1. INSTITUTO TECNOLOGICO DE CAMPECHE
INGENERIA METAL-MECANICA
MECANICA DE FLUIDOS
INVESTIGACION
TEMAS: TEOREMA DE TRANSPORTE DE REYNOLDS
MAESTRO: SANCHEZ PARRAO ROGER MANUEL
ALUMNO: KANTUN HUCHIN CARLOS
AC-5
2. INTRODUCCION
En mecánica de fluidos la experimentación tiene una gran importancia, y hasta la fecha se
puede decir que los resultados más importantes que existen hasta en la actualidad son
producto de análisis experimentales. Y a pesar de que cada vez los análisis por medio de
computadoras toman más importancia, en muchos casos se requieren de experimentos para
validar los resultados numéricos obtenidos. En este tema se estudiarán una serie de
herramientas indispensables en la realización de experimentos en mecánica de fluidos.
3. TEOREMA DE TRANSPORTE DE REYNOLDS
El teorema del transporte de Reynolds es el primer paso para poder demostrar
todas las ecuaciones básicas de la mecánica de fluidos. Este teorema indica
como varía con el tiempo una propiedad cualquiera (B) del fluido dentro de un
volumen de control (VC) definido.
La ecuación del teorema de Reynolds varía ligeramente si el volumen de
control es fijo, móvil o deformable. El volumen de control es la región de interés
que se desea estudiar, mientras que la superficie de control (SC) es el área que
envuelve el volumen de control, es un concepto abstracto y no obstruye de
ninguna forma al fluido.
Considerando un volumen de control fijo atravesado por una configuración de
flujo arbitraria, como se muestra en la figura siguiente, la única complicación
adicional es que hay zonas de entrada y salida variables a lo largo de la
superficie de control.
Cada área diferencial (dA) de la superficie de control tendrá una
velocidad V que formará un ángulo θ con la dirección local normal a dA, por lo
tanto, los flujos de entrada vendrán definidos por (VA cosθ)entdt, cuando el flujo
entre o (VA cosθ)sal dt cuando el flujo salga. Habrá superficies que podrán
corresponder a líneas de corriente (θ=90°) o a paredes sólidas (V=0).
Se define B como una propiedad cualquiera del fluido que se conserve (masa,
cantidad de movimiento, etc).
Y se define β como la variación de B respecto de la masa
La cantidad total de B en el volumen de control es:
4. Examinando la figura anterior, se observan tres focos de variación de B en el
volumen de control:
Variación de β en el interior del VC:
Flujo de β que abandona el VC:
Flujo de β que entra al VC:
Obsérvese que en el límite cuando el cambio instantáneo de B en el sistema
es la suma de la variación interior más el flujo que sale menos el que entra.
Esta es la expresión del teorema del transporte de Reynolds para un volumen
de control fijo arbitrario. Cuando la propiedad B es la masa, cantidad de
movimiento, momento cinético o energía, tenemos las leyes básicas en forma
integral.
Como el volumen de control está fijo en el espacio, los volúmenes elementales
(dVol) no varían con el tiempo, de modo que la derivada temporal que aparece
en el segundo miembro se anulará, a menos que β o ρ no permanezcan
constantes (flujo no estacionario).
La expresión del teorema del transporte de Reynolds puede expresarse de
forma más sencilla.
Definimos n como vector unitario normal hacia el exterior en cualquier punto de
la superficie de control, entonces V·n = V para flujo saliente y V·n= -V para flujo
entrante. Por tanto, los términos de flujo se pueden representar por medio de
integrales simples que incluyen (V·n) tanto para flujos salientes positivos como
para flujos entrantes negativos.
La forma compacta del transporte de Reynolds es pues:
Hasta el momento se ha supuesto un volumen de control fijo y que no se
mueve. En el caso de que el volumen de control esté en movimiento, con
velocidad uniforme Vs, un observador fijo al VC verá pasar el flujo a una
velocidad (Vr) definida por:
Vr=V-Vs
Donde V es la velocidad del fluido respecto al mismo sistema de referencia que
se mide la velocidad del VC.
El teorema de transporte de Reynolds con movimiento uniforme del VC queda:
5. A pesar de lo expuesto hasta ahora, el caso más general se presenta cuando el
volumen de control se mueve y deforma arbitrariamente.
En este caso, el flujo de volumen a través de la SC es nuevamente
proporcional a la velocidad relativa normal Vr·n. Sin embargo, como la
superficie de control se deforma, con velocidad Vs=Vs(r,t), la velocidad
relativa Vr=V(r,t) – Vs(r,t). Esta función puede ser una función complicada de
operar, a pesar de que la expresión tenga la misma forma que en el caso
anterior. Por otra parte, debe tenerse en cuenta que los elementos de volumen
de la integral de volumen se distorsionan con el tiempo. Por ello, la derivada
temporal debe ser tomada después de la integración.
Para un volumen de control deformable, el teorema del transporte adopta la
siguiente forma:
