Clase 1 Transporte de Cantidad de Movimiento

1. Clase 1: Transporte de
cantidad de movimiento
Profesor: Isaac Díaz A.
2° semestre 2022
Fenómenos de Transporte en la naturaleza

2. Bibliografía recomendada
 R.B. Bird, W.E. Stewart & E.N. Lightfoot. Fenómenos de
Transporte. Ed. Reverté, Barcelona, España (2013)
 J. Welty, C.E. Wicks, G.L. Rorrer & R.E. Wilson. Fundamentos
de transferencia de momentum, calor y masa. Wiley-VCH
(2007)
2

3. Contenidos de la clase
Ley de Newton de la viscosidad
Fluidos no Newtonianos
La viscosidad en gases y líquidos
Balance de cantidad de movimiento en envolvente
3

4. Objetivos de la clase
Comprender los fundamentos de la transferencia de
momentum.
Entender la viscosidad como propiedad física de las
sustancias, su variación con la temperatura y presión.
Plantear y desarrollar un balance de cantidad de
movimiento en geometría rectangular.
4

5. 1. Segunda ley de Newton
dv
F m
dt

( )
d mv
F
dt

( )
d p
F p
dt

 
Flujo de momentum
5

6. 1. Segunda ley de Newton
La segunda ley de newton corresponde a la ley de conservación del MOMENTUM!
Para un sistema de partículas que chocan entre si, es posible evaluar la cantidad de movimiento que se transfiere a través
de una superficie específica “A”.
p
A



H
W
A HW

6

7. 1. Segunda ley de Newton
 Densidad de Flujo de Cantidad de Movimiento
Densidad de Flujo de Momentum
   
2 2
1 ( ) 1
m
kg
d mv kg
s
A dt m s m s


   

   
2
2 2 2
m
kg
N kg
s
m m m s


  

MKS (SI)
y… ¿en sistema “cgs”?
7

8. 1. Segunda ley de Newton
 Densidad de Flujo de Cantidad de Movimiento
Densidad de Flujo de Momentum
cgs
   
2
2 2 2
m
m
cm
g
g
dina s
cm cm cm s


  

  2
m
cm
F m a g dina
s
    
5 5
2 2 2
1000 100
1 1 1 10 10
1 1
kg m kg m g cm g cm
N dinas
s s kg m s
  
     
8

9. 2. Ley de Newton de la Viscosidad
Fluido: Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, y carece de rigidez
y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente
a alterar su forma y adoptando así la forma del recipiente que lo contiene. Los
fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de
cohesión existentes entre sus moléculas.
9

10. 2. Ley de Newton de la Viscosidad
Fluido entre dos placas paralelas
x
yx
dv
dy
 
 
F v
A dy


yx

Dirección de transferencia de
Cantidad de movimiento
Dirección del vector
esfuerzo de corte
10

11. 2. Ley de Newton de la Viscosidad
Unidades de la viscosidad
x
yx
dv
dy
 
 
  2
m
yx
g
cm s
 
  
1
x
dv cm
dy s cm s
 

  2
m m
g g
s p
cm s cm s
    
 
Poise
Viscosidad del agua
1 cp
Tarea: Demuestre que 1 p = 1 mPa·s. Convierta la µ del agua a SI 11

12. 3. Viscosidad
VISCOSIDAD: Medida de la resistencia que opone un fluido a las deformaciones graduales producidas
por esfuerzos cortantes o esfuerzos de tracción. NO CONFUNDIR CON LA DENSIDAD!!!!.
En palabras simples… Resistencia a fluir
La viscosidad es función
de la temperatura
¿Cómo afectará la presión
a la viscosidad de gases y
líquidos?
T / °C
Agua Aire
µ / cp µ / cp
0 1,787 0,01716
20 1,0019 0,01813
40 0,6530 0,01908
60 0,4665 0,01999
80 0,3548 0,02087
100 0,2821 0,02173
Tabla 1: Viscosidades de agua y aire medidas a 1
atm de presión. (Bird, Stewart y Lightfoot, 2013)
12

13. 3. Viscosidad
Fluidos Newtonianos y No Newtonianos
x
yx
dv
dy
 
 
• Plásticos de Bingham
• Plásticos de Ostwald
• Pseudoplásticos
• Dilatantes
*La estimación de la viscosidad con
diferentes modelos se retomará la siguiente
clase
13

14. 4. Balance de cantidad de movimiento
Ecuación de balance de cantidad de movimiento
Velocidad de
acumulación de
cantidad de
movimiento
Velocidad neta
de entrada de
c.d.m por
convección
Velocidad neta de
entrada de c.d.m
por transporte
viscoso
Suma de otras
fuerzas que
actúen sobre el
sistema
Algunas suposiciones válidas
 Estado estacionario
 Sistema isotérmico
 Fluido incompresible (en el caso de líquidos)
E-S E-S
14

15. 4. Balance de cantidad de movimiento
Caso 1: Película descendente de líquido
Encuentre las expresiones analíticas para:
1. Perfil de velocidad
2. Velocidad máxima
3. Caudal volumétrico
4. Velocidad media
5. Fuerza que ejerce el fluido sobre la superficie
15

16. 4. Balance de cantidad de movimiento
Paso 1: Volumen de control y balance de cantidad de movimiento
0
 Estado estacionario
 Sistema isotérmico
 Fluido incompresible (en el caso de líquidos)
,
 
constantes
16

17. 4. Balance de cantidad de movimiento
Paso 1: Volumen de control y balance de cantidad de movimiento
0
0 ( ) ( ) cos( )
z z z z xz xz
z z L x x x
xW v v v v LW LW x g
     
