones iniciales t = 0 y v = v, y 10s limites supe-
riores correspondientes a t = t y v = v, escribimos
que nos da a v en funci6n de t.
Despejamos ahora dx de (11.1):
y sustituimos la expresi6n que acabamos de obtener para v .
Entonces integramos ambos miembros: el izquierdo con res-
pecto a x desdex =x,, hasta x = x y de la derecha con respec-
ta a t desde t = O hasta t = t. La coordenada de posici6n x.
se obtiene asi en funcion de t; el movimiento esta completa-
mente deterrninado.
Se estudiaran dos casos particulares importantes con
mayor detalle en las secciones 11.4 y 11.5: el primer0 cuando
a = 0, correspondiente a un movimiento uniforme y el se-
gundo cuando a = constante, que corresponde a un movi-
miento uniformemente acelerado.

20. 2. a = Ax). La aceleraci6n es unafuncidn conocida de x. Reor-
denando la ecuacibn (11.4)ysustituyendof(x) por a, escribimos
u do = a dx
u do =f ( x )dx
Como cada miembro contiened l o una variable, podemos inte-
grar 'la ecuacibn. Si de nuevo u, y x, representan 10s valores
iniciales de la velocidad y de la coordenada de posicibn, res-
pectivamente, obtenemos
que expresa a u en terminos de x. Despejamos dt en (11.1):
y sustituimos la expresibn que acabamos de obtener para u.
Entonces podemos integrar ambos miembros y obtener la re-
lacibn deseada entre x y t.
3. a = f(u). La aceleraci6n es una funci6n conocida de u. En
ese oso podemos sustituirf(u) en lugar de a, ya sea en (11.2)o
en (1 1.4), para obtener cualquiera de las relaciones siguientes:
La integracibnde la primera ecuacibn dara una relacibn entre
u y t; la integracibn de la segunda ecuacibn nos proporciona-
rA una relacibn entre u y x. Cualquiera de estas relaciones
puede usarse con la ecuacibn (1 1.1) para obtener la relacibn
entre x y t que caracteriza al movimiento de la particula.
Problemas
11.I El movimiento de una particula estd definido por la rela
cidn x = t4- 12t2- 40, donde x estd expresada en metros y t en se-
gundos. Determinense la posicidn, velocidad y aceleracidn cuando
t = 2s.
11.3. Determinocion
del mowmiento
de una particula
11.2 El movimiento de una particula estd definido por la re
lacidn x = t3- 9t2 + 24t-6, donde x estd expresada en metros Y t

22. PROBLEMA RESUELTO 11.2
Una pelota se lanza con una velocidad de 10m/s dirigida verticalmente hacia
arriba desde una ventana localizada a 20 m del suelo. Sabiendo que la acelera-
cion de la pelota es constante e igual a 9.81 m/s2 hacia abajo, determinense:
a) la velocidad v y la altura y de la pelota con respecto al suelo para cual-
quier tiempo t; b) la maxima altura alcanzada por la pelota y el valor corres-
pondiente de t; c) el tiempo en el que la pelota golpeara el suelo y su veloci-
dad correspondiente. Tracense las curvas v-t y y-I.
a) La vrlocidad J. la altura. El eje y que mide la coordenada de po-
sicion (o altura) se escoge por su origen 0 sobre el suelo y su sentido positivo
hacia arriba. El valor de la aceleraci6n y 10s valores iniciales de v y y son 10s
indicados. Sustituyendo el valor de a en a = du/dt y tomando en cuenta que
en t = 0, uo = +10 m/s, tenernos
Sustituyendo este valor de v en la expresih v = dy/dt con la condicibn de .
que en t = 0, yo = 20 rn, encontramos
h) Mixima altura. Cuando la pelota alcanza su maxima altura tene-
mos v = 0. Sustituyendola en (I), obtenernos
10 - 9.81t = 0 t = 1.019s 4
Usando este valor de t = 1.01h en (2)tenernos
C) La bola golpea en el piso. Cuando la bola pega en el suelo, tenemos
y = 0. Sustituyendo en (2) obtenernos
S61o la raiz t = +3.28 s corresponde a un tiernpo despuks de que el rnovi-
miento se inici6, y sustituyendo este valor de t en (I), tenernos
u = 10 - 9.81(3.28) = -22.2 m/s 6 = 22.2 m/s J r

23. PROBLEMA RESUELTO 11.3
Piston
Aceite
El mecanismo de freno usado para reducir el retroceso em algunos cailones
consisteesencialmenteen un embolo que se fija al cafi6n y que puecie moverse
en un cilindro fijo lleno de aceite. Como el call611 retrocede con una veloci-
dad inicial vo,el pist6n se mueve yel aceite es forzado a traves de 10sorificios
en el ernbolo de tal rnodo que Qte y el canon se desaceleren en propor-
ci6n a su velocidad, es decir, a = -kv. Expresense: a) v en terrninosde t; b)
x en terrninosde t; c) v en tkrrninos dex. Dibujense las curvas de rnovirniento
correspondientes.
a) u en rerminos de r. Sustituyendo -kv por a en la f6rrnula funda-
mental que define a la qceleracibn, a = dv/dt, escribimos
I
b) x en rerrninos de r. Sustituyendo la expresi6n que acabarnos de ob-
tener para v en v = &/dl tenernos
,) uenrerminosdex. Sustituyendo -kvparaaena = vdv/dxpode-
du = -kdx
o J v d u = - k i r d x
"0
00
u - u0 = -kx v = c,, - kx 4
Comprohhcidn. La parte c pudo haberse resuelto elirninando r de las
respuestas obtenidas en las partes a y b. Este rnetodo puede usarse entonces
corno una comprobaci6n. De la parte a obtenemos e-k' = duo;que al susti-
tuirla en la respuesta de la parte b, nos da
0
"0 X- x = %(1- e - k t ) = % 1 - -
k k
( ) u = uo - kx (cornprobaciones)
k

24. en segundos. Deterrninense la posich, velocidad y aceleracidn cuan-
do t = 5 s.
485
I
I 1.9 La relaci6n que define el movimiento de una particula es
x = 2t3- 8P + 5t + 15 con x expresada en pulgadas y t en segun-
dos. Determinense la posici6n, velocidad y aceleraci6n en t = 3 s.
-11.4 El movimiento de una particula esth definido por la rela-
ci6n x = 2t3 - 6t2 + 10, donde x esth expresada en pies y t en se-
gundos. Determinenseel tiempo, la posici6n y la aceleraci6n cuando
u = 0.
11.5 El movimiento de una particula se define por la relaci6n
x = P - 12P + 36t + 30 con x expresada en metros y t en segun-
dos. Calculenseel tiempo, la posici6n y la aceleraci6n cuando u = 0.
11.6 El movimiento de una particula esth definido por la rela-
ci6n x = t3- 6t2 + 9t + 5, con x expresada en metros y t en segun-
dos. Determinense:a)t para velocidad cero y b)la posici6n, acelera-
ci6n y la distancia total recorrida cuando t = 5 s.
I 1.7 El movimiento de una particula esth definido por la rela-
ci6n x = 2t3- 15t2+ 24t + 4, con x expresada en metros y t en se-
gundos. Determinense a) t para que la velocidad sea cero y b) la
posici6n y la distancia total recorrida cuando la aceleraci6n es cero.
A
11.8 La aceleraci6n de una particula esth definida por la rela-
ci6n a = -4 pies/ s2.Sabiendo que u = + 24 ft/s y x = 0 cuando
t = 0, determinense la velocidad, la posici6n y la distancia total re-
corrida cuando t = 8 s.
-
11.8 La aceleraci6n de una particula es directamente propor-
cional a1 tiempo t. Para t = 0,la velocidad de la particula es u =
- 12m/s. Sabiendo que u = 0 y x = 15 m para t = 4 s, escribanse I
las ecuaciones del movimiento de la particula. ',I - ,
1
11.I0 La relacidn que define a la aceleraci6n de una particula
es a = 9 - 3t2. Las condiciones iniciales de la particula son: t = 0, - 4
con u = 0 y x = 5 m. Determinensea) el tiempo para el cud la velo-
cidad es otra vez cero, b) la posici6n y la velocidad cuando t = 4 s
y c) la distancia total recorrida por la particula desde t = 0 hasta
t = 4 s . I
11.11 La aceleraci6nde una particula se definepor la relaci6n
a = kt2. a) Sabiendo que u = -32 ft/s cuando t = 0 y que u = +
32 ft/s cuando t = 4s, determinese el valor de la constante k.
b) Escribanse las ecuaciones de movimiento sabiendo tambidn que
x = 0 cuando t = 4 s.
11.12 La aceleracibn de una particula se define por la relaci6n
a = -kr2. La particula estd inicialmente en x = 800 mm sin velo-
cidad inicial y se observa que su velocidad es 6 m/s cuando x = 500
mm. Determinense a) el valor de k y b) la velocidad de la particula
cuando x = 250 mm.
11.13- La aceleracibnde una particula esth definida por la rela-
ci6n a = -k/x. Se ha encontrado experimentalmente que u = 5m/s
cuando x = 200 mm y que u = 3 m/s cuando x = 400 mm. Determi-
nese a)la velocidad de la particula cuando x = 500 mm, b) la posi-
ci6n de la particula cuando su velocidad es cero.
Problemas

