LA PRAXIS DE LA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD CENTRO-OCCIDENTAL LISANDRO ALVARADO
UNIVERSIDAD EXPERIMENTAL POLITECNICA ANTONIO JOSE DE SUCRE
UNIVERSIDAD PEDAGOGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR
INSTITUTO PEDAGOGICO DE BARQUISIMETO
PROGRAMA INTERINSTITUCIONAL DE DOCTORADO EN EDUCACION
LA PRAXIS DE LA DIDACTICA DE LA MATEMATICA
Tesis presentada como requisito parcial para optar
al Grado de Doctor en Educación
Autor: Martín Andonegui
Tutor: David Mora
Barquisimeto, Febrero de 2007

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PROGRAMA INTERINSTITUCIONAL DE DOCTORADO EN EDUCACION
Tesis presentada como requisito parcial para optar
al Grado de Doctor en Educación
Tutor: David Mora
Barquisimeto, Febrero de 2007

iv
DEDICATORIA
A mi esposa Luz Dary
y a mis hijos Arkaitz, Ioritz, Iñaki y Arguiñe

v
AGRADECIMIENTOS
A mi esposa, por su comprensión y apoyo. Y con ella, a mis hijos. Todos ellos han sido
y son el motor silencioso de mi vida.
A todas las personas que han contribuido a mi formación desde mi infancia y que
incidieron en la orientación y dedicación educadora de mi vida.
A tod@s mis colegas cuya amistad y trabajo han constituido un estímulo permanente de
desarrollo personal y colectivo.
A todas las personas que se dedican con pasión a la educación matemática de los demás.
A todos los educandos que me aceptaron como educador matemático en algún momento
de su formación, por haberme permitido compartir con ellos –y aprender de ellos- la
sabiduría y la verdad que todos almacenamos.

vi
“La base y el valor supremo de la cultura
y de la historia humana radican en la
capacidad única del hombre para producir
intencionalmente acciones voluntarias
dirigidas a las demás personas con la
esperanza de una mutua comprensión,
y para la libre con-vivencia con ellas
como seres buenos y morales”
(Feliks T. Mikhailov)
“El fin del mundo común ha llegado
cuando se ve sólo bajo un aspecto
y se le permite presentarse
únicamente bajo una perspectiva”
(Hannah Arendt)

vii
INDICE GENERAL
pp.
LISTA DE CUADROS …………………………………………………………... ix
RESUMEN ……………………………………………………………………….. x
CAPITULO
I LA FORMACION EN EL OFICIO DE LA CIUDADANIA COMO
PROBLEMA PARA LOS DOCENTES …………………......................... 1
El acceso vivencial al problema …………………………………… 1
La formación en el oficio de la ciudadanía ………………………... 12
II LA FORMACION EN EL OFICIO DE LA CIUDADANIA COMO
PROBLEMA PARA LA DIDACTICA DE LA MATEMATICA ………. 34
El ser y la práctica de una disciplina científica ……………………. 34
Diversos enfoques de la Didáctica de la Matemática ……………… 41
El enfoque crítico de la Didáctica de la Matemática ………………. 64
La Didáctica de la Matemática y la formación en el oficio de la
ciudadanía …………………………………………………….
Las limitaciones del enfoque crítico de la Didáctica de la
Matemática ……………………………………………………
71
76
III EL CONCEPTO DE PRAXIS …………………………………………… 84
La praxis como objeto de la filosofía primera …………………….. 84
Interludio nº 1 ……………………………………………………… 94
IV EL CARACTER ETICO DE LA PRAXIS ………………………………. 96
La praxis aristotélica ………………………………………………. 96
La praxis de la Didáctica de la Matemática desde la perspectiva
aristotélica ……………………………………………………. 99
Interludio nº 2 ……………………………………………………… 104
V LA PRAXIS EN EL AMBITO DE LA FILOSOFIA POLITICA: LA
ACCION …………………………………………………………………. 107
Interludio nº 3 ……………………………………………………… 125
VI LA PRAXIS EN EL AMBITO DE LA SOCIOLOGIA: LA ACCION
COMUNICATIVA ………………………………………………………. 129
Interludio nº 4 ……………………………………………………… 152

viii
VII LA PRAXIS EN EL AMBITO DE LA PSICOLOGIA: LA
ACTIVIDAD …………………………………………………………….. 158
La teoría de la actividad …………………………………………… 158
Unas aclaratorias críticas y necesarias …………………………….. 166
Signos, significados y proceso de interiorización …………………. 174
Interludio nº 5 ……………………………………………………… 186
VIII CARACTERIZACION DE LA PRAXIS DE LA DIDACTICA DE LA
MATEMATICA ………………………………………………………….. 190
La praxis de la Didáctica de la Matemática ……………………….. 190
La praxis como dimensión de la Didáctica de la Matemática …….. 206
REFERENCIAS ………………………………………………………………… 210
CURRICULUM VITAE ………………………………………………………... 222

ix
LISTA DE CUADROS
pp.
CUADRO
1 Tipos de acción …………………………………………………………... 133
2 Tipos puros de interacciones mediadas lingüísticamente ………………... 138
3 Aportaciones de los procesos de reproducción al mantenimiento de los
componentes estructurales del mundo de la vida ………………………… 143
4 Fenómenos de crisis en caso de perturbaciones en la reproducción
(patologías) ……………………………………………………………….. 144

x
Programa Interinstitucional de Doctorado en Educación
Tutor: David Mora
Fecha: Febrero 2007
RESUMEN
El presente trabajo de investigación es un estudio de desarrollo teórico, inscrito
en la modalidad de Investigación Documental. En él se aborda el problema de la
integración del objetivo de la formación de los educandos en el oficio de la ciudadanía,
dentro de la estructura de la Didáctica de la Matemática, entendida esta última como
una disciplina científica. Se recogen evidencias empíricas relativas a la ausencia de esta
integración en el pensar y en el quehacer de los docentes cuando se dedican a la
construcción del conocimiento matemático de sus educandos en el aula. Igualmente, se
revelan ausencias de tal integración, o insuficiencias en su fundamentación, en los
enfoques disciplinares predominantes referidos a la Didáctica de la Matemática. Por
estas razones, en la investigación se procede a la elaboración de una nueva
conceptualización de la Didáctica de la Matemática, cuyo eje conductor radica en la
consideración de la práctica disciplinar como una actividad. En este ámbito, se asume la
categorización aristotélica de la actividad humana conocida como praxis, caracterizada
por la búsqueda del bien ético-político y diferenciada de la poiesis, actividad regida por
normas y orientada a la reproducción de modelos. El concepto de praxis se enriquece
desde las perspectivas de la filosofía primera, de la filosofía política –la acción,
analizada por Hannah Arendt-, de la sociología –la acción comunicativa, estudiada por
Jürgen Habermas- y de la psicología –la actividad, desarrollada por los autores rusos
cultores de la teoría de la actividad. Con todos estos aportes se construye y se
caracteriza el concepto de praxis de la Didáctica de la Matemática, como conjunto de
acciones orientadas a la formación de los educandos en el oficio de la ciudadanía. Esta
praxis se diferencia de la poiesis –reducida exclusivamente a la construcción de
conocimientos matemáticos, de acuerdo con normas didácticas-, pero al mismo tiempo
se apoya en ella, pues busca simultáneamente dicha construcción y la formación de los
educandos en el oficio de la ciudadanía. De este modo, se considera la praxis como una
dimensión de la Didáctica de la Matemática, inherente a su concepción disciplinar.
Descriptores: didáctica de la matemática, praxis, formación ciudadana.

1
CAPÍTULO I
LA FORMACIÓN EN EL OFICIO DE LA CIUDADANÍA COMO
PROBLEMA PARA LOS DOCENTES
El acceso vivencial al problema
La formación de docentes de matemática ha sido el área central de mi
actividad profesional. En ella desarrollé mi trabajo como profesor del
Departamento de Matemática del Instituto Pedagógico Luis Beltrán Prieto
Figueroa de Barquisimeto hasta mi jubilación, sin que este último hecho haya
significado mi separación de lo que ha sido el centro de mi actividad. Centro que
han ocupado no sólo los docentes en preparación, sino también los docentes en
ejercicio.
Con estos últimos me he encontrado en el aula y en numerosos eventos de
“capacitación” en el área de la enseñanza de la matemática. Entre ellos –y a partir
de 1995- destacan los programas de “Capacitación para Docentes en Servicio en
Educación Básica (CADOSEB)”, los talleres iniciales para dar a conocer el nuevo
Currículo Básico Nacional de las dos primeras Etapas de Educación Básica en
varios Estados del país, los llamados “talleres de 80 horas” para orientar la
implantación de los nuevos Programas de Educación Básica, sesiones de trabajo
con docentes de Educación Básica del Estado Lara en el Centro Regional de
Apoyo al Maestro y, finalmente, actividades de asesoría a los docentes de Fe y
Alegría.
En este último rubro quiero destacar mi actual dedicación a un proyecto de
la Federación Internacional de Fe y Alegría dirigido al desarrollo del pensamiento
matemático de docentes de Educación Básica de diversos países latinoamericanos,
proyecto para el que he escrito una veintena de Cuadernos enfocados sobre los
temas matemáticos que se trabajan en los programas de Matemática de ese nivel
educativo, así como hemos elaborado –en equipo- las clases referidas a dichos

2
contenidos y las estrategias para su implementación a distancia mediante el uso de
las tecnologías de información y comunicación.
Todas las actividades de formación mencionadas han estado centradas
siempre en el área de la enseñanza y el aprendizaje de la matemática. Y
orientadas, como puede apreciarse, a los docentes de las dos primeras Etapas de
Educación Básica. Cuestión que pudiera sorprender, en cuanto que el
Departamento de Matemática del Instituto Pedagógico administra el programa de
formación de docentes de matemática para el nivel educativo medio. Sin embargo,
centrarme en aquel nivel educativo inicial tiene para mí un significado definitivo,
ya que la educación matemática de nuestros alumnos se juega, precisamente, en
este nivel. Lo que después pretenda hacerse en el nivel medio o superior
dependerá, casi inexorablemente, de lo trabajado en los primeros grados. Y no
sólo en función de los contenidos aprendidos aquí –como preparatorios para los
niveles posteriores- sino, sobre todo, en el modo de haberse acercado a ellos, de
haber sentido la matemática en su formación y en su vida. Procesos vitales de
cuyo éxito son responsables, en una gran medida, los docentes de este nivel
básico.
Además de estas actividades de formación directa de los docentes, debo
incluir la labor de investigación llevada a cabo en el área de la educación
matemática, como docente de la cátedra del mismo nombre y de cátedras de
investigación en la misma área, tanto en el nivel del pregrado en el Programa de
Matemática del Instituto Pedagógico, como en el del postgrado en Enseñanza de
la Matemática en la Maestría Interinstitucional de Matemática (Barquisimeto,
UCLA – UNEXPO – UPEL IPB). Y en esta Maestría, particularmente por la vía
de tutorías de trabajos de grado, trabajos que se han referido a problemas de
enseñanza de diversos tópicos de matemática del nivel de Educación Básica, tales
como las ecuaciones de primer grado, los problemas verbales de adición y
sustracción, el cálculo mental y la estimación, las fracciones, las razones y
proporciones, o a cuestiones referentes a las actitudes de alumnos y docentes ante
la disciplina y su enseñanza.
Como complemento de la labor anterior, he aludido a los problemas de la
enseñanza y del aprendizaje de la matemática en este nivel en numerosas