  
      
0
z z
z z L
xW v xW v
 
 
  
0
0
z
z z
z z L
v
v v
z
 

  

Balance de masa
Término convectivo nulo
(Ec. 1)
(Ec. 2)
17

18. 4. Balance de cantidad de movimiento
Paso 1: Volumen de control y balance de cantidad de movimiento
0
0 ( ) ( ) cos( )
z z z z xz xz
z z L x x x
xW v v v v LW LW x g
     
  
      
(Ec. 1)
0
0
18

19. 4. Balance de cantidad de movimiento
Paso 1: Volumen de control y balance de cantidad de movimiento
0
0 ( ) ( ) cos( )
z z z z xz xz
z z L x x x
xW v v v v LW LW x g
     
  
      
(Ec. 1)
0
0
mg

cos( )
mg 
cos( )
CA
Hip
 
19

20. 4. Balance de cantidad de movimiento
Paso 2: Escribir la ecuación en forma diferencial
(Ec. 3)
0 ( ) cos( )
xz xz
x x x
LW LW x g
   

   
0 ( ) cos( ) /
xz xz
x x x
LW LW x g x
   

    
( )
cos( )
xz xz
x x x
LW LW g
x
 
 




0
lim cos( )
xz xz
x x x
x
g
x
 
 

 
  

 
 

 
cos( )
xz
d
g
dx

 

20

21. 4. Balance de cantidad de movimiento
Paso 3: Perfil de velocidad
(Ec. 4)
cos( )
xz
d
g
dx

 

¿Cómo puedo obtener el perfil de velocidad?
LEY DE NEWTON
z
xz
dv
dx
 
 
cos( )
xz
d g dx
  

  1
cos( )
xz g x C
  
 
CB1. 0 0
xz
x 
  1 0
C
 
cos( )
xz g x
  
 Ecuación de la recta
(Ec. 5)
21

22. 4. Balance de cantidad de movimiento
Paso 3: Perfil de velocidad LEY DE NEWTON
z
xz
dv
dx
 
 
Reemplazando ley de Newton en Ec. 5…
(Ec. 6)
cos( )
cos( )
z z
dv dv g
g x x
dx dx
 
  

 
    
 
 
Integrando
cos( )
z
g
dv xdx
 

 
 
 
 
 
2
2
cos( )
( )
2
z
g x
v x C
 

 
   
 
 
0
z
x v

 
CB1.
22

23. 4. Balance de cantidad de movimiento
Paso 3: Perfil de velocidad
0
z
x v

 
CB1.
2
2
cos( )
2
g
C
  


2
2
cos( )
( ) 1
2
z
g x
v x
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(Ec. 7)
Tarea para la casa: Grafique los perfiles de densidad de flujo
de cantidad de movimiento y de velocidad en Excel o Matlab,
usando las condiciones de borde vistas en clase. Use las
propiedades físicas del agua a 25ºC. Considere que el agua se
desliza por una canaleta con 45º de inclinación y que el
caudal produce un “espesor” de agua de 10 cm.
23

24. 4. Balance de cantidad de movimiento
Paso 4: Velocidad máxima
24

25. 4. Balance de cantidad de movimiento
Paso 4: Velocidad máxima 2
2
cos( )
( ) 1
2
z
g x
v x
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(Ec. 7)
2
max
cos( )
2
g
v
  


La Velocidad máxima se obtiene cuando x=0
25

26. 4. Balance de cantidad de movimiento
Paso 5: Caudal volumétrico 2
2
cos( )
( ) 1
2
z
g x
v x
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(Ec. 7)
Q A v
 
Pero… la velocidad es función de x

𝑊
( )
dQ v x dA

2
2
0 0
cos( )
1
2
y W x
y x
g x
Q dxdy
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(Ec. 8)
26

27. 4. Balance de cantidad de movimiento
Paso 5: Caudal volumétrico 2
2
0 0
cos( )
1
2
y W x
y x
g x
Q dxdy
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  (Ec. 8)
2
2
0
cos( )
1
2
x
x
g x
Q W dx
   
 


 
 
 
 
 
 
 
 

2 2 3
2
0 0
cos( ) cos( )
2 2 3
g g x
Q W x
 
     
 
 
 
 
 
 
3 3 3
cos( ) cos( ) cos( )
2 6 3
g g g W
Q W
        
  
 
  
 
 
27

28. 4. Balance de cantidad de movimiento
Paso 5: Velocidad media
(Ec. 9)
Q A v
 
3 2
cos( ) 1 cos( )
3 3
Q g W g
v
A W
     
  
   
Paso 6: Fuerza sobre la superficie
( )
xz x
 

( ) cos( )
xz x g
    
  
¿Está completa la respuesta?
No olvidar que “tau” es un esfuerzo de corte… se debe multiplicar por el área
( ) cos( )
z xz
F x LW g LW
    
   
(Ec. 10)
28

29. Resumen de la clase
29
Fluido
Ley de Newton de la
viscosidad
Viscosidad
Temperatura
Presión
Líquidos
Gases
Newtonianos
No
Newtonianos
Balances de cantidad de
movimiento (Balance de Fuerza)
1. Perfil de esfuerzo de corte
2. Perfiles de velocidad
3. Velocidad máxima
4. Caudal volumétrico y velocidad media
5. Fuerza sobre superficies

30. Próxima clase
30
Balances de cantidad de movimiento en geometría cilíndrica.
Estimación de coeficientes de viscosidad para líquidos y gases