25. 486 11.14 La aceleraci6n de una particula en oscilaci6n se define
por la relaci6n a = -kx. Encutntrense a) el valor de k de tal mod0
Cinematicade particulas que u -= 15in/s cuando x = 0y x = 3 in cuando u = 0 y b) la veloci-
dad de la particula cuando x = 2 in.
11.15 La relacidn que define la aceleraci6nde una particula es
a = 25 - 33, donde a se expresa en in/s2.yx en pulgadas. La parti-
cula parte de la posici6n x = 0 desde el reposo. Determinense a) la
velocidad cuando x = 2 in, b) la posici6n donde la velocidad es nue-
vamente cero y c) la posici6n donde la velocidad es mhima.
11.16 La aceleraci6n de una particula esti definida por la rela-
ci6n a = - 4M1 + ku?), donde a esti expresada en m/s2 y x en me-
tros. Sabiendo que u = 17 m/s cuando x = 0, detenninese la veloci-
dad cuando x = 4 m, para a) k = 0 y b) k = 0.015, c) k = - 0.015.
11.17 La aceleraci6nde una particula esti definida por la rela-
cion a = -60~-'.~,donde a se expresa en m/s2 y x en metros. Sa-
biendo que la particula estd inicialmqte en reposo en x = 4 m, de-
terrninese la velocidad de la particula cuando a) x = 2 m, b) x = 1 m
y c) x = 100 mm.
11.18 La relaci6n que definela aceleraci6nde una particula es
a = - 0 . 4 ~donde a esti expresada en ids2y u en ids. Sabiendo
que para t = 0 la velocidad es 30 i d s , determinense a) la distancia
que la particula viajari antes de detcnerse y b) el tiempo necesario
para que la particula se pare, c)el tiempo requerido para que la velo-
cidad de la particula se reduzca a1 1 % de su valor inicial.
11.19 La aceleraci6n de una particula esti definida por la rela-
ci6n a = -kv2, donde a se exprcsa en ft/s2 y v en ft/s. La particula
parte de x = 0 con una velocidad de 25 ft/s y cuando x = 40 ft se
encuentra que la velocidad es 20 ft/s. Determinese la distancia que
la particula viajari: a) antes de que su velocidad disminuya a 10ft/s
y b) antes de pararse.
11.20 ResuClvase el problema 11.19 suponiendo que la acele-
raci6n de la particula esti definida por ka relaci6n a = -kv3.
11.21 La aceleraci6n de una particula que cae a travts de la at-
mosfera esti definida por la relaci6n a = g( 1-k2u2). Sabiendo que
la particula parte del reposo en t = 0,a) mukstrese que la velocidad
en el tiempo t es u = (l/k) tanh(kgt), b) escribaseuna ecuaci6n que
defina la velocidad de la particula para cualquier valor de la distan-
cia x que haya caido. c) iPor quC? v, = l/k se llama velocidad ter-
minal?
11.22 La aceleraci6n de una particula se define por medio de
la relaci6n a = -0.02~'.~~,donde a estd expresada en m/s2 y u en
m/s. Sabiendo que la velocidad inicial de la particula es 15 m/s en
x = 0, determinense a) la posici6n donde la velocidad es 14 m/s y
b) la velocidad de la particula cuando x = 100 m.
11.23 La aceleraci6nde una particula estd definida por la rela-
cion a = k ~ ' . ~ .La particula parte de t = 0 en x = 0 con una velo-
cidad inicial u,. a) Demuestrese que la velocidad y la cooraenada de
posicibn a cualquier tiempo t estin relacionadaspoi la ecuaci6n (x/t)
= G b ) Sabiendo que para v, = 25 m/s la particula se para des-

26. pubs dehaber recorrido 50 rn, deterrninese la velocidad de la particu-
la y el tiernpo cuando x = 30 rn.
11.24 La velocidad de una particula esta definida por la rela-
cibn v = 8 - 0.02x, don& v se expresa en rn/s y x en metros. Si
x = 0 para t = 0, determinense a) la distancia recorrida antes de
que la particula se pare, b) la aceleraci6n en t = 0 y c) el tiernpo
cuando x = 100 m.
11.25 Un proyectil entra a un rnedio resistente en x = 0 con
una velocidad inicial v, = 1200 ft/s y viaja 4 in antes de pararse.
Suponiendo que la velocidad del proyectil esta definida por la rela-
cibn u = v, - kx, donde v se expresa en ft/s y x en pies, determi-
nense: a) la aceleraci6n inicial del proyectil y b) el tiernpo que tard6
el_proyectil en penetrar 3.75 in en el rnedio resistivo.
1 1.26 4.a aceleraci6n de la gravedad a una altura y sobre la su-
perficie de la tierra puede expresarse corno
donde a se rnide en m/s2 y y en metros. Usando esta expresi6n cal-
culese la altura alcanzada por una bala disparada verticalrnente ha-
cia arriba sobre la superficie de la Tierra con las siguientes velocida-
des iniciales; a) 200 rn/s, b) 2000 rn/s y c) 11.18 km/s.
11.27 La aceleraci6n de una particula que esta cayendo hacia
la ~ierra,,debidaa la gravedad, es a = -gR2/$, donde r es la dis-
tancia desde el centro de la Tierra a la particula, R es el radio de la
Tierray g es la aceleraci6nde la gravedad en la superficiede la tierra.
ObtCngase una expresibn para la velocidad de escape, es decir, para
la velocidad minima con la cual debe lanzarse una particula vertical-
mente hacia arriba desde la superficiede la Tierra para que no regre-
se a Csta. (Sugerencia. v = 0 para r = w.)
11.28 La aceleraci6n de una particula es a = k sen (nt/T). Si
tanto la velocidad corno la coordenada de posici6n de la particula
son cero cuando t = 0, deterrninense: a)las ecuaciones de rnovirnien-
to, b)la mkirna velocidad, c) la posici6n para t = 2T y 4 la veloci-
dad media en el intervalo de t = 0 a t = 2T.
11.29 La aceleraci6n de un collarin que se rnueve en una linea
recta esta definida por la relaci6n a = 50 sen t n t , donde a esta ex-
presada en mm/s2 y t en segundos. Sabiendo que x = 0 y u = 0
cuando t =0, deterrninense a) la velocidad rnhima del collarin, b)
su posicion en t = 4 s y c) su velocidad media en el intervalo 0
< t < 4 s .
11.4. Movimiento rectilineo unitorme. El movimiento rec-
tilineo uniforme es un tip0 de movirniento en linea recta que se en-
cuentra con frecuencia en aplicaciones practicas. En este movimiento
la aceleracibn a de la particula es cero para cualquier valor de I . Por
consiguiente,la velocidad u es constante y la ecuacih ( 1 1 . 1 ) se trans-
forma en
Problemas
Fig. P11.26 Fig. P11.27
Fig. P11.29
-dx = o = constante
dt

27. 488 La coordenada de posicibn x se obtiene integrando esta ecuaci6n.
Sea xo al valor inicial de x, escribimos
Cinematic0 de particulas
t
j Z d x = v~ dt
20
X - x0 = vt
Esta ecuaci6n puede aplicarse s6lo si se sabe que la velocidad de la
particula es constante.
11.5. Movimiento rectilineo uniformemente acelerado.
El movimiento rectilineo uniformemente acelerado es otro tipo comun
de movimiento. En ate movimiento la aceleracibn a de la particula es
constante y la ecuacibn (11.2) se transforma en
--dv - a = constante
dt
La velocidad v de la particula se obtiene integrando esta ecuaci6n:
donde vo es la velocidad inicial. Sustituyendo este valor de v en
(I I.I), escribimos
Sea x,el valor inicial de x e integrando, tenemos
t
[:dx = 4(v, +at) dt
Tambien podemos usar la ecuaci6n (11.4) y escribir
v* = a = constante
dx
v dv = a dx
lntegrando,ambos miembros encontramos que
J' r; do = u J Zclx
u0 Jll

