1. Serie
Desarrollo del pensamiento matemático
Nº 4
Sustracción
Martín Andonegui Zabala
1

2. 372.7
And.
Sustracción
Federación Internacional Fe y Alegría, 2005.
30 p.; 21,5 x 19 cm.
ISBN: 980-6418-70-0
Matemáticas, sustracción.
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3. “Los alumnos llegan a las clases con un
saber constituido como resultado de años
de experiencias; son saberes que van a
establecer una interlocución con otros
saberes, a dialogar con ellos, y ninguna
persona está dispuesta a desecharlos
fácilmente. Cuando interactuamos con
ellos lo que realmente estamos haciendo es
poner en diálogo dos culturas, de ahí que la
pretensión escolar de eliminar o modificar
resulte, por decir lo menos, ingenua”.
Germán Mariño.
Dimensión Educativa (Colombia)
3

4. Equipo editorial
Antonio Pérez Esclarín, María Bethencourt
Dimensión: Desarrollo del pensamiento matemático
A modo
Serie: Sustracción, número 4
Autor: Martín Andonegui Zabala
Este libro se ha elaborado con el propósito de apoyar la prác-
tica educativa de los cientos de educadores de Fe y Alegría. Su
publicación se realizó en el marco del Programa Internacional
de Formación de Educadores Populares desarrollado por la
Federación Internacional Fe y Alegría desde el año 2001.
Diseño y diagramación: Juan Bravo
Portada e ilustraciones: Juan Bravo
Corrección de textos: María Bethencourt, Margarita Arribas
Edita y distribuye: Federación Internacional Fe y Alegría.
Esquina de Luneta, Edif. Centro Valores, piso 7, Altagracia,
Caracas 1010-A, Venezuela.
Teléfonos: (58) (212) 5645624 / 5645013 / 5632048
Fax (58) (212) 5646159
web: www.feyalegria.org
© Federación Internacional Fe y Alegría
Depósito Legal: lf60320055121371
Caracas, julio 2005
Publicación realizada con el apoyo de:
Centro Magis
Instituto Internacional para la Educación Superior
en América Latina y el Caribe (IESALC)
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5. de introducción…
… y para desperezarnos un poco, Efectúe las dos restas A – B, siendo 6. ¿Cuál es la diferencia entre el mayor
ahí van unas cuestiones sencillas para A: 83 centenas, 305 décimas y 4 y el menor de los siguientes números:
entrar en materia y en calor. Tratemos de milésimas 0,5 / 0,505 / 0,55 / 0,5005?
resolverlas antes de seguir adelante. B: 0,130402 unidades de mil
A: 36,107 decenas Bien, ya tenemos nuestras respues-
1. ¿En cuántas centésimas supera el B: 2 centenas, 706 décimas y 3 mi- tas, que iremos contrastando con las
número 135,05 al número 105,38? lésimas indicaciones y ejercicios que planteare-
mos a lo largo de las líneas que siguen.
2. En la siguiente resta, letras diferentes 3. Sergio tiene 11 años y Raúl tiene 6.
representan dígitos diferentes: ¿Dentro de cuántos años tendrán ambos Y un segundo recordatorio:
la misma edad?
MO R A La sugerencia que proponíamos en el
- A MOR 4. Si de la suma de dos números se Cuaderno Nº 1 y que siempre presidirá
R OMA resta su diferencia, ¿qué se obtiene? los demás Cuadernos: Vamos a estudiar
matemática, pero no lo vamos a hacer
¿Cuál es el valor de cada letra? 5. ¿Qué número de la siguiente sucesión como si fuéramos simplemente unos
está equivocado: 60, 52, 45, 38, 34, 30? alumnos que posteriormente van a ser
evaluados, y ya. No. Nosotros somos
(*) Aviso a los navegantes: Las respuestas a los ejercicios precedidos por un número en negrita aparecen al final del Cuaderno. Las respuestas a los ejer-
cicios que no se encuentran precedidos por un número no las encontrarás en este Cuaderno. Dichas respuestas son para que las construyas y valides con tu
grupo de trabajo.
5

6. docentes –docentes de matemática podremos entender y evaluar mejor el número 0 (13 – 13); al par (35 , 16), el
en su momento– y este rasgo debe ca- desempeño de nuestros alumnos –a su número 19 (35 – 16), etc.
racterizar la forma de construir nuestro nivel– ante los mis-
pensamiento matemático. ¿Qué signi- mos temas.
fica esto? Como puede verse, la sustracción no está definida para aquellos
• En definitiva, pares de números naturales cuyo segundo componente sea mayor
• La presencia constante de la meta entender que la ma- que el primero. Es decir, no está definida para casos como (0 , 1),
de nuestro estudio: alcanzar unos ni- temática es la base (3 , 9), (16 , 17), etc. Por esta razón se dice que la sustracción no es
veles de cono cimiento tecnológico y de su didáctica: la una operación “interna” en el conjunto de los números naturales,
reflexivo, lo cual debe abrir ese estudio forma en que se porque no funciona para cualquier par de estos números –cosa
hacia la búsqueda de aplicaciones de construye el cono- que sí ocurre con la adición–: al restar dos números naturales no
lo aprendido, hacia el análisis de los cimiento matemá- siempre se puede obtener otro número natural.
sistemas que dan forma a nuestra vida tico es una fuente
y utilizan ese conocimiento matemático, imprescindible a la Hay que esperar a llegar al conjunto de los números enteros –que
y hacia criterios sociales y éticos para hora de planificar y son positivos y negativos– para que la sustracción se convierta
juzgarlos. desarrollar su ense- en una operación interna en ese conjunto: la diferencia de dos
ñanza. números enteros es siempre un número entero.
• Construir el conocer de cada tó-
pico matemático pensando en cómo Y ahora, vamos
lo enseñamos en el aula, además de al tema de este Cua- La anterior –como en el caso de la
reflexionar acerca de cómo nuestro derno, cuya estructura guarda similitud suma– es una manera “formal” de decir
conocer limita y condiciona nuestro con la del Cuaderno anterior dedicado a las cosas, pero con esto tampoco nos
trabajo docente. De esta forma, integrar la operación de adición. aclaramos mucho, ya que debemos
nuestra práctica docente en nuestro precisar cómo se resta, es decir, cómo se
estudio. 1. ¿Qué es la sustracción (o llega a 19 partiendo de 35 y de 16.
resta) de números naturales?
• Como complemento a lo anterior, Al igual que en el caso de la adición, Para ello vamos a referirnos a dos
construir el conocer de cada tópico ma- la primera respuesta que se nos ocurre conjuntos, A y B, y supondremos que B
temático pensando en cómo lo podemos es que, evidentemente, se trata de una es subconjunto de A. Esto significa que
llevar al aula. Para ello, tomar concien- operación aritmética según la cual, a todos los elementos de B son también
cia del proceso que seguimos para su cada par de números naturales cuyo elementos de A y que B no puede tener
construcción, paso a paso, así como de primer componente sea mayor o igual más elementos que A. También se dice
los elementos–cognitivos, actitudinales, que el segundo, se le hace corresponder que B está contenido en A. Un ejemplo
emocionales…– que se presenten en otro número natural, su diferencia. Así, sencillo puede ser el conjunto de niños
dicho proceso. Porque a partir de esta al par (7 , 1) se le hace corresponder (B) de un salón, en referencia al conjunto
experiencia reflexiva como estudiantes, el número 6 (7 – 1); al par (13, 13), el de todos los alumnos –niños y niñas– de
6