3
ponencias presentadas en eventos académicos y profesionales, tanto nacionales –
Jornadas de Educación Matemática en distintas instituciones de educación
superior del país-, como internacionales. Trabajos que, juntamente con otros
provenientes de diversos proyectos de investigación, de docencia o de extensión,
han visto la luz en distintos medios impresos dedicados a la educación
matemática.
Toda esta actividad me ha permitido conocer –en una primera
aproximación- la situación de los docentes de este nivel básico ante la tarea de
enseñar matemática; y también, me ha impulsado a profundizar en ese
conocimiento. De ese impulso surgió la idea de un primer proyecto de
investigación, orientado a analizar la praxis de la educación matemática en una
comunidad de docentes del nivel básico1
. La indagación intentaría responder a
estas dos preguntas fundamentales referidas a los procesos de enseñanza y
aprendizaje de la matemática en la institución escolar: ¿Logran los alumnos,
mediante esos procesos, construir y consolidar los conocimientos matemáticos
propios del nivel escolar considerado? Y una segunda pregunta, nacida de la
preocupación por integrar estos conocimientos con el objetivo final de toda tarea
educativa: ¿Logran los alumnos, mediante esos procesos, construir y consolidar su
formación ciudadana?
Con el fin de hallar respuesta a ambas preguntas iniciamos un trabajo de
indagación de campo durante los meses finales del curso escolar 2003-2004 y que
se extendió al curso 2004-2005; entrevistamos a cada docente del turno
considerado, así como a las dos profesoras encargadas de la dirección de la
escuela; también mantuvimos un par de entrevistas grupales con todas las
docentes, directivas y de aula, y participamos en todas sus actividades internas de
formación durante uno de los lapsos de un año escolar. Simultáneamente,
realizamos actividades de observación no participante en cada una de las seis
aulas –de Primero a Sexto Grados-, durante toda la jornada diaria de trabajo y a lo
largo de una semana completa en cada una de ellas. Sin embargo, en el transcurso
de los primeros pasos de la investigación encontramos en los docentes un
obstáculo que se manifestó consistente: la dificultad en entender cómo los
procesos de construcción de los conocimientos matemáticos –los procesos que

4
ellos desarrollaban en el aula- podían incidir en la formación ciudadana de sus
alumnos; es decir, si había alguna forma específica de pensar y desarrollar en la
práctica tales procesos, de manera tal que facilitaran y generaran la formación de
sus estudiantes en el oficio de la ciudadanía.
Estas dificultades de interpretación –o, en ocasiones, interpretaciones
restringidas- se pusieron de manifiesto en el transcurso de las entrevistas
individuales y grupales, al tratar de responder los docentes a dos tipos de
preguntas generales que el investigador les propuso: qué objetivo le asignan a la
formación matemática de los alumnos y alumnas del colegio, y de qué manera la
formación matemática de tales alumnos incide en su formación como
ciudadanos. A continuación se presenta un análisis de las respuestas recabadas
[Cada docente se identifica con una letra mayúscula; el investigador, con la letra
I].
1. Con respecto a la pregunta referida al objetivo que los docentes le asignan
a la formación matemática de los alumnos y alumnas del colegio, la respuesta
más frecuente incluye dos aspectos: el de la formación en los procesos cognitivos
propios de la disciplina, y el de la capacidad de aplicación de los conocimientos
y procesos matemáticos a los proyectos pedagógicos que se desarrollan en el aula
y, sobre todo, a la vida actual o futura de los educandos. He aquí algunos
testimonios recogidos en la primera entrevista grupal:
“Bueno, primordialmente, el objetivo es que los niños alcancen procesos de
nivel cognitivo, lógico matemático, reflexionar en ellos y practicarlos para la
vida, que los niños se formen para la vida, es decir, que no sea solamente a nivel
de conocimientos, sumar 4 + 4 ocho, y si vamos a una panadería, vamos a
comprar y no sabemos cuánto nos van a dar de vuelto, eso que propicie la
reflexión en la práctica de sus conocimientos. […] Otra cosita a destacar que
tiene que ver con los objetivos, está la parte de llevar relacionada, con llevar a la
práctica o correlacionar todos los contenidos de matemática con el proyecto que
se está dando” (R). “De ese proceso de conocimientos que el niño va a adquirir,
utilizarlos en otro lugar, para adquirir otros conocimientos y también para
resolver problemas en la cotidianidad” (Y). “…específicamente en la primera
etapa se viene haciendo mucho material concreto, donde el niño es partícipe de
esa actividad para que él alcance ciertos procesos, como es el clasificar, seriar,
que le van a permitir tener buen dominio de ciertas operaciones aritméticas,
como es la suma, la resta, la multiplicación y división” (S). “Yo supongo, es algo
que tiene que ver mucho con la cooperativa, hay una vida de cooperativa ahí
afuera, donde los muchachos están inmersos en bodegas y eso también ayuda
mucho” (P).
A los anteriores pueden agregarse estos otros testimonios, extractados de las
entrevistas individuales:
R: Mire, el objetivo que yo le veo es que ellos puedan lograr los procesos
básicos que ellos van a necesitar en el futuro, en los grados superiores; cuando,
por ejemplo, yo veo que la matemática de primer y segundo grado son muy
parecidas, pero ya cuando llegan a un tercer grado, ya es más fuerte, entonces
tienen que tener una base para ellos poder llegar a ese nivel […] y entonces para

5
mí es eso, fundamentalmente es eso, que ellos tengan una noción básica de
cuáles son los procesos de matemática…
…
I: ¿Eso te incentiva a ti de alguna manera, la necesidad de la matemática en la
vida?
R: Sí, la matemática es todo, todo en la vida. Para calcular, si yo voy a meter
en un pote chucherías, tengo que meter la matemática en ello, eso es todo,
entonces la matemática está en todo.
…
S: Bueno, sí; primero por lo de las competencias que hay que alcanzar, y
segundo, que uno vive en un mundo en que la matemática por lo menos la básica
es fundamental, para saber desenvolverse en el mundo en que uno está, tiene que
saber que tiene que combinar el lenguaje, la terminología, las operaciones, bueno
yo creo que sí...
I: ¿Ves la matemática como una cuestión instrumental que se va a utilizar en
la vida?, ¿es importante?
S: Sí.
…
I: ¿Cómo ves tú que este aprendizaje de la matemática […] forma a los niños
para la vida?
A: Mira, yo no creía eso hasta que me casé, bueno, vamos a echar lápiz, la
verdad que sí, cómo ayuda la matemática a lo del presupuesto, por decirte algo
cotidiano, de verdad, mira, aquí tengo esto, entonces, no puedo gastar aquí
porque entonces eso es para esto, y también para los negocios, yo he sido... antes
de entrar a ese mundo educativo, yo prácticamente duré hasta mis veinte y tantos
años, yo entré aquí a los 26 o algo así, hasta esa edad yo hice varios trabajos
pues, entre esos, fui buhonero, y de verdad, que... o comerciante, por decirle de
alguna manera, informal, pero eso, en fin, entonces, a la hora de hacer
inversiones y todo eso, sacar cuentas, y bueno, la matemática pues presente en
cada una de esas cosas cotidianas; yo siento que ayudan a uno, porque yo llegué
a conocer gente, sobre todo en el mercado mayorista, que era gente que no sabía
ni la o por lo redondo, o sea, que no saben ni escribir su nombre, pero cómo
dominaban la matemática, a esos señores no les roban ni un solo melón, nada,
porque ésos, si sabían algo era matemática, era sacar cuentas, y hasta mental, y
hasta más rápido que uno, porque te sacaban: no, tantos melones, a tal precio, es
tanto; entonces, yo siento que la matemática forma parte esencial de las vidas de
las personas, porque de alguna manera todo está relacionado, pues, con la
matemática.
I: ¿Tú crees que los niños de quinto grado, por ejemplo, lo ven así?
A: Yo creo que, honestamente, creo que no; o sea, yo creo que los
muchachos lamentablemente fuimos formados, porque yo también me meto allí,
con esa cuestión hacia la matemática, ¿no?, pero también hubo allí muchos
problemas de los docentes, ¿no?, que tuvieron, quizá también ellos le tuvieron
temor a la matemática y por ende, pues, les transmitían ese temor, quizá a la hora
de enseñarla y sin saber, porque algunas veces uno también inspira, no sé, temor,
a veces sin saberlo nada más, con la sola manera de decir las cosas o de hacerlas.
…
Y: Bueno, será para formarse de manera integral, aparte de que se forman en

6
otras áreas, la matemática es importante, como una formación integral.
I: O sea, ¿estudian matemática porque forma parte de una formación
integral?
Y: Ajá, y, profesor, como todos tenemos que cumplir con un pénsum, todos
tenemos que darle según el perfil de cada grado, es verdad, o sea, si yo voy a dar
primer grado, yo tengo que buscar el perfil... a dónde deben llegar esos niños,
entonces, eso me va a ir indicando el camino para llegar hasta allí.
…
I: Yo recuerdo la intervención tuya cuando tuvimos la entrevista grupal, que
también se mencionó lo de la cooperativa y todo eso; ahora, de los cuadernos que
yo revisé, porque prácticamente revisé cuadernos de todos los grados, hay un
grado en el que, en una oportunidad, la maestra los mandó por los quiosquitos de
aquí, las bodeguitas y todo eso, y fueron indagando cuáles eran los alimentos que
más se vendían, los precios que tenían, y a partir de ahí levantaron una pequeña
información, pero habitualmente yo no he visto que en las tareas de la escuela –
yo no lo he visto, no sé si aquí-, que en las tareas de la escuela se les mande a
ellos a indagar en la comunidad, es decir, como a usar, a buscar qué matemática
hay en la vida y esas cosas, probablemente lo hacen en sus casas.
P: No, yo creo que nosotros inferimos que lo hacen porque hubo un momento
en que se hacía mucho, y quizás como hay tanta gente nueva nosotros hemos
perdido también ese puntico y no lo hemos trabajado más, pero es una buena
observación...
…
T: Para la vida, para mí es indispensable porque para muchas cosas en su
mayoría se utiliza la matemática, en ocasiones tenemos que sumar, restar, al
hacer compras, al tener un problema uno a veces lo resuelve matemáticamente.
I: ¿Le das ese carácter a la enseñanza que tú das de la matemática en clase y
tratas de ponerles ejemplos de la vida diaria?
T: Sí, para que les parezca significativo.
I: ¿Les permites que ellos pongan sus propios ejemplos o no llegan los niños
a…?
T: No, no he tenido la oportunidad, pero sí en ocasiones se les puede
preguntar algunas cosas y no he visto así la capacidad totalmente, es cuestión de
explotarlos.
…
El mismo tipo de respuestas se obtuvo en la segunda entrevista grupal, un
año después de realizada la primera, cuando se les preguntó si en ese lapso
habían observado mejoras en su práctica de aula referida a la construcción de
conocimientos matemáticos. He aquí algunos de esos testimonios:
A: Sí noté que el año pasado… pienso que me estaba yendo mucho al libro y
que estaba dejando la parte un poco más cotidiana del muchacho, o sea, no
estaba contextualizando de alguna manera y no estaba viendo de una manera
muy sencilla o se me hacía difícil ver el ejercicio que yo podía tranquilamente
relacionar con el aula, con lo que te pasó ayer, todo lo que estoy viendo acá de
una manera más concreta… siento que ya la concepción de la matemática, la veo
como más amplia, como más cotidiana, como más de vivencia que tenemos
todos los días, o sea, la vivencia diaria es una matemática, o sea, nosotros
practicamos la matemática a diario en el salón y nuestras casas.