28. Las tres ecuaciones que hemos obtenido nos proporcionan rela-
cionesutilesentre la coordenada de posici6n, la velocidad y el tiempo
en el caso de un movimiento uniformemente acelerado, al sustituir
10s valores adecuados de a, v,, y x,. El origen 0del eje x debe defi-
nirse primer0 y escogerse una direcci6n positiva a lo largo del eje; es-
ta direcci6n se usara para determinar 10s signos de a, v, y x,. La
ecuacibn (11.6) relaciona a v y a ! y debe usarse cuando se desea el
valor de v correspondiente a un valor dado de 1, o inversarnente. La
ecuaci6n (11.7) relaciona a x y a I; la ecuaci6n (11.8) relaciona a v y a
x. Una aplicaci6n importante del movimiento uniformemente acele-
rado es el rnovirniento de un solido en caida libre. La aceleracion de
un solido en caida libre (usualmente representada por g) es igual a
9.81 m/s2 o 32.2 ft/s2.
Es irnportante recordar que las tres ecuaciones anteriores
pueden usarse sdlo cuando se sabe que la aceleracidnde la parllcula
es constanre. Si la aceleracibn de la particula es variable, su movi-
mientodebedeterminarsede lasecuacionesfundamentales, de la (11.1)a
la (11.4), de acuerdo con los mktodos descritos en la secci6n 11.3.
11.6. Movimiento de varias particulas. c-do par-
ticulas se mueven independientemente a lo largo de la misma linea,
pueden escribirse ecuaciones de movimiento independientepara cada
particula. Siempreque sea posible, el tiempodebe registrarse desde el
rnisrno instante inicial para todas las particulas y 10s desplazamientos
deben rnedirse desde el mismo origen y en la misma direcci6n. En otras
palabras, debe usarse un mismo reloj y una misma cinta de medir.
Movimiento relativo de dos particulas. Imaginemosdos par-
ticulas, A y B, movikndosea lo largo de la misma linea recta (Fig. 11.7).
Si las coordenadas de posici6n xA y x, se miden desde el mismo ori-
gen, la diferenciax, - xA define a la coordenadadeposicidn relariva
de B respecto de A y se representa por x,, .Escribimos
Un signopositivo para x,,, significaque B esth a la derechade A; un
signo negativo quiere decir que B esth a la izquierda de A, indepen-
dientemente de la posicibn de A y de B respecto del origen.
La derivada temporal de x,, es la velocidad relariva de B res-
pecro de A y se representa por vBl,. Al derivar la ecuacion (11.9)
podemos escribir
Un signo positivo para u,, significa que desde A se observa que B
se rnueve en direcci6n positiva; un signo negativo significa que se le
ve rnoverse en la direcci6n negativa.
La derivada temporal de v,, se conoce como la aceleracibn re-

29. Clnem6tlcade particulas
Fig. 11.9
lariva de B respecto de A y se representa por a,,, .Derivando (I 1.11
obtenernos t
a,,, = a, - a, 0 = +%/A (11.1:
Movimientos interdependientes. En algunos casos la pc
sicion de una particula dependera de la posicion de otra o de otra
varias particulas. Se dice entonces que 10s rnovimientos son interde
pendientes. Por ejemplo, la posicion del bloque B en la figura 11.
depende de la posicion del bloque A. Como la cuerda ACDEFG e
de longitud constante y puesto que las longitudes de las porcione
C D y EFde la cuerda, que pasan sobre las poleas, permanecen cons
tantes, la suma de las longitudes de 10s segmentos AC, DE y FG e
constante. Observando que la longitud del segment0 AC difiere dl
x, solo por una constante y que, en forma semejante, las longitude:
de 10s segmentos DE y FG difieren de x, solo por una constante
escribimos
xA + 2xB = constante
Puesto que s6lo una de las dos coordenadas xA y xB puede escogersc
arbitrariamente, decimos que el sistema mostrado en la figura 11.t
tiene un grodo de libertod. De la relaci6n entre las coordenadas dc
posici6n xA y xB se sigue que, si a xA se le da un increment0 4 ,es
decir, si el bloque A se baja por una cantidad ArA,la coordenada xB
recibiri un increment0AxB =-;AxA ;esdecir, el bloque B se elevara la
rnitad de la misrna cantidad; lorcual puede cornprobarse fdcilrnente
de la figura 1 1.a.
En el caso de 10s tres bloques de la figura 1 1.9podernos observar
otra vez que la longitud de la cuerda que pasa sobre las poleas es
constante, de modo que debe satisfacerse la siguiente relacibn para
las coordenadas de posici6n de 10s tres bloques:
2x, + 2xB +x, =constante
Como dos de las coordenadas pueden escogersearbitrariarnente, de-
cirnos que el sisterna mostrado en la figura 11.9tienedosgrodosde li-
berrod.
Cuando la relacibn existente entre las coordenadas de posici6n
de varias partlculas es lineal, se cumple una relaci6n sernejante entre
las velocidades y entre las aceleraciones de las particulas. En el caso
de 10s bloques de la figura 11.9. por ejemplo, se deriva dos veces
la ecuacibn obtenida y escribimos,
.
dx, dx, dx,
2 - + 2 - + - = o 0 2 v A + 2 r ; , + o c = 0
dt dt- dt
do, do, do
2 - + 2 - + C = o
dt dt dt
o 2a, +2aB + a c = O
f Nbtcsc que cl productode 10s subindices A y B/A cmplcados cn el m~cmbrodc.
rccho dc las ccuaciona (1 1.9). ( 1 1.10) y ( I I . 1 I ) a igual al subindicc B usado en su
micmbro izquierdo.

30. PROBLEMA RESUELTO 11.4
Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba desde un nivel de 12 m en el
pozo de un ascensor, con una velocidad inicialde 18d s . En el mismoinstan-
te un ascensor de plataforma abierta pasa el nivel de 5 m, movihdose hma
arriba con una velocidadconstantede2 m/s. Determinense:a) &do yd6n- ,
de golpeartila pelota al ascensor,b)la velocidad relativa de la pelota respecto
al ascensor cuando la pelota lo golpea.
Movimiento de la pelota. Como la pelota tiene una acclaacibn cons- .
tante, su movimientoesuniformemente acelerado. Colocandoel origen 0del
eje y a1 nivel del piso y escogiendo su direccibn positiva hacia arriba, en-
contramos que la posici6n inicial esyo = +12m, la velocidad inicial es vo =
+18m/s, y la aceleracibn es a = -9.81 m/s2. Sustituyendoatos valoresen
las ecuaciones para el movimiento uniformementeacelerado escribimos
Movimientodel axensor. Comoeliscemmtiene una velocidadconstante,
su movirnientoes unifonne, Una vez IT& tscogemcsel uigen0en el n i d del pi-
so y consideramosla direccibn positiva hacia arriba; entoncesyo = +5 m y
escribimos
vE = +2 m/s (3) .
Y ~ = Y ~ + ~ ~ ~y E Z 5 + 2 t (4)
La bola pega en el ascensor. Notarnos primer0 que usamos el mismo
tiempo t y el mismoorigen 0para escribir lasecuacionesdemovimientode la
pelota y del ascensor. De la figura vemos que cuando la pelota pega en el as-
censor,
Sustituyendolos valores dey, yy, de (2) y (4) en (5). tenemos
lhicarnente la raiz t = 3.65 s corresponde a un tiempo posterior a la ini- .
ciacibn del movimiento. Sustituyendoeste valor en (4)obtenemos
y, = 5 +2(3.65) = 12.30m
Elevacibndesde el suelo = 12.30 m r
La velocidad relativa de la pelota respecto del ascensor es
/
vBIE= V , - vE = (18 - 9.81t) -2 = 16 - 9.81t
Cuando la pelota pega en el ascensor a1 tiempo t = 3.65 s, tenemos
El signo negativo nos indica que se observa desde el ascensor a la'plota, que ,
se mueve en sentido nemtivo (hacia abaiol.