7. La diferencia de dos números naturales repre-
senta, pues, el cardinal del conjunto comple-
mento de un subconjunto con respecto a otro
conjunto que lo contiene, en el supuesto de
que el menor de los dos números representa
inicialmente el cardinal del subconjunto, y el
mayor, el del conjunto que lo contiene.
En este punto cabe hacer una observación im-
portante: la sustracción es la operación inversa
de la adición. En efecto, volviendo a plantearnos
B como un subconjunto de A, hemos visto que
podemos construir el conjunto complemen-
to de B con respecto a A. En este conjunto
complemento de B no figura ningún elemento
de B: solamente están los elementos que le
ese mismo salón (A): B es subconjunto la diferencia del cardinal de A menos el
faltan a B para “llenar” A. Por consiguiente, B y
de A. cardinal de B es el cardinal del conjunto
el complemento de B son conjuntos disjuntos
complemento de B con respecto a A. En
(no comparten ningún elemento) y, además,
Supongamos ahora que A cuenta nuestro caso, 35 – 16 = 19.
su unión produce el conjunto A.
con 35 elementos y B con 16 (recorde-
mos que, en términos formales, se dice Así que, para pensar en la diferencia
Por lo tanto, tenemos tres expresiones
que el cardinal de A es 35 y que el de de dos números, debemos imaginarnos
equivalentes:
B es 16). A partir de los dos conjuntos que hay dos conjuntos; que uno de ellos
podemos formar otro nuevo, que ya no posee tantos elementos como lo indica
• Cardinal del complemento de B con res-
será el conjunto unión –como en el caso el mayor de los números; que el otro
pecto a A = cardinal de A – cardinal de B.
de la adición–, sino el conjunto comple- posee tantos elementos como lo indica
• Cardinal de B + cardinal del complemen-
mento de B con respecto a A. el otro número a restar; que el segundo
to de B con respecto a A = cardinal de A.
de los conjuntos es subconjunto del
• Cardinal de B = cardinal de A – cardinal
¿Qué elementos componen este primero; que se construye el conjunto
del complemento de B con respecto a A.
conjunto? Como su nombre lo indica, complemento del segundo con respecto
aquellos que están en A, pero no en B: al primero; y que se cuentan los elemen-
Es decir, 19 = 35 – 16 equivale a 16 + 19 =
los que le faltan a B para “llenar” A. En tos de este nuevo conjunto. El resultado
35 y a 35 – 19 = 16
nuestro ejemplo anterior, sería el con- final de este conteo es la diferencia de
junto de las niñas del salón. Pues bien, los dos números iniciales.
7

8. Insistimos: lo que va hasta aquí es la Estas situaciones suelen venir del modelo de situaciones, y considerar el
respuesta formal a la pregunta de qué es caracterizadas –en la interpretación estudio formal –con su lenguaje específi-
la sustracción. Pero, afortunadamente, verbal que de ellas hace el sujeto- por co- como una meta posterior.
esta no es la única respuesta. Porque verbos tales como quitar, sacar, reducir,
la sustracción también puede ser vista eliminar, quedar, sustraer, perder, pagar,
como un modelo de situaciones de la regalar, faltar, exceder… y otros simila- Podemos precisar ahora los términos
vida diaria, o de situaciones lúdicas, o res. En estas circunstancias, la opera- propios y formales para las cantidades que
de otras áreas del saber. En este senti- ción aritmética de la sustracción nos intervienen en la operación de sustracción
do, la sustracción se convierte en una ayuda a llegar al resultado de calcular o resta:
herramienta que nos permite interpretar lo que queda después de quitar, lo que
matemáticamente las situaciones que falta para llegar al total, en cuánto una • Minuendo (del lat. minuere: disminuir): lo
se presentan en nuestra vida. cantidad excede a otra, etc. que debe ser disminuido.
• Sustraendo (de sub + lat. extrahere:
¿Y cuáles, o de qué naturaleza son quitar, sacar): lo que debe ser quitado.
estas situaciones para las que la sustrac- En resumen, hay dos formas de considerar la • Diferencia: el resultado de efectuar la
ción puede presentarse como modelo? sustracción: como un modelo de situaciones sustracción.
Fundamentalmente, tres: de la vida diaria y como un objeto de estudio
formal dentro de la matemática (Vergnaud, Obser vemos que esta nomenclatura
1. Situaciones 1991; Gadino, 1996). responde más directamente al primer
de quitar de tipo de situación antes indicado: cuando
una cantidad se trata de quitar de una cantidad dada y
dada y ver Vamos a repetir también la observa- averiguar cuánto queda. Sin embargo, esta
cuánto queda. ción que hacíamos en el caso de la adi- circunstancia no significa que deban minus-
ción: no hay contradicción entre ambas valuarse los otros dos tipos de situaciones,
2. Situaciones formas de considerar la sustracción, sino a los que también se aplican los términos
de averiguar más bien complementariedad. Los tres anteriores.
cuánto falta para tipos de situaciones nos remiten siem-
llegar a determi- pre a un subconjunto y a otro conjunto Recordemos, finalmente, que la resta está
nada cantidad. que lo contiene, con el objeto de hallar definida en el conjunto de los números
el cardinal del conjunto complemento naturales sólo si la cantidad del sustraendo
3. Situaciones de del subconjunto dado. no es mayor (puede ser igual) que la del
comparar dos cantida- minuendo.
des, en el sentido de Pero sí conviene resaltar que en el pro-
calcular cuánto tiene ceso de adquisición del concepto, de los
una de más o de menos procedimientos y de las destrezas propias
con respecto a la otra. de la resta, es preferible entrar por la vía
8

9. 2. Restar sólo si hay La sustracción también es un objeto de
un denominador común La película de cine dura una hora y estudio matemático y, como tal, abstrac-
cuarto, y ya lleva proyectándose durante to. Necesitamos estudiar la sustracción
media hora y 5 minutos. ¿Cuánto falta en el terreno de lo abstracto. Y el primer
para que acabe? paso hacia ese terreno consiste –como
en el caso de la suma– en prescindir de
Como puede observarse, los denomi- los objetos o entidades que se restan,
nadores son variados: hora, cuarto, es decir, de los denominadores. Y así
media hora, minutos. Necesitamos un llegamos a las expresiones simbólicas
denominador común, que en este caso de la sustracción. Por ejemplo, 9 – 4 =
puede ser minutos. La adopción de este 5, con sus símbolos numéricos (nume-
denominador modifica algunos numera- radores) 9 y 4, y sus signos de relación
Recordemos que, cada vez que en nuestro dores: 1 hora y 1 cuarto se transforman, “menos” e “igual”.
hablar expresamos un adjetivo numeral en conjunto, en 75 minutos; a su vez, 1
seguido de un sustantivo, estamos utilizando media hora y 5 minutos se convierten en El uso adecuado de las expresiones
un binomio numerador-denominador. Así, en 35 minutos. Con un minuendo de 75 simbólicas requiere dominar dos aspec-
la locución “tres sillas”, tres es el numerador minutos y un sustraendo de 35 minutos, tos: el conceptual y el procedimental.
y sillas el denominador. Análogamente al ya podemos efectuar la resta: la diferencia El dominio del aspecto conceptual sig-
hablar de “cinco centenas”, cinco es el nu- es de 40 minutos. Este es el tiempo que nifica entender lo que está expresado
merador, y centenas el denominador. falta para que acabe la proyección de la ahí, en los símbolos numéricos y en los
película. signos de relación. Por eso, quien em-
pieza a construir sus conocimientos
sobre la resta no puede entrar de una
Vuelven a repetirse las consideracio- En conclusión –y de una forma aná- vez al terreno abstracto de lo simbóli-
nes hechas al hablar de la suma: para loga a la de la suma–: co; necesita experimentar antes en el
tratar los tres tipos de situaciones de terreno de las situaciones concretas
los que es modelo la sustracción, resulta –con numeradores y denominadores–.
imprescindible que los elementos que se En situaciones concretas, sólo se pueden Sólo después puede aventurarse con
quitan, que faltan o se comparan, sean restar cantidades referidas a un mismo los numeradores aislados de los de-
de la misma naturaleza. Es decir, en denominador. En otras palabras, sólo se nominadores, y con las expresiones
los términos que se introdujeron en el pueden restar numeradores referidos a un simbólicas.
Cuaderno anterior, que los numeradores denominador común.
estén referidos al mismo denominador. Y recordemos que si experimenta
Y si no es así, que puedan estarlo a un dificultades de comprensión en este
denominador común. Veamos un ejem- Pero aquí tampoco podemos quedar- terreno de lo simbólico, resulta inútil
plo al respecto. nos sólo con las situaciones concretas. intentar resolverlas en el mismo te-
9