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…
Y: …qué prioridades les daba yo a los muchachos para que se fueran de un
sexto grado al menos con una base para lo que a ellos les iba a servir en un
séptimo grado y sobre todo también contextualizando, cómo sembrarle en ellos
la semillita de que esa matemática les sirve para la vida, cómo me ayuda a mí
para la vida, por qué las fracciones, por qué el máximo, por qué el mínimo, todas
esas cosas.
...
X: Bueno, un caso muy parecido al de A, no es que se me es muy fácil
correlacionar, no, pero sí trato de conceptualizar más porque me pasaba lo
mismo, pues; yo me iba al librito de matemática o a la enciclopedia, sin
embargo, ahorita me esfuerzo más por relacionarlos con los temas centrales y
con su vida. Si en ese caso el tema central era... un tema que estuvimos tratando
como el embarazo precoz, entonces trabajamos allí de una vez el porcentaje, y
entonces ellos se daban cuenta de la magnitud de niñas que salían embarazadas y
lo relacionamos entonces con el porcentaje.
…
A: Si vamos a sumar, bueno, en el mercado, que compré unos tomates en
tanto precio, en tal precio compré la cebolla, pues cuánto he gastado o cuánto ha
gastado mi mamá en el mercado y cosas como esas, también llevarlo a lo
cotidiano, que él sienta que la matemática también le sirve para la vida porque
me prepara para la vida.
…
R: Necesitamos mejorar esas fallas, seguir mejorando día a día para alcanzar
nuestra verdadera meta que es desarrollar los verdaderos procesos lógicos
matemáticos, pero que no se queden en desarrollo, que se queden en una
consolidación.
…
V: yo veo que lo primero que yo tengo que tener es ese valor a la
matemática, valorarla como lo que es, tener esa pasión por la matemática, tener
esa agilidad mental, esa viveza que nos caracteriza a todos los venezolanos.
Bueno que el muchacho no es que sea vivo por agarrarle los caramelos al otro,
no; vamos a hacerlo vivo en la mente, vamos a ponerlos pilas.
…
P: Uno ha registrado aquí en el grupo que había esa alegría de haberse
encontrado con la seriación, que no se había dado cuenta que la seriación pues no
era solamente un contenido matemático que estaba allí en un libro o en un
programa sino que es algo vivencial, algo que yo utilizo; para mí en un principio
es la pedagogía de la alegría, o sea, a la matemática tenemos que inyectarle
pedagogía de la alegría porque una matemática triste a qué muchacho le va a
gustar, ni siquiera nos gusta a nosotros y a nosotros como grandes que somos y
adultos cuando estamos aquí nos gusta el bochinche y nos gusta echar broma y
aprendemos de esa manera.
2. Aunque la tónica general de las respuestas a la pregunta relativa al objetivo
de la formación matemática de los educandos se refiere, como se ha visto, a la
adquisición de los contenidos, a la formación en los procesos propios de la
disciplina, y a desarrollar una capacidad de aplicación de tales conocimientos y
procesos, hay una sola respuesta algo más amplia, referida a una formación en

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valores para el futuro:
M: La formación matemática que queremos es que los muchachos tengan los
procesos necesarios para ellos vivir y mejorar su comunidad, su bienestar, su
familia y eso lo va a permitir el proceso que nosotros logremos desarrollar en
ellos. Para eso yo creo que es la matemática. No es solamente que van a aprender
a sumar, ¿entonces? ¿Y qué hago yo en la vida con la suma? ¿La echo en el saco
y la boto para la calle? O sea, para algo me tiene que servir, ¿no? Para prepararlo
para su vida futura, para prepararlo en valores, si se quiere, para que él sea capaz
de resolver conflictos o situaciones, para desenvolverse en la vida. Yo creo que
ese es el objetivo que debemos tener.
3. Cuando se formula la segunda pregunta –de qué manera la formación
matemática de los alumnos incide en su formación como ciudadanos-, algunos
docentes la consideran como “difícil” y no hallan una respuesta clara, o bien
vuelven a reducirla a los mismos criterios de formación en los procesos propios
de la disciplina y de desarrollo de la capacidad de aplicación de tales
conocimientos y procesos a la vida diaria. He aquí algunos testimonios al
respecto:
I: Bueno, el área de matemática ¿la ven clarita que está destinada así a una
formación del muchacho en valores, en poderse desenvolver en su vida, o ven
que esta área es…, como que es más difícil desde la matemática llegar a todo
eso, como por ejemplo se puede llegar desde la lengua, o como se puede llegar
desde las ciencias sociales? ¿Ustedes creen que es así tan fácil desde la
matemática como desde las demás áreas? ¿Les parece que no? Entienden la
pregunta, ¿no?
C: Me parece un tanto difícil, porque ¿cómo le digo yo? una operación
matemática solamente tiende a resolver un problema; una suma simple; ¿cómo la
relaciono de manera directa con una situación de violencia que se está dando en
el aula?; o sea, tal vez en el momento yo no encuentro cómo buscarle la relación
y vincularla con otras áreas en ese momento. Ahora sí, lo que sí he aplicado es al
revés, en el área, por ejemplo, de las ciencias naturales, pueda que yo estoy
explicando algo y aplico la matemática, ¿me explico?, o sea, otra área relativa a
la matemática, se le aplica la matemática. O sea, desde la matemática es un tanto
difícil, no imposible, sí difícil.
…
I: ¿Cómo verías que esta forma de trabajar la matemática influye en ellos, en
esa formación como futuros ciudadanos, o eso está todavía muy lejos?
R: Sí, como le digo lo veo no tan lejos, como le dije ahorita ¿no?, yo necesito
que ellos vean y consoliden sus bases para que y que ellos pueden transferirlas;
por ejemplo, mi experiencia escolar, uno muchas veces lleva la noción, esa
noción le puede servir para otra cosa y eso es lo que yo quiero con los
muchachos, que ellos puedan transferir.
I: ¿Pero fundamentalmente sería como para preparar conocimientos?
R: Sí, como ir preparando ese terreno, como uno dice.
…
I: Ahora, ¿tiene algo que ver en la formación así de los niños?, así como tú te
lo decías, formar en valores, ¿es posible eso desde la matemática o es más
complicado?
S: Bueno, es más complicado pero yo creo que sí se puede, se podría.

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I: ¿No tienes alguna experiencia clara de...?
S: No, no sé bien.
I: Yo lo que te pregunto también es si ustedes ven que lo que se hace en
primero, segundo, tercer grado y los otros grados básicos, puede tener alguna
influencia en esa formación de, que sé yo, ciudadanos con sus valores claros; o
¿no se percibe eso?
S: ¿A través de la matemática?, una pregunta que hay que pensarla mucho;
porque yo creo que sí, pero lo que no encontraría que decirle es la manera cómo,
cómo se lograría; no le podría responder otra cosa, pero yo creo que sí tiene
relación, por ejemplo, los muchachos siempre me relacionan con aquello que
decía R en la primera reunión que tuvimos, ella decía: bueno si yo no sé sumar ni
restar, yo no voy a poder... me van a tracalear, por decir la palabra que dicen los
muchachos, me tracalean facilito porque si estoy en un juego de mesa, si yo no
sé, me, me... entonces, de repente como, si tú eres una persona responsable y eres
honesta, entonces como a lo mejor no vas a querer estar con tus compañeros,
podría ser esa una de las cosas, o cómo compartir equitativamente lo que yo
tengo si otro no tiene, por ejemplo, mi empanadita que me den... saco la mitad
para poderla compartir sin yo salir perdiendo, podría ser, eso sería lo que más...
I: Pero por ejemplo, cuando trabajan algún proyecto de aula o lo que a
ustedes les preocupa, lo que intentan es que los muchachos dominen las
competencias matemáticas, las que aparecen en el programa, las que ustedes se
planifican, pero ¿sin otra trascendencia?
S: Sí, yo creo que viéndolo así fríamente, sí, de repente podremos tener otra
idea pero uno siempre se va es ahí, a la parte del contenido, el contenido por
alcanzar, la competencia, porque de repente ahorita, por ejemplo, están a final de
etapa los niños, ya tienen que dominar ciertas competencias para poder dominar
las de cuarto grado, y siempre estamos por debajo del nivel.
…
I: ...pero, sobre todo te digo porque... la pregunta era por el aspecto
formativo, o sea, no solamente que los forman para poder usar la matemática,
sino que, si tú le ves que a este nivel, por ejemplo, de quinto grado que es el que
tú llevas trabajando, ¿se ve como que la matemática forma en algo para la vida?;
aparte de esa posibilidad de aplicarla, ¿tú ves algún indicio de que la matemática
forme a las personas?
A: A ver, explíqueme nuevamente porque así no sé...
I: La pregunta es si, por ejemplo, tú ves a la matemática influir en tu forma
de ser: ¿lo que se aprende cuando se aprende matemática forma parte de, o ayuda
a la formación de una persona? Como, por ejemplo, qué te voy a decir yo, si tú
estás hablando de sociales y estás explicando la materia que existía antes, o algo
que tenga que ver con moral y cívica, entonces, es lógico que lo que es el
contenido de enseñanza, simultáneamente, es directamente formativo para la
vida, ¿no? O sea, ¿tú ves en la matemática alguna forma de que ese aprendizaje
de la matemática lo forme a uno, que forme al alumno para la vida?
A: Sí, sí, claro, por supuesto, o sea, yo digo que el niño, claro, el niño quizá,
de verdad, cuando... al decirle que eso le va servir en la vida para algo, porque
ellos en lo menos que estarán pensando ahorita es en casarse o tener algún
negocio, […] entonces, nosotros tenemos que estudiar la matemática para
aprenderla, porque eso de alguna manera, verdad, eso te va a servir a ti más

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adelante, no solamente para cuando pases de grado, que te va a dar una base
porque así se te va a hacer más fácil a la hora de reconocer y todo eso... los otros
contenidos, los que van en el nivel que sigue, sino que también te va a ayudar a ti
a todo, a todo lo que tú vayas a hacer, porque la matemática, sobre todo cuando
nosotros la globalizamos con las otras materias, ahí nos damos cuenta, o sea,
aquí también está la matemática, ¿ves?, en el año tal, en la historia, cuando
vemos la historia y todo eso, nos damos cuenta que la matemática también está
allí, y en todas partes, entonces, pero, sin embargo, creo que los muchachos no, o
sea, no tengan muy claro eso, o sea, no lo tengan muy claro, inclusive, pudiera
ser que simplemente lo vean como la importancia de tenerlas para pasar, para
avanzar, pero no lo veo así.
…
I: La pregunta era qué objetivo le veías a la formación matemática de los
niños, ¿no?; ahora yo te preguntaría, complementando esto: toda la formación
matemática, ¿de qué manera contribuye a la formación de los alumnos como
personas?; ¿eso tiene algo que ver con su formación individual como persona,
con la formación en valores?, ¿o no se ve?
Y: bueno, yo creo que sí, porque, por ejemplo, se trabaja en los procesos de
pensamiento lógico, razonamiento, no solamente se trabaja a nivel de la
matemática, sino en toda la vida se están utilizando estos procesos, o sea, que por
allí...
I: …por ahí viene la pregunta, si a toda esta construcción de conocimientos
matemáticos y de procedimientos, formas de hacer matemática, ¿se le ve alguna
implicación en lo que es la formación de la persona?
Y: …a través de los procesos es que vamos a ver si las personas llegan a ser
reflexivas, si llegan a ser críticos, cada vez vamos a ir trabajando procesos, yo
creo que sí tiene que ver, que sí tiene relación, aunque no se ve así con aquella
claridad, ¿verdad?, porque usted los va llevando hasta sexto grado; de sexto
grado a otro nivel, ¿qué sucede?
I: Lo que te quiero decir es, toda la formación matemática, tú enseñas y los
niños aprenden máximo común divisor, mínimo común múltiplo, fracciones,
problemitas de proporcionalidad, que sé yo, todo lo que es suma y resta, etcétera;
esa parte, pues, tiene un aspecto formativo matemático que está ahí, aprenden y
lo puedes aplicar, pero ese proceso de aprender matemática, ¿implica alguna
formación en la persona?
Y: Yo creo que tendría que ser por el pensamiento lógico, pensamiento
reflexivo, es la manera de llevarlos allí, a que ellos hagan eso, a que comparen, a
que clasifiquen, eso se aplica en la vida, nosotros comparamos, nosotros
clasificamos, en cualquier momento lo hacemos, ¿verdad?, en la vida diaria,
debe ser por eso.
I: Y el que sean reflexivos cuando resuelven algo de matemática...
Y: ... y cualquier problema de la vida diaria.
I: Okey.
Y: No solamente resolvemos o pensamos o razonamos en matemática, en
cualquier hora.
I: Pero iría también por ahí, ¿no?, o sea, la matemática ayuda a los
muchachos a ser reflexivos y eso les queda después como...
Y: Sí, yo lo veo así.