31. PROBLEMA RESUELTO 11.5
I,
El collar A yel bloque Bestb unidos con un cableque pasa sobre las tres p@
leasC,D y E, comoseindica. Las poleasCy E e s h fijasmientrasquela plea D
esth unida a un collar del que se tira hacia abajo con velocidad constante de
3 i n k En f = 0, el collarA empieza a moversc hacia abajo desde la posicibn K
con una aceleracibn constante y sin velocidad inicial. Sabiendoque la veloci-
dad del collar A es de 12 in/s cuando pasa por el punto L, determinense el
cambio en elevacidn, velocidad y aceleracidn del bloque B cuando el
collar A pasa por L.
Movimiento del collar A. Colocamos el origen 0en la superficie hori-
zontal superior y escogemos la direccibn positiva hacia abajo. Obsewamos
que cuando I = 0, el co1lar.A estA en la posicibn K y (v,), = 0. Como u, =
12 i d s y xA - (x,)~ = 8 in cuando el collar pasa por L, escribimos
El tiempo en el que el collar A llega al punto L, se obtiene al escribir
Movimientode In polea D. Tomando en cuenta que la direccibnpositi-
.va es hacia abajo, escribimos
I
0 Cuando el collar A esth en L, en 1 = 1.333 s, tenemos 3'cI - 1 1 I
' 1 I 1 I
(7' :1 ,/p, ' xD = ( x ~ ) ~+ 3(1.333) = (1,)" + 4
, @ J o - - A / Por tanto
xD - (x,), = 4 in.
I I
f Movimiento del bloque B. Notamos que la longitud total del cable
ACDEBdifiere de la cantidad (x, + 2xD +-xB).dlopor una constante. CG
mo la longitud del cable es constante durante el movimiento, esta cantidad
debe permanecer constante tambih. En consecuencia, considerando 10s
t tiempos I = 0 y ,l= 1.333 s, escribimos
,, v D = 3 i n / s XA + 2xD + XB = (x,,)o + ~(xD)O+ (xB)o (1) '3 I I
['A - (*A)O] + 2[xD - (XD)(J~ [xB - (XB)~]=
0
(2)
Pero como sabemosquex, - (x,),, = 8in yquexD - (x,), = 4 in, sustitu-
yendo estos valores en (2). encontramos
8 + 244) + [x, - (x* 0 x, - (x,), = -16 in.
Cambio en la elevacibn de B = 16in r
Derivando (1)dos veces, obtenemoslas ecuacionesque relacionan a las velo-
cidades y a bsaceleracionesdeA, By D. Sustituyendo10svaloresde lasvelocida-
des y las aceleraciones de A y D cuando 1 = 1.333 s, obtenemos

32. 11.30 Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba desde un
punto sobre un puente situado 40 m sobre el agua. Si la piedra gol-
pea 4 s despuCs de soltarse, determinense a) la velocidad con la cual
se lanz6 hacia arriba y b) la velocidad con que golpe6 el agua.
11.31 Una automovilista viaja a 54 km/h cuando observa que
un semdforo a 240 m adelante de ella cambia a rojo. El semdforo
estd programado para permanecer con la luz roja 24 s. Si la automo-
vilista desea pasar por el semdforo sin pararse, justamente cuando
se cambia a verde otra vez, determinense a) la deceleration unifor-
me que debe aplicarle al vehiculo y b) la velocidad del autom6vil a1
pasar el semdforo.
11.32 Un autom6vil recorre 1200 ft en 30s con aceleraci6n
constante de 1.8 ft/s2. Determiriense a) su velocidad inicial, b) su
velocidad final y c) la distancia recorrida durante 10s primeros 10s.
11.33 Una piedra se deja caer desde un ascensor que se mueve
hacia arriba con una velocidad de 15 ft/s, y alcanza el fondo del
pozo en 3 s. a) LA quC altura se encontraba el ascensor cuando se
dej6 caer la piedra? b) icon quC velocidad cae la piedra a1fondo del
pozo?
11.34 Un autobus tiene una aceleracibn de 0.75 q/s2 al mo-
verse de A a B. Sabiendo que su velocidad era vo = 27 km/h a1 pa-
sar por el punto A, determinense: a)el tiempo requerido por el auto-
bus para llegar a1 punto B y b) la velocidad correspondiente con la
que pasa por B.
11.35 Resutlvase el problema 11.34 si la velocidad del autoblis
a1 pasar por A fuese de 18 km/h.
I--- 240 m - 4
Fig. P11.31
Fig. P11.32
L l r n m - 4
Fig. P11.34
. . X - I
Fig. P11.36 I
11.36 El autom6vil A sale de 0 con una aceleraci6n uniforme
de 0.75 m/s2. Poco tiempo desputs es alcanzado por un autobds
que se mueve en la direcci6n opuesta con una velocidad constante de
6 m/s. Sabiendo que el autobus B pasa por el punto 0 20 s despds
que el autom6vil A sali6 de alli, determinensecudndo y d6nde secru-
zaron 10s vehiculos.
11.37 Dos autom6viles A y B viajan en la misma direcci6n en
lineas contiguas de la carretera. El autom6vil B se para cuando es
rebasado por A, el cual va a una velocidad constante de 15mi/h. Si
dos segundos despuCs el autom6vil B inicia su movimiento con una
aceleraci6n de 3 ft/s2, determinense a) cudndo y d6nde B rebasard
a A, y b) la velocidad de B en ese momento.

33. 11.38 Los autodviles A y B circulan en carriles adyacentes
en una carretera, y en t = 0 tienen las posiciones y velocidadesmos-
tradas. Sabiendoque el autom6vilA tiene una aceleraci6n constante
de 1.8 ft/s2 y que B tiene una deceleracion constante de 1.2 ft/s2,
determinense: a) cubdo y d6nde A rebasart a B, y b) la velocidad
de cada autom6vil en ese instante.
Flg. P11.40 y P11.41
Flg. P11.42 y P11.43.-
Fig. P11.44 y P11 . 4 q
d'
=
t-
F - - s
Fig. P I1.38
1139 Un elevador de plataforma abierta baja al pozo de una
mina con una velocidad constante u, cuando la plataforma del ele-
vador pega y desprendeuna piedra. a)Suponiendoque la piedra em-
pieza a caer sin velocidad inicial, demuestrese que la piedra pegarP
a la plataforma con una velocidad relativa de magnitud u,. b) Si u,
= 7.5 m/s, determinese cubdo y d6nde pegard la piedra a la plata-
forma del elevador.
'
11.40 El ascensor mostrado en la figura adjunta se mueve ha-
ciaarriba a la velocidadconstante de 5 m / ~ .Determinesea)la veloci-
dad del cable C, b) la velocidad del contrapeso W, c) la velocidad
relativadel cable Ccon respecto al ascensor y d)la velocidad relativa
del contrapeso W con respecto al ascensor.
11.41 El ascensor mostrado parte del reposo y se mueve hacia
arriba con una aceleraci6n constante. Si el contrapeso Wrecorre 10
m en 5 s, detpminense: a) las aceleraciones del ascensor y del cable
C y b) la velocidad del elevador despuCs de 5 s.
1i.42 El bloque deslizanteB semueve a la derechacon una ve-
locidad constante de 18 in/~.Determinense a) la velocidad del blo-
queA, b)la velocidad de la porci6n D del cable, c)la velocidad rela-
tiva de A respecto de B y 4 la velocidad relativa de la porci6n C
respecto de la porci6n D.
11.43 El bloque deslizanteA parte del reposo y se mueve hacia
la izquierda con una aceleraci6nconstante. Si se sabe que la veloci-
dad del bloque B es 12 i d s despuks de moverse 24 in, deterrninense:
a) las aceleraciones de A y B, y b) la velocidad y la posicidn de A
desputs de 5 s.
11.44 El collarin A parte del.reposo y se mueve hacia la
izquierda con una aceleracion constante. Sabiendo que 6 s despub
la velocidad relativa del collarin B respecto del collarin A es 450
mm/s. determinense: a) las aceleraciones de A y B, y b) la posicion
y la velocidad de B 8 s despues.
11.45 En la posici6n mostrada el collar B se mueve a la iz-
quierda con u-dad de 100 mm/s. Determinense: a)la veloci-
dad del collarin A, 6) la velocidad de la porcion C del cable y c) la
velocidad relativa dt la porcion C del cable respecto del collarin B.
I