10. rreno: hay que regresar a lo concreto, Lo primero que debemos recordar es decimal. Es decir, cualquier número
hay que agregar denominadores a los que todas las unidades de los diversos puede adoptar un nuevo denominador,
numeradores que se restan, pues sólo órdenes –en virtud de la “democracia” que modificando adecuadamente el nume-
de esta manera se dota de significado reina dentro del sistema decimal– tienen rador dado. Así, 57 centésimas pueden
a lo simbólico. rango de “denominadores”. Como decía- convertirse en:
mos antes, podemos hablar de 5 centenas,
3. Restar en el sistema decimal 13 décimas, etc. Por consiguiente, en 570 milésimas
de numeración principio sólo podemos restar directa- 5.700 diezmilésimas
Decíamos más arriba que el uso mente cantidades referidas a unidades 570.000 millonésimas
adecuado de las expresiones simbólicas del mismo orden –de igual denominador–. 0,57 unidades
requiere dominar también el aspecto Así, 57 centésimas – 12 centésimas nos 0,057 decenas
procedimental. Debemos hablar, pues, da como resultado 45 centésimas. 5,7 décimas
de los algoritmos de la resta, de los etc.
procedimientos para restar. Y para ello, Afortunadamente, ya sabemos que
vamos a darle paso al sistema decimal todo número puede tener múltiples De esta forma, siempre puede restar-
de numeración. lecturas, al poder referirse a cualquiera se cualquier par de números decimales
de los órdenes de unidades del sistema –siempre que el sustraendo no sea ma-
yor que el minuendo–, con tal de que
se reduzca a un denominador común,
el que se desee o el que más convenga.
En esta tarea el cartel de posición se
convierte en un aliado eficaz, sobre todo
al comienzo del aprendizaje.
Tomemos, por ejemplo, uno de los
ejercicios propuestos al comienzo del
Cuaderno: Efectúe la resta A – B, siendo
A: 83 centenas, 305 décimas
y 4 milésimas
B: 0,130402 unidades de mil
Llevemos estos números al cartel
de posición y coloquémoslos en las dos
primeras filas, reservando la tercera para
colocar el resultado de la resta –resulta-
do que, intencionalmente, se escribirá
sin ninguna coma–:
10

11. Parte entera Parte decimal
Orden y nombre de las unidades Orden y nombre de las unidades
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
Millón Centena Decena Unidad Centena Decena Unidad Décima Centésima Milésima Diez- Cien- Millo-
de mil de mil de mil milésima milésima nésima
8 3 3 0 5 0 4
1 3 0 4 0 2
8 2 0 0 1 0 2
El resultado admite diversas lecturas “pedir prestada una unidad” a la de or- te se intentan corregir sobre el propio
(diversos binomios numerador-denomi- den inmediatamente superior. esquema numérico escrito en que se
nador): propone la resta
Aquí entra en juego el propio ser
0,8200102 decenas de mil del sistema decimal, ya que su esencia (por ejemplo: 861
8,200102 unidades de mil consiste precisamente en que 1 unidad – 395 )
820,0102 decenas de un orden cualquiera se convierte en
8.200,102 unidades 10 unidades del orden inmediatamente insistiendo en fijarse en las restas
8.200.102 milésimas inferior. Así, 1 decena equivale a 10 parciales en las que el dígito del sus-
etc. unidades, 1 milésima equivale a 10 traendo es mayor que el del minuendo,
diezmilésimas, 1 centena de mil equi- fijarse en que hay que quitar 1 unidad
4. El asunto del “pedir vale a 10 decenas de mil, etc. de la cifra que está a la izquierda y
(o quitar) prestado” arrimarla como decena para la cifra que
Si en la suma se presenta el proble- Este principio, tan básico y tan pide “auxilio”, etc., sin percatarse de
ma de la “llevada”, aquí tenemos un sencillo en su formulación, tarda en que los errores cometidos al utilizar los
problema análogo –aunque quizá un ser asimilado y llevado a la práctica. esquemas simbólicos –esquemas que
poco más complejo en la práctica–: el Los errores de los niños –y de algunos son abstractos–, sólo pueden corregirse
de “pedir (o quitar) prestado”, es decir, adultos– al respecto son frecuentes y, retornando al terreno de lo concreto, que
cuando en la resta de dos dígitos corres- generalmente, producto de un aprendi- es donde se puede alcanzar el significa-
pondientes al mismo orden de unidades, zaje mecánico, privado de significado. do de la resta.
el dígito del sustraendo es mayor que el Errores graves, por cuanto denotan que
del minuendo. En este caso, y puesto no se comprende el funcionamiento del ¿Cuál puede ser este terreno con-
que el sustraendo no puede ser mayor sistema decimal. creto en el que se respete la esencia del
que el minuendo, decimos que hay que Lo peor del caso es que habitualmen- sistema decimal? Puede ser el ya men-
11

12. cionado de los billetes de denominación a pedir 3 billetes de 100, 9 de 10 y 5 de billetes de 1 (10 del banco más 1 que
decimal (1;10; 100; 1.000; 0,1; 0,01; 1. Empecemos por la derecha, es decir, tenía); entrego los 5 solicitados y me
etc.). Por ejemplo, en el caso de la resta por los billetes de 1. Evidentemente, no quedan 6.
anterior, restar 861 – 395 significa, en puedo desprenderme de 5 billetes de 1,
primer lugar, entender cada uno de los porque sólo dispongo de 1. Comienza el B) Análogamente con los billetes
números: 861 es un número “complejo”, proceso de “ir al banco” para cambiar de 10, no me alcanza con los 5 que
compuesto por 8 centenas, 6 decenas y billetes. tengo para dar los 9 que me solicitan.
1 unidad; y análogamente, 395. Vuelvo al banco y cambio uno de los
A) Llevo uno de los 6 billetes de 10 8 billetes de 100 (me quedarán 7), que
Restar ambos números significa que que tengo (me quedarán 5 de 10), que me será devuelto como 10 billetes de
voy a tener inicialmente 8 billetes de me será devuelto como 10 billetes de 10; ahora dispongo de 15 billetes de
100, 6 de 10, y 1 de 1. Después, me van 1. De esta forma dispongo ahora de 11 10 (10 del banco más 5 que tenía), de
8 6 1 3 9 5
-
8 5 11 3 9 5
A
-
7 15 11 3 9 5
B
-
3 9 5
C
4 6 6
12

13. los que entrego 9 para quedarme con 6.
Finalmente, de los 7 billetes de 100 que Efectúe la resta A – B, siendo 7. En los ejercicios que siguen, efectua-
me quedan entrego los 3 solicitados, y A: 36,107 decenas remos la resta A – B de los respectivos
me restan 4. B: 2 centenas, 706 décimas y 3 milésimas números A y B (entre paréntesis, el or-
den de unidades en que formularemos la
C) Al final del proceso de cambios y La resta puede representarse así: respuesta):
entregas tengo: 4 billetes de 100, 6 de C D U d c m
10 y 6 de 1. La composición de estas 3 6 1 0 7 0 a) A: 40 centenas y 18 décimas
partes me lleva al número que expresa – 2 7 0 6 0 3 B: 186 decenas y 30 centésimas
la diferencia, 466. (unidades)
(en negrita, los pares de
Todo este proceso puede simbolizar- dígitos “en problemas”) b) A: 0,7084 millones
se en pasos progresivos (en negrita) de B: 318 centenas y 7 unidades
la siguiente forma (C, D y U representan, Y transformarse de la siguiente forma: (centenas)
respectivamente, Centenas, Decenas y C D U d c m
Unidades): 2 16 0 10 6 10 c) A: 162,05 décimas
–2 7 0 6 0 3 B: 9,807 unidades
C D U C D U C D U 9 0 4 6 7 (centésimas)
8 6 1 8 5 11 7 15 11
–3 9 5 –3 9 5 –3 9 5 resultado que, como sabemos, puede d) A: 21.000 centésimas
4 6 6 expresarse con diversos numeradores B: 14 decenas y 83 décimas
y denominadores: 90,467 unidades; (decenas)
Como puede observarse, la ejecución 90.467 milésimas; etc.
de la resta sólo es posible en el último
de los pasos y, ya en él, puede realizarse
en cualquier orden: primero las cente- Lo que importa resaltar es que este 5. El desarrollo de destrezas
nas, luego las unidades y finalmente las recurso a lo concreto –billetes de deno- para restar
decenas, o como se prefiera. Eviden- minación decimal–, y a los progresivos Todo lo expresado en los dos puntos
temente, con un poco de atención se esquemas operativos simbólicos, debe anteriores hace referencia a la conside-
puede llegar al último de los pasos de preceder al ejercicio de la resta de ración de la sustracción en el ámbito
una sola vez. números dispuestos en columna, tal del sistema decimal de numeración.
como se propone habitualmente. Y debe Su aplicación más inmediata se ubica
Vamos a aplicar todo lo anterior a la quedar ahí, disponible, para dotar de en los casos de resta escrita en los que
resolución de otro de los ejercicios pro- significado a dicho ejercicio cada vez el minuendo y el sustraendo se colocan
puestos al comienzo del Cuaderno: que el aprendiz presente dificultades o verticalmente. Pero aquí no termina
cometa errores en su realización. todo lo que se puede decir acerca de
13