11
…
I: O sea, ¿la parte de formación para ser unos ciudadanos sería
fundamentalmente que aprendan bien los conceptos y que aprendan cómo
aplicarlos, cómo relacionarlos con la vida?
T: Sí, definitivamente.
Si pretendemos resumir todos los testimonios anteriores –recogidos al
responder a los dos tipos de preguntas propuestos-, queda bien claro que los
docentes de la escuela San Francisco presentaban dificultades en comprender
cómo los procesos de construcción de los conocimientos matemáticos que ellos
desarrollaban en el aula podían incidir en la formación ciudadana de sus alumnos.
Ciertamente, no sabían cómo establecer esta incidencia, o bien la ubicaban en la
formación en los procesos propios de la disciplina o en la aplicación de
conocimientos y procesos matemáticos a la vida. Estas dificultades de
comprensión se derivaban –como puede apreciarse en las respuestas obtenidas en
las entrevistas- de un desconocimiento de lo que el ejercicio del oficio de la
ciudadanía implica y de lo que, correspondientemente, puede significar –para el
desarrollo de disciplinas escolares tales como la matemática- la formación en tal
ejercicio. De ahí se sigue que a los docentes les resultaba casi imposible establecer
o describir formas específicas de llevar a la práctica procesos de construcción de
conocimientos matemáticos en el aula, procesos pertinentes para facilitar y
generar la formación de sus estudiantes en el oficio de la ciudadanía.
Este desconocimiento se hace más resaltante cuando, a partir de las
mismas entrevistas globales e individuales, se puede comprobar que hay
verdaderas evidencias –en la intención y en la práctica educativa de los docentes-
de esa formación de los educandos en el oficio de la ciudadanía, evidencias que
mostraremos en la última sección de este capítulo, precisamente después de que
hayamos caracterizado la categoría de ciudadanía y hayamos descrito los rasgos
que conlleva la formación en el ejercicio de la misma.
De momento nos limitamos a dejar constancia del problema que supone
para los docentes establecer una relación de incidencia entre la formación
matemática y la formación en el oficio de la ciudadanía de sus educandos; es
decir, el problema que supone no saber hallar una respuesta adecuada a estas dos
preguntas: ¿Cómo los procesos de construcción de los conocimientos matemáticos

12
pueden incidir en la formación ciudadana de los alumnos?; y de forma más
precisa, ¿existe alguna forma específica de pensar y desarrollar en la práctica tales
procesos, con el fin de generar tal formación? Y con el fin de establecer en su
exacta dimensión el problema que acabamos de describir, vamos a estudiar la
conceptualización de las categorías de ciudadanía y de formación en su oficio.
La formación en el oficio de la ciudadanía
La ciudadanía y la democracia
La ciudadanía es una categoría o concepto social referido a una dimensión
del ser humano en cuanto integrante de un conglomerado o comunidad social
estructuralmente organizada. En rigor, es “un concepto múltiple, tan sólo
abarcable teóricamente en el marco de un proceso dinámico de discusión racional,
crítica e intersubjetiva” (Bárcena, 1997: 76), un concepto abierto, sometido a
constante revisión y redefinición, ya que “el proceso de definición de la
ciudadanía es un proceso esencialmente dialógico, intersubjetivo. […] Es un
proceso de aprendizaje compartido” (ob. cit.: 184). Además, esta apertura del
concepto se debe también a que la ciudadanía es “una práctica histórica
socialmente construida” (Giroux, 1993: 21) y admite, por lo tanto, diversas formas
de comprensión y realización.
Pueden destacarse tres componentes o dominios de significado de la
ciudadanía:
un conjunto de derechos y deberes2
, una serie de comportamientos
cívicos efectivos, un sistema de valores o convicción moral que le
da significado. Por lo tanto, la cultura cívica puede suponer la
adquisición de conocimientos sobre la vida política, el aprendizaje
práctico del ejercicio de la ciudadanía, y la consecución de
adhesión a unos valores (Mayordomo, 1998: 129).
El concepto de ciudadanía no puede prescindir de ninguno de esos
dominios de significado, ni tampoco restringirse a uno solo de ellos. Por ejemplo,
no puede reducirse a la esfera de los derechos civiles, sociales y políticos. Esta es
la postura sostenida por la denominada corriente liberalista de la ciudadanía, para
la cual esta última consiste en “la adquisición de un estatus y alude, básicamente,

13
a las relaciones formales entre el individuo y el Estado, relación de acuerdo con la
cual se asignan al ciudadano una serie de derechos cívico-políticos vinculados a la
Constitución” (Bárcena, ob. cit.: 115), derechos que deben ser mantenidos y
protegidos por el Estado. En consonancia con este planteamiento, la política tiene
un carácter estrictamente instrumental, de no injerencia en la esfera privada de las
personas, y se reduce a garantizar un marco institucional y normativo para que los
ciudadanos desarrollen en libertad sus propios proyectos. Este punto de vista
establece una separación radical entre las esferas éticas privada y pública, a la vez
que desalienta todo esfuerzo de participación en la res pública. Por ello, como
afirma Cullen (2004: 104),
es necesario desplazar la ciudadanía del solo lugar de los derechos
civiles […] y de los meros derechos sociales […] hacia la
ciudadanía definida, propiamente, en términos políticos de
participación, y de participación argumentativa, dialógica, siempre
que se trate de algo que afecta al individuo o a todos.
Y es que, efectivamente, la ciudadanía es ante todo una actividad, una
práctica. Este es el punto de vista predominante en la denominada perspectiva
comunitarista, según la cual, “la ciudadanía no es meramente la adquisición de un
título o un estatus, sino una práctica de compromiso orientada a la participación
en el ámbito público, la formación de virtudes públicas y la articulación moral del
bien público” (Bárcena, ob. cit.: 122), y que implica un sentimiento común de
pertenencia que no puede establecerse mediante leyes. Este último autor insiste en
que la ciudadanía “entraña un cierto saber práctico, un tipo de conocimiento
normativo empeñado en expresar tipos de acciones y conductas, realidades
prácticas, cosas que deben hacerse” (ob. cit.: 160). En este sentido, la ciudadanía
como práctica, como acción deliberada, está referida a un núcleo de prácticas de
comunicación, de participación y servicio a la comunidad, cuya realización no
escapa del conflicto y de la contestabilidad que les son inherentes y que forman
parte del núcleo mismo del ejercicio de la ciudadanía. Además –y como se dijo
antes-, se trata de “prácticas de compromiso”, que se emprenden como actividades
éticamente buenas por sí mismas y no como medios para alcanzar un fin
instrumentalmente definido, ya que la ciudadanía es siempre la definición de un
ejercicio moral.

14
La ciudadanía como práctica también comprende una dimensión
hermenéutica y evaluativa:
Es realmente una práctica, un ejercicio en el que la capacidad de
interpretación y deliberación, la capacidad de juicio mismo resulta
imprescindible. El signo de la ciudadanía, en efecto, es, de esta
suerte, la capacidad de juicio, la habilidad y la competencia para
juzgar y actuar correspondientemente a las realidades de lo público
y lo político (ib.).
Esta capacidad de juicio que precede, acompaña y sigue a las acciones prácticas se
traduce, especialmente en el caso de Giroux y de Freire, en la comprensión de la
ciudadanía como “una invención social que exige un saber político que se gesta en
la práctica de reflexionar sobre ella” (Freire, 1996: 131), “como práctica
emancipatoria que vincula la adquisición de facultades críticas con formas de
lucha social progresista” (Giroux, 1993: 20). En consecuencia, la ciudadanía se
entiende como un “proceso de diálogo y compromiso arraigados en una creencia
fundamental en la posibilidad de vida pública y en el desarrollo de formas de
solidaridad” (ob. cit.: 22).
Desde esta perspectiva hermenéutica y comprometida, Giroux insiste
particularmente en el develamiento de la ideología dominante en la sociedad: “De
lo que se trata aquí es de reconocer que los efectos vividos de la ideología
prevaleciente son siempre problemáticos y se los debe ver como objeto de
investigación, en vez de meramente presuponerlos” (ob. cit.: 35). En otras
palabras, es preciso conocer
las formas en que funciona la ideología dominante, a manera de
organizar y legitimar las experiencias con el fin de que la gente
quede situada dentro de una estrecha gama de discursos que
limiten sus opciones en cuanto a producir otros puntos de vista y
modos de ver el mundo (ob. cit.: 36).
Esta investigación le lleva a criticar a quienes constituyen relaciones de
poder y establecen formaciones de significado opuestas a la participación y a la
solidaridad ciudadanas; de aquí su crítica a la racionalidad tecnocrática, al poder
de la economía de mercado y de los medios, poder que precisamente “reside en su
capacidad para restringir el poder de otras consideraciones e imágenes,
opcionales, en cuanto a lo que significa el ser un ciudadano” (ob. cit.: 35). Pero,
por otro lado, como Giroux concibe la ciudadanía como “un proceso de

15
regulación moral y de producción cultural, dentro del cual se estructuran
subjetividades particulares en torno a lo que significa el hecho de ser miembro de
un Estado nacional” (ob. cit.: 23), también se refiere al “poder del Estado, con el
fin de criticarlo y restringirlo” (ob. cit.: 22) en aspectos tales como la imposición
de cierta idea interesada de patria y de patriotismo, y de ciertas reinterpretaciones
de la historia remota y reciente del país; o en la manipulación de las necesidades,
aspiraciones, esperanzas y experiencias de los ciudadanos.
Podemos resumir las consideraciones hechas hasta aquí diciendo con
Bárcena (1997: 86) que
la ciudadanía ha sido concebida como una forma de vida que
transforma[…] a la persona por entero. Este proceso es,
esencialmente, una empresa colectiva. Más aún, la noción de
ciudadano es ininteligible aparte del bien común, y ambos
términos derivan su sentido de la idea de que somos por naturaleza
seres políticos.
Un tema íntimamente ligado con el de la ciudadanía es el de la
democracia. Entendida en sentido etimológico, la democracia es una forma de
gobierno –del pueblo- que permite la resolución pacífica de los conflictos y, a los
ciudadanos, interpelar a las autoridades en lo referente a la satisfacción de sus
necesidades. Pero, además de esta justificación instrumental, es posible aducir una
justificación sustancial de la democracia, en cuanto valora “la participación
ciudadana como actividad intrínseca y consustancial al desarrollo de las
cualidades propias del ser humano” (ob. cit.: 32). Entendida así, la democracia
representa
una forma de vida que promueve tres instancias fundamentales: a)
la libertad, en cuanto autodeterminación individual y colectiva; b)
el desarrollo humano, en lo que se refiere a la capacidad para
ejercer la autodeterminación, la autonomía moral y la
responsabilidad por las propias elecciones; y c) la igualdad moral
intrínseca de todos los individuos, la igualdad política y la igualdad
expresada en el derecho a la autonomía personal en lo tocante a la
determinación de los bienes personales (ib.).
Es precisamente esta dimensión de la democracia entendida como forma
de vida la que la hace ser considerada actualmente como la mejor forma de
gobierno y, sobre todo, la mejor forma de organización de la vida social y pública,
es decir, de la ciudadanía. En este sentido, el ideal a alcanzar en una sociedad es el