34. 2 J ! - 6 J p - U K - U
I p. G J -i OL I
' '
0 - i
' , f i - ! *
- , 6 ,
11.46 En condicionesnormales de operaci6n la cinta es trans- 1 : , / ?terida entre 10s carretes aqui mostrados con una velocidad de 720 495
mm/s. En t = 0, la porcion A de la cinta se mueve a la derecha con
' > - J i l p - vp-3 PKbb"ms
una velocidad de 600 mm/s y tiene una aceleracionconstante.Sabien- 7
do que la porcion B de la ciota tiene una velocidad constantede 720 LIP - 0 & 0
mm/s y que la velocidad de la porcion A alcanza 720 mm/s en t = 6
s, determinense a)la aceleraci6n y velocidad del compensador C en L c j i l p 4 '{g 11
t = 4 s, b) la distancia a la que C se habrh desplazado en t = 6 s.
I'
I 1 -
I' . r -
.,
i
t
3% :?,Lt Flg. P I1.46 y PI1.47
'%,?
' i A
,--
>
11.47 Las porciones A y B de la cinta aqui modtrada parten
del reposo en t = 0 y ambas se aceleran uniformemente hastir@
alcanzan una velocidad de 720 mm/s, cada porcion de la cinta se mue-
ve entonces con una velocidad constante de 720 mm/s. S biendo que
?las porciones A y B alcanzan la velocidad de 720 mm/s en 18 s y 16 s,
respectivamente, determinense: a) la aceleracion y la velocidad !el
compensador C en t = 10 s y b) la distancia C que habra recorridb
cuando ambas porciones de la cinta alcanzan su velacidad final.
, .
1 1.48 El collarin A parte del reposo &ando t =. 0 y se mueve
hacia arriba con una aceleracibn constants de 3.d inis*. S,abiendo
que el collarin B se mueve hacia abajo con una velocidad constante
de 16 in/s, determinense: a)el tiempo a1cual,la velocidad del bloque
11.49 Los collarines A y B parten del reposo y se mueven con
las siguientes aceleraciones: a, = 2.3 in/s2 hacia arriba y aB = 15
in/s2hacia abajo. Determinensea)el tiempo en que la velocidad del
bloque C es otra vez cero y bj la distanciaque el bloque C habrh re-
corrido en ese tiempo.
11.50 Los ires bloques que se indican esthn igualmente espa-
ciados horizontalmente y se mueven verticalmente con velocidades
constantes. Sabiendo que en el inicio esthn al mismo nivel y que la
velocidad de C respecto de B es 200 mm/s hacia abajo, determinese
la velocidad de cada bloque de manera que 10s tres bloques perma-
nezcan alineados durante su movimiento.
11.51 Los tres bloques aqui mostrados se mueven con veloci-
dades constantes. Encutntrese la velocidad de cada bloque si la velo-
cidad relativa de A respecto de C es 120 mm/s hacia arriba y que la
velocidad relativa de B respecto de A es 40 mm/s hacia arriba.
I
Flg. P I1.48 y P I1.49
' /
Flg. P11.5@y P11.51

35. 496 '11.7. Solucion grafica de problemas de movimiento rec.
tilineo. Se observb en la seccibn 11.2 que las fbrmulas fundarnentales
Cl- de partlcuh
tienen un significado geomktrico. La primera fbrmula expresa que la
velocidad en cualquier instante es igual a la pendiente de la curva x-t
en el mismo instante (Fig. 11.10). La segunda fbrmula expresa que la
Fig. 11.11
aceleracibn es igual a la pendiente de la curva u-1. De estas dos pro-
piedades pueden obtenerse graficamente las curvas u-t y a-t de un
movimiento cuando se conoce la curva x-t.
Al integrar las dos formulas fundamentales desde un tiempo r,
hasta un tiempo t,, escribimos
La primera formula expresa que el Brea medida bajo la curva v - t des-
de t, hasta I, es igual alcambioen x durante eseinterval0(Fig. 11.1 1). La
segunda expresa de manera similar que el irea medida bajo la curva
o-t desde t , hasta t, es igual al carnbio en u durante el mismo interva-
lo. Estas dos propiedades pueden emplearse para deterrninar grafica-
mente la curva x - t de un movimiento cuando se conoce su curva
u - t o la curva a - t (vease el problema resuelto 11.6).
Las soluciones grificas son especialmente utiles cuando el movi-
miento que se considera se define a partir de daios experimentales y
cuando x, v y a no son funciones analiticas de I. Tambien pueden
aprovecharse cumdo el movimiento consta de diferentes partes y cuan-
do su anilisis requiere que se escriba una ecuacibn distinta para cada
una de sus partes. No obstante, al usar una solucibn grifica se debe
tener cuidado en reconocer: 1) que el area bajo la curva v - I mide al
carnbio en x, y no a x misma y, de mod0 similar, que el area bajo
la zurva a-I mide al carnbio en v; 2) que mientras un area por
encima del eje t corresponde a un increment0 en x o en v, un area
localizada bajo el eje t mide una disminucion en x o en v.
Seri util recordar, al dibujar curvasde movimiento, que si la veloci-
dad es constartte estari representada por una linea recta horizontal; la
coordenada de posicibn x seri entonces una funcibn lineal de t y estara
representada por una linea recta oblicua. Si la aceleracibnes constante

36. y distinta de cero, estara representada por una linea recta horizontal;
v sera entonces una funci6n lineal de 1, representada por una linea
recta oblicua y x estara expresada como un polinomio de segundo
grado en t, representado por una parabola. Si la aceleraci6n es una
funci6n lineal de f, la velocidad y la coordenada de posici6n serhn
iguales, respectivamente, a polinomios de segundo y tercer grados; a
estarh representada entonces por una linea recta oblicua, v por una
parhbola yx por una chbica. En general, si la aceleraci6n es un poli-
nomio de grado n en f,la velocidadsera un polinomio de grado n + 1
yla coordenada de posici6n un polinomiode grado n + 2; estos poli-
nomios estAn representados por curvas de movimiento del grado co-
rrespondiente.
'1 1.8. Otros metodos graficos. Puede utilizarse otra solu-
cibn grafica para determinar directamentede la curva a-t la posici6n
de una particula en un instante dado. Sean x, y v,, respectivamente
10s valores dex y v a f = 0,y x, y v, sus valores a f = I,, y observan-
do que el Area bajo la curva v-f puede dividirse en un recthngulo de
Area v,t, y elementos diferenciales horizontales de area (f, - f) dv
(Fig. 11.12a), escribimos
X , - xo = Area bajo la curva v-t = uOtl + J ~ ~ ( ~ ~- t)do
vo
Al sustituir dv = a df en la integral, obtenemos
En la figura 11.126, notamos que la integral representa el momento
de primer orden del area bajo la curva a-t respecto de la linea f = f,
que limita el area de la derecha. A este metodo de solucion se le
llama, por consiguiente, mkfodo del momento-area. Si se conoce la
abscisa t del centro de gravedad C del area, puede obtenerse la coor-
denada de posicion x, escribiendo
x, = x, + u,t, + ( area bajo la curva a-f )(t, - t) (11.13)
Si el area bajo la curvaa-t es compuesta, el ultimo terminoen (1 1.13)
puede obtenerse multiplicando a cada componente del area por la
distancia de su centro de gravedad a la linea t = t,. Las areas por
arriba del eje t deben considerarse como positivas y las de abajo del
eje t como negativas.
Algunas veces se emplea otro tipo de curva de movimiento, la
curva v-x. Si se ha representado esta curva (Fig. 11.13), la acelera-
cion a puede obtenerse para cualquier tiempo trazando la normal a
la curva y midiendo la subnormal BC. De hecho, observando que el
angulo entre AC y AB es igual al angulo 8 entre la horizontal y la
' tangente en A (cuya pendiente es tan 8 = dvldx),escribimos
y entonces, recordando la f6rmula (11.4),
118. Otros metodos graficos
I
L
Flg.
'c
I--- 0 -A x
Flg. 11.13

37. *
PROBLEMA RESUELTO 11.6
aplican 10s frenos, dgndoleal tren una desaceleracion constante hasta parado
en 6 s. El tiernpo total de recorrido de A hasta B es 40 s. Tracense las curvas
a-I, v-I, y x-I, y deterrninese la distancia entre las estaciones A y B.
C'urba acel@acibn-tiernpo. Corno la aceleracibn es constante o cero, la
curva 0-1 esra forrnada por segrnentos de lineas horizontales. Los valores de
I , y a, se determinan en la forrna siguiente:
0 < t <6: El carnbio en v = a1 area bajo la curva a-I
r;, - 0 = (6 s)(4ft/s" = 24 ft/s
6 < t < t,: Corno la velocidad aurnenta de 24 a 48 ft/s.
El carnbio en v = area bajo la curva a-1
48 - 24 = (t2- 6)(6ft/s2) t2 = 10 s
t2 < t <34: Como aqui la velocidad es constante, la aceleraci6n es cero.
34 <t <40: el carnbio en u = area bajo la curva 0-1.
0 - 48 = (6 s)c~, (1, = -8 ft/s2
Siendo la aceleracibn negativa, el area correspondiente queda abajo del eje I ;
esta area representa una disrninuci6n en la velocidad.
Cuna eloridad-tiernpo. Puesto que la aceleracibn es constanreo cero,
la curva v-r esta forrnada por segmentos de linea recta que unen a 10s puntos
determinados arriba.
El carnbio en x = area bajo la curva v-I
Suniando los carnbios en .u obtenernos la distancia de A a B:
C'urba poicii)n-~icmpo. L-os puntos derern~inadosarriba deben unirw
por ires arcos de parabola y un segment0de linea recta. La construccih de la
curva x-r se hara mas facilniente y con mayor exactitud si renenlos en nlerlre
que, para cualquier valor de r, la pendiente de la rangenle a la curu x-I er
igual a1 valor de u en ese instanre.