14. esta operación aritmética. Como en el 5 – 0 = 5 (pero no se puede plantear 0 En primer lugar –y como en el caso
caso de la suma, podemos explorar, por – 5). Sin embargo, hay otras propieda- de la suma– resulta muy conveniente
ejemplo, el terreno de la adquisición des de interés que pueden facilitarnos el considerar los dígitos como restas de 10
de destrezas –no sólo de reglas– para desarrollo de destrezas para restar. Des- (lo que les falta para llegar a 10). Para ello
restar. trezas que, como veíamos en el caso de podemos acudir al uso y visualización de
la adición, son la base del cálculo mental los dedos, centrando la atención en la
Aunque para ello no contamos con aplicado a las sustracciones. cantidad de dedos que, a partir de uno
propiedades similares a las de la adición dado, faltan para completar los 10 de las
(conmutativa, asociativa y disociativa), dos manos. De esa ejercitación puede
sí podemos establecer un cuerpo de Atención: llegarse a los siguientes resultados:
propiedades útiles para el desarrollo Todo lo que se va a decir ahora no es sólo
de destrezas en el manejo de la resta. para entenderlo. Es, sobre todo, para practi- A.- a 1 le faltan 9 dedos para llegar a 10
Veamos esto con más detalle. carlo. Pero no un par de veces, y ya. La ejer- 10 – 1 = 9
citación frecuente y abundante es requisito B.- a 2 le faltan 8 dedos para llegar a 10
No podemos considerar la propiedad indispensable para desarrollar destrezas de 10 – 2 = 8
conmutativa en la sustracción ya que, cálculo mental. Y esto es muy importante,
porque si no las poseemos no podremos C.- a 8 le faltan 2 dedos para llegar a 10
efectivamente, 5 – 3 no es lo mismo que
construirlas con nuestros alumnos. 10 – 8 = 2
3 – 5: en el primer caso, la diferencia es D.- a 9 le falta 1 dedo para llegar a 10
2, mientras que en el segundo, la resta 10 – 9 = 1
no puede realizarse dentro del conjunto
de los números naturales. 2 3 4 7 8 9 2 3 4 7 8 9
1 10 1 10
Si a y b representan dos números natu- 12 3 5 6 6 78 12 5 6 56
78
4 9
rales, ¿puede ocurrir en algún caso que a 5 3 4
– b sea igual a b – a? Sí, sólo cuando a y b
sean el mismo número. ¿Cuántos de estos A B
casos posibles hay? Infinitos, tantos como
números naturales.
2 3 4 7 8 9 2 3 4 7 8 9
También es cierto que no podemos 1 10 1 10
hablar de la propiedad asociativa en el 5 6 5 6
12 1
caso de la operación de sustracción,
y que el elemento neutro –el 0– sólo
“funciona” por la derecha, es decir, que C D
14

15. De donde se llega a: sola mano). Con ello se completaría el
cuadro de dobles y mitades:
9 = 10 – 1 8 = 10 – 2 7 = 10 – 3
6 = 10 – 4 5 = 10 – 5 4 = 10 – 6
3 = 10 – 7 2 = 10 – 8 1 = 10 - 9
Con estos resultados podemos com-
pletar –con sumas y restas– el cuadro de
“disociaciones” que planteábamos en el 10 es el doble de 5; 5 es la mitad de 10. 8 es el doble de 4; 4 es la mitad de 8.
Cuaderno anterior:
5=1+4 5=2+3 5=3+2
5=4+1 6=5+1 7=5+2
8=5+3 9=5+4 6 es el doble de 3; 3 es la mitad de 6. 4 es el doble de 2; 2 es la mitad de 4.
10 = 9 + 1 10 = 8 + 2 10 = 7 + 3
10 = 6 + 4 10 = 5 + 5 10 = 4 + 6 El mismo uso de los dedos puede
10 = 3 + 7 10 = 2 + 8 10 = 1 + 9 servir de base para resolver las restas
entre números menores que 10. La
2 es el doble de 1; 1 es la mitad de 2.
9 = 10 – 1 8 = 10 – 2 7 = 10 – 3 ejercitación física inicial debe dar paso
6 = 10 – 4 5 = 10 – 5 4 = 10 – 6 a una visualización y, posteriormente,
3 = 10 – 7 2 = 10 – 8 1 = 10 – 9 al manejo mental de la
situación. Esta práctica, – 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
reflexiva e iterada, es la 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Otra de las destrezas que es conve- base para construir las 1 - 0 1 2 3 4 5 6 7 8
niente alcanzar temprano es la de las tablas de la resta (el nú- 2 - - 0 1 2 3 4 5 6 7
mitades de los dígitos pares hasta 10. mero en cada casilla es la
3 - - - 0 1 2 3 4 5 6
Para ello pueden juntarse las dos manos, diferencia de los dos dí-
palma con palma y dedo con dedo, y gitos que encabezan –en 4 - - - - 0 1 2 3 4 5
considerar simultáneamente el conteo ese orden– la columna y 5 - - - - - 0 1 2 3 4
de los dobles (de los dedos de una mano, la fila correspondientes a 6 - - - - - - 0 1 2 3
hacia los correspondientes dedos de las esa casilla): 7 - - - - - - - 0 1 2
dos manos juntas) con el de las mitades
8 - - - - - - - - 0 1
(de los dedos de las dos manos juntas,
hacia los correspondientes dedos de una 9 - - - - - - - - - 0
15

16. Estas tablas –como las de la suma– De esta forma podemos extender
deben llegar a ser aprendidas de me- el cuadro de las destrezas disociativas
moria, porque este es el modo adulto –tanto en sumas como en restas– pre-
de manejarlas. Pero esto no significa sentadas en el Cuaderno anterior:
que aprenderlas de memoria sea el
punto de partida; más bien es el punto
1 centena = 9 decenas + 1 decena = 8 decenas + 2 decenas, etc. Es decir:
de llegada. El punto de partida está en
100 = 90 + 10 100 = 80 + 20 100 = 70 + 30 100 = 60 + 40 100= 50 + 50
la ejercitación, reflexiva e iterada, para
obtener la cantidad que falta para llegar
1 unidad = 9 décimas + 1 décima = 8 décimas + 2 décimas, etc. Es decir:
del dígito menor al mayor, o la canti-
1 = 0,9 + 0,1 1 = 0,8 + 0,2 1 = 0,7 + 0,3 1 = 0,6 + 0,4 1 = 0,5 + 0,5 Etc.
dad en la que el dígito mayor excede
al menor.
9 decenas = 1 centena – 1 decena; 8 decenas = 1 centena – 2 decenas; etc. Es decir:
90 = 100 – 10 80 = 100 – 20 70 = 100 – 30 60 = 100 – 40 50 = 100 – 50
También conviene insistir en algu-
nos resultados que se derivan de los
9 décimas = 1 unidad – 1 décima; 8 décimas = 1 unidad – 2 décimas; etc. Es decir:
expresados en la tabla anterior y que
0,9 = 1 – 0,1 0,8 = 1 – 0,2 0,7 = 1 - 0,3 0,6 = 1 – 0,4 0,5 = 1 – 0,5 Etc.
significan otro modo de leerla. Así, por
ejemplo, se obtienen las siguientes “di-
sociaciones” en forma de restas:
Todas las apreciaciones anteriores a) ¿Qué le ocurre a la diferencia en una
0 = 0 – 0 = 1 – 1 = 2 – 2 = 3 – 3, etc. están formuladas para el caso básico de resta si:
1 = 1 – 0 = 2 – 1 = 3 - 2 = 4 – 3, etc. las restas entre dígitos –o, como exten- 1. el minuendo aumenta en 1 unidad y
……………………………………… sión, entre unidades de cualquier orden el sustraendo permanece igual?
8=8–0=9–1 del sistema decimal de numeración–. 2. el minuendo aumenta en 2 unidades y
9=9–0 Pero también podemos destacar otras el sustraendo aumenta en 2 unidades?
regularidades que se presentan cuando 3. el minuendo aumenta en 3 unidades y
Hemos hablado de destrezas utiliza- se producen algunas variaciones en las el sustraendo disminuye en 1 unidad?
bles a la hora de restar dígitos. No está cantidades que aparecen en el minuen- 4. el minuendo disminuye en 2 unidades
de más decir que, puesto que hablamos do, en el sustraendo, o en la diferencia y el sustraendo permanece igual?
de dígitos, estas destrezas pueden apli- de una resta dada. 5. el minuendo disminuye en 1 unidad y
carse al caso de la resta de las unidades, el sustraendo aumenta en 2 unidades?
de las decenas, de las centésimas, etc., Intente resolver los ejercicios que se 6. el minuendo permanece igual y el
es decir, de las unidades de cualquiera proponen a continuación. Luego pode- sustraendo aumenta en 2 unidades?
de los órdenes del sistema decimal de mos comparar sus respuestas con las 7. el minuendo permanece igual y el
numeración. que se exponen posteriormente. sustraendo disminuye en 1 unidad?
16