16
de vivir como ciudadanos en democracia, “por utópica que resulte su
consecución. El logro del ideal democrático resulta ser tan imposible como
imprescindible su búsqueda permanente” (Jáuregui, 1994: 20).
Las características de la democracia como forma de vida cívica se refieren,
en primer lugar, a los ideales que la orientan, ideales que ya se han mencionado:
la libertad individual y colectiva, el desarrollo humano, y la igualdad moral
intrínseca de todos los individuos. Pero no basta la consideración de los ideales
como metas y, a la vez, motores del esfuerzo por alcanzarlos; es preciso tomar en
cuenta un condicionamiento básico: la pluralidad. Pluralidad de personas, de
juicios acerca de situaciones, de opiniones y acciones políticas; pero también
pluralidad de opciones, de alternativas; y como característica del bien que se
persigue alcanzar en la comunidad: el bien plural. La democracia sólo puede
desarrollarse en la diversidad, en las diferencias aceptadas, cuando la verdad no se
concibe como una posesión individual que induce una responsabilidad de tipo
paternalista hacia los demás, sino como algo cuya búsqueda y construcción se
entiende como una empresa común que convierte la responsabilidad hacia el otro
como un respeto total por su diferencia.
Esta presencia de la pluralidad y de la diversidad debe generar una actitud
básica de tolerancia, entendida como
el respeto, la aceptación y la estima de la riqueza y diversidad de
las culturas, de las diferentes maneras de expresar nuestra cualidad
de seres humanos. La tolerancia […] es la armonía en la diferencia,
es una virtud, […] es animada por el conocimiento, por el
mantenimiento de un espíritu abierto, por la comunicación y la
libertad de pensamiento (Mayordomo, 1998: 159).
Pero la tolerancia también necesita su propio caldo de cultivo, lejos de prácticas
de exclusión y de fundamentalismos:
Parece que la tolerancia, como valor, está en mejores condiciones
de florecer en un contexto caracterizado por modos de conducta y
estilos de vida culturales que no parecen exigir del sujeto un apoyo
incondicional y que, al mismo tiempo, puedan ser susceptibles de
continua modificación y readaptación a contextos nuevos por
medio de la evaluación crítica y la reflexión personal de los sujetos
(Bárcena, 1997: 124).

17
En este clima de tolerancia y aceptación de la diversidad, es posible el
desarrollo de la autonomía personal y, en particular, de la capacidad de
deliberación, de formación de un juicio argumentado acerca de las situaciones
referidas al bien público. Estamos hablando de la posibilidad de emitir y sostener
un juicio político personal, posibilidad que conforma un atributo esencial de la
ciudadanía, por cuanto representa su discurso práctico. Esta posibilidad
corresponde a todos los ciudadanos, sin que pueda ser ni mucho
menos exclusiva de privilegiados, expertos, o de la llamada clase
política; una capacidad que, después de la deliberación y el
encuentro con otras perspectivas del pensamiento de los otros, ha
de ayudar consistentemente a juzgar sobre opciones plurales,
definiendo así tanto el personal pensamiento cívico como nuestra
propia identidad como ciudadanos (Mayordomo, ob. cit.: 161).
De esta forma es posible hacer frente a la habitual falta de confianza que, tanto el
Estado como las instituciones, manifiestan acerca de la capacidad de los
ciudadanos comunes para ejercer sus facultades de juicio y decisión en relación
con los asuntos públicos.
Este respeto mutuo entre todas las personas, a las que se les reconoce su
capacidad de deliberación y de emisión de juicios políticos, es uno de los
requisitos básicos para el diálogo y para el debate público, y para la resolución de
conflictos; diálogo y debate que exigen reflexión y atención mutua a los
argumentos esgrimidos por las partes; que no se reducen a la racionalidad
cognitiva, sino que valoran la dimensión afectiva como capaz de aportar motivos
para la acción; y que trascienden el discurso, ya que se dirigen siempre a la
construcción de posibilidades de acción por parte de las personas involucradas.
La última consideración hace referencia a un aspecto importante de la
democracia: ésta no se reduce a los elementos cognitivos y discursivos –de suyo
imprescindibles- sino que se atribuye una dimensión práctica.
En efecto, la democracia es, por encima de cualquier otra
consideración, una práctica inspirada en un conjunto de valores
que se pueden transmitir. Es un modo de acción que se justifica en
su aplicación y que se legitima utilizándola de acuerdo con tales
valores y con un juicio informado (Bárcena, 1997: 80).

18
O en palabras de Giroux (1993: 54): “La democracia […] como práctica social
adquiere forma propia mediante los conceptos ideológicos de poder, política y
comunidad, que se hallan en competencia entre sí”.
Por consiguiente, el ejercicio de la democracia llama a cada ciudadano a la
participación, no sólo en votaciones electorales, sino también en la toma de
decisiones “en la economía, el estado y otras esferas públicas” (ob. cit.: 56). En
palabras de Van Berkel (2006: 216),
la participación entendida como la acción y efecto de tomar parte
en los asuntos públicos, por parte de los ciudadanos, refiere a una
voluntad personal y a unas condiciones que hace posible a los
sujetos superar la noción de ser y tener parte de una dinámica
social y política, para constituirse en un actor que se considera con
los derechos y la capacidad para incidir en decisiones que están en
relación con lo público y su entorno de vida.
Una participación que se convierte en “un punto esencial en cuanto a recurso de
ejercicio del control ciudadano y campo efectivo del pluralismo de ideas, opciones
y aspiraciones” (Mayordomo, 1998: 149 s.). Mediante esta participación se trata
de fortalecer los vínculos horizontales entre ciudadanos, la convivencia “que
vincula a un contexto próximo, a sus bienes culturales, a sus significados y
valores, a sus prácticas sociales; y, por lo tanto, se nos ofrece con aprovechable
facilidad como motivo de comprensión, de integración y de participación” (ob.
cit.: 155).
Pero la participación no se agota en la convivencia sino que, desde ella,
trasciende a la búsqueda de un bien común. Búsqueda plena de sentido
comunitario, de sentido de pertenencia a un colectivo cuyas raíces se comparten, a
una comunidad que identifica y vincula. De aquí puede nacer una actitud de
solidaridad y cooperación en esa búsqueda del bien común y en la defensa o
reivindicación de los derechos ciudadanos para todos, cercanos o lejanos, pero
sobre todo para aquellos que viven realidades deshumanizadas, personas y
colectivos que no tienen garantizado el acceso a tales derechos o no poseen
“capacidad operativa en las plataformas institucionales de negociación y decisión
políticas” (Rosales, citado en Mayordomo, ob. cit.: 159).
Todas las características señaladas hasta ahora exigen la activación de la
dimensión moral del ejercicio de la ciudadanía en democracia. (Dagnino, 2004).

19
Este ejercicio reposa en la convicción de que todo ciudadano es capaz de
discernir, en la vida pública, lo verdadero de lo falso y las leyes justas de las
injustas; así, pues, la competencia moral de los ciudadanos se arraiga en su
facultad de juicio y discernimiento. Esto implica la continuidad, la no ruptura,
entre la ética privada y la ética pública. En este sentido, “la democracia exige […]
una definición subjetiva, supone opciones de valor, un referente normativo de
ideales y aspiraciones” (Bárcena, 1997: 35).
Es lo que Mayordomo identifica como
la cultura de la responsabilidad […] que significa […] confiar en
que también nosotros somos realmente condición de la
democracia; significa aceptar que estamos implicados, que somos
los ‘encargados’ de ciertas cosas y que somos o podemos ser los
‘garantes’ de determinados funcionamientos, que hemos de darnos
nuestros propios principios desde nuestra capacidad de autonomía
moral, que hemos de asumir también, a veces, la responsabilidad
de no transigir con aquello que desvirtúa la esencia y los modos del
comportamiento democrático, y que hemos de dar cuenta, en
efecto, de nuestras opciones y acciones (Mayordomo, 1988: 162).
Esta activación del compromiso moral en términos de responsabilidad no permite,
pues, reducir el ejercicio de la ética pública a la sola observancia de las leyes
vigentes y a identificar como “buena” moralidad el mero hecho de no ser
castigado con las sanciones que la infracción de la ley acarrea.
El vigor de la vida en democracia depende, pues, de esta infraestructura
moral, más que de los sustratos técnico y económico. Indudablemente, esta
situación dota a todo el edificio democrático de una gran fragilidad, pero este
riesgo es una de las características intrínsecas de la vida en democracia y debe ser
asumido como normal y útil, ya que el ideal democrático debe ser
permanentemente reinventado o revivificado.
A modo de síntesis de este breve recorrido por el concepto de democracia,
se presentan estas cinco notas constitutivas de tal concepción: participación,
pluralismo, libertad, respeto mutuo y justicia. La consideración de estos principios
supone un poder compartido; la posibilidad de desarrollar y defender ideas y
proyectos plurales; el ejercicio de la libertad no sólo entendida como opción
formal entre posibilidades de acción, sino también como capacidad de desarrollar
una efectiva inteligencia de la realidad social; el ejercicio del respeto mutuo y de

20
la tolerancia que posibiliten la convivencia en la diversidad; y la existencia de
normas reguladoras de la vida colectiva, así como la igualdad de todos ante ellas
(Sarramona, 1993). Principios, condiciones y acciones que conforman el discurso
de la democracia, discurso que, como recuerda Giroux,
requiere de un lenguaje de posibilidad, un lenguaje en el que se
conjugue una estrategia de oposición con otra estrategia orientada
a la construcción de un nuevo orden social. […] Los demócratas
radicales necesitan situar la lucha por la democracia dentro de un
proyecto utópico; un proyecto que presuponga una visión del
futuro fundamentada en un lenguaje programático de
responsabilidad cívica y bien público (Giroux, 1993: 57).
Educación y ciudadanía
Decíamos más arriba que el ideal a alcanzar en una sociedad es el de vivir
como ciudadanos en democracia o, en otras palabras, de ejercer el oficio de la
ciudadanía en democracia3
. Para ello, Hannah Arendt establece como
imprescindible la constitución y preservación de un espacio o de una esfera
pública (Arendt, 2003)4
. Se trata de un espacio de “aparición” en el que la persona
tiene la oportunidad de mostrar a la luz su identidad cívica, su excelencia humana,
y dar curso a su autodesarrollo; pero no es un espacio de apariciones individuales
aisladas, sino un “espacio público y común” (Cullen, 2004: 101). “El espacio de
aparición cobra existencia siempre que los hombres se agrupan por el discurso y
la acción” (Arendt, ob. cit.: 222); por mediación de ambos, discurso y acción,
expresamos nuestra identidad y, simultáneamente, establecemos relaciones de
reciprocidad y solidaridad. Es la construcción de la verdad, de una verdad
entendida como indagación común del sentido y que funda una comunidad de
significados compartidos, y propicia la aparición de la libertad humana en
condiciones de pluralidad.
En síntesis,
la esfera pública es el ámbito de ‘revelación’ en el que reinan la
libertad y la igualdad, el espacio en el que los individuos, en tanto
que ciudadanos, interactúan por medio del habla y la persuasión, y
el contexto propicio en el que muestran sus genuinas identidades y
deciden, mediante la deliberación colectiva, sobre asuntos de
interés común (Bárcena, 1997: 208).