38. Problemas
11.52 Una particula se mueveen linea recta con la aceleraci6n
mostrada en la figura. Sabiendo que pate del origen con vo = - 18
ft/s, a)dibuje las curvas v - t y x- t para 0 < t < 20 s, b) determi-
nense su velocidad, su posici6n y la distancia total recorrida 12s des-
puts.
Fig. P11.52
11.53 Para la particula y el movimiento del problema 11.52
trhcense las curvas v-t y x-t para c t c 20 s y determinense a) el
valor mhimo de la velocidad de la particula y b) el valor mhimo
de su coordenada de posici6n.
11.54 Una particula se mueve en una linea recta con la veloci-
dad mostrada en la figura. Sabiendo que x = -16 m para t = 0, di-
bujense las curvas a-t y A-t para 0 < t < 40 s y determinense a) el
mhimo valor de la coordenada de posici6n de la particula, b) 10s
valores de t en 10s que la particula esth a una distancia de 36 m del
origen.
11.55 Para la particula y el movimiento del problema 11.54
grafiquense las curvas a-t y x-t para 0 < t < 40 s y deterrninense
a) la distancia total recorrida por la particula durante el period0 de
t = 0 a t = 30 s y b) 10s dos valores de t cuando la particula pasa
por el origen.
Fig. P11.56
11.56 Un autobus sale del punto A desde el reposo y acelera
a raz6n de 0.8 m/s2 hasta que alcanza una velocidad de 12 m/s.
Continua a 12 m/s hasta que aplica 10s frenos; alcanza el reposo en
el punto B, 42 m despues del punto donde 10s frenos se aplicaron.
Suponiendo deceleracion uniforme y sabiendo que la distancia en-
tre A y B eS 300 m, determinese el tiempo que tard6 el autobus en
avanzar de A a B.
11.57 Una serie de sefiales de trhnsito se programa de tal ma-
nera que un autom6vil que avance con una velocidad constante de
45 km/h llegarh a cada semaforo justamente en el cambio a luz ver-
de. Un automovilista pierde la luz verde y esth parado en el semhforo
A, sabiendo que el siguiente semiifor0 B esth a 325 m adelante y que
la mhima aceleraci6n del automovil es 1.5 m/s2, deterrninese quk
debe hacer para mantener la mhima velocidad tan baja como sea
posible y llegar a1 semiforo B justamente cuando se ponga en verde.
~ C U Aes la maxima velocidad alcanzada?
I
Fig. P11.54

39. L 2 8 0 m 4
Fig. P11.60
11.58 El disparo de un mortero causa que su cafi6n retroceda
40 in antes de que un mecanismo de frenado lo pare. Por medio de
un registro fotogrdfico de alta velocidad, se encuentra que el mhi-
mo valor de la velocidad de retroceso es 270.in/s y que tsta se alcan-
za 0.02s despues del disparo. Sup6ngase que el period0 de retroceso
consta de dos fases, durante las cuales la aceleracidn tiene un valor
constante positivo a, y un valor constante negativo a,, respectiva-
mente. Determinense a) 10s valores de a, y a, y b)la posici6n del ca-
fi6n desputs de 0.02 s del disparo, c) el tiempo en el cual la veloci-
dad del can611 es cero.
11.59 Durante una operacion de acabado, la base una cepilla-
dora industrial se mueve alternativamente 30 in a la derecha y 30 in
a la izquierda. La velocidad de la base estd limitada a un valor mki-
mo de 6 in/s a la derecha y 12 in/s a la izquierda; la aceleraci6n es
sucesivamente igual a 6 in/s2 a la derecha, cero, 6 in/s2 a la izquier-
da, cero, etc. Determinese el tiempo necesario para que la base reali-
ce un ciclo completo y dibujense las curvas v -t y x- t.
11.60 Una automovilista viaja a 54 km/h cuando observa que
la luz de un semdforo a 280 m adelante se pone en rojo. Sabe que el
semdforo estd programado para estar en rojo durante 28 s. ~QuC
debe hacer para pasar el semdforo a 54 km/h en el momento exacto
en que se ponga la luz verde otra vez? Trdcese la curva v-t, seleccio-
nando la soluci6n para la cual se tengan 10s valores m b pequefios
posibles de deceleracion y aceleracion, y determinense: a) la dece-
leracion y la aceleracion en m/s2 y b) la velocidad minima alcanzada
en km/h.
11.61 Resuklvase el problema 11.60 sabiendo que la acelera-
ci6n del autom6vil no puede exceder de 0.6 m/s2.
11.62 Un autom6vil en reposo es alcanzado por un cami6n
que viaja a una velocidad constante de 54 km/h. El autom6vil em-
pieza a correr con aceleraci6n uniforme durante 10s hasta que alcan-
za una velocidad de 90 km/h. Si el autom6vil mantiene entonces una
velocidad constante de 90 km/h, determinese cudndo y d6nde alcan-
zard el camidn, supaniendo que el autom6vil arranca: a) justamente
cuando el cami6n lo pasa y b)3 s desputs de que el cami6n lo rebase.
11.63 Un automovil y un camion mantienen una velocidad
constante de 35 mi/h; el automovil esta 40 ft atras del camion. El
chofer del automovil desea rebasar a1 camion, es decir, desea colocar
su automovil en B, 40 ft adelante de el y desputs continuar a la
velocidad de 35 mi/h. La aceleracion maxima del automovil es 5 ft/s2
y la deceleracion maxima obtenida a1 aplicar 10s frenos es 20 ft/s2.
iCual es el tiempo mas corto en el que el chofer puede completar la
operacion de rebasar al camion sin exceder en ningun momento la
velocidad de 50 mi/h? Tracese la curva o- t.
11.64 Resutlvase el problema 11.63 suponiendo que el chofer
no pone atencion alguna a1 limite de velocidad-mientras esta reba-
sando y se concentra en llegar a la posicion B y continua con una
velocidad de 35 mi/h en el minimo tiempo posible. iCuil es la
maxima velocidad que alcanza? Dibujese la curva v - t.

40. 11.65 Un automovil y un camion viajan a una velocidad cons-
tante v,; el automovil se encuentra a 30 ft atras del camion. El con-
ductor del camion frena repentinamente haciendo que su vehiculo
decelere uniformemente a 9 ft/s2. Dos segundos despues el conduc-
tor del automovil frena y apenas alcanza a evitar una colision por
detras. Determinese la deceleracion uniforme del vehiculo si: a ) u, =
60 mi/h y b) v, = 45 mi/h.
11.66 El automovil A viaja con una velocidad constante u, y
se acerca a1 automovil B que viaja en la misma direccion con una
velocidad constante de 72 km/h. El conductor del automovil B ve
al automovil A cuando este esta todavia a 60 m detras de el y ace-
lera entonces a 0.75 m/s2 para evitar ser rebasado o golpeado por el
coche A. Se sabe que lo mas proximo que pueden estar A y B es 6 m;
determinese la velocidad v, del automovil A.
11.67 Un elevador de carga F que se mueve hacia arriba con
una velocidad constante de 5 m/s rebasa un elevador de pasajeros
P que se encuentra detenido. Tres segundos desputs, el ascensor de
pasajeros inicia su subida con una aceleraci6n de 1.25 m/s2. Cuan-
do el ascensor de pasajeros alcanza una velocidad de 10 m/s, conti-
nlia con velocidad constante. Tracense las curvas u - t e y - t y a
partir de ellas determinense el tiempo y la distancia requeridas por
el ascensor de pasajeros para rebasar a1 ascensor de carga.
Fig. P11.67
11.68 El registro de aceleraci6n aqui mostrado se obtuvo de
un avi6n pequeilo que viaja en linea recta. Si x = 0 y v = 60 m/s
en t = 0, determinense: a) la velocidad y la posici6n del avi6n para
t = 20 s y b ) su velocidad media durante el intervalo 6 s < t <
14 s.
11.69 La aceleraci6n de una particula varia uniformemente
de a = 90 in/s2 para t = 0 a a = - 90 in/s2 para t = 6 s. Si se sabe
que x = 0 y v = 0cuando t = 0, determinense a) la velocidad maxi-
ma de la particula, b) su posicion en t = 6 s y c) su velocidad media
durante el intervalo 0 < t < 6 s. Tracense las curvas a- t, v - t y
x- t del movimiento.
I 1.70 A la derivada temporal de la aceleracion se la conoce
como sacudida; cambios grandes o bruscos de la aceleracion producen
malestar a 10s pasajeros en 10s ascensores. Si la sacudida de un
ascensor se limita a f1.6 ft/s2/s, determinense a ) el minimo tiempo
que se necesita a partir del reposo para elevarse 50 ft y parar y
b) la correspondiente velocidad media del ascensor.
Problemas
B
Fig. P I1.66
Fig. PI1.68