17. b) ¿Qué modificaciones pueden ha- 2. el minuendo ha disminuido en 4 5. el minuendo ha permanecido igual
cerse a las cantidades del minuendo y unidades y la diferencia ha disminuido y la diferencia ha disminuido en 3?
del sustraendo de una resta para que en 5? 6. el minuendo ha disminuido en 4
la diferencia: 3. el minuendo ha aumentado en 2 unidades y la diferencia ha permane-
unidades y la diferencia ha aumentado cido igual?
1. permanezca igual? en 6?
2. aumente en 5 unidades? 4. el minuendo ha disminuido en 3 He aquí, brevemente, las respuestas:
3. disminuya en 3 unidades? unidades y la diferencia ha aumentado
en 7?
c) ¿Qué le puede haber ocurrido al
minuendo de una resta si:
a) o que el sustraendo permanezca igual
1. aumenta en 1 unidad; y el minuendo disminuya en 3; o que el
1. el sustraendo ha disminuido en 2
2. permanece igual; aumento del sustraendo supere en 3
unidades y la diferencia ha permanecido
3. aumenta en 4; al del minuendo; o que la diferencia del
igual?
4. disminuye en 2; aumento del sustraendo y la disminución
2. el sustraendo ha aumentado en 3 unida-
5. disminuye en 3; del minuendo sea 3; o que la disminución
des y la diferencia ha aumentado en 3?
6. disminuye en 2; del minuendo sea 3 unidades mayor que
3. el sustraendo ha permanecido igual
7. aumenta en 1. la del sustraendo.
y la diferencia ha disminuido en 5 uni-
dades?
b) c)
4. el sustraendo ha aumentado en 6
1. añadir o quitar la misma cantidad simul- 1. ha disminuido en 2;
unidades y la diferencia ha disminuido
táneamente en ambos; 2. ha aumentado en 6;
en 4?
2. que el minuendo aumente en 5 uni- 3. ha disminuido en 5;
5. el sustraendo ha disminuido en 5
dades y el sustraendo permanezca igual; 4. ha aumentado en 2;
unidades y la diferencia ha aumentado
o que el minuendo permanezca igual y 5. ha disminuido en 2;
en 3?
el sustraendo disminuya en 5; o que el 6. ha aumentado en 7.
6. el sustraendo ha aumentado en 7
aumento del minuendo supere en 5 al del
unidades y la diferencia ha permanecido
sustraendo; o que la suma del aumento d)
igual?
del minuendo y la disminución del sus- 1. ha aumentado en 7;
traendo sea 5; o que la disminución del 2. ha aumentado en 1;
d) ¿Qué le puede haber ocurrido al
sustraendo sea 5 unidades mayor que la 3. ha disminuido en 4;
sustraendo de una resta si:
del minuendo; 4. ha disminuido en 10;
3. que el sustraendo aumente en 3 uni- 5. ha aumentado en 3;
1. el minuendo ha aumentado en 4
dades y el minuendo permanezca igual; 6. ha disminuido en 4.
unidades y la diferencia ha disminuido
en 3?
17

18. 6. Algunas estrategias 126. Como hemos agregado lo mismo 3. Utilizar la disociación de los dígi-
para el cálculo mental en el minuendo y en el sustraendo, la tos mayores como restas de 10. Es decir,
de restas y sumas diferencia no varía. Por consiguiente, pensar 9 como 10 – 1; 8 como 10 – 2;
La destreza en la reso- 165 – 39 = 126. etc. Esto significa que sumar 9 es sumar
lución de ejercicios del tipo 10 y restar 1, sumar 8 es sumar 10 y
anterior es fundamental En otras oportunidades puede resul- restar 2, etc. Por ejemplo, 56 + 9 puede
para manejar con soltura tar estratégico modificar adecuadamen- transformarse mentalmente en añadir
el cálculo mental de las sustracciones. te uno de los términos de la resta. Por 10 (56 + 10 = 66) y restar 1 (66 – 1 =
Sobre la base de esa destreza es posible ejemplo, en la resta 463 – 267 puede 65). También significa que restar 9 es
precisar algunas estrategias para facili- modificarse el minuendo para llevarlo a restar 10 y agregar 1, restar 8 es restar
tar las operaciones mentales de restar. 467, con lo que la operación se hace más 10 y añadir 2, etc. Por ejemplo, 123 – 8
A ellas agregaremos alguna otra para la fácil: 467 – 267 = 200. Ahora bien, en la puede transformarse mentalmente en
suma, complementaria de las presenta- resta original el minuendo disminuye en quitar 10 (123 – 10 = 113) y agregar 2
das en el Cuaderno anterior. 4 unidades, por lo que la diferencia debe (113 + 2 = 115).
disminuir también en 4. Así, 463 – 267
1. Introducir algunas variaciones = 196. Obsérvese que también pudo ha- 7. El apoyo de otras
en las cantidades del minuendo, del berse modificado el sustraendo y llevarlo representaciones gráficas
sustraendo, o de ambos, y ajustar luego a 263, y proceder análogamente. Además del conjunto de las tablas
la diferencia. En este apartado puede de restar antes presentadas, es posible
incluirse la estrategia de acercar el 2. Transformar la resta en una suma elaborar otras que nos permiten fomen-
sustraendo a potencias o múltiplos de por etapas. Se trata de pensar la sustrac- tar el desarrollo de destrezas a la hora de
10. Por ejemplo, en la resta 165 – 39, ción como modelo de “lo que falta para”, y efectuar diversas restas. La primera de
podemos llevar el sustraendo a 40, con proceder desde la cantidad del sustraen- estas representaciones es la tabla de los
lo que la resta queda más sencilla: 165 do hacia la del minuendo por “cómodas” números de 1 a 100:
– 40 = 125. Si volvemos a la resta inicial, etapas –como quien da el “vuelto” de un
vemos que el minuendo es el mismo y pago–, cuyo valor se suma al final. Así,
que el sustraendo disminuye en 1, por por ejemplo, si se desea restar 921 – 397, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
lo que la diferencia debe aumentar en procedemos de esta manera: 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1. Así, 165 – 39 = 126. 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
de 397 a 400 3 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Otra estrategia similar es la de añadir de 400 a 900 500 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
o restar la misma cantidad en el minuen- de 900 a 921 21 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
do y en el sustraendo. Por ejemplo, en la 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
misma resta 165 – 39, podemos agregar La suma de las etapas es: 500 + 21 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
1 unidad a ambos números, con lo que + 3 = 524. Por consiguiente, 921 – 397 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
la resta se transforma en 166 – 40 = = 524 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
18

19. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 También puede operarse del mi-
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 nuendo hacia el sustraendo. Como
puede apreciarse, este procedimiento
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
representa la visualización de la es-
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 trategia de restar como una suma por
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 etapas. Además puede inferirse que la
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 representación de la operación sobre la
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 recta numérica quizás es más útil en el
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 caso de la resta –particularmente en las
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 situaciones en que hay que “pedir pres-
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 tado”– que en el caso de la suma.
En definitiva, y como puede apre-
En ella, si se observa cada fila, el paso den pasar de 100– utiliza la recta numérica ciarse, existe una diversidad de caminos
de un número a su siguiente a la derecha como soporte visual, y la suma por etapas para llegar al resultado de la resta. No es
significa la adición de una unidad, y si el como estrategia para restar. Sea, por conveniente cerrarnos en uno solo, por
paso es hacia la izquierda, la sustracción ejemplo, la resta 1.032 - 358. Ubicamos el lo que dijimos en el Cuaderno 1. Es pre-
de una unidad. Análogamente para cada sustraendo (358) en un punto cualquiera ferible exponer todos los que se puedan
columna, el paso a cada número inferior de la recta. Ahora procedemos hacia el y dejar que nuestra creatividad –y la de
–“bajar un piso”– representa la adición minuendo (1.032) por “cómodas” etapas. nuestros alumnos– halle otros. Después,
de una decena, y “subir un piso”, la En la primera de las gráficas percibi- cada quien terminará por seleccionar el
sustracción de una decena. mos (números sobre la línea) cómo va- que mejor se acomode a la situación pro-
mos avanzando “por saltos” adecuados, puesta o el que mejor vaya con su estilo
De acuerdo con este par de criterios, buscando los múltiplos o potencias de personal de hacer las cosas: una diver-
si se quiere restar, por ejemplo, 86 - 38, 10 (bajo la línea): sidad abierta a la posibilidad de elegir…
nos ubicamos en el número del minuen-
do (86); restarle 38 significa “subir 3 2 40 600 30 2
pisos (llegar a 56) y correrse 8 números 358 360 400 1.000 1.030 1.032
a la izquierda (6 hasta 50, y 2 más hasta La suma de estos saltos o etapas nos proporciona la diferencia de ambos números:
48)”, o bien “correrse 8 números a la 1.032 – 358 = 600 + 40 + 30 + 2 + 2 = 674.
izquierda (6 hasta 80, y 2 más hasta 78)
y subir 3 pisos (llegar a 48)”. Hay varias alternativas para efectuar esta suma por saltos. Una de ellas es la
siguiente:
Otra de las representaciones gráficas
600 2 40 30 2
–sin las limitaciones que impone la tabla
anterior, en la que los minuendos no pue- 358 958 960 1.000 1.030 1.032
19