21
En términos similares se expresa Giroux (1993: 160 s.):
Por espacio público entiendo, al igual que Hannah Arendt, un
conjunto concreto de condiciones de aprendizaje gracias a las
cuales las personas puedan reunirse para hablar, dialogar,
compartir sus narraciones y luchar juntas dentro de relaciones
sociales que fortalezcan, en vez de debilitar, la posibilidad de la
ciudadanía activa.
Las posibles formas de esta esfera pública pueden ser variadas; pero, en
particular, la formación para ejercer el oficio de la ciudadanía –y su misma puesta
en práctica- exige la referencia a comunidades humanas “abarcables” (Bárcena,
1997), a espacios bien definidos tales como fábricas, oficinas, barrios,
instituciones educativas, deportivas y culturales, y otras similares (García, Lucas,
2001), en razón de que tales instituciones proporcionan “las raíces necesarias para
tener un sentido de lugar y de lucha” (Giroux, 1993: 31). Así se expresa también
Freire (1998: 98): “El obrero necesita inventar a partir del propio trabajo su
ciudadanía”. A esta perspectiva confluye también el enfoque comunitarista de la
ciudadanía que, en función del pluralismo de la sociedad moderna, sostiene que el
individuo “debe concentrarse en el aprendizaje y ejercicio de ciertas virtudes
públicas en comunidades locales y grupos que intencionalmente producen una
participación real y continuada” (Bárcena: 1997: 129), ya que para llegar a ser un
ciudadano activo y participativo, el individuo debe estar motivado, formado, y
haber gozado de oportunidades para ello. En definitiva, se requiere un proceso de
aprendizaje social de la ciudadanía (Dagnino, 2004).
Las instituciones educativas son un ejemplo claro y necesario de esferas
públicas en las que se procede a la formación de las personas en el oficio de la
ciudadanía. De acuerdo con Giroux (1993: 62), “en su calidad de esferas públicas
democráticas, las escuelas pasan a ser lugares donde los estudiantes aprenden los
conocimientos y las habilidades de ciudadanía dentro de formas de solidaridad
que constituyen la base para construir formas emancipatorias de vida
comunitaria”. Las escuelas se consideran también como “esferas públicas
democráticas comprometidas con formas de políticas culturales orientadas a darles
facultades a los estudiantes y a mejorar las posibilidades humanas” (ob. cit.: 58
s.), “como zonas fronterizas de cruce, comprometidas activamente en producir

22
nuevas formas de comunidad democrática organizadas como puestos de
interpretación, negociación y resistencia” (Giroux, 1994, p. 123).
Pero el hecho de que la mayoría de los sujetos que concurren a la escuela –
los niños y adolescentes- no son ciudadanos en sentido adulto, portadores de
derechos y deberes cívicos en plenitud, pudiera hacer pensar que la identificación
de la escuela como espacio público para la formación y el ejercicio del oficio de la
ciudadanía es un tanto forzada o circunstancial. Entonces, ¿dónde hallamos el
fundamento de tal identificación? En la dimensión cívica, ciudadana o ético-
política que, de suyo, posee la educación.
La esencia de la educación radica en la posibilidad de garantizar un futuro;
no sólo para lo que se presenta como “nuevo” en el mundo, para lo que irrumpe
con la fuerza de la natalidad, sino también para garantizar un futuro a lo ya
existente, para proteger y cuidar el mundo común en el que se nos permita seguir
manifestando nuestra identidad. En este sentido, Hannah Arendt (1996: 192 s.)
habla del carácter conservador5
que debe poseer la educación:
Nuestra esperanza siempre pende de lo nuevo que trae cada
generación […]. Precisamente por el bien de aquello que hay de
nuevo y de revolucionario en cada niño, la educación debe ser
conservadora; debe preservar esta novedad e introducirla como
cosa nueva a un mundo viejo.
Esta tensión entre la “novedad” y su inserción en un mundo “viejo” puede servir
para establecer la necesidad de una dimensión cívica en la educación.
La educación ciudadana
ha de informar y estimular al mismo tiempo que ha de descubrir y
significar identidades, pertenencias y compromisos […]. La
educación cívica preparará al ciudadano para conocer y pensar,
para ser, para hacerse presente; […] ha de perseguir el preparar la
inteligencia de la realidad sociopolítica, el estimular el juicio y la
reflexión crítica sobre ella, el despertar o animar la responsabilidad
ante la misma, y el dotar al ciudadano de instrumentos para
ejercitar adecuadamente su integración en aquella realidad. Desde
ese punto de vista cabe no olvidar que el civismo se ejercita con la
construcción de nuestra conducta cívica (Mayordomo, 1998: 137
s.).
Y aquí entraríamos en toda la serie de actitudes, conductas y valores que
anteriormente se señalaron con respecto a la caracterización de la ciudadanía

23
vivida en democracia: la tolerancia, el ejercicio de la deliberación y del juicio
argumentativo, el diálogo, la resolución de conflictos, la participación, la
convivencia, la búsqueda del bien común, el sentido comunitario, la solidaridad,
la cooperación, la responsabilidad…
Y, en paralelo con la dimensión ética que articula la concepción de la
ciudadanía y de la democracia, también en la formación en el ejercicio de la
ciudadanía resulta imprescindible destacar esta dimensión ética “como base o
apoyo a la respuesta responsable que el ciudadano deberá dar a situaciones
sociales y políticas” (ob. cit.: 121). Esta educación moral busca facilitar el
desarrollo autónomo de un juicio moral contextualmente interpretado y, con él,
una maduración cognitiva, motivacional y práctica, así como el despliegue de
aquellas aptitudes que se requieren para actuar y transformar el entorno. “Se trata
de formar un ciudadano verdaderamente ético, lo cual quiere decir un nosotros
[…]. Es la comunidad, como posibilidad de una ciudadanía moral, o, si se
prefiere, como una ética ciudadana, o sea pública”. (Cullen, 2004: 98).
Indefectiblemente unida a la dimensión ética de la educación ciudadana se
halla su dimensión política. En términos generales, la educación política tiene que
ver con “fortalecer los lazos entre juicio y acción” (Bárcena, 1997: 39), fomentar
“el desarrollo de ciudadanos que posean los atributos sociales y críticos como para
mejorar la calidad de la vida pública” (Giroux, 1993: 40). Pero también presenta
un aspecto reivindicativo; es lo que, por ejemplo, Adorno denomina una
“educación para la emancipación”, o Giroux “hacer lo pedagógico más político”,
o Freire “una educación para la liberación”.
Adorno (1998), frente a los horrores cometidos por el pueblo alemán
durante la segunda guerra mundial y para que no se repitan, clama por una
educación crítica que parta de la reflexión consciente acerca de los motivos que
llevaron a tal desastre y que forme democráticamente a los educandos para que
puedan asumir un papel autónomo, crítico y activo en la construcción de una
sociedad más justa. En cuanto a Giroux, establece que “podemos hacer lo
pedagógico más político clarificando la manera en que la compleja dinámica de la
ideología y el poder organiza las diversas experiencias y dimensiones de la vida

24
escolar, a la vez que media en ellas” (Giroux, 1993: 60); para ello aporta una serie
de sugerencias puntuales, sobre las que volveremos enseguida.
Por su parte, Freire ha desarrollado en casi todas sus obras su concepto de
educación para la libertad, para la liberación. Comienza por distinguir entre ésta y
“la educación para la domesticación [que] consiste en un acto de transferencia de
‘conocimiento’, mientras que la educación para la libertad es un acto de
conocimiento y un proceso de acción transformadora que debería ejercerse sobre
la realidad” (Freire, 1990: 116). Con la aplicación del primer tipo de educación se
impide la aparición de la conciencia crítica y se refuerza la situación de opresión y
el analfabetismo político. Por eso, es preciso trascender la educación
domesticadora y alcanzar otra, liberadora, “en el que conocer y transformar la
realidad son prerrequisitos recíprocos” (ob. cit.: 118). Para ello es indispensable
un proceso de concienciación que se inicia por un reconocimiento del mundo, con
el fin de descubrir las relaciones de dominación que impiden el ejercicio pleno de
la libertad; y sobre esta base, organizarse comunitariamente y participar
críticamente con el fin de alcanzar la transformación del mundo.
En este proceso, es necesario que
el educador para la libertad muera, en tanto educador exclusivo de
los educandos, es decir, en tanto aquel que los educa.
Consecuentemente, debe proponer a los educandos que ellos
también desaparezcan en tanto exclusivamente educandos para que
puedan renacer como verdaderos educandos, educadores del
autoeducador y del autoeducando (ob. cit.: 118).
En otras palabras,
el educando se reconoce conociendo los objetos, descubriendo que
es capaz de conocer, asistiendo a la inmersión de los significados
en cuyo proceso se va tornando también significador crítico. Más
que ser educando por una razón cualquiera, el educando necesita
volverse educando asumiéndose como sujeto cognoscente, y no
como incidencia del discurso del educador. Es aquí donde reside,
en última instancia, la gran importancia política del acto de enseñar
(Freire, 1993: 44).
Estos son los términos en que puede definirse, pues, una educación
cívica en el sentido emancipatorio de la práctica, que es aquel que
hace hincapié en el aprendizaje cívico y en la responsabilidad
pública como parte de la lucha por desarrollar capacidades
humanas y formas sociales que extiendan, en vez de disminuir, las

25
nuevas posibilidades de vida pública democrática (Giroux, 1993:
42).
Una “educación ciudadana que reivindique para sí las nociones de lucha,
solidaridad y esperanza, alrededor de formas de acción social que expandan, en
vez de restringir, el concepto de valor público y vida pública” (ob. cit.: 63). En
términos similares se expresa Cullen (2004: 97) cuando asegura que “formar al
ciudadano es justamente formar un sujeto moral pero con memoria de su
ciudadanía (liberal) negada”.
Con la afirmación de la necesaria dimensión ciudadana –ético-política- de
la educación desaparece todo reparo para considerar el ámbito escolar como una
esfera pública apta para la formación y el ejercicio en el oficio de la ciudadanía,
como sugeríamos más arriba. Esta caracterización de la escuela tiene que ver con
diversos aspectos. Uno de ellos es el relativo a los planes de estudio, a las
materias que forman el pénsum escolar. Mayordomo (1998) habla de la
posibilidad de contar con alguna o algunas asignaturas específicas (educación
cívica, educación para la paz, educación sobre derechos humanos, etc.), orientadas
a la adquisición de conocimientos y al desarrollo de ciertas actitudes cónsonas con
el ejercicio de la ciudadanía. Pero sugiere que la decisión curricular anterior debe
complementarse con la consideración de la formación en la ciudadanía como eje
transversal que “promueve la existencia de una orientación de solidaridad, con
actitudes favorables a la participación en actividades no sólo escolares sino
comunitarias” (ob. cit.: 147).
La misma opinión comparte Giroux (1993: 60):
La vinculación de la educación con la ciudadanía nos proporciona
una manera de evitar que se tenga que desarrollar la educación
cívica como una materia aparte, y al mismo tiempo inculca sus
aspectos más importantes en todas partes de las diversas materias y
disciplinas.
En el mismo sentido se expresa Freire, desde la perspectiva de una escuela
integrada en la lucha de clases social:
Mi tesis no es que […] voy a politizar a los niños y olvidarme de
enseñar los contenidos fundamentales. […] Esta dicotomía entre
política y contenido no es científica. Como política, es errónea y,
como ciencia, distorsionada. Mi tesis, por ende, es que mientras
enseño el contenido necesario del campo de la biología, la historia

26
o el lenguaje, yo debato, aclaro e ilumino la lucha de clases en la
sociedad. Lo incluyo en todo el contenido, porque acepto que la
escuela es parte de esa lucha (Torres, 2004: 101).
Estas afirmaciones acerca de la vinculación de las asignaturas escolares
con la formación en el oficio de la ciudadanía son de suma importancia para
nuestro trabajo. Pero surge la pregunta: ¿cómo se consigue, en la práctica, una tal
vinculación? Giroux propone como cuestión inicial básica –y ésta es una tarea
fundamentalmente para los profesores como intelectuales (Giroux, 1990) y, en lo
posible, también para los estudiantes- cuestionarse en el aula acerca de la
constitución de los conocimientos disciplinares como elaboraciones históricas y
sociales, así como de las relaciones entre tales conocimientos y el poder,
relaciones que legitiman ciertos discursos aparentemente científicos. Por su parte,
Kemmis (1988) habla de una selección de los contenidos con la premisa de qué
saberes nos permiten ser más libres y nos ayudan a tomar decisiones correctas en
nuestra vida.
Pero además de esta mirada crítica hacia la constitución de los contenidos
de las asignaturas escolares, es muy importante revisar los procesos de
aprendizaje y enseñanza de tales contenidos disciplinares. En este sentido se
expresa Freire (1993: 39): “no sólo los contenidos, sino las formas de abordarlos
están en relación directa con los niveles de lucha mencionados más arriba”. De
manera similar, Martínez (2003) llama la atención acerca de la gestión de los
contenidos en el aula, dando por entendido que construir conocimientos significa
construirnos también como sujetos con historia; y en este punto, también incluye
la evaluación, entendida como diálogo, crítica y participación. Por su parte,
Mayordomo asigna “destacada importancia [a] los enfoques didácticos activos
para incitar a la participación activa […], los métodos que favorecen el
aprendizaje mediante una acción concreta sobre la propia realidad de la
comunidad o en colaboración con ella” (Mayordomo, 1998: 147).
En rigor, se trata de un aprendizaje de los contenidos disciplinares en el
ámbito de un aula considerada como esfera pública democrática. Y de nuevo nos
encontramos con toda la serie de actitudes, conductas y valores que anteriormente
se señalaron con respecto a la caracterización de la ciudadanía vivida en
democracia, y que ahora se pueden aplicar a las situaciones de aprendizaje de cada

27
uno de los contenidos disciplinares. En palabras de Mayordomo (ob. cit.: 150), “es
preciso propiciar un aprendizaje que les inicie en el funcionamiento democrático,
en la vivencia de algunas de las prácticas ciudadanas y en los mecanismos de
escucha y diálogo, argumentación, expresión, decisión, elección, representación,
gestión democrática, responsabilidad, crítica y control…”.
Claro que, como advierte Cullen (2004), no basta con esta revalorización
del aula disciplinar en términos democráticos si no existe el mismo espíritu en la
institución escolar, ya que “la escuela –y ésta es su crisis más fenomenal- llega,
muchas veces, a simular sociedad desde una posición de no sujeto. […] Es decir,
la escuela corre el riesgo de quedar como pura institución social, sin sujetos
reales” (ob. cit.: 17), sin ciudadanos. Con el fin de superar este riesgo, los
principios de libertad, respeto mutuo y justicia deben impregnar el proyecto
educativo institucional y transmitirse a la organización escolar y al ambiente
cotidiano, de modo que el clima organizativo
propicie la libre iniciativa y la responsabilidad, en las relaciones y
el trabajo cooperativo de sus miembros, en la participación activa y
responsable en el gobierno y gestión del centro, en un
acercamiento de la institución y sus programas a los agentes
sociales y a los servicios de la comunidad (Mayordomo, ob. cit.:
145).
En palabras de Van Berkel (2006: 215), “la posibilidad de trabajar
articuladamente […] es un aspecto de mucha importancia para el desarrollo de
proyectos educativos integrales. […] Estos vínculos pueden facilitar procesos para
la formación ciudadana en la práctica cotidiana de la gente”. Y también,
esa dinámica posible en la cual la escuela y la comunidad
desarrollan una capacidad de ‘imbricarse’, es la que abre una
buena oportunidad para generar procesos de formación ciudadana.
Pero, de una formación en la acción y para la acción, desde la
articulación de una dimensión pedagógica (y andragógica) con una
dimensión social y política (ob. cit.: 219).
Finalmente, a los condicionamientos anteriores pueden agregarse los
siguientes rasgos también característicos de una escuela democrática: Favorecer el
derecho al ejercicio de la participación en la toma de decisiones, no eliminar los
conflictos sino asumirlos y resolverlos en el debate y el diálogo, fomentar el
derecho de los estudiantes a optar y a aprender a optar (Freire, 1998), propiciar la

28
autogestión de las condiciones de vida de los participantes (Viniegra, 2002), y
entender y ejercer la autoridad como servicio para la construcción de las
subjetividades de los educandos (Giroux, 1994; Giroux, McLaren, 1998).
Presencia de la formación de los educandos en el oficio de la ciudadanía en la
comunidad escolar investigada
Una vez efectuada la caracterización de los conceptos de ciudadanía y de
democracia, así como establecidos los rasgos de la formación en el oficio de la
ciudadanía y la necesaria relación entre ésta y la formación en las disciplinas
escolares, podemos recoger –a partir de los testimonios de los propios docentes de
la escuela San Francisco, testimonios vertidos en sus entrevistas- algunas
evidencias de la presencia de la formación de los educandos en el oficio de la
ciudadanía por la vía de la formación matemática, si bien los mismos docentes no
tienen conciencia –como ya se ha visto- del significado de tal presencia.
1. Una de estas evidencias se hace palpable cuando se indaga acerca del
objetivo de la educación para el docente en particular, o para el grupo de
docentes, o para la escuela como institución. Las respuestas individuales
muestran una orientación muy clara hacia los niños concretos –a los que todos
los docentes conocen- y hacia sus problemas, particularmente los referidos a
actitudes agresivas; una orientación que significa cariño, formación en valores
morales. También cabe destacar la formación en la reflexión que se estima
pueden alcanzar los niños por medio de su formación matemática. He aquí
algunos testimonios al respecto:
I:¿Qué objetivo le darías tú, qué propósito, a tu labor educativa?
R: ¿Qué objetivo?, mucho, mucho; pienso que uno como educador tiene que
formar al niño, brindarle ese cariño, ese amor que muchas veces les falta en la
casa y yo pienso que cuando uno lo hace de esa manera ellos son como más, los
gana uno más a lo que uno quiere.
…
I: Bueno, S, ¿cuál sería para ti el objetivo de toda la labor educativa tuya?
S: ¿La mía?
I: Ajá.
S: Bueno, yo creo que la mía como docente es una misión que sería formar a
los muchachos no solamente en las competencias básicas del grado que me
tocan sino sobre todo en valores; ¿por qué?, porque desde que estamos, desde
que yo entré, pues, siempre ha sido la constante de que aquí hay mucha
agresividad, hay muchos problemas, diría yo, a nivel del núcleo familiar que
influye mucho en los muchachos; entonces ¿cómo tratar de sustituir esa parte
que les falta a los muchachos? Sustituirlo en la escuela, aparte de los

29
conocimientos básicos que tenga uno que dar, pues esa parte afectiva, esa parte
emocional que uno tiene que también cubrir; […] aquí las maestras son abuelas,
son tías, y yo creo que es verdad, y aparte de eso yo soy abuela, tía, mamá, hay
que ser psicopedagoga, psiquiatra, psicóloga, hay que tener todo eso porque las
realidades que uno tiene en el salón son... cada muchachito es una realidad
distinta, entonces uno tiene que..., o sea, aparte de tener claro que es lo que
quiero con la parte educativa formal, la parte de las competencias básicas y todo
eso, esa parte también que es muy importante cubrírsela a los muchachos de esta
comunidad.
…
S: Sí, hay muchísimos problemas, en todos los salones, de hecho, hay esos
problemas, y de hecho, C nos lleva un informe de cuando terminó el primer
lapso, y ella dice que de todos los niños que tiene apenas hay dos niños que
tienen problemas, que son de verdad niños especiales, uno con retraso y otro,
pero de resto son puros problemas así, que el mismo ambiente los crea,
emocionales más que todo; entonces, uno trata en el salón de inculcarles algo,
de llevarlos para alguna parte pero, cuando no es en la calle es en la misma
familia, pues, ¿cómo se hace?
…
I: ¿Qué viste en la organización, en la comunidad de docentes, en la forma
de llevar la escuela, que te llamó la atención?
R: La dedicación. La dedicación, la responsabilidad, el esmero; yo pienso
que, como profesora, en las reuniones yo he observado que aquí se toma mucho
en cuenta lo que es el niño, lo que es el representante, lo que es la comunidad en
general; lo que no sucede en otros planteles.
…
X: …y algo que me sorprende, aquí se sabe dónde anda el alumno, cómo es
todo el mundo, y todo el mundo se habla de todos los alumnos; en cambio, en
otras escuelas mis alumnos son míos, de primaria; luego le pueden tocar a otra
maestra, pero ya a mí no me importa. Y aquí se ve que las maestras de
preescolar se preocupan por el alumno de 6º grado; y ésa es de la familia de tal,
que vino de tal, y hay esa preocupación por el alumno, de verdad.
…
I: …por ahí viene la pregunta, si a toda esta construcción de conocimientos
matemáticos y de procedimientos, formas de hacer matemática, ¿se le ve alguna
implicación en lo que es la formación de la persona?
Y: …a través de los procesos es que vamos a ver si las personas llegan a ser
reflexivas, si llegan a ser críticos, cada vez vamos a ir trabajando procesos, yo
creo que sí tiene que ver, que sí tiene relación, aunque no se ve así con aquella
claridad, ¿verdad?
2. También se destaca el rasgo de la participación de los educandos en el
proceso de construir sus conocimientos:
I: ¿Y cosas particulares propias de esta comunidad de docentes, que eran
para ti como un reto en aquel momento?
R: Para aquel momento, mire sería el dominio de grupo, ese era uno de mis
retos, cómo llevar las actividades, porque eran muy distintas de cómo se hacen
aquí, es como, el otro es como muy mecánico y más personal, en cambio aquí
aprendí, mi reto era aprender cómo llevar la clase de una manera más dinámica,

30
que los muchachos participen, y si ellos no lo hacen, no era partirle la cabeza al
muchacho y meterle todo lo que uno quiere impartir, que también lo lleven a
uno a ir concluyendo, entonces lo iba aprendiendo.
3. Cabe también resaltar el testimonio de uno de los docentes acerca de su
enfoque hacia la diversidad en los procesos de construcción de conocimientos
matemáticos en el aula:
A: Ahorita siento un poquitico más de confianza, inclusive las materias que
tuve que ver ahorita en el Pedagógico, de matemática, bueno, tuve unas notas
muy buenas, pues, y de verdad que me sentí en confianza; será también porque
he leído más, o sea, me ha llamado bastante..., he leído más, he buscado más;
sin embargo, no dejo de revisar a la hora del contenido, no dejo de revisar, oye,
por dónde sale esto, de qué otra manera se puede hacer, a veces me he
encontrado cosas, ah mira, aquí también da resultado…
…
A: El hecho de que el muchacho no tenga consolidado un proceso debe decir
que yo lo he estado dando del librito, abstractamente y de una sola manera, no
he buscado la forma, no he buscado las maneras, las estrategias de decirle mira
puede ser así, así, así o así, cómo lo entiendes, de esta manera, déle por ahí.
Entonces si lo he presentado así de esta manera, una sola manera nada más, y
cómo él no le entendió así, entonces él sencillamente no se hizo de ese
contenido. Entonces creo que en los salones, intuyo, se ha estado trabajando los
contenidos de diferente manera, estrategia y forma para que al muchacho le
llegue y se apropie de esos procesos. Entonces los resultados se están viendo,
bueno quizá con un nivel todavía muy bajo, no como el que quisiéramos, pero
se está sintiendo la matemática poco a poco en la escuela.
Pero, a pesar de estas actitudes y conductas de atención al niño, a sus
problemas, y a su formación en valores y en la reflexión, de buscar la
participación en el trabajo del aula, de fomentar la diversidad en el modo de
resolver ejercicios y problemas de matemática –actitudes y prácticas que se
corresponden con la búsqueda de la formación de los educandos en el oficio de la
ciudadanía-, sigue siendo cierto que los docentes no tienen conciencia de que, de
este modo, ya están relacionando esta formación con la formación matemática de
sus educandos.
Ahora bien, este desconocimiento o falta de conciencia en los docentes de
lo que es la formación en el oficio de la ciudadanía y de cómo se puede conseguir
tal formación desde los procesos de enseñanza y aprendizaje de la matemática,
revela que los docentes no perciben ni entienden cómo la formación en el oficio
de la ciudadanía forma parte, de hecho, de tales procesos de enseñanza y
aprendizaje de la matemática, cómo está presente, cómo se activa en tales
procesos.