41. 502 11.71 Para rnantener a 10s pasajeros confortablernente la ace-
leracion de un ascensor se lirnita a _+ 1.5 m/s2 y la sacudida, o deri-
Cinem6ticade particulas vada temporal de la aceleracion se limita a f 0.5 m/s2/s. Si el eleva-
dor parte del reposo, determinense a) el minimo tiernpo necesario
para alcanzar una velocidad constante de 8 m/s, b) la distancia reco-
rrida en ese tiernpo y c) la correspondiente velocidad media del
ascensor.
t(s)
Fig. P I1.72
11.72 El registro de aceleraci6n rnostrado en la figura se obtu-
vo de un carni6n que viajaba sobre una carretera rectilinea. Si se sabe
que la velocidad inicial del cami6n era 15 mi/h, determinense a) la
velocidad en t = 6 s, b) la distancia que recorri6 el cami6n durante
1 - ~ I ( , , ~ ~ I
I
lr! 'C
- ,- a2 la prueba de 6 s.
m - ~ ~ ~11.73 Un aeroplano de entrenamiento aterriza sobre un trans-
porte aeronautico y se pone en reposo en 3 s por medio de un engra-
- ne de fijaci6n del transporte. Un aceler6metro fijo al aeroplano pro-
0 s 1 0 I S 2 0 2 5 3 0 porciona el registro de aceleraci6n que se rnuestra. Determinense por
I() medios aproximados a) la velocidad inicial del aeroplano relativa a
Fig. PI 1.73
la plataforma y b) la distancia que viaja el aeroplano a lo largo de
la plataforrna antes de alcanzar el reposo.
o(rn/s)
Fig. P11.74
b
!
8
11.74 La deceleracibn maxima posible de un tren de pasaje- j
ros bajo condiciones de emergencia se determino experimentalmen-
te; 10s resultados se muestran en la figura (curva s6lida). Si seaplican
10s frenos cuando el tren viaja a 90 km/h, deterrninense en forma
distancia recorrida en ese lapso.
aproximada: a) el tiernpo necesario para que el tren se pare y C) la 1

42. 11.75 La curva u-x mostrada en la figura se obtuvo experi- 503
mentalmentedurante el movimiento de la base de una cepilladora in-
dustrial. Determinese en forma aproximada la aceleraci6n: a) cuan- Problemas
do x = 3 in y b) cuando u = 10 ids.
1 2 3 4 5 6
' x (in )
Fig. P I1.75
11.76 Empleando el mCtodo de la secci6n 11.8, obtkngase la
f6rmula x = x, + uot + ?hat2 para la coordenada de posici6n de
una particula en un movimiento rectilineo uniformemente acelerado.
11.77 La aceleraci6n de un objeto sometido a una onda de
presi6n debida a una gran explosi6n se define por la curva aqui m s -
trada. El objeto estd inicialmenteen reposo y vuelve a quedar en re-
poso al tiempo t,. Usando el mCtodo de la secci6n 11.8, determi-
nense a) el tiempo t, y b) la distancia hasta la cud es impulsado el
objeto por la onda de presi6n.
L. , -. -4
Fig. P I1.77
11.78 Para la particula del problema 11.54, trdcese la curva
a-t y, empleando el mCtodo de la secci6n 11.8, determinense: a) la
posici6n de la particula en t = 20 s y b) el mhimo valor de su coor-
denada de posici6n.
11.79 Con el mCtodo de la secci6n 11.8 determinese la posi-
ci6n de la particula del problema 11.52 cuando t = 14 s.

43. Cinemdticade particulas
/
2
Fig. 11.14
11.9. Vector de posicion, velocidad y aceleracih. Cuan-
do una particula no se desplaza en linea recta, decimos que dicha
particula describeun movimientocurvilineo. Para definir la posici6n
P que ocupa la particula para un cierto tiempo t, seleccionarnosun
sistema de referencia fijo, como 10s ejesx, y yz mostrados en la figu-
ra 11.14~y trazamosel vector r que une a1origen 0yal punto P. Co-
mo el vector r esth caracterizadopor su magnitud r y su direccibn res-
pecto de 10s ejes de referencia, define completamente la posici6n de
la particula respecto de estos ejes; el vector r se llama vector deposi-
cidn de la particula en el tiempo t.
Consideremosahora al vector r', que define la posici6n P' ocu-
pada por la misma particula a un tiempo posterior t + At. El vector
Ar que une a P y a P' representa el cambio en el vector de posici6n
durante el intervalode tiempo At, ya que, como puede comprobarse
facilmente en la figura 11.14a, el vector r' se obtiene sumando 10s
vectores r y Ar de acuerdo con la regla del trihngulo. Notamosque Ar
representa un cambio en la direccion asi como un cambio en el mo-
dulo del vector de posicion r. La velocidad media de la particula
en el intervalo de tiempo At se define como el cociente de Ar y At.
Como Ares un vector y At es un escalar, el cociente Ar/At es un vec-
tor unido a P,de la misma direccion que Ar y de modulo igual a la
de Ar entre At (Fig. 11.14b).
La velocidad instantanea de la particula al tiempo t se obtiene
escogiendointervalosde tiempo At cada vez mhs cortos y vectores Ar.
cada vez mhs pequeiios. De esta manera la velocidad instanthnea se
representa por el vector
Conforme At y Ar se hacen mas pequeiios, 10s puntos P y P' quedan
mas cercanos, de manera que el vector v que se obtiene en el limite
debe ser, por consiguiente, tangente a la trayectoria de la particula
(Fig. 11.14~).
Como el vector de posici6n r dependedel tiempo t, podemos Ila-
marlo funcidn vectorial de la variable escalar t y representarlo por
r(t). Extendiendo el concept0 de derivadas de una funci6n escalar
introducida en el calculoelemental, llamaremos al limite del cociente
Ar/At la derivada de la funci6n vectorial
A la magnitud v del vector v se le
particula. Puede obtenerse sustituyendo
r(t). Escribimos
llama la velocidad de la
para el vector Ar en la
formula (11.14) su m6dulo representado ;or el segmento de linea
recta PP.Pero la longitud del segmento P P se acerca a la Jongitud
de As del arc0 P P conforme At disminuye (Fig. 11.14a), y podemos .
escribir
# PP' As
v = Iim -= lim - ds
~ t - oAt at-o At "=&

44. I I .9. Vector de poslcl6n.velocldad
y acderaclbn
La velocidad v puede obtenerse entonces derivando respecto de t la
longitud s del arco descrito por la particula.
Consideremosla velocidadv de la partIcula a1tiernpo t ytarnbibnsu
velocidad v' a un tiempo posterior t + At (Fig. 11.15a). Tracemos
ambos vectores v y v' desde el mismo origen 0' (Fig. 11.15b). El
vector Av que une a A y Q' representa el cambio en la velocidad de la
particula durante el intervalo de tiempo At, ya que el vector v' puede
obtenerse sumando 10svectoresv y Av. Debemos notar que Av repre-
senta un cambio en la direccibn de la velocidad asi como un cambio
en el modulo. La aceleracibn media de la particula en el intervalo
de tiempo At se define como el cociente de Av y At. Como Av es un
vector y At un escalar, el cociente Av/At es un vector de la rnisma di-
recci6n que Av.
La aceleracibn instantdnea de la particula en el tiempo t se ob-
tiene escogiendo valores de At y Av cada vez m b pequefios. De ma-
nera que la aceleraci6n instantanea se representa con el vector
Coqo la velocidad v es una funci6n vectorial v(t) del tiempo t, pode-
mos llamar a1limitedel cociente Av/At la derivada de v con respecto
a 1. Escribimos
Observamos que la aceleracibn a es tangente a la curva descrita
por la punta Q del vector v cuando este Gltimo se tram desde un ori-
gen 0'(Fig. 11.15~)yque, en general, la aceleraci6n no es tangente a
la trayectoria de la particula (Fig. 11.156). La curva descrita por la
punta de v como se muestra en la figura 11.15~se llama la hodbgrqfa
del movimiento. Fig. 11.IS