20. Efectúe mentalmente las siguientes Las competencias que se ponen de Con el fin de facilitarnos las tareas
restas y sumas (hágalo de todas las for- manifiesto al estimar el valor de una di- de estimación en el caso de la resta,
mas que se le ocurran): ferencia son similares a las del caso de presentamos algunas estrategias re-
la suma. En primer lugar, se produce un comendadas por la experiencia de los
a) 308 – 197 b) 135 – 39 c) 864 – 759 análisis inicial de la situación, análisis buenos estimadores:
d) 82 – 27 e) 102 – 33 f) 45 – 9 que lleva a la conclusión de la pertinen-
g) 426 – 98 h) 154 – 45 cia del uso de la estimación. Ya dentro 1. Redondear el valor del minuendo
i) 1.016 – 617 j) 761 – 139 k) 99 – 18 del proceso, se “leen” las cantidades de y del sustraendo, bien sea por exceso
l) 505 – 487 m) 172 – 75 n) 68 + 39 izquierda a derecha y se toma en cuenta o por defecto, según lo recomiende la
ñ) 198 + 577 o) 184 + 117 p) 301 + 569 su valor global, lo que permite redondear- situación (véase el caso de las prendas
las sin mayor riesgo. Esa lectura permite de vestir). Por ejemplo, la resta 2.985
Invéntese otra serie de ejercicios también dar su verdadero sentido al – 612 puede llevarse a 3.000 – 600 (re-
similares a los anteriores y resuélvalos. valor de posición de cada cifra; así, por dondeo del minuendo hacia arriba y del
ejemplo, en el caso de la tercera prenda, sustraendo hacia abajo), o bien a 3.000
8. Estimar el valor 6 no es “seis”, sino “seis mil”. – 630 (redondeo de ambos hacia arriba),
de la diferencia según sea el margen de aproximación
que nos podamos permitir.
Las consideraciones acerca de la estimación
en el caso de la suma pueden extenderse 2. Compensar el valor de la dife-
también a las situaciones de resta. Veamos rencia. Volviendo al ejemplo anterior,
una, por ejemplo: podemos optar por la primera aproxima-
ción: 3.000 – 600, que es más fácil de
Volvamos a nuestra tienda de ropa. Com- calcular, y llegar al resultado de 2.400.
pro dos prendas cuyo precio unitario es Pero advertimos que 3.000 – 630 es
de 4.495 pesos, otra de 5.990 pesos y una una mejor aproximación, por cuanto al
última de 995 pesos. Para pagar entrego redondear ambos valores hacia arriba
20.000 pesos. Quiero saber si el vuelto que la diferencia se ve menos afectada. En-
me van a dar llegará a los 4.000 pesos. tonces, al resultado obtenido (2.400) le
restamos las 30 unidades de incremento
Lo primero es redondear los precios a del sustraendo y llegamos a una diferen-
4.500, 6.000 y 1.000 pesos, respecti- cia más ajustada, 2.370.
vamente (los hemos puesto un poquito
más caros…). Ahora vamos acumulando cuarta llegamos a 10.000 y con la tercera, Tome los ejercicios de cálculo mental
mentalmente el costo total. Las dos pri- a 16.000. Por consiguiente, nos van a dar propuestos anteriormente y estime cada
meras prendas nos dan 9.000 pesos; con la un poquito más de 4.000 pesos. resultado.
20

21. 9. Tengo ante mí diferencia tiene sentido (obsérvese que 10. La resolución de “problemas
una situación de resta; este es un ejercicio de estimación…). de resta”…
y ahora, ¿qué hago? Los “problemas de resta” –como los
1. Observo la situación y decido si Y para validar la exactitud de la resta, de suma– pueden adoptar la forma de
necesito un resultado exacto o me basta en principio puedo seguir una vía distinta situaciones sencillas de la vida diaria en
con una aproximación. En el segundo a la utilizada. También puedo servirme de las que la sustracción aflora sin dificultad
caso, procedo por la vía de la estimación, las dos pruebas que se derivan del hecho como la operación matemática que sirve
tal como se ha presentado. de ser la sustracción la operación inversa de modelo oportuno. Otras veces, pue-
de la suma: sumo la diferencia con el sus- den tener un carácter lúdico, o referirse
2. Si necesito un resultado exacto, traendo y evalúo si obtengo el minuendo; a regularidades o características que
leo el minuendo y el sustraendo y obser- o bien, resto del minuendo la diferencia y presentan algunos números y series de
vo si se van a producir –o no– situacio- evalúo si obtengo el sustraendo. números. Vamos a plantear algunos de
nes de “pedir o quitar prestado”. estos tipos de problemas. Lo que sugeri-
Este proceso puede seguirse tanto si mos a nuestros lectores es que, una vez
3. En función del análisis anterior, se trata de un ejercicio directo de resta leído el enunciado de cada situación,
decido la vía que voy a utilizar para reali- o de estimación –con lo cual el paso 1 intenten resolver el problema por cuenta
zar la resta (alguna de las siguientes): queda decidido–, como si se trata de propia, antes de revisar la respuesta que
una situación problema que implique la se presenta posteriormente.
• La visualizo y resuelvo sobre la ta- sustracción como modelo adecuado.
bla de números del 1 al 100. 8. Si tengo 17 ovejas y se
• La visualizo y resuelvo sobre la rec- me escapan todas menos 9,
ta numérica. Lo que sí conviene destacar es que, escritos ¿cuántas me quedan?
• Resto sumando por etapas del sus- el minuendo y el sustraendo para hacer la
traendo al minuendo, pero sin ne- resta, sea que se dispongan horizontal o ver- 9. Dados los dígitos 2, 5,
cesidad del recurso gráfico. ticalmente, este “espacio” del ejercicio escrito 9, y utilizados sin repeti-
• Aplico las diversas estrategias de no es necesariamente el espacio en el que se ción, calcule la menor diferencia posi-
cálculo mental. realiza efectivamente la resta. La operación ble entre los números de tres cifras
• Resuelvo la resta en forma escrita, puede realizarse con toda libertad por que pueden construirse con ellos.
colocando ordenadamente los dígi- cualquiera de las vías propuestas, y algunas
tos del sustraendo debajo de los de ellas no necesitan recursos para escribir 10. ¿Cuántas
del minuendo. (papel y lápiz o pizarra y tiza…), sino una hojas de un libro
mente activa. El “espacio” del ejercicio escrito tengo que pasar
4. Reviso la diferencia obtenida. Para es simplemente el espacio en el que se leen para llegar a la
ello, en primer lugar evalúo su verosimi- las cantidades a restar y en el que luego se página 117 desde
litud, es decir, si a la vista de las canti- escribe la diferencia. la página 112? ¿Y de la página 263 a la
dades del minuendo y del sustraendo, la 268? ¿Es igual en ambos casos?
21