31
En este punto empieza a perfilarse el problema de esta investigación. No
se trata del desconocimiento o falta de conciencia evidenciados por los docentes.
No se trata, en primera instancia, de que ellos no sepan cómo responder a las dos
preguntas planteadas anteriormente: ¿Cómo los procesos de construcción de los
conocimientos matemáticos pueden incidir en la formación ciudadana de los
alumnos?; y de forma más precisa, ¿existe alguna forma específica de pensar y
desarrollar en la práctica tales procesos, con el fin de generar tal formación?
Desde el punto de vista del investigador, y al considerar que los procesos
de construcción de los conocimientos matemáticos están regidos por la Didáctica
de la Matemática6
, surge un problema previo, precisamente al interior de este
campo disciplinar, cuando uno se pregunta si la formación en el oficio de la
ciudadanía forma parte de la conceptualización teórica de la Didáctica de la
Matemática; y si la respuesta a esta cuestión es positiva, de qué manera lo hace,
cómo se concibe estructuralmente tal integración. Este es el problema que surge
para el investigador; un problema teórico, referido al propio ser de la disciplina.
Como puede observarse, el problema de desconocimiento o falta de conciencia de
los docentes –que hemos descubierto y descrito anteriormente- nos ha servido de
punto de partida para, trascendiéndolo, llegar al problema teórico que nos va a
ocupar en adelante.
En este trabajo no tratamos, pues, de analizar la praxis de la educación
matemática en la comunidad de docentes del nivel básico seleccionada; más bien
–y como una tarea previa necesaria- tratamos de construir una conceptualización
de la Didáctica de la Matemática como disciplina científica que integre en alguna
de sus dimensiones la formación de los alumnos en el oficio de la ciudadanía. Así,
posteriormente y sobre esta base teórica, tendrá sentido pleno abordar en
profundidad el análisis de dicha praxis, con el objetivo final de fortalecerla y
colaborar con la formación de los docentes, permitiendo que ellos sean agentes
directos de la construcción de su propia formación y de su praxis renovada.
En resumen, éstas son las preguntas que intentamos responder en el
presente trabajo:
1. ¿Puede integrarse la formación de los alumnos en el oficio de la
ciudadanía, en el cuerpo disciplinar de la Didáctica de la Matemática?

32
2. ¿Hay un modo de concebir conceptualmente la Didáctica de la
Matemática, de tal forma que esa formación de los alumnos en el oficio de
la ciudadanía sea inherente a la disciplina, forme parte de alguna de sus
dimensiones?
3. Y si lo anterior es posible, ¿de qué manera puede integrarse, es decir, a qué
dimensión de la Didáctica de la Matemática puede adherirse?
4. ¿Existen formas específicas de pensar y desarrollar en la práctica los
procesos de enseñanza y aprendizaje de la matemática en la institución
escolar, con el fin de generar la formación de los alumnos en el oficio de la
ciudadanía?
Las tres primeras preguntas son complementarias y definen el objetivo
teórico del trabajo: Mostrar que la formación de los alumnos en el oficio de la
ciudadanía es inherente a la Didáctica de la Matemática, conforma una de sus
dimensiones. En cuanto a la última pregunta, define el objetivo práctico del
trabajo: Mostrar de qué manera pueden desarrollarse los procesos de construcción
de los conocimientos matemáticos de modo que puedan incidir en la formación
ciudadana de los alumnos.
Con el fin de delimitar el problema e ir preparando las respuestas a las
preguntas planteadas, en el siguiente capítulo vamos a examinar algunos de los
enfoques actuales más importantes de la Didáctica de la Matemática considerada
como disciplina científica, con la finalidad de ver si se toma en cuenta esa faceta
de la formación en el oficio de la ciudadanía como una dimensión propia de la
disciplina.
Notas del Capítulo I
1. Esta comunidad escolar es la que trabaja en el turno de la mañana en la escuela San Francisco,
perteneciente a la organización Fe y Alegría, y ubicada en el barrio del mismo nombre al oeste de
la ciudad de Barquisimeto; la institución escolar consta de un aula de Preescolar y de sendas aulas
de Primero a Sexto Grados.
2. Todas las palabras que aparecen subrayadas en las citas de este trabajo lo están en el texto
original.
3. La expresión “oficio de la ciudadanía” es atribuida por Bárcena (1997) a Alejandro Llano
(1996).

33
4. En el Capítulo V analizaremos con más detenimiento la filosofía política de Hannah Arendt.
5. Giroux destaca la “forma meditada” (1993: 118) en que Arendt habla de este carácter
conservador de la educación.
6. Al comienzo de este Capítulo nos referimos al campo de nuestra actividad profesional con el
apelativo general de “educación matemática”, apelativo habitual en nuestro medio. Sin embargo, la
disciplina científica que sirve de referencia explicativa y normativa a esta actividad profesional
recibe diversos nombres –Educación Matemática, Didáctica de la Matemática, Enseñanza de la
Matemática, Matemática Educativa, Pedagogía de la Matemática- según la diversidad de enclaves
profesionales, geográficos o de influencia que existen en los diferentes países del mundo e,
incluso, al interior de cada uno de ellos. En nuestro trabajo nos referiremos a esta disciplina
científica como Didáctica de la Matemática, aunque respetaremos –sobre todo en el siguiente
Capítulo- los nombres que le asignan otros autores u otras corrientes.
En particular, la expresión “educación matemática” –en razón del significado básico del
término educación, que alude primariamente a la acción y al efecto de educar- nos parece más
pertinente para designar tanto la actividad práctica regida por la disciplina –cualquiera que sea la
expresión con la que se denomine-, como el resultado de tal actividad en los educandos. De todos
modos, en nuestro trabajo utilizaremos la expresión “práctica de la Didáctica de la Matemática”
cuando nos vayamos a referir a esa vertiente de actividad práctica.
De entrada –y a la espera de las precisiones que se harán en el próximo Capítulo-, al
referirnos a la Didáctica de la Matemática estamos aludiendo a la disciplina científica que versa
sobre los fenómenos relativos al aprendizaje y a la enseñanza de la matemática en diversos
escenarios pero, particularmente, en los que integran un sistema educativo escolar.

34
CAPÍTULO II
LA FORMACIÓN EN EL OFICIO DE LA CIUDADANÍA COMO
PROBLEMA PARA LA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA
Como acabamos de indicar, en este capítulo trataremos de revisar algunas
de las conceptualizaciones habituales referentes a la Didáctica de la Matemática
como disciplina científica, con el fin de apreciar la respuesta que en ellas se da a
su práctica y, en particular, a la pregunta de cómo la formación de los alumnos en
el oficio de la ciudadanía puede ser inherente a la disciplina, puede formar parte
de alguna de sus dimensiones. Para ello, comenzaremos por analizar el ser de una
disciplina científica y la relación que con ella guarda el ejercicio de la misma, es
decir, la actuación de los practicantes de tal disciplina. Posteriormente, pasaremos
al caso particular de la Didáctica de la Matemática, de la que analizaremos
diversos enfoques y, en particular, el denominado enfoque crítico.
El ser y la práctica de una disciplina científica
Preguntarnos por el ser de una disciplina científica significa penetrar en el
campo de la epistemología, es decir, de la parte de la filosofía que se ocupa del
valor de los métodos que permiten elaborar y dar validez a nuestros
conocimientos en el campo de una disciplina científica. Fourez (2000) destaca dos
grandes corrientes en el seno de este ámbito filosófico: la epistemología
denominada tradicional, y la empírica.
La epistemología tradicional estudia la determinación de las condiciones
de nuestros conocimientos; también intenta responder a preguntas referidas a la
naturaleza de la verdad, al significado que se atribuye a la expresión
“conocimiento verdadero”. Esto conduce a interrogarse acerca de diversos
métodos de generación de conocimientos, tales como la deducción, la inducción,
la generalización, la analogía… La indagación epistemológica se extiende a
cuestiones anexas, tales como el papel de las teorías, del sujeto y del objeto de
conocimiento, etc.

35
Sobre estos temas, son numerosas las perspectivas que se han desarrollado
a lo largo de la historia, diversidad en la que no vamos a entrar ahora. Pero sí
queremos anotar que debido a la influencia del positivismo, se hizo dominante la
percepción de que el conocimiento científico, parcelado en las denominadas
ciencias o disciplinas científicas, es de carácter absoluto, universal, y no se ve
afectado por incidencias históricas o sociales; es decir, se genera y persiste al
margen de las influencias humanas (Habermas, 1982).
Deslegitimar esta visión de las disciplinas científicas es lo que Fourez
califica como “la revolución copernicana de la filosofía de las ciencias” (Fourez,
2000: 42). Esta tarea implica, entre otras cosas, cambiar la percepción de la
racionalidad científica, en el sentido de renunciar a la certeza de la existencia
previa del objeto de conocimiento, al que simplemente habría que descubrir y
observar, sin necesidad de construirlo-crearlo. De aquí se deriva que, al ser las
teorías y los resultados científicos una construcción y no una revelación o
desvelamiento, las disciplinas científicas tengan una historia. Y esta historicidad
propicia la inclusión de los factores humanos y sociales en el proceso de
formación y evolución de las disciplinas científicas, que responden a proyectos
humanos:
El trabajo científico lo será de imaginación, de invención, por
medio del cual la comunidad científica sustituirá determinadas
representaciones por otras que parecen más adecuadas a nuestros
proyectos humanos. Lo que lleva a los humanos a pensar es la
sensación de que aún no están perfectamente cómodos en este
mundo, es la carencia. Las teorías se sucederán en la historia
humana; están hechas por los humanos y para los humanos (ob.
cit.: 66).
De las consideraciones anteriores se deriva la fundamentación de las
epistemologías empíricas, que pretenden estudiar el conocimiento como un
fenómeno social y, por consiguiente, examinan cómo construyen sus
conocimientos los seres humanos. En esta corriente se inscribe la
socioepistemología (Goldman, 2006), centrada en las prácticas sociales concretas
en las que se genera el conocimiento; se analiza la actividad de los practicantes de
la ciencia y sus interacciones sociales, es decir, la ciencia en acción. De este
modo, la socioepistemología contempla todos los procesos de desarrollo científico

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