45. Fig. 11.16
11.10. Derivadas de funclones vectoriaies. Vimos en la
seccibn anterior que la velocidad v de una particula en movimiento
curvilineo puede representarse con la derivada de la funcibn vectorial
r(t)que caracteriza a la posicibn de la particula. En forma semejan-
te, la aceleracibna de la particula puede representarse con la derivada
de la funci6n vectorial v(t).En esta seccibn daremos una definicibn
formal de la derivada de una funci6n vectorialy estableceremos algu-
nas reglas que se siguen en la derivacibn de sumas y productos de
funciones vectoriales.
Sea P(u)una funcibn vectorial de la variable escalar u. Lo que
quiere decir que el escalar u define completamente la magnitud y la
direccibndel vector P. Si el vector P se tram desde un origen fijo 0y
se permite que el escalar u varie, la punta de P describirh una cierta ,
curva en el espacio. Consideremos 10s vectores P correspondientesa 10s
valoresu y u + Au de la variableescalar, respectivarnente(Fig. 1 1.16~).
Sea AP el vector que une las puntas de 10s dos vectores dados; escri-
bimos
AP = P(u +Au) - P(u)
Dividiendotodo entre Au y haciendo Au tender a cero, definimosla
derivada de lafuncidn vectorial P(u):
dP. AP-= lim -= lim
P(u + Au) -P(u)
(11.19)
d~ AU-0 Au AU-o AU
Conforme Au tiende a cero, la Unea de accibn de AP se vuelve tan-
gentede la curva de la figura 1 1.160.Entonces, la derjvada dP/dude
la funcibn vectorial P(u)es tangenre a la curva descritapor lapunta
de P(u)(Fig. 11.166).
Mostraremos ahora que las reglas n o d e s para la derivacibn
de las sumas y productos de funciones escalares pueden extendersea
las funcionesvectoriales. Consideremosprimero la sumade dosfun-
ciones vectorialesP(u)y Q(u)de la misma variable escalar u. De la
definicibn dada en ( 1 1.19) la derivada del vector P + Q es
o comoel Umite de la suma es igual a la sumade 10s lirnitesde sus tkr-
minos,
Ahora consideraremoselproducto de unafuncidnescalarf(u)y
'
de unafuncidn vectorialP(u)de la misma variableescalaru. La deri-
vada del vector /P es:

46. o, recordando las propiedades de 10s limites de sumas y productos, 507
Las derivadas del producto escalar y del producto vectorial de dos
funciones vectoriales P(u) y Q(u) pueden obtenerse en forma seme-
jante. Tenemos
Usaremos las propiedades que acabamos de establecer para de-
terminar las componentes rectangulares de la derivada de una fun-
cibn vectorial P(u). Descomponiendo a P en sus componentes a lo
largo de ejes rectangulares fijos x, y, z, escribimos
donde Px,Py, PZson las componentes rectangulares escalares del vec-
tor P, con i, j, k 10s vectores unitarios que corresponden, respectiva-
mente, a 10s ejes x, y y z (secci6n 2.12). De (11.20). la derivada de P
es igual a la suma de las derivadas de 10s sumandos en el miembro de
la derecha. Como cada uno de estos sumandos es el producto de una
funcion escalar y de una funcion vectorial, usaremos (11.21). Pero 10s
vectores unitarios i, j, k tienen una magnitud constante (igual a 1) y
direcciones fijas. Por lo que sus derivadas son cero y podemos escribir
Como 10s coeficientes de 10s vectores unitarios son, por definici6n.
las componentes escalares del vector dP/du, concluimos que Ias
componentes rectangulares escalares de la derivada dP/du de lafun-
cibn vectorial P(u) se obtienen al derivar las componentes escalares
de P correspondientes.
Derivada temporal de un vector. Cuando el vector P es
una funcion del tiempo t, su derivada dP/dt representa la deriva-
da temporal de P respecto del sistema de referencia Oxyz. Des-
componiendo a P en sus componentes rectangulares, tenemos, por
(11.251,
o, empleando puntos para indicar la diferenciaci6nrespectoa1tiempo t,
11.10. Derlvadas de funclones vectorloles
Como el producto vectorial no es conmutativo(seccibn 3.4), debe manienerse el
orden de 10s faciores en (11.23).

47. Como se estudiara en la seccion 15.10, la derivada temporal de
un vector, vista desde un sistema de referencia en movimiento, es,
en general, diferente de su derivada temporal cuando se le observa
desde un sistema de referencia fijo. Sin embargo, si el sistema de
'referencia en movimiento O'x'y'z' esta en trmlacibn, es decir, si sus
ejes permanecen paralelos a 10s ejes correspondientesdel sistema fijo
Oxyz (Fig. 11.17),se emplean 10s mismos vectores unitarios i, j, k en
ambos sistemas de referencia y, por consiguiente, el vector P tiene en
cualqoier instante las mismas componentes P,,P,,,P,en ambos siste-
mas. De (11.25') se sigue que la derivada temporal P es la misma
respecto de 10s sistemas Oxyz y O'x'y'z'. Por consiguienteestablece-
mos que la derivada temporal de un vector es la misma respecto de un
sisterna fijo y respecto de un sistema en movirniento de traslacidn.
Esta propiedad simplificarti grandemente nuestro trabajo, ya que
trataremos principalmente con sistemas de referencia en traslacibn.
11.11. Componentes rectangulares de la velocldad y la
aceleraclh. Cuando la posicibn P de una particula estti definida
en cualquier instante por sus coordenadas rectangulares x, y y z, es
conveniente descomponer la velocidad v y la aceleracibn a de la
particula en sus componentes rectangulares (Fig. 11.18).
Expresandoal vector de posicibn r de la particula en sus compo-
nentes rectangulares, escribimos
donde las coordenadasx, y, z son funciones de t. Al derivar dos veces
obtenemos
aqui x, y, iy x,4, representan, respectivamente, la primera y la se-
gunda derivadasdex, y y z respecto a t. De (11.27) y (11.28)sededuce
que las componentesescalaresde la velocidad y de la aceleracibnson
v, = x G,, = y c, = z (11.29)
(11.30)
Un valor positivo de u, indica que la componente vectorial v, se diri-
ge a la derecha, un valor negativo indica que su direccibn es a la iz-
quierda; el sentido de cada una de las otras componentesvectoriales
puede determinarse en una forma semejante del signo de la compo-
nente escalar correspondierrte. Si se desea, pueden obtenerse 10s rn6-
dulos y las direcciones de la velocidad y de la aceleracion a partir de
sus componentes escalares empleando 10s metodos de las secciones
2.7 y 2.12.
El uso de las componentes rectangulares para describir la posi-
cibn, la velocidad y la aceleracibn de una particulaes particularmente ,

48. efectivo cuando la componente axde la aceleracibn depende s61o de
t, x y/o v,, y cuando en forma semejante a, depende s6lo de t, y y/o
v, y az de t, z y/o v,. Entonces las ecuaciones (11.30) pueden in-
tegrarse independientemente, y tambikn las ecuaciones (11.29). En
otras palabras, el movimiento de la particula en la direcci6n x, su
movimiento en la direcci6n y y su movimiento en la direcci6n z
pueden considerarse separadamente.
Por ejemplo, en el caso del movimiento de un proyectil, puede
demostrarse (vkase secci6n 12.5) que las componentes de la acelera-
ci6n son
cuando se desprecia la resistencia del aire. Representando con xo,yo,
+ a las coordenadas del caiion y con (u,),, (u,),, (u.), a las compo-
nentes de la velocidad inicial vo del proyectil, integramos dos veces
en t y obtenemos
Si el proyectil se dispara en el plano xy dede el origen 0,tenemosxo =
yo = q, = 0 y (u:)~= 0, y las ecuaciones de movimiento se reducen a
Estas ecuaciones muestran que el proyectil permanece en el plano xy
y que su movimiento en la direcci6n horizontal es uriiforme, mientras
que su movimiento en la direcci6n vertical es uniformemente acelera-
do. De manera que el movimiento de un proyectil puede sustituirse
por dos movimientos rectilineos independientes que son ficiles de
representar si sliponemos que el proyectil se dispara verticalmente
con una velocidad inicial (vJ0 desde una plataforma y avanza con
una velocidad horizontal constante (vx), (Fig. 11.19). La coordenada
x del proyectil es igual en cualquier instante a la distancia recorrida
por la plataforma, mientras que su coordenada y puede calcularse
como si el proyectil se estuviese moviendo a lo largo de una linea ver-
I ical.
Puede observarseque las ecuacionesque defmen a las coordenadas
x yy de un proyectil en cualquier instante son las ecuaciones paramktri-
cas de una parabola. Entonces la trayectoriadel proyectil esparabdlim.
pero esle resultado deja de ser vilido cuando la resistencia del aire o
la variaci6n de la aceleraci6n de la gravedad con la .alturase toma en
cuenta.
11.12. Movlmlento relatlvo a un sistema d e referencia e n
traslacidn. En la secci6n anterior se us6 un solo sisterna de referencia
para describir el movimiento de una particula. En muchos casos este
sistema fue vinculado a la Tierra y se consider6 como sistema fijo.
Ahora analizaremos situaciones en las que es conveniente usar simul-
18neamente.variossistemas de referencia. Si uno de ellos esti unido a
la Tierra lo llamaremossistema de referenciafijoy nos referiremos a 10s
otros como sistemas de referencia en movimiento, per0 debe enten-
derse que la seleccibn de un sistema de referencia fijo es arbitraria.
11.12. Movlmlentorelatlvoo un slstema de
referencb en traslocl6n
b) Movimicntosrectillneosquivlkntcs
Flg. 11.I9