22. 11. Vamos corriendo antes de revisar la vía de solución que e) ¿Cuál es el valor de 49 – 44 + 43 – 38
10 atletas. Si soy el 8º se propone posteriormente. + 37 – 32 + … + 13 – 8 + 7 – 2?
por la cola, ¿en qué pues-
to voy en la carrera? a) Por la compra de 2 cuadernos f) Pedro compró algunos
y un juego geométrico, Rafael ha helados, los vendió a 240
12. Hoy he leído la novela desde el comien- pagado 900 pesos. Mariana, por su pesos cada uno y obtuvo
zo de la página 13 hasta el final de la pági- parte, ha comprado en el mismo es- una ganancia de 280 pesos.
na 34. ¿Cuántas páginas he leído hoy? tablecimiento un cuaderno y 2 juegos Si los hubiera vendido a 180
geométricos y ha pagado 960 pesos. pesos cada uno habría tenido
13. Las 4 cifras que componen un ¿Cuál es el precio de un cuaderno? ¿Y una pérdida de 140 pesos. ¿A
número son dígitos pares escritos el de un juego geométrico? qué precio compró Pedro cada
en orden ascendente de izquierda a helado? ¿Y cuántos helados compró?
derecha. Este número, al sumarse con b) En una balanza dispongo de tres
otro, da como resultado 2.989. ¿Con pesas: una de 1 kg, una de 3 kg y otra g) La suma de las tres cifras de un
qué otro número se ha sumado? de 9 kg. Para pesar los objetos, las pe- número entero N es 21. Si se cam-
sas pueden colocarse (1, 2 ó las 3) en bian de posición entre sí la cifra de
14. ¿Cuántas veces puede sustraerse cualquiera de los dos platillos. ¿Cuántas las unidades con la de las decenas, el
20 de 80? pesadas diferentes pueden hacerse? nuevo número es 45 unidades mayor
que N. ¿Qué número es N?
15. ¿Cuántos días tarda un sastre en c) En una feria hay un
cortar una pieza de 20 metros de puesto donde la gente h) Pedro, nuestro heladero, vende helados
largo en lotes de 2 metros diarios? puede probar su pun- de fresa (F), de chocolate (C) y de man-
tería intentando darle tecado (M). Acaba de hacer un sondeo
11. La resolución de problemas al blanco. Por cada tiro entre sus últimos 121 compradores y ha
de suma y resta acertado se reciben 3 caramelos y descubierto que 42 de ellos prefieren
Con mucha frecuencia se presentan por cada tiro errado se devuelven 2. primero los de fresa, luego los de man-
situaciones en la vida diaria, o bien otras Aunque Rafael ha perdido 5 veces, tecado y, finalmente, los de chocolate.
lúdicas, o relacionadas con regulari- tiene 11 caramelos consigo. ¿Cuántas Representamos esta información así:
dades en números y en secuencias de veces le ha dado al blanco? 42: F > M > C
números, que atañen simultáneamente Pero también ha descubierto que:
a las dos operaciones de suma y resta. d) En una habitación hay taburetes de 3 40: C > M > F
Vamos a plantear algunos de estos tipos patas y sillas de 4 patas. En este momen- Y que: 39: M > C > F
de problemas. Nuestra sugerencia para to todos estos asientos están ocupados Si se toma toda esta información en con-
nuestros lectores es que, una vez leído el y, entre piernas y patas, se cuentan 39 junto, ¿cuál es el verdadero orden de pre-
enunciado de cada situación, intenten extremidades. ¿Cuántos taburetes hay en ferencia que los compradores manifiestan
resolver el problema por cuenta propia, la habitación? acerca de los tres sabores de los helados?
22

23. i) Anita se encuentra en el 7º escalón pagan 500 pesos,
de una escalera que tiene 10. Si se mue- y 700 pesos por
Ahora todo se reduce a hallar dos números
ve 4 escalones, ¿en cuál se detendrá? 5 horas, ¿cuánto
que, sumados, den 620 y, restados, 60.
costará estacionar
Podemos proceder por tanteo. También
j) Blanca Nieves va a repartir 77 pastillas el carro durante 8
podemos calcular la mitad de 620 (310)
de chiquitolina entre los 7 enanitos. Al horas seguidas?
y, a partir de esa cantidad, sumar y restar
menor le da algunas pastillas y, a cada
30 –para garantizar que la suma de los
uno de los demás, una pastilla más que n) Silvia tiene 2 muñecas;Teresa, 4 y Rosa,
dos números sea 620 y su diferencia 60–.
al anterior. ¿Cuántas pastillas de chiqui- 3. Si entre todas regalan 6 muñecas, ¿cuán-
Los números así obtenidos son 340 (310
tolina recibe el mayor? tas muñecas le quedan a cada una?
+ 30) y 280 (310 – 30): su suma es 620 y
su diferencia, 60. El cuaderno cuesta 280
k) Cuatro equipos Vamos, pues, a reportar algunas vías
pesos y el juego geométrico, 340.
juegan un torneo de de solución para contrastarlas con las
fútbol, en el que cada que hemos podido obtener entre todos.
Nos falta validar estos resultados, por lo
equipo juega un par-
que regresamos al enunciado del problema.
tido con cada uno de
a) Primero, como siempre, vamos a ob- Por dos cuadernos y un juego se pagan:
los demás. Por cada partido ganado se
servar el enunciado del problema. Rafael 280 + 280 + 340 = 900 pesos.Y por un
acumulan 3 puntos y por cada uno em-
y Mariana comparten una compra común: cuaderno y dos juegos: 280 + 340 + 340
patado, 1 punto. Al final de los seis par-
un cuaderno y un juego geométrico. Sobre = 960 pesos.
tidos la clasificación nos dice que hay un
equipo con 5 puntos, dos con 3 puntos esta base común, Rafael compra un cua-
derno más y Mariana, un juego más.Vamos ¿Existe otra vía para resolver el proble-
y uno con 2 puntos. ¿Cuántos empates
a explotar esta situación. Como Mariana ma? Sí. Por ejemplo, pueden asignarse
se han producido en el torneo?
paga 60 pesos más (960 – 900) que Rafael, precios por tanteo al cuaderno y al juego
esta diferencia sólo puede deberse a que –éste, un poco más caro–. Un punto de
l) Tenemos un reloj de arena que tarda
el juego geométrico es 60 pesos más caro partida puede ser de 250 y de 400 pe-
15 minutos en agotarse (pasar toda la
que el cuaderno. sos, respectivamente. Con estos valores
arena de la parte superior a la inferior)
se satisface el monto pagado por Rafael
y otro que lo hace en 9 minutos. ¿Cómo
Por otro lado, también puedo tener otro (250 + 250 + 400 = 900 pesos), pero
podemos medir 12 minutos exactos
dato si me fijo en lo que han costado to- se sobrepasa (250 + 400 + 400 = 1.050
utilizando ambos relojes?
dos los artículos: 3 cuadernos y 3 juegos pesos) el de Mariana. Por consiguiente,
geométricos cuestan 1.860 pesos (960 + hay que subir el precio del cuaderno y
m) El precio por el uso de un estacio-
900). De aquí deducimos que cada pareja rebajar el del juego. Mediante este pro-
namiento está formado por un valor
de un cuaderno y un juego cuesta la ter- ceso de ensayo y ajuste se llegaría a los
fijo para las dos primeras horas y un
cera parte, es decir, 620 pesos. valores exactos.
pago adicional por cada hora siguiente.
Si por 3 horas de estacionamiento se
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24. b) Pues se pueden pesar objetos de 1, 2, Siguiendo con el tanteo –pero sabiendo Podemos tantear con un
3, … hasta 13 kg. Para un objeto de 1 kg, ya las condiciones de la respuesta válida–, valor que satisfaga esas
basta colocar una pesa de 1 kg en el otro si pensamos en 2 sillas, nos quedarían 27 condiciones: que cada he-
platillo. Para uno de 2 kg, añadimos la pesa (39 – 12) extremidades para los taburetes: lado cueste 190 pesos. En
de 1 kg en el mismo platillo y ponemos tampoco puede ser. Así llegamos hasta este caso, si se venden en
la de 3 kg en el otro.Y así, sucesivamente. suponer que hay 4 sillas (24 extremidades 240 pesos se ganan 50 por
Para un objeto, por ejemplo, de 7 kg, aña- en ellas), lo que deja 15 (39 – 24) para helado. Pero esto no es
dimos la pesa de 3 kg en el mismo platillo los taburetes. Por consiguiente, habrá 3 posible, ya que la ganancia
y ponemos las de 1 y 9 kg en el otro. taburetes y 4 sillas. Verifique que no hay total es de 280 pesos
otra respuesta posible. (¿por qué no es posible?).
Y ahora, ¿hasta cuántas pesadas diferentes Probemos con un costo de 200 pesos. La
se podrán hacer si incluimos una pesa de e) Primero y como siempre, hay que ob- ganancia por helado ahora es de 40 (240
27 kg en el juego de pesas anterior? servar bien la sucesión de números: 49 – 200) pesos y la pérdida, de 20 (200
– 44 + 43 – 38 + 37 – 32 + … + 13 – 8 – 180) pesos. Estos resultados sí cuadran,
c) Si Rafael ha perdido 5 veces, + 7 – 2. En esta observación podemos porque en ambos casos se descubre que el
ha tenido que devolver 10 ca- descubrir que hay parejas de números total de helados comprados es de 7.
ramelos. Si a éstos agregamos restándose: (49 – 44) + (43 – 38) + (37
los 11 que tiene, se deduce – 32) + … + (13 – 8) + (7 – 2), que el Conviene destacar que este problema,
que en total ha ganado 21 caramelos, lo minuendo de cada pareja –a partir de como algunos otros de los planteados, se
que corresponde a 7 tiros acertados. la segunda– es 1 unidad menor que el puede resolver mediante operaciones de
sustraendo de la pareja anterior, y que la sumas y restas, y no necesariamente hacien-
d) No sabemos cuántos taburetes y sillas diferencia de cada pareja es 5. do uso de multiplicaciones o divisiones. Por
hay, pero si todos los asientos están ocu- ejemplo, en el problema anterior se puede
pados, las “extremidades” de cada taburete El ejercicio se reduce a sumar 5 tantas veces averiguar que son 7 los helados comprados:
(patas y piernas) son 5 y las de cada silla, como parejas hay: 8 veces. El valor final de a) restando progresivamente 20 pesos de
6. Procedamos por tanteo hasta descubrir la sucesión de los números dados es 40. los 140 pesos iniciales y de las diferencias
alguna regularidad. Si hubiera una silla, que vayan quedando, y contando las veces
quedarían 33 (39 – 6) extremidades para f) De la observación del enunciado deduci- que se resta hasta llegar a 0; b) sumando
los taburetes. Pero esto no es posible, mos que el precio de compra debe encon- progresivamente 20 + 20 + …, hasta llegar
porque la suma de las extremidades de trarse entre 180 y 240 pesos, y más cerca a 140, y contando el número de veces que
todos los taburetes tiene que acabar en de 180 que de 240, ya que en el primer se utilizó el sumando; c) y d) procediendo
5 ó en 0 (¿por qué?). caso hay menos pérdidas (140 pesos) que análogamente con las ganancias, 40 y 280
ganancias (280 pesos) en el segundo. pesos.
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25. Precisamente, esta forma de actuar nos va un sabor diferente. Tam- de que “moverse” no
preparando para entender la multiplicación poco podemos tomar la especifica el sentido
de números naturales como una suma repe- primera como determi- del movimiento, hacia
tida; y la división, como una resta repetida. nante (el sabor preferido arriba o hacia abajo.
es F), por aquello de
g) De nuevo, la observación nos dice que que son 42 (el número Las alternativas posi-
las cifras son relativamente altas (suman mayor de los tres obte- bles son –todas a partir
21) y que la de las unidades es menor que nidos por Pedro) los que del 7º escalón– las
la de las decenas (porque al “voltearlas” opinan así. siguientes (nA: n es-
resulta un número mayor en 45 unidades). calones hacia arriba;
Una vía de salida puede ser la de pensar En realidad, debemos tomar en conside- mB: m escalones ha-
en números de dos dígitos (decena-uni- ración el conjunto de las informaciones. cia abajo):
dad) tales que, al restarse con el número Una vía para hacerlo es referirnos a las
Alternativas Escalón final
volteado, den una diferencia de 45. comparaciones por parejas de sabores.
de movimiento
Así, entre F y M, 42 prefieren a F, pero
Una exploración en este sentido nos per- 79 (40 + 39) anteponen el sabor M a F. 3A y 1B 9º
mite descubrir las parejas 05 y 50, 16 y Análogamente, entre F y C, 42 prefieren a 2A, 1B y 1A 9º
61, 27 y 72, 38 y 83, 49 y 94. No puede F, pero 79 (40 + 39) anteponen el sabor 2A y 2B 7º
haber más. Ahora, para seleccionar la(s) C a F. En conclusión, F figura detrás de M 1A, 1B, 2A 9º
que resuelve(n) el problema, acudimos a la y C en el gusto de los compradores. 7º
1A, 1B, 1A y 1B
condición de que la suma de los dígitos sea
1A, 2B, 1A 7º
21. La única pareja que puede satisfacerla La cuestión está, entonces, en determinar
1A y 3B 5º
es la 49 y 94, que se complementaría con la preferencia entre M y C: 40 prefieren a
la cifra 8 en la posición de las centenas. C, pero 81 (42 + 39) anteponen el sabor 1B y 3A 9º
En todas las demás parejas, la suma de sus M a C. Por consiguiente, el verdadero or- 1B, 2A y 1B 7º
dígitos es insuficiente para que, al sumar el den de preferencia que los compradores 1B, 1A, 1B y 1A 7º
tercer dígito (cuyo valor máximo es 9), se manifiestan acerca de los tres sabores de 1B, 1A y 2B 5º
pueda llegar a 21. De modo que el número los helados es: M > C > F. 2B y 2A 7º
N es 849. Es fácil verificarlo. 2B, 1A y 1B 5º
i) Esta es una situación interesante, que 5º
3B y 1A
h) No podemos dejarnos guiar por la in- no se resuelve simplemente mediante
4B 3º
formación de cada una de las tres compa- una suma o una resta. Hay que analizar
raciones, pues en cada una de ellas puntea todas las posibilidades del caso, en virtud
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26. Como puede observarse, la situación tiene Equipos J. ganados J. empatados J. perdidos J. jugados minutos después,
4 posibles desenlaces (respuestas), todos A 1 2 0 3 Q se vacía y N
en escalones impares. ¿Qué hubiera pasa- tiene una “carga”
B 1 0 2 3
do si Anita se moviera un número impar de 3 minutos más.
C 1 0 2 3
de escalones? En este momento,
D 0 2 1 3
N se voltea y se
j) Observamos que las dosis de pastillas Pero esta tabla reporta 3 partidos ganados y 5 perdidos, situación espera a que pa-
forman una secuencia de 7 números ente- imposible, pues ambas cantidades deben coincidir. La única forma de sen los 6 minutos
ros seguidos, cuya suma debe ser 77. La vía corregir este error es suponer que los 3 puntos de B y de C provienen que necesita para
a seguir parece ser, de nuevo, la del tanteo de sendos empates, con lo cual la tabla se modifica de esta forma: vaciarse de nuevo.
razonado. Supongamos que el más peque- Así, han pasado
ño recibe 3 pastillas; la secuencia será: 3, 4, Equipos J. ganados J. empatados J. perdidos J. jugados los 12 minutos
… 8, 9, cuya suma es 42 pastillas. A 1 2 0 3 seguidos.
B 0 3 0 3
Vemos que a ese total le faltan 35 (77 C 0 3 0 3 m) Indudable-
– 42) para ajustarse al total pedido. Si mente, la respues-
D 0 2 1 3
repartimos esas 35 pastillas entre los 7 ta no es 1.200
enanitos, a cada uno le corresponderían 5 En el torneo se han producido 5 empates. pesos ( 500 +
pastillas más. Por lo tanto, la secuencia será: 700), como si se tratara de sumar lo pa-
8, 9, 10, 11, 12, 13 y 14 pastillas. l) Esperemos que hayan llegado a una res- gado por 3 horas y por 5 horas.
puesta… He aquí una alternativa. En primer
k) Es importante recordar lugar y para orientar nuestra búsqueda, los La observación del enunciado nos permite
que cada equipo ha jugado 12 minutos a medir deben ser seguidos, sin inferir que el precio de 2 horas adicionales
3 partidos. Las puntuacio- interrupciones, a partir de cierto momento es de 200 pesos (la diferencia del costo
nes finales (equipo A, 5 (no necesariamente desde el comienzo de por 5 horas, menos el costo por 3 horas:
puntos; B, 3; C, 3; D, 2) nos la movida de los relojes). 700 – 500). Por consiguiente, el precio
sugieren que por lo menos hay 2 empa- de la hora adicional es de 100 pesos.
tes: los de A y los de D. A partir de aquí Bien. Empecemos a vaciar simultánea- Con este dato es fácil obtener el costo
puede pensarse que B y C han ganado un mente ambos relojes (llamaremos Q al fijo de las dos primeras horas: 400 pesos.
partido cada uno, con lo que llegarían a 3 reloj que se vacía en 15 minutos, y N al Así, por 3 horas (2 fijas + 1 adicional) se
puntos cada uno, así como A, que llegaría otro).A los 9 minutos, Q tiene “carga” para pagan: 400 + 100 = 500 pesos, y por 5
a 5 puntos. Si esto fuera así, la tabla de 6 minutos más y N está vacío. Volteamos horas (2 fijas + 3 adicionales): 400 + 300
clasificación final sería: N. Este va a ser nuestro momento inicial. 6 = 700 pesos